BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI BẠCH HỒNG NHUNG MỘT SỐ NGHIÊN CỨU VỀ CHUỖI ĐIỀU HỊA KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Chun ngành: Tốn Giải tích Hà Nội - 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI BẠCH HỒNG NHUNG MỘT SỐ NGHIÊN CỨU VỀ CHUỖI ĐIỀU HỊA KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Chun ngành: Tốn Giải tích Người hướng dẫn khoa học TS NGUYỄN VĂN HÀO Hà Nội - 2013 LỜI CẢM ƠN Em xin chân thành cảm ơn thầy giáo, cô giáo tổ giải tích khoa Tốn bạn sinh viên khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội động viên, giúp đỡ để em có điều kiện tốt suốt q trình thực khóa luận tốt nghiệp Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Hào định hướng chọn đề tài tận tình bảo, giúp đỡ em hồn thành tốt khóa luận Do thời gian kiến thức có hạn nên khóa luận khơng tránh khỏi hạn chế cịn có thiếu sót định Em xin chân thành cảm ơn tiếp thu ý kiến đóng góp thầy giáo, giáo bạn sinh viên Hà Nội, tháng năm 2013 Sinh viên Bạch Hồng Nhung LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan, hướng dẫn TS Nguyễn Văn Hào, khóa luận tốt nghiệp đại học "Một số nghiên cứu chuỗi điều hịa" hồn thành theo nhận thức vấn đề riêng tác giả, khơng trùng với khóa luận khác Trong q trình nghiên cứu thực khóa luận, tơi kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn! Hà Nội, tháng năm 2013 Sinh viên Bạch Hồng Nhung Mục lục Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Chuỗi số 1.1.1 Khái niệm chuỗi số 1.2 Dãy hàm 1.2.1 Miền hội tụ dãy hàm 1.2.2 Sự hội tụ dãy hàm 1.2.3 Tính chất hàm giới hạn 10 1.3 Chuỗi hàm số 11 1.3.1 Các khái niệm 11 1.3.2 Chuỗi hàm hội tụ 12 1.3.3 Tính chất tổng chuỗi hàm 16 1.4 Chuỗi lũy thừa 19 1.4.1 Khái niệm chuỗi lũy thừa bán kính hội tụ 19 1.4.2 Tính chất tổng chuỗi lũy thừa 21 1.4.3 Khai triển hàm số thành chuỗi lũy thừa 23 1.4.4 Khai triển thành chuỗi Taylor hàm sơ cấp 25 Chương Một số nghiên cứu chuỗi điều hòa 2.1 Chứng minh 27 28 2.1.1 Chứng minh [16] 28 2.1.2 Chứng minh [13] 29 2.1.3 Chứng minh 29 2.1.4 Chứng minh 30 2.1.5 Chứng minh [13] 31 2.1.6 Chứng minh [13] 31 2.1.7 Chứng minh [5] 32 2.1.8 Chứng minh [4] [9] 32 2.1.9 Chứng minh 33 2.1.10 Chứng minh 10 33 2.1.11 Chứng minh 11 34 2.1.12 Chứng minh 12 [3] [8] 34 2.1.13 Chứng minh 13 [6] [7] 35 2.1.14 Chứng minh 14 36 2.1.15 Chứng minh 15 36 2.2 Một số chứng minh khác 37 2.2.1 Chứng minh 16 37 2.2.2 Chứng minh 17 38 2.2.3 Chứng minh 18 38 2.2.4 Chứng minh 19 [15] 38 2.2.5 Chứng minh 20 [1] 39 Kết luận 40 Tài liệu tham khảo 41 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Sự hình thành khái niệm có tính manh nha số kết nghiên cứu chuỗi hàm xuất từ sớm Ngay từ kỷ thứ 14, nhà toán học Ấn Độ Madhava (1350 − 1425) vùng Sangamagramma (bang Kerala, miền tây - nam Ấn Độ ) biểu diễn số hàm lượng giác dạng chuỗi hàm Các viết tốn học ơng khơng cịn nữa, số cơng trình chói lọi ơng lại nhà toán học Nilakantha vùng Kerala lưu lại Madhava tìm chuỗi hàm vào khoảng năm 1400 Thời ấy, người ta miêu tả khái niệm ngôn ngữ phức tạp Tới năm kỷ 17, thuật ngữ "hội tụ" (convergence) "phân kỳ" (divergence) chuỗi hàm Gregory trình bày theo ngơn ngữ gần ngày Việc nghiên cứu chuỗi số chuỗi hàm đến chỉnh hóa theo ngơn ngữ toán học đại mẫu mực Một chuỗi số có tính điển hình việc trình bày hệ thống kiến thức chuỗi số chuỗi hàm người ta phải kể đến chuỗi điều hòa Bằng tiêu chuẩn Cauchy hội tụ chuỗi số, ta dễ dàng thấy điều kiện thiết yếu để chuỗi số hội tụ dãy số hạng tổng quát phải dần đến Tuy nhiên, với chuỗi điều hòa số hạng tổng quát chuỗi đảm bảo điều kiện cần tính hội tụ, chuỗi khơng hội tụ Ngồi việc chuỗi ghi nhận phản ví dụ kinh điển vi phạm điều kiện cần chuỗi hội tụ, cịn chuỗi nghiên cứu liên quan đến nhiều lĩnh vực toán học nhiều ngành khoa học khác Trong khuôn khổ khóa luận tốt nghiệp đại học chun ngành tốn học, mong muốn thể rõ phần vai trò chuỗi điều hòa qua quan tâm giới toán học Để thực điều này, chúng tơi cố gắng trình bày cách chi tiết phép chứng minh phân kỳ chuỗi điều hòa Qua 20 phép chứng minh chúng tơi trình bày khóa luận, phần nói chúng tơi chưa nói hết tầm quan ý nghĩa vấn đề trình bày khóa luận Chuỗi điều hịa có dạng ∞ n=1 1 1 = + + + + + n Chuỗi số ∞ n=1 un gọi phân kỳ giới hạn dãy tổng riêng n k=1 uk vô hạn không tồn Chuỗi điều hịa chuỗi tiếng có nhiều ứng dụng toán học Các nhà khoa học tốn nhiều thời gian công sức để nghiên cứu chuỗi Những chứng minh không tuân theo thứ tự cụ thể Nhưng chúng làm bặt lên đơn giản, thông minh sâu sắc nhà khoa học Có hai cách chủ yếu thường dùng để chứng minh phân kỳ chuỗi điều hịa mà chúng tơi giới thiệu Được định hướng người hướng dẫn, chọn đề tài "Một số nghiên cứu chuỗi điều hòa" để hồn thành khóa luận tốt nghiệp chun ngành Tốn giải tích Bố cục đề tài bao gồm hai chương Chương Đề tài trình bày kiến thức dãy hàm, chuỗi hàm, chuỗi hàm lũy thừa, miền hội tụ, tính chất tổng chuỗi lũy thừa Chương Đề tài vào trình bày chuỗi điều hịa, lịch sử chứng minh phân kỳ chuỗi số chứng minh nhà toán học phân kỳ chuỗi điều hịa Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Trình bày cách có hệ thống lịch sử chứng minh phân kỳ chuỗi điều hòa Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu số phương pháp chứng minh phân kỳ chuỗi điều hòa Tuy nhiên khn khổ u cầu khóa luận tốt nghiệp bậc cử nhân Tốn học, nên chúng tơi trình bày vấn đề phạm vi 20 chứng minh bật mà nhà Toán học đưa Phương pháp nghiên cứu Đọc tài liệu, phân tích, tổng hợp, so sánh, tổng hợp kiến thức xin ý kiến người hướng dẫn Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Chuỗi số 1.1.1 Khái niệm chuỗi số Cho dãy số {ak }∞ k=1 Tổng vô hạn ∞ (1.1) ak = a1 + a2 + + ak + k=1 gọi chuỗi số, ak số hạng thứ k hay số hạng tổng quát chuỗi (1.1) Đặt S = a1 ; S2 = a1 + a2 ; Sk = a1 + a2 + + ak ; Sk gọi tổng riêng thứ k chuỗi số (1.1) Định nghĩa 1.1 Chuỗi số ∞ ak gọi hội tụ (hay phân kỳ ) k=1 dãy tổng riêng Sk có giới hạn hữu hạn (tương ứng, khơng tồn giới hạn ±∞) Trong trường hợp hội tụ, lim Sk = s ta nói k→∞ 2.1 Chứng minh Mặc dù chứng minh khơng trình bày theo thứ tự cụ thể riêng biệt, chứng minh kinh điển Oresme thích hợp để bắt đầu nghiên cứu 2.1.1 Chứng minh [16] Những chứng minh phân kỳ dãy điều hòa xuất từ sau thời trung cổ Khi đó, nhà khoa học tốn nhiều thời gian công sức để nghiên cứu chúng Chứng minh Xét dãy {H2k }∞ k=0 H1 = = + 1 =1+1 2 1 + H4 = + + 1 >1+1 + + 4 1 + H8 = + + 1 + + >1+ 4 =1+3 · H2 = + Tổng quát Từ dãy {H2k }∞ k=0 =1+2 1 + 1 + + 8 + 1 + + + H 2k ≥ + k · không bị chặn, dãy {Hn } phân kỳ 28 2.1.2 Chứng minh [13] Chứng minh Cho số có chữ số, từ đến 9, nghịch đảo chúng , lớn 10 H9 > · 10 Có 90 số có hai chữ số từ 10 đến 99, mà nghịch đảo chúng lớn , 100 99 9 + =2 · H99 > 10 100 10 Tiếp tục với lập luận trên, ta H10k −1 > k · 10 Từ dãy {H10k −1 } không bị chặn, ta suy dãy {Hn } phân kỳ 2.1.3 Chứng minh Nguồn gốc chứng minh Pietro Mengoli tìm Ông chứng minh từ kỷ 17 Chứng minh trình bày tương tự chứng minh [7] Chứng minh Đầu tiên, ý 2n 2n + = > = ; n = 2, 3, 4, , n−1 n+1 n −1 n n 1 1 1 + > ; + > ; + > 10 Giả sử rằng, chuỗi điều hòa hội tụ với tổng S Khi 1 + + + 3 > + + + + = + S S =1+ 1 + + 29 + 1 + + 10 + Mâu thuẫn S > + S Điều phải chứng minh Áp dụng bất đẳng thức Mengoli 1 + > ; n = 2, 3, 4, , n−1 n+1 n trường hợp đặc biệt số học Nghĩa là, bất đẳng thức n n i=1 xi −1 < x Dựa vào bất đẳng thức trên, ta thấy, với số nguyên dương k j 1 2j + + + + > ; k k+1 k+j j + 2k từ đó, ta suy số chứng minh khác Ví dụ, số hạng liên tiếp chuỗi điều hịa nhóm lại cho tổng nhóm nhỏ Từ suy dãy H 3n −1 ≥ n; n = 1, 2, 3, 2.1.4 Chứng minh Chứng minh sử dụng ví dụ dãy đơn điệu, bị chặn Ta biết rằng, dãy hội tụ tới ln 2, giới hạn không liên quan đến chứng minh Chứng minh Xét dãy {Sn }∞ n=1 , Sn = H2n − Hn = 1 + + + · n+1 n+2 2n Từ bất đẳng thức Sn+1 − Sn = {Sn } dãy tăng, 1 − > 0, 2n + 2n + 2n 2n n 1 = S1 ≤ Sn = ≤ = + x, với x = ∞ n=1 Chứng minh Xét dãy eHn eHn = exp + 1 1 + + + + n 1 = e1 · e · e · e · e n 1 1 1+ 1+ + n n+1 · · ··· n > (1 + 1) + = · = n + Từ eHn ∞ n=1 bị chặn, {Hn } bị chặn 2.1.6 Chứng minh [13] Chứng minh Giả sử rằng, chuỗi điều hòa hội tụ với tổng S Khi đó, 1 + + = 1+ + 1 + + > 2 S =1+ 1 1 + + + + + 1 1 + + + + 1 1 + + + + 4 = S 31 1 + + 1 + + 8 Vì S > S điều vơ lý nên ta suy điều phải chứng minh 2.1.7 Chứng minh [5] Chứng minh Giả sử chuỗi điều hòa hội tụ với tổng S Khi 1 1 1 S = + + + + + + + + 1 1 1 = 1+ + + + + + + + 1 1 1 + + + + + + + = 1+ 2 12 30 56 suy 1 1 S=S+ + + + + 12 30 56 Điều vô lý, ta suy điều phải chứng minh Chứng minh có liên quan chặt chẽ với chứng minh trước Thật vậy, số hạng cạnh đối bất đẳng thức chứng minh 1 1 khác , , , , Cũng chứng minh 12 30 56 Gillman có biến thiên mà dựa vào nhóm tập hợp số hạng, nên có biến thiên chứng minh Cusumano Ví dụ, sau vị trí số hạng ba nhóm, ta thấy 14 23 32 S=S+ + + + + 120 504 1320 2.1.8 Chứng minh [4] [9] Chứng minh Giả sử chuỗi điều hòa hội tụ với tổng S Khi 1 1 + + + + = S 2n 1 + , phải Do đó, tổng số hạng lẻ + + + 2n − 1 nửa S Tuy nhiên, điều khơng thể xảy > điều 2n − 2n mâu thuẫn Ta suy điều phải chứng minh 32 2.1.9 Chứng minh Chứng minh Hình 2.1: n+1 1 1 dx = ln(n + 1) < + + + + x n Hình 2.1 minh họa cho chứng minh Chứng minh khơng có n+1 so sánh Hn dx Sự biến thiên bao gồm tiêu chuẩn tích x phân, chứng minh phổ biến phân kỳ chuỗi điều hòa 2.1.10 Chứng minh 10 Chứng minh khơng hồn tồn chặt chẽ, lại xuyên suốt Chứng minh giúp sinh viên có tốn hay để tìm sai sót bước chứng minh Chứng minh 1 1 + + + + + = n (1 + x + x2 + + xn−1 + )dx 33 ∞ = xk dx k=0 1 dx 1−x = = ∞ 2.1.11 Chứng minh 11 Chứng minh gần giống với chứng minh mà Euler đưa [10] Đầu tiên Euler lập chuỗi biểu diễn cho ln(1 − x): ln(1 − x) = −x − x2 x3 x4 x5 − − − − Làm vậy, chứng minh ông đơn giản nhiều, khơng đáp ứng tiêu chuẩn chặt chẽ Chứng minh Trước tiên, ta khai triển chuỗi x2 x3 x4 x5 − − − − , ln(1 − x) = −x − từ suy ln = − + 1 1 + + + + 2.1.12 Chứng minh 12 [3] [8] Chứng minh Trước tiên, ý c số nguyên c > 1, 1 1 + + + ≥ (c2 − c) = − , c+1 c+2 c c c 34 cộng vào bên phải bất đẳng thức ta c 1 1 + + + + ≥ c c+1 c+2 c Từ suy ∞ n=1 =1+ n 1 + + + 1 + + 25 + 1 + + 26 676 + > + + + + 2.1.13 Chứng minh 13 [6] [7] Các tác phẩm W Dunham thể giá trị tầm quan trọng chứng minh Đây chứng minh Bernoulli Chứng minh Xét chuỗi 1 1 + + + + + = 12 20 30 ∞ n=1 = n(n + 1) ∞ n=1 1 − n n+1 Chuỗi viết vế phải, hội tụ đến Chuỗi dùng để minh họa Chú ý ∞ n=1 = n(n + 1) ∞ n=1 1 − n n+1 = , k = 1, 2, 3, k Giả sử, chuỗi hội tụ với tổng S Khi 1 1 1 + + + + + + + =1+ + + + + + + + 12 20 30 42 56 1 1 1 =1+ + + + + + + + 12 12 20 1 + + + + + 12 20 30 S =1+ 35 ∞ ∞ ∞ 1 =1+ + + + n(n + 1) n(n + 1) n(n + 1) n=1 n=2 n=3 1 = + + + + = + S Mâu thuẫn S = S + Điều phải chứng minh 2.1.14 Chứng minh 14 Chứng minh Giả sử chuỗi điều hòa hội tụ với tổng S Khi đó, S phải lớn 25 2, suy H4 = Chú ý rằng, 12 1 1 1 + + + + + + 10 1 1 + + + + + + + 11 15 16 21 >1+ + + + + + 10 15 21 2 2 2 = + + + + + + ∞ =2 n n=2 S =1+ 1 + + = 2(S − 1) Bất đẳng thức S > 2(S − 1) hay S < Điều mâu thuẫn, ta suy điều phải chứng minh 2.1.15 Chứng minh 15 Một số chứng minh báo dựa vấn đề chung Nếu dãy {σn } tăng đủ nhanh, dãy tương ứng chuỗi điều hòa {Hσn } bị chặn hàm tuyến tính n Vấn đề tạo khác biệt chứng minh sau 36 Chứng minh Cho k số nguyên k > 1, 1 k! − (k − 1)! + + + > =1− (k − 1)! + (k − 1)! + k! k! k Xét dãy {Hn! } n! Hn! = k=1 n =1+ k k=2 n >1+ k=2 n =1+ k=1 1− k 1− k 1 + + (k − 1)! + k! = + n − Hn Ta thấy 2Hn! > Hn! + Hn > n + Vì {Hn! } bị chặn chuỗi điều hòa phân kỳ 2.2 Một số chứng minh khác Sự phân kỳ chuỗi điều hòa chứng minh nhiều cách khác cho kết tổng quát Đây ví dụ phổ biến tiêu chuẩn tích phân hay kiểm tra p chuỗi Trong phần này, chúng tơi trình bày số kết thường bị bỏ sót, kết bao hàm phân kỳ chuỗi điều hòa 2.2.1 Chứng minh 16 Chứng minh Phép kiểm tra số hạng thứ n biến thiên nhanh chóng chứng tỏ chuỗi điều hịa khơng thể hội tụ Giả sử {an } dãy dương giảm Nếu an hội tụ lim nan = n→∞ [12] Louis Oliver dùng kết tiêu chuẩn hội tụ Neils Abel phát lỗi sai Oliver cách khoảng 26 năm, trước Abel 37 2.2.2 Chứng minh 17 Chứng minh Sau học kiểm tra p chuỗi, sinh viên thường cho chuỗi điều hòa tạo thành loại biên chuỗi hội tụ chuỗi phân kỳ May mắn ta dễ tìm phản ví dụ [2] Sự phân kỳ chuỗi điều hòa thiết lập cách đặt dn = với n Giả sử rằng, ∞ dn chuỗi phân kỳ với số dương n=1 Nếu Sn = d1 + d2 + + dn ∞ dn phân kỳ n=2 Sn−1 2.2.3 Chứng minh 18 Chứng minh Mặc dù tích vơ hạn đưa thảo luận Sinh viên thường đặt câu hỏi tồn hội tụ chúng Tương tự chứng minh 5, kết cho thấy tích tổng giữ vai trị vơ quan trọng Giả sử, {an } dãy số hạng không âm Khi đó, an (1+an ) hội tụ phân kỳ 2.2.4 Chứng minh 19 [15] Kết đưa thay cho tiêu chuẩn tích phân Chứng minh Cho f dương không tăng [k, ∞), k số nguyên dương đặt g nguyên hàm f Khi đó, ∞ n=k f (n) hội tụ g bị chặn trên nửa đoạn [k, ∞) Kết chứng minh đem lại ứng dụng quan trọng vào định lý giá trị trung bình Lưu ý, tiêu chuẩn tích phân suy cách đặt g(x) = x f (t)dt k 38 2.2.5 Chứng minh 20 [1] Chứng minh Vì chứng minh khó hiểu nên chúng tơi khơng chứng minh chi tiết mà đưa kết Sự phân kỳ chuỗi điều hòa suy cách đặt f (x) = x ∞ d2 f f tồn với x = Khi Cho f hàm thực cho dx2 n n=k ′ hội tụ tuyệt đối f (0) = f (0) = 39 Kết luận Trên tồn nội dung khóa luận :“ Một số nghiên cứu chuỗi điều hịa” Khóa luận giải vấn đề sau: Hệ thống hóa kiến thức dãy hàm, chuỗi hàm chuỗi lũy thừa Trình bày 20 chứng minh phân kỳ chuỗi điều hòa 40 Tài liệu tham khảo [1] Y S Abu - Mostafa, A differentiation test for absolute convergence, Mathematics Magazine 57 (4), 228 - 231, 1984 [2] J M Ash, Neither a worst convergent series nor a best divergent series exists, College Mathematics Journal 28(4), 296-297, 1997 [3] J Bernoulli, Tractatus de se-riebus infinitis, 1689 [4] T Cohen and W J Knight, Convergence and divergence of Mathematics Magazine 52(3), 178, 1979 ∞ , p n=1 n [5] A Cusumano, The harmonic series diverges, American Mathematical Monthly 105(7), 608, 1998 [6] W Dunham, The Bernoulli and the harmonic series, College Mathematics Journal 18(1), 18 - 23, 1987 [7] W Dunham, Journey Through Genius: The Great Theorems of Mathematics John Wiley and Sons, 1990 [8] W Dunham, Euler: The Master of Us All, The mathmatical Asso ciation of American, 1999 [9] M W Ecker, Divergence of the harmonic series by rearrangement, College Mathematics Journal 28(3), 209 - 210, 1997 [10] Euler Introduction in analysin infinitorum, 1984 [11] J F Fleron, Gabriel’s wedding cake, College Mathematics Journal 30(1), 35 - 38, 1999 41 [12] M Goar, Olivier and Abel on series convergence: An episode from early 19th century analysis, Mathematics Magazine 72(5), 347 - 355, 1999 [13] R Honsberger, Mathmatical Gems II, The Mathematical Association of America, 1976 [14] P B Johnson, Leaning tower of lire, American Journal of Physics 23(4), 240, 1955 [15] G Jungck, An alternative to the integral test, Mathematics Magazine 56(4), 232 - 235, 1983 [16] Nicole Oresme, Quaestiones super Geometriam Euclidis, 1350 [17] Walter Rudin, Funcitonal Alalysis, Second Edition, International Editions, 1991 42 ... Chương Một số nghiên cứu chuỗi điều hòa Chuỗi điều hòa ∞ n=1 1 1 = + + + + + n chuỗi tiếng có nhiều ứng dụng tốn học Các giáo trình nêu phản ví dụ mang tính kinh điển Với chuỗi điều hòa số hạng... với chuỗi điều hòa số hạng tổng quát chuỗi đảm bảo điều kiện cần tính hội tụ, chuỗi khơng hội tụ Ngồi việc chuỗi ghi nhận phản ví dụ kinh điển vi phạm điều kiện cần chuỗi hội tụ, cịn chuỗi nghiên. .. lịch sử chứng minh phân kỳ chuỗi điều hòa Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu số phương pháp chứng minh phân kỳ chuỗi điều hòa Tuy nhiên khuôn khổ yêu cầu khóa luận tốt nghiệp bậc cử nhân