Chuyên đề vận dụng cao phương trình và hệ phương trình chứa căn

Giới thiệu đến thầy, cô và các em học sinh tài liệu chuyên đề vận dụng cao phương trình và hệ phương trình chứa căn, tài liệu gồm 215 trang tuyển chọn các bài toán hay và khó về phương trình – hệ phương trình chứa căn thức, tất cả các bài tập đều được phân tích và giải chi tiết, đây là sản phẩm được đóng góp bởi tập thể quý thầy cô nhóm Strong Team Toán VDVDC.

x y

Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được

( 2) ( 1) 2 1 1

f y− = f x− ⇔ − = − ⇔ = +y x y x

(x+3) x+ + +4 (x 9) x+ +11 x +9x+10= 02

Theo yêu cầu bài toán :

2

004

S P

0

2 3

02

2 34

Phương trình dưới vô nghiệm do vế trái luôn âm Vậy hệ có nghiệm duy nhất x=2;y=3

( có thể dùng máy tính để chứng minh phương trình dưới vô nghiệm)

A.25

25

5

25.4

a c

b d

+

Phản biện :Với cách hỏi như trên, học sinh dễ dàng nhận ra hệ pt có nghiệm duy nhất và sử dụng máy tính cho k ết quả nhanh chứ không cần giải, nên thay đổi câu hỏi như : Số nghiệm của hệ là… Email: honganh161079@gmail.com

+ Vậy hệ có nghiệm duy nhất ( )1; 0

Cách 2 để giải phương trình (2): Với x∈(0;1] thì

Thay y=5 vào phương trình 2 2

Câu 10 Giả sử( ; )x y là nghiệm của hệ phương trình  − + + =

Ý ki ến phản biện: các gi ải trên quá dài, nếu ta để ý khi bình phương phương trình thứ hai của hệ

ta s ẽ có được biểu thức của phương trình thứ nhất, nên ta biến đổi

− + − =

5 x 1 y 1⇔( 5− +x 1−y)2= ⇔ − − +1 5 x y 2 (5−x)(1−y) =0

* Xét x= −2y thế vào (2) ta được

2 2

y

y y y

y y

Câu 14 ( đã xóa do trùng bài)

Câu 15 ( đã xóa do trùng bài)

b = là các phân số tối giản Tính tổng 1 2 2018

a

a a S

Từ (1) và (2) cho ta x1+ + +x2  x2018=1 Do đó hệ đã cho tương đương với hệ sau

GV: PH ẠM HỮU ĐẢO - FB: Hữu Hữu Đảo

Câu 17 Cho hệ phương trình: ( 2 )( 2 )

2 2

1

4 1 21

Họ và tên: Nguyễn Thị Tuyết Nga

Email: nAmlongkontum@gmAil.Com FB: nguyennga

Câu 18 Tìm số nghiệm của hệ phương trình

Câu 19 ( đã xóa do trùng bài)

H ọ tên: Đinh Thị Duy Phương Email: DuyphuongDng@gmAil.Com

FB : Đinh Thị Duy Phương

Câu 20 Tìm số nghiệm của hệ phương trình: ( ) ( )

x x

Ý ki ến phản biện: Phương trình (1) có thể dùng đánh giá cho gọn

Biết (x y°, °) là một nghiệm của hệ phương trình (1 4 ) (5 8 )

Ý ki ến phản biện: Bài giải hơi phức tạp, có thể giải quyết bài toán ngắn gọn hơn bằng cách sử dụng tính

đối xứng của (P)

Ta có: f (1 4+ y)= f (5 8− x) 1 4 5 8x

y y



⇔  + = − +

 ….Sử dụng phương pháp thế giải hệ bình thường

Câu 22 ( đã xóa do trùng bài)

2x −9x+ =8 2 x− 1Đặt t= x−1, (t≥ 0)

Câu 24 ( đã xóa do trùng bài)

Câu 25 Gọi ( ; )x y là m o o ột nghiệm của hệ phương trình

3 0

x y

11 109

0;12

x x

y y

1

22

t

t t

TH2: y2 = − ⇒8 x2 =12 thay vào hệ không thỏa mãn ( phương trình ( 2) vô nghiệm)

Phương trình có nghiệm duy nhất nên tổng tất cả các hiệu bằng: x1− =y1 2

TH2: y2 = − ⇒8 x2 =12 thay vào hệ không thỏa mãn ( phương trình ( 2) vô nghiệm)

Phương trình có nghiệm duy nhất nên tổng tất cả các hiệu bằng: x1− =y1 2

Email: lntien.c3lqdon@khanhhoA.edu.vn

Câu 28 Giải hệ phương trình: 2 2 ( )2

Câu 29 Biết hệ phương trình

Câu 1 Cho hệ phương trình 2 ( ) 2

⇒ nghịch biến trên [ ]0; 2 Phương trình ( )3 có dạng f x( + =1) f y( )⇒ = + y x 1

Thay vào phương trình ( )2 ta được : 2 2 [ ]( )

Dựa vào bảng biến thiên , hệ đã cho có nghiệm ⇔ − ≤ ≤1 m 2 Chọn D

+ Với x y= thế vào phương trình(2) ta được: 2

Vậy hpt có nghiệm khi 2≤ ≤m 4

Suy ra số giá trị nguyên của m là 3

3

t

f t

t t

Vậy hpt có nghiệm khi 2≤ ≤m 4

Suy ra số giá trị nguyên của m là 3

Họ tên: Trần Đức Khánh Gmail: tranduckhanh26121986@gmail.com

Facebook: Khanh Tran

Câu 4 Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m ( biết m≥ −2019) để hệ phương trình sau có nghiệm

Chia sẻ bởi: Group FB- STRONG TEAM TOÁN VD-VDC 6

Từ BBT suy ra hệ đã cho có nghiệm khi và chỉ khi 2 3

( )

f u

2 32

−

−∞

Câu 5 Tìm các giá trị thực của tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm thực:

u v m

+ =+ = + ( (u≥0,v≥0)Bài toán trở thành: Tìm các giá trị thực của tham số m để hệ phương trình (*) có nghiệm thực ,u v thỏa mãn điều kiện : u≥0,v≥0

Hướng 1( Sử dụng phương pháp hình học):

Nhận xét:

+ PT (1) có dạng phương trình đường thẳng, gọi đường thẳng đó là đường thẳng( )∆

+ PT (2) có dạng phương trình đường tròn, gọi phương trình đường tròn đó là ( )C

Hệ (*) có nghiệm khi đường thẳng( )∆ cắt đường tròn( )C tại ít nhất 1 điểm

m R

2 2

++ == + ⇔  ++ == +



Do m≥ ⇒ =0 v 0 không là nghiệm của phương trình (4) ⇒ không là nghiệm của hệ (**) Chia từng vế

của phương trình (3) cho phương trình (4) ta được:

Do

2

2

2 2

Hướng 3( Đưa về bài toán giải và biện luận phương trình bậc hai):

Từ PT (1) của hệ (*) ta có: u= − thay vào phương trình (2) ta được: m v

2v −2mv+m −3m− =3 0.(5)Bài toán trở thành:

Tìm các giá trị thực của tham số m để phương trình (5) có nghiệm u, v thỏa mãn: u≥0,v≥0

2 2

Câu 6 Gọi S là tập hợp tât cả các giá trị nguyên của m để hệ pt sau có hai nghiệm:

Gọi M, N là giao điểm của Elip (E) với đường thẳng y = 1

Kết hợp (1) với (3) ta được cung Elip nhỏ MN

Để hệ pt có hai nghiệm thì đường tròn (C) phải cắt cung Elip nhỏ MN tại hai điểm phân biệt

Facebook : Mai Ngọc Thi

Câu 7 Số giá trị nguyên của tham số m để hệ phương trình 1 1

S P

0

2 3

02

2 34

+) với m=1, ta có hệ:

0 2

x

y y



4(2) 2m a b a b 5a 2b 2 10ab 2 10 m 10

Vậy GTNN của m để hệ phương trình có nghiệm là 10 3,2≈

Email: NguyenCongkm2@gmAil.Com

Câu 10 Cho hệ phương trình 2 2 13

Yêu cầu đề bài dẫn đến phương trình (3) có nghiệm duy nhất a∈[ ]0;3

Lập bảng biến thiên của hàm số 2 433

9

Dựa vào bảng biến thiên ta có m=9; 12, 0625< ≤m 27, 0625 Chọn C

u v là hai nghiệm của phương trình: 2

m m

tác gi ả : Nguyễn Thanh Tâm,Tên FB: Tâm Nguyễn

Gmail: YurinohAnA811@gmAil.Com

Câu 12 Cho hệ phương trình 3

+ − ,∀ ∈y ( )0; 5 nên g y ( ) đồng biến trên 0; 5 

Hệ có nghiệm ⇔ (3) có nghiệm ⇔ g( )0 ≤ ≤m g( )5 , hay 1− 5≤ ≤m 11+ 5 Mà m nguyên nên

Email: triChinhsp@gmAil.Com

Câu 13 Hệ phương sau có nghiệm duy nhất:

2

2 2

11

−

L ời giải

Tác giả : Nguy ễn Trí ChínhTên FB: Nguyễn Trí Chính

Ch ọn A

2

2 2

11

Điều kiện cần: Thấy rằng nếu hệ có nghiệm (x y0, 0)thì hệ cũng có nghiệm (x0,−y0), bởi vậy điều kiện

cần để hệ có nghiệm duy nhất là y o = Thay 0 y o = vào (I) có 0 2

01

9

x y

Email: tvlu A t C 3tt@gm A il C om

Câu 14 Cho hệ phương trình ( )

 Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m∈[0; 2019] để

( ) ( )

22

y y

Theo đề bài m là số nguyên m∈[0; 2019] nên m∈{0;1; 2;5; 6; ; 2019} Vậy có 2018 giá trị nguyên

của tham số m thỏa mãn

Câu 15 Cho hệ phương trình:

Nhận xét: nếu hệ có nghiệm ( ; )x z thì h0 0 ệ cũng có nghiệm − −( x0; z 0)

Do đó, hệ có nghiệm duy nhất khi = =x0 z0 0 Thay vào hệ, ta có = 2018m

Thử lại: thay = 2018m vào hệ phương trình, ta có:  + + =

Email: kimlinhlq D @gm A il C om

Câu 19 Tất cả các giá trị của tham số m để hệ phương trình :

2 2

( ) ( )2 2

Hệ phương trình ban đầu có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm trong đoạn [ ]0;1

Bảng biến thiên của hàm số g(v) = v2 + 2v− 1 trên [ ]0;1

+ Với x y= thế vào phương trình(2) ta được: 2

Vậy hpt có nghiệm khi 2≤ ≤m 4

Suy ra số giá trị nguyên của m là 3

t

f t

t t

Vậy hpt có nghiệm khi 2≤ ≤m 4

Suy ra số giá trị nguyên của m là 3

 Có tất cả giá trị nguyên của tham số m

để hệ phương trình đó có đúng hai nghiệm phân biệt



Từ điều kiện kết hợp pt(1) ta suy ra đồ thị của phương trình (1) : là nữa đường tròn có tâm

( )0; 0 ; 2

Đồ thị pt(2) là đường thẳng luôn song song đường thẳng x+ =y 0

Dựa vào đồ thị, đường thẳng ∆: x+ =y m cắt nữa đường tròn trên hình tại đúng hai điểm phân biệt ⇔

l

L ời giải

Ch ọn A

-2 -4

Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất ?

Với 1≤ ≤x 4, VT= ⇒0 (3)có nghiệm đúng với mọi x∈[ ]1; 4

0, (3) 18 10 8 0 1

x< ⇔ x + x− = ⇔ = −x Vậy (1) có nghiệm là x= −1 hoặc 1≤ ≤x 4

+ Giải (2) : Ta có 2

' (m 1) m m( 2) 1 0, m

Suy ra (2) luôn có nghiệm x1=m x; 2 = −m 2

Ta đi xét các khả năng để hệ có nghiệm duy nhất ( với nhận xét x1 và x 2 hơn nhau 2 đơn vị)

Chú ý : N ếu bạn đọc không trực quan được trong bước lập luận trên, tốt nhất hãy vẽ trục số biểu diễn

t ập x= −1,1≤ ≤x 4 và di chuy ển đoạn [m−2; ]m trên đó

Cách 2 : Dùng phương pháp đồ thị trên hệ tọa độ Oxy

Tìm số giá trị nguyên của m∈ −[ 20; 20]để hệ đã cho có nghiệm

x y

x y x

Email: C vtung.lg2@ BAC gi A ng.e D u.vn

Câu 26 Cho hệ phương trình 2 ( ) 2

x y

=



 = −

 đưa phương trình thứ 2 trong hệ về dạng 6 − = ⇔ = m 0 m 6

Nếu x+ y+ >1 0, biến đổi phương trình về dạng ( 1)( 1 1 ) 0

g t = − + +t t t≥ ta có g t'( )= − + < ∀ ≥2t 2 0 t 2

Do đó phương trình có nghiệm khi m≤g(2)=7

Vậy có 7 giá trị nguyên dương của m thỏa mãn yêu cầu bài toán

Với học sinh lớp 10 ta có thể xét theo đồ thị của 2

x +y =m m> , là phương trình đường tròn tâm O( )0; 0 , bán kính R= m

Suy ra ( )1 biễu diễn trên hệ trục toạ độ Oxy, là dây cung AB như hình vẽ

Để hệ có nghiệm thì đường thẳng 2x− =y 3 cắt dây cung

Tác gi ả : Vũ Thị Hằng,Tên FB: Đạt Lâm Huy

NH ẬN XÉT : Bài toán 29 dạng toán tương tự bài toán 5 và bài toán 7

Ch ọn B

2

x y

3 2

+

Do vậy,P= y x1 2 1 17

2

+

y

y y y

y y

Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho hệ phương trình có nghiệm thực ?

Email: thuhAngnvx@gm A il C om

Câu 35 Tổng các giá trịnguyên của m để hệ phương trình sau có 2 phân biệt nghiệm là:

( ) ( )

x y

Nên hàm f t( ) nghịch biến trên [−2; 2] mà f x( )= f y( −2)⇔ = −x y 2

Thay vào (2) ta được: 2 2

Câu 37 Cho hệ phương trình

để hệ phương trình có 2 nghiệm Số phần tử của S

Do điều kiện x∈ −[ 1;1 ,] y∈[ ]0; 2 nên PT(b) vô nghiệm

Thay y= +x 1 vào phương trình (2) ta được ( 2) 2

m m

PT-HPT vô tỷ chứa tham số

Email: phuongthu081980@gmAil.Com

Ch ọn C

Cộng từng vế 2 pt ta được: ( 2 2) 2 2 2 2

2 x +y x +y =250⇔x +y =25Thay vào hệ ban đầu ta có hpt:

* ; *

2425

m m

Hệ phương trình có nghiệm khi m∈[18 25; ]

Vậy có 8 giá trị nguyên của m

11

Câu 2 Phương trình 2− f x( ) ( )= f x có tập nghiệm nghiệm A={1; 2;3} , phương trình

01

31

45

x x

x

g x

x x

Xét hệ phương trình

( ) ( )

( ) ( )

(*)

Nếu hai phương trình tương đương và tập nghiệm khác rỗng thì (*) có nghiệm

Lấy vế nhân với giữa hai phương trình (3) và (4) ta được y m3 3=(3my−2 2)( my−1) ( )5

17 4

5 172

y m ym

17 4

y m

27x +18x −9x+ 27x +2x−1 2x− −1 125=0 Giả sử nghiệm của phương trình có

5 12

⇔ =x

a b c

3 x + x + − =8 2 x +15 Gọi S là tổng bình phương các nghiệm thực của phương trình Tính S

nên phương trình ( )2 vô nghiệm

Vậy phương trình cho có 2 nghiệm x=1,x= −1 Suy ra 2 ( )2

Vậy phương trình có nghiệm x= − +1 2

Email: Binhlt.thpttinhgiA1@thAnhhoA.eDu.vn

x ta được ( )

( 2

(thỏa mãn điều kiện x≥ − 1)

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: 1( )

5 41 34 10 414

1 3 8971

2

1 3 8971

Email: ntpAnh1079@tuyenquAng.eDu.vn

13

23

Khi đó ( )3 ⇔ f y( )= f x( + ⇔ = +1) y x 1 Thay vào (2) ta được

Đối với học sinh lớp 10, ta chứng minh hàm ( ) 3

f t = +t t đồng biến trên  như sau:

Email: nguynhuthai1977@gmail.com

Câu 15 Phương trình x2 7 x 2 x   1 x2 8x 7 1 có hai nghiệm a b, vớia<b

Có bao nhiêu số nguyên dương thuộc [ ]a; b

Tác giả : Phùng Văn ThânTên FB: Thân Phùng

( )

2 2

x

2 2 7

x x

x x

5 31

x x

x x

Câu 21 Nghiệm dương của phương trình

Email: nguyenmanhhA.1987@gmail.com

x  1 2 2x1 có ba nghiệm phân biệt trong đó nghiệm bé nhất được biểu thị dưới dạng

Câu 24 Biết phương trình 2 4 9

a a

+ =

*

( , )2

a b

x= + a b

∈ Khẳng định nào sau đây là đúng:

A 2a b+ <35 B a+2b=55 C a=3b+ 7 D a+ ∈b (32; 45)

L ời giải Tác gi ả: Bùi Chí Thanh Tên Facebook: Thanhbui

x

x x

+

=+ ĐK: x≥ − 1

• Với u+ +v 2x+ =8 0, suy ra: 2x3+8x2+6x+ + +1 (x 1)2 = − vô nghiệm 7 :

So với điều kiện, nghiệm phương trình là x= −1, 2x= ± 5

(Tác gi ả : Lê Đức Lộc,Tên FB: Lê Đức Lộc)

Cách 2: (được Thầy Nguyễn Văn Quý góp ý)

Vậy phương trình có nghiệm là x= −1, 2x= ± 5

Cách 3: (được Thầy Quân Harymon góp ý)

• Nhận thấy x= không ph0 ải là nghiệm pt đã cho

• Với x≠0 :

⇔  + + + + + + = (vô nghiệm với mọi x≠0)

Vậy phương trình có nghiệm là x= −1, 2x= ± 5

011

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy

00

Nguyễn Văn Xuân

Xét

( ; 1), ( 1 ; 3 )

7x − x+ = x x + x− x Biết x0 có dạng (a b)

c

+

−với a, b, c là các số tự nhiên , a là số nguyên tố Hỏi tổng T = +b 2a c− chia hết cho số nào sau đây?

13

x x x

x x

f t = +t t với t ∈ , hàm này đồng biến trên 

Ph ản biện : lớp 10 chưa học kĩ về tính đơn điệu của hàm số bậc ba Nên thay đổi lại cách giải bằng

Câu 30 Cho hàm số f x( ) liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ

Hỏi phương trình f ( 1 sin− x) (= f 1 cos+ x) có tất cả bao nhiêu nghiệm thuộc (−3; 2)?



⇔  =

 +Với t= , ta có 0 3 5+ =x 5−x ⇔ 9 5( +x)= −5 x ⇔ = − x 4 (thoả đk)

+ Với t =8, ta được: 3 5+ = +x 8 5−x ⇔ 5x−12=8 5−x

⇔

2

125

x x x

1 5

1

x x

x x

23

Đối với học sinh lớp 10, ta chứng minh hàm ( ) 3

f t = + t t đồng biến trên  như sau:

c là phân số tối giản Khi đó giá trị của + +a b c là

Thử lại ta suy ra tập nghiệm của phương trình đã cho là S= −{ 1; 0;1;9}

Vậy tổng các nghiệm của phương trình là T =9

Tên FB: Euro Vũ

Câu 6 Gọi x0 là nghiệm thực của phương trình 2 2 4 2 2

x x + +x x + − x + x + =x + , biết bình phương của nghiệm x0 có dạng 2

0

a b x

1 17

( )8

1 17

( )8

Do vậy a=3,b=5,c=2 nên T = −3911

Thêm CáCh CASIO C ủA thầy Trịnh Văn ThạCh

Thầy dò ra 1 nghiệm Gán nó vào A Chọn mode 7, nhập vào f(X)= A^2-A.X sau đó start là -5 end là 5 step là 1 Nhấn = Thầy sẽ thấy tại X=-3 thì f(X) nguyên, hình như bằng -1 Em sẽ đoán ra đc nghiệm đó

Đối chiếu với các đáp án ta chọn D

Email: quocdai1987@gmail.com

Câu 9 Cho hàm số f x( ) liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ

Hỏi phương trình f ( 1 sin− x) (= f 1 cos+ x) có tất cả bao nhiêu nghiệm x∈ −( 3; 2)

x= + − + , trong đó a ,,b c là các số nguyên dương Khi đó giá trị của N =c+b−a bằng

H ọ và tên: Nguyễn Trọng Nhật FB: Quynhanh Nguyen

L ời giải

Ch ọn C

2 3

14

11

41

8161

;14

1

;

x x v

x u

24

14

1.v = x + x + x+

u

14

12

4 v≤ u v → x + x ≤ x + x + x+

14

↔ x x

( 2 )2 ( )2

12

−

=+++

↔

021.2

021.22 2

x x

VN x

x

Từ đây ta tìm được nghiệm lớn nhất là

2

242

Gi ải phương trình_Nguyễn Quốc Pháp_ nguyenquocphapcr@gmail.com

Câu 12 Cho phương trình : 2 2 2

9x −2 x − − =x 1 3x 8x + + − Bix 5 4 ết phương trình có một nghiệm được biểu

diễn dưới dạng: a b

c

+trong đó a b c; ; ∈N a c;( ); = Tính : P a b c1 = + + bằng :

A P=22 B P= 23 C P=24 D P=25

Tác giả :Nguyễn Quốc Pháp,Tên FB: Phap Pomilk Nguyen

L ời giải

Ch ọn C

Điều kiện : 2

1 52

1 0

1 52

+ có dạng a b c

d

+, trong đó

a, b, c, d là các số nguyên dương, phân số a

Suy ra x2−8x+ = ⇔ = ±4 0 x 4 2 3,thỏa mãn điều kiện

 − ≥

+ >

3x−2x − x+3 = −3x −3x− < ⇒9 0 3x−2x < + ⇒x 3 3x−2x − x+3 <0

Do đó ( )

5 1361

5 136

x x

b a

Dấu bằng xảy ra khi

12019

3 3

Vậy S = + + =a b c 5

Gmail: thAnhnguyetDp1@gmail.com

Câu 21 Cho phương trình: x−2018 x+2018+ x−2019 x+2019= 4 x+1

Gọi S là tổng các nghiệm của phương trình trên thì :

20182018

a b?

Tác giả: Nguyễn Ngọc Thảo –Tên FB: Nguyễn Ngọc Thảo

−++

=

−+

x x x

Nên suy ra 1−x >0⇔0<x<1

x x

73

Gmail: nvpmaster0808@gmail.com

Câu 25 Cho phương trình: 3 2 2 2

3 x + x + − =8 2 x +15 Gọi S là tổng bình phương các nghiệm thực của phương trình Tính S

( ) ( )

nên phương trình ( )2 vô nghiệm

Vậy phương trình cho có 2 nghiệm x=1,x= −1 Suy ra 2 ( )2

(2 3 2)( 5) (2 3 2) ( 5)2

7335.2322

2 2

2 2

2 2

2

+++

−

=++

−

⇔

++

=++

−

x x

x x

x x

x x x

x x

2 2

0335

23

2 2 − + = 2 + ⇔ 2 + − =

Dựa vào bảng biến thiên, ta có

+ Với t = ∈ −t2 ( 1;1), ta có d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt, nên phương trình có 3 nghiệm

+ Với t= ∈t3 ( )5; 6 , ta có d cắt (C) tại 1 điểm, nên phương trình có 1 nghiệm

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm