Bộ GIAO DỤC Và ĐÃO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI _* PHAN TRỌNG TIEN NGHIỆM 3-NHỚT CỦA PHƯƠNG TRÌNH HAMILTON-JACOBI VÀ ỨNG DỤNG TRONG BÀI TỐN ĐIÊU KHIEN TốI ƯU LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội 2020 Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI * PHAN TRỌNG TIEN NGHIỆM 3-NHỚT CỦA PHƯƠNG TRÌNH HAMILTON-JACOBI VÀ ỨNG DỤNG TRONG BÀI TOÁN ĐIÊU KHIEN TốI ƯU LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 46 01 02 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Trần Văn Bằng PGS.TS Hà Tiến Ngoạn Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi, hồn thành hướng dẫn TS Trần Văn Bằng PGS.TS Hà Tiến Ngoạn Các kết trình bày luận án chưa công bố luận văn, luận án khác Nghiên cứu sinh Hà Nội - 2020 Phan Trọng Tiến Luận án thực Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, hướng dẫn khoa học thầy giáo TS Trần Văn Bằng PGS.TS Hà Tiến Ngoạn Sự định hướng quý Thầy nghiên cứu, nghiêm khắc Thầy học tập hướng dẫn tận tình quý Thầy làm việc yếu tố tác động nên việc hoàn thành luận án Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến với Thầy Tác giả xin chân thành cảm ơn GS.TSKH Đinh Nho Hào (Viện Toán học), PGS.TS Khuất Văn Ninh, PGS.TS Nguyễn Năng Tâm, TS Nguyễn Văn Tuyên (Trường ĐHSP Hà Nội 2), TS Trần Quân Kỳ (Trường ĐHSP Huế), GS.TS Cung Thế Anh, PGS.TS Trần Đình Kế (Trường ĐHSP Hà Nội), PGS.TS ĐỖ Đức Thuận (Trường ĐH Bách Khoa Hà Nội) động viên cho tác giả góp ý, kinh nghiệm nghiên cứu khoa học giúp tác giả hoàn thành luận án Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy, khoa Tốn, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ tác giả thời gian học tập nghiên cứu Đạc biệt, tác giả xin chân thành cảm ơn anh chị nghiên cứu sinh thành viên Xêmina Giải tích, khoa Tốn, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, trao đổi, chia sẻ khoa học sống Tác giả gửi lời cảm ơn đến Khoa Tốn, Phòng Đào tạo - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, nơi tác giả học tập nghiên cứu thời gian làm nghiên cứu sinh; Trường Đại học Quảng Bình khoa Khoa học Tự nhiên - Trường Đại học Quảng Bình, nơi tác giả cơng tác, giảng dạy nơi cử tác giả làm nghiên cứu sinh Tác giả gửi lời cảm ơn đến tất nhà khoa học, thầy cô, người thân, bạn bè góp ý, ủng hộ động viên tinh thần vật chất dành cho tác giả Mục lục Hà Nội - 2020 3.1.1 Bài toán điều khiển tối ưu-nguyên lý quy hoạch động Bellman với hàm giá trị trơn 67 3.1.2 Tính chất hàm giá trị tốn điều khiển tối ưu 70 3.1 Ưng dụng nghiệm 3-nhớt toán điều khiển tối ưu 72 Chương PHƯƠNG TRÌNH HAMILTON-JACOBI VỚI BÀI TỐN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU TRÊN KHỚP NốI VỚI HÀM CHI PHÍ Hà Nội - 2020 KÍ HIỆU RN Khơng gian Euclide N chiều; e¿ Véctơ đơn vị thứ i R N; O Tạp mở không gian Banach X với biên dO; C(O) Không gian hàm liên tục O; C1 Không gian hàm khả vi liên tục tạp O; Trên vi (O) D+u(x) phân Fréchet hàm u x; D- u(x) ß Dưới vi phân Fréchet hàm u x; D u(x D ) B + u(x - (x, r) B (x, r) vß f T ß Borno ß X; Trên vi phân ß -nhớt hàm u x; Dưới vi phân ß -nhớt hàm u x; Hình cầu đóng tâm x bán kính r; Hình cầu mở tâm x bán kính r; ß-đạo hàm hàm f ; Tơpơ X* tương ứng với hội tụ ß ; Khơng gian véctơ tơpơ (X*, Tß ); Dß (X ) Tạp hàm bị chạn, Lipschitz, ß -khả vi X; Tạp D* (X ) hàm g G Dß (X); Vß g : X ^ Xß liên tục; Tồn Hß hàm bướu b G Dß (X); Hß Tồn hàm bướu b G Dß (X); diam(S ) Đường kính tạp S : sup{||x — y y : t.ư Tương ứng; x, y G S Ị; h.k.n Hầu khắp nơi; aVb max{a, bỊ; L(x, y ) Đoạn thẳng nối hai điểm x, y ; Lp Không gian hàm f đo If | p lp Không gian dãy số thực (x n )n với khả tích; m=1 x p hội tụ MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Phương trình Hamilton-Jacobi cấp một lớp phương trình đạo hàm riêng phi tuyến có nhiều ứng dụng, xuất nhiều lĩnh vực học, điều khiển tối ưu, đặc biệt bao gồm lớp phương trình quy hoạch động toán điều khiển tối ưu tất định, thường gọi phương trình Hamilton-JacobiBellman Nói chung, lớp phương trình Hamilton-Jacobi phi tuyến thường khơng có nghiệm cổ điển Do loại nghiệm yếu nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu nghiệm nhớt số Lý thuyết nghiệm nhớt phương trình đạo hàm riêng xuất từ đầu năm 80 kỷ trước báo [23] M G Crandall P L Lions, đơng đảo chun gia tốn học thừa nhận tiếp tục phát triển, ngồi nước có M G Crandall, P L Lions, J M Borwein, D Preiss, L.C Evans, [18, 20 , 22 , 25 , 26 , 30] nước có T D Vân, N Hoàng, T V Bằng, [7 , , 32] Sở dĩ đặt tên "nghiệm nhớt” lớp phương trình xét ban đầu nghiệm trùng với nghiệm tìm phương pháp triệt tiêu độ nhớt Nghiệm nhớt khái niệm nghiệm suy rộng phù hợp cho nhiều lớp phương trình đạo hàm riêng phi tuyến Nghiệm nhớt nói chung hàm liên tục, thỏa mãn cặp bất đẳng thức vi phân thông qua hàm thử đủ trơn qua khái niệm vi phân, vi phân Trong [23] , khái niệm nghiệm nhớt định nghĩa cách sử dụng vi phân Fréchet, sau nhà toán học mở rộng cách thay vi phân Fréchet loại vi phân khác vi phân Hadamard, Hadamard yếu, Gâteaux tổng quát hóa 3-dưới vi phân (xem [18] ), với borno (xem mục 1.2.) Đối với phương trình Hamilton-Jacobi, có hai tốn thường nghiên cứu, tốn Dirichlet u + H(x, u, Du) = Q, u =p ƠQ tốn Cauchy ut + H(x, u, Du) = Q X [0, T], u = ^ X [0, T], u(x, 0) = u o Trong luận văn chúng tơi tập trung nghiên cứu tốn Dirichlet Thực tế cho thấy, nghiên cứu tính đặt chỉnh toán Dirichlet lý thuyết nghiệm nhớt, vấn đề nghiệm phức tạp nhất, tồn nói chung giải nhờ phương pháp Perron ([34] ) phụ thuộc liên tục vào kiện hệ khơng q khó tính nghiệm Phương pháp để chứng minh tính nghiệm phương pháp gấp đôi số biến Theo phương pháp này, điểm quan trọng tìm hàm phạt thích hợp để đạt mục đích đặt với nguyên lý biến phân tương ứng với lớp hàm liên quan tới toán xét Từ năm 1993, nguyên lý biến phân trơn chứng minh Deville [26] sử dụng cơng cụ quan trọng để chứng minh tính nghiệm 3-nhớt phương trình Hamilton-Jacobi có dạng u+F (Du) = f, với giả thiết hàm Hamilton F liên tục X*ạ vế phải f liên tục bị chặn X lớp nghiệm lớp hàm liên tục bị chặn Cũng sử dụng nguyên lý Borwein [19] chứng minh tính nghiệm 3-nhớt lớp hàm liên tục bị chặn phương trình u + H(x, Du) = Tuy nhiên, không cần thiết phải áp dụng nguyên lý cho phương trình có dạng tổng qt u + H(x, u, Du) = tập o c X, [20] , Crandall Lions thiết lập tính nghiệm Fréchet-nhớt cho phương trình Hamilton-Jacobi có dạng tổng quát cách sử dụng tính chất Radon-Nikodym giả thiết Tính chất RadonNikodym hiểu hàm ^ nhận giá trị thực hình cầu đóng B X hàm bị chặn, nửa liên tục £ > 0, tồn phần tử x* G X* có chuẩn không vượt £ cho ^ + x* đạt cực tiểu B Bài toán điều khiển tối ưu giới thiệu vào năm 1950 (xem [14] ) J Zabczyk trình bày tương đối hồn thiện không gian hữu hạn chiều không gian Hilbert (xem [42] ), tốn có nhiều ứng dụng Toán học, Vật lý lĩnh vực khác Theo nguyên lý quy hoạch động, hàm giá trị toán điều khiển tối ưu khả vi nghiệm phương trình Hamilton-Jacobi-Bellman tương ứng, xem [19, 30] Tuy nhiên, hàm giá trị thường khơng khả vi, số phương pháp khác giới thiệu để nghiên cứu hàm giá trị Nghiệm nhớt lần công cụ hiệu để nghiên cứu lý thuyết điều khiển tối ưu Trong [10] , tác giả đưa điều kiện cần, đủ cho tốn điều khiển tối ưu khơng gian hữu hạn chiều cách sử dụng vi phân Fréchet mà công cụ tiếp cận sử dụng nghiệm nhớt Tiếp cận tốn điều khiển tối ưu thơng qua nghiệm nhớt vi phân khác chưa nhiều, đặc biệt hàm giá trị không bị chặn Về áp dụng nghiệm nhớt kể đến Y Achdou, S Oudet [4] , Khang [35] nghiên cứu nghiệm nhớt khớp nối, mạng lưới thu kết đáng ý áp dụng vào toán điều khiển tối ưu với thời gian vô hạn Y Giga, T Namba [29] áp dụng thành công lý thuyết nghiệm nhớt cho phương trình Hamilton-Jacobi với đạo hàm phân thứ theo nghĩa Caputo Ap dụng nghiệm nhớt cách hiệu toán điều khiển tối ưu ngẫu nhiên (xem [5] ) Gần phương trình Hamilton-Jacobi khớp nối mạng lưới nghiên cứu nhiều cơng trình [2, , , 11 , 12 , 35 , 37] Trong cơng trình đó, tác giả tập trung giải tính chất hàm giá trị toán điều khiển tối ưu, nguyên lý so sánh nghiệm nhớt toán điều khiển tối ưu trường hợp hàm chi phí í bị chặn Mặc dù đạt số kết quan trọng song dường giả thiết đưa công trình tương đối chặt Với phân tích trên, đặt vấn đề nghiên cứu 3-dưới vi phân, tính nghiệm 3-nhớt tốn Dirichlet phương trình HamiltonJacobi có dạng u + H(x, Du) = u + H(x,u, Du) = 0, tính ổn định tồn nghiệm 3-nhớt chúng tơi quan tâm Ngồi nghiệm 3-nhớt có nhiều ứng dụng tốn điều khiển tối ưu, sở chúng tơi quan tâm đến tìm điều kiện cần điều kiện đủ cho tốn điều khiển tối ưu khơng gian vô hạn chiều Hướng tiếp cận nghiệm nhớt khớp nối nghiên cứu Dựa mơ hình có nghiệm nhớt theo phương pháp cổ điển, vấn đề tính nghiệm nhớt, ứng dụng nghiệm nhớt cho toán điều khiển tối ưu khớp nối hứa hẹn cho ta kết có ý nghĩa Trên lý để lựa chọn đề tài nghiên cứu cho luận án là: “Nghiệm 3-nhớt phương trình Hamilton-Jacobi ứng dụng tốn điều khiển tối ưu” Đối tương nơi dung nghiên cứu 2.1 3-dưới vi phân Khi sử dụng 3-dưới vi phân, điều mà ta quan tâm tính chất 3-dưới vi phân có giữ lại giống vi phân Fréchet hay không Trong tài liệu giới thiệu 3-dưới vi phân [19 , 26] chưa có khảo sát vấn đề này, tính chất chúng tơi trình bày chương Để nghiên cứu tính nghiệm 3-nhớt phương trình Hamilton-Jacobi cơng cụ sử dụng nguyên lý biến phân trơn Trong [26] , Deville Godefroy chứng minh nguyên lý biến phân trơn không gian Banach X thỏa mãn giả thiết (H) u, v hai hàm bị chặn xác định X cho u nửa liên tục v nửa liên tục Khi với £ > 0, tồn x, y G X, p G D+ u(x), q G D -v(y) cho: (a) ||x — yII < £ ||p — qII < £; (b) Với z G X, v(z) — u(z) > v(x) — u(y) — £ Trong việc chứng minh tính nghiệm 3-nhớt phương trình Hamilton- Jacobi ta cần mở rộng kết trên, nghĩa cần có đánh giá độ lớn IIx — y 11^/ p , IIx — y 11^/ q Kết đưa chương thể quan tâm Cho đến kết vi phân 3-nhớt thể [19, Định lý 2.9], kết là: Cho X khơng gian Banach có chuẩn tương đương với chuẩn 3-trơn /, • • • , fN N hàm nửa liên tục X Giả sử (f 1, • • • , fN) nửa liên tục địa phương N=1 fn đạt cực tiểu x Khi đó, với £ > 0, tồn x n e x + £B xn e D-fn(xn), n =1, ■ ■ ■ , N, cho |fn(x.n) - fn(x)| < £, |xnII diam({x 1, ■ ■ ■ , xN}) < £, n =1, ■ ■ ■ , N II ^2N= #nII < £ Trong kết này, tính chất (f , • • • , fN) nửa liên tục địa phương tương đối mạnh, điều dẫn đến tính cho lớp nghiệm phương trình Hamilton-Jacobi bị thu hẹp Vấn đề tiếp tục đặt làm giảm giả thiết hàm f n 2.2 Nghiệm 3-nhớt phương trình Hamilton-Jacobi khơng gian Banach Chúng ta biết có nhiều loại đạo hàm (trên đạo hàm) chúng tài liệu tham khảo Trong số đó, đạo hàm theo nghĩa Fréchet, Hadamard, Gâteaux Mordukhovich sử dụng rộng rãi [15 , 25 , 27 , 38, 39 , 30] Rõ ràng, với lớp phương trình Hamilton- Jacobi, việc sử dụng đạo hàm khác dẫn đến loại nghiệm nhớt khác Trong nghiên cứu [9, 23 , 20 , 21 , 30] , nghiệm nhớt đặc trưng nửa đạo hàm Fréchet Mặt khác, nhiều cơng trình có, để nghiên cứu tính chất định tính nghiệm nhớt ta cần đến tính trơn chuẩn Tuy nhiên điều khơng cho hầu hết không gian Banach L1 Để khắc phục vấn đề này, tác giả [19 , 25] đề xuất khái niệm Borno 3, đạo hàm 3-nhớt, 3nghiệm nhớt đạt tính nghiệm cho phương trình Hamilton-Jacobi có dạng u + H(x, Du) = (i) Nếu yi,£,Y > 0, 1721) u(O) - v( 1722) yi,£,Y ) ( £(£)) yi,£,Y + ' Y (M° ) + My*,£,Y )) 1723) 1724) — u(y Y My*,£,Y i,£,Y ) v (y i,£,Y ) 2£ 1725) )• 1726) 1727) Từ u liên tục Lipschitz B(O, r) n Ji , ta thấy với £ đủ nhỏ y i,£,Y _y i,£,7 | ^ ( “ ) 1728) L y u(O) u(y )— i,£,Y — i,£,Y 1729) 2£ £ y 1730) Ì,£,Y |£(£) 1731) 1732) Chia hai vế (4.8) cho y i£7 cho £ — ta có L — L + - Y 1733) 1734) Điều mâu thuẫn với Y G í 0, - (ii) Ngược lại, y i = O, > £ Y 1735) u(O) v(O) - ® - 2YM(O) 1736) — u(£e ) - i v (O) - — (£)) (-£ £ ' - Y ( (£e ) ^ i + MO)) £ 1737) Từ u liên tục Lipschitz B(O, r) n J i, ta thấy với £ đủ nhỏ 1738) 1 £ + Y ( M O) - My*,£,Y )) + Y ( M O) - My*,£,Y )) (4 8) L £ — u(O) 1739) -u(£e ) — (- i “ £ + ^ (£)) Y £- Y (M£ei ) - MO)) (4 9) 1740) Chia hai vế (4.9) cho £ cho £ — ta có L — -2 + L + - Y 1741) điều mâu thuẫn với Y G ^0, ■ 1742) Tiếp theo, ta xét hai trường hợp • Tồn số j G cho yj £Y > Do kết luận chứng minh Tiếp theo ta áp dụng bất đẳng thức nghiệm nhớt cho u 1743) xj £ Y với v yj £ Y 1744) Àu(x j , £ , Y ) + H j ( xj , £, 7; 1745) x + |y j,£,Y | + £( £ ) £ + Y | V^ (x j ,£, ) M < + |y j,£,Y | + ổ (-) ,£, 1746) x ) H y J Y j,£,Y + j ( j,£, Y Y |V My;,£,Y ) M > O 1747) 1748) Trừ1749) hai bất đẳng thức ta có 1750) ) Au(x Av (y i,£,Y i,£,Y ) 1751) 1752) + |y j,£,Y | + ổ(-) x J, 1753) — H j ( y j,£,Y, Y |V My;,£,Y ) X £, l j, + + ổ (-) Y _ 1754) y ^ v ( y) + — ( £,Y y 1755) j, H X + Y |V M X;,£,Y ) j ( j,£,Y, 1756) X £,Y j, + + ổ(-) _ 1757) £,Y y j, 1758) — Hj ( yj,£, ■ì + M7 |V Myj,£,Y ) Y X — 1759) j, + £,Y + ổ (-) £,Y 1760) y j, + M Y |V M( Xi,£,Y ) 1761) £,Y j j,£,Y ’ 1762) — X j, 1763) + yj, + ổ (-) X 1764) £,Y j,£,Y y j,£,Y -£,Y 1765) 1766) + w( x j,£,Y y j,£,Y | , R) + M Y ( | V M X ; , £ , Y ) + V y )) M j,£,Y Av (y 1767) Cho - ^ O ta A(u(O) — v(O)) — O u(O) — v(O) — O, điều mâu thuẫn với (4.5) 1768) Từ yj £Y = O với j = l, • • • , N Hàm 1769) 1770) x 1771) + |y| + ổ (-)) + YM(y), y eG j, 1772) £,Y 1773) đạt cực tiểu G Từ v nghiệm nhớt trên, ta có — X 1774) j,£,Y | + |y j,£,Y + ổ (-) Av (O ) + max H ; O, — 1775) j=1,- ,N J y - + Y V| M Xj ,£,7 )M > 1776) Như vạy, tồn số j cho |y | ổ (-) 1777) Xj,£, Y + j,£,Y + + Y |V M X ;,£,Y ) N > O Av (O) + H O, 1778) 1779) Mặt khác, từ X; > O u nghiệm nhớt ta có x + |y j , £ , Y | + ổ (-) 1780) Au(x ) H X j , j,£,Y + j Ị^ j,£,Y, + Y |V M( X i,£,Y )M — O 1781) £,Y 1782) Điều dẫn đến Au(Xj £ Y) — 1783) 1784) |y | ổ (-) Xj,£, Y + j,£,Y + Av(O) — Hj ( O, 1785) + Y |V M X ;,£,Y ) 1786) - | 1787) Bằng cách đánh giá bất đẳng thức giá trị hàm Hj theo bước giống trường hợp yj g Y > O ta có u(O) < v(O) Chứng minh 2) giống chứng minh 1) cách lấy hàm 1788) 1789) ^(x) = (l + ị x ị ) m/2 với m < m Như Định lý 4.2 chứng minh 4.4 ứng dụng nghiêm nhớt toán điều khiển tối ưu Định lý 4.3 Vớimọi x G G (y ;, a) G 7;, hàmsaulàkhônggiảm: 1790) s ^ Í e -"'f (y;(í), a(í))dí + e -"s v(y;(s)), s G [O, œ) 1791) o 1792) Hơn hm hng nu v ch nu iu khin ô() l toi ưu với vị trí ban đầu x Chứngminh Đạt h(s) := / e -"'f (y ; (í),a(í))dí + e -" sv(y ;(s)),s G [O, œ) 1794) o 1795) Với mi ô() G U, theo nh lý 4.1 vi thi điểm ban đầu y ; 1793) (s) s > O, ta có 1796) v( y; (s)) < [ e""‘ f ( %x(s)( í ), a(í + s))dí + e- " gv( y,jx(s)( s)) 1797) J 1798) = I e -"'f(y;(í + s),a(í + s))dí + e -"g v(y ÿ x(s)(s)} 1799) o 1800) 1801) Nhân hai vế bất đẳng thức với e -"s > O ta có e-" sv(y;(s,a)) < [ e-" ('+s)f (y;(í + s),a(í + s))dí + e -"(g+ s)v(y ÿx(s)(s)) 1802) Jo 1803) ợ g+s e- f ( 1804) = / "‘ y;(í ), a (í))dí + e- " (g + s) v (%* (s) (s)) (4 10) 1805) s 1806) ộng / e -"'f (y ;(í), a(í))dí vào hai vế bất đẳng thức (4.10) , ta có 1807) o 1808) s 1809) "s "' s 1810)e v(y;(s)) ^ / e 'f (y;(í),a(í))dí 1811) p £+S < / e "*f(ÿx(i),a(i))di + e -A(s+ s)v(ÿx(ff + s)) 1812) ü 1813) 1814) ü chúng tơi sử dụng tính chất y x(ff + s) = y yx( s) (ff) 1815) h(s) < h(s + ff) 1816) Kết luận đầu Định lý 4.3 thực 1817) Nếu 1818) [O, to) 1820) h(s) = í e -"f (ÿx(t), a(t))dt + e -"s v(ÿx(s)), s e 1819) ü hàm hằng, h(s) = h(O) = v(x) Do 1821)v(x) = í e-"*f (ÿx(í),a(í))dt + e -"s v(ÿx(s)), s e [O, to) 1822) ü 1823) 1824) Như vậy, a(-) tối ưu với vị trí ban đầu x Ngược lại, a(-) điều khiển tối ưu với x, 1825) h(O) = v(x) = í e-"*f (ÿx(t), a(í))dí + e -" sv(ÿx(s)) = h(s), 1826) ü 1827) 1828) 1829) Chứngminh Ta chứng minh hàm 1830) h(s) = Í e-"*f (ÿx(í),a(í))dt + e“"s v(ÿx(s)), s e [O, to) (4.12) 1831) 1832) ü không tăng, tức h'(s) < O hầu khắp nơi 1833) Từ v Lipschitz địa phương, h khả vi hầu khắp nơi 1834) UK\ 1835) Av(ÿx(s)) + lim — 1836) -\s(t< ^ w ,^ , 1;„ v(y* (s + ff)) — v(ÿx (s )) h (s) = ef (ÿx(s), a(s)) — — -V £^ ü ff 1837) tồn số K thỏa mãn 1838) v(y*(í +e)) y*(í)- e/(y*(í))| 1839) -v(y*(í)+ e/(y*(í))) < K|y*(í + e) - Từ ta có 1840) v(y*( s + e)) - v( y* (s )) , v (y*(í) + e/( y* (í ))) - v(y* (s)) 1841) lim -— < lim inf 1842) £— + e £— + e 1843) y* (í + e) - y* (í) /( y* (í )) 1844) + K lim 1845) £ 0+ 1846) e 1847) hay 1848) 1849) -1850) v(y* (s + e)) - v(y*(s)) v(y* (í) + e/( y* (í ))) - v(y*(s )) 1851) (4.13) 1852) với hầu khắpnơi s 1853) Chứngminh Giả sử (4.13) thỏa mãn Theo Định lý 4.4 , a(-) điều khiển tối ưu Ngược lại, giả sử a(-) điều khiển tối ưu, ta chứng minh (4.13) 1854) Từ h xác định (4.12) số Theo Định lý 4.3 , ta có 1855) n _ // \ \ ff(\ (w\( (w\ T™ v(yx(s + e)) - v(y x(s)) u 1856) -0 = e 'h (s) > /(y*(s), a(s))-Av(y*(s))+lim —^ - -h.k.n s 1857) £— e 1858) Từ ta có 1859) w /(y*(s), a(s)) + lim -hầu khắp s 1861)£— e 1Ü5 1862) Do 1863) ï , XX v(y (s) + íf(y ; (s), «(s))) — v(y ;(s))v w; N J 1864) _A v( y (s )); > li m — _— » \_LLL ^ + «(y ( s) «( s)) / L/ 1865) ' (y; (°)) > í+*•'(£/; ('-’)) ^('-’))• 1866) Mạt khác, từ v liên tục Lipschitz, v(y ; (í)) khả vi hầu khắp nơi Ta lấy điểm mà hàm v(y ;(í)) khả vi Theo giả thiết v nghiệm nhớt dưới, với hàm ^ G R(G) v — ^ đạt cực đại y ;(s), ta có 1867) v(y ; (s) + íf(y ;(s),«(s))) — v(y ;(s)) ^ ^ ^ ,XXX 1868) lim ^ -f (y; (s), «( ))) = D^(y; (s), f (y; (s), «(s))) 1869) '^0 í (4 14) 1870) 1871) Từ (f(y;(s),«^)),«^;(s),«(s))) G FL(y x(s)), 1872) A^(y;(s)) — D^(y x(s), f (y;(s), «(s))) — %;(s), «(s)) < O (4.15) 1873) Sử dụng (4.14) (4.15) , ta có bất đẳng thức v( 1874) y; (s) + íf (y; — v (y (s) ) ^ , , , M, 1875) -'ùn — -, > A^(y;( s )) „ M «(y;( s),a( s)) 1876) (4.16) Như vậy, (4.13) thỏa mãn hầu khắp nơi s □ 1877) 1878) ,, — Kết luân chương 1879)Nội dung chương nghiên cứu toán điều khiển tối ưu khớp nối So sánh với kết gần đây, hàm chi phí mà chúng tơi sử dụng lớp rộng Do đó, hàm giá trị đạt khơng bị chạn Chúng tơi chứng minh hàm giá trị nghiệm nhớt phương trình Hamilton-Jacobi liên quan Hơn tính chất hàm giá trị ra, tính liên tục, độ tăng, tính bị chạn điểm O 1880) Chúng thiết lập điều kiện cần khiển 183 đủ cho điều 1881) tối ưu toán điều khiển tối ưu với thời gian vơ hạn Việc tìm phản hồi tối ưu cho toán điều khiển tối ưu khớp nối có chi phí vào, hướng nghiên cứu thời gian tới 1882) KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT Các kết đạt đươc 1883) Luận án nghiên cứu ứng dụng vi phân cho nghiệm nhớt phương trình Hamilton-Jacobi không gian Banach Cụ thể luận án nghiên cứu vấn đề sau: ( ) vi phân -nhớt, tính chất vi phân -nhớt, nguyên lý biến phân trơn; ( ) tính nghiệm 3-nhớt phương trình Hamilton-Jacobi khơng gian Banach có dạng u + H(x, Du) = u + H(x, u, Du) = ; tính ổn định tồn nghiệm 3-nhớt cho phương trình; (3) nghiệm 3-nhớt tốn điều khiển tối ưu không gian Banach, điều khiển phản hồi tối ưu toán điều khiển tối ưu với thời gian vô hạn; (4) nghiệm nhớt toán điều khiển tối ưu khớp nối, điều kiện cần đủ cho điều khiển tối ưu Các kết đạt là: 1)Chứng minh số kết nguyên lý biến phân trơn cho hàm nửa liên tục bị chặn không gian Banach X thỏa mãn giả thiết (H|) khơng gian có chuẩn 3-trơn 2)Chứng minh tính nghiệm 3-nhớt phương trình Hamilton- Jacobi lớp hàm liên tục bị chặn cho phương trình Hamilton-Jacobi có dạng u + H(x, Du) = , tính nghiệm lớp hàm liên tục không bị chặn phương trình đạo hàm riêng cấp dạng tổng quát u + H(x, u, Du) = Chứng minh tính ổn định tồn nghiệm 3-nhớt phương trình Hamilton-Jacobi dạng tổng quát u + H(x, u, Du) = 3)Chứng minh hàm giá trị toán điều khiển tối ưu với thời gian vô hạn nghiệm 3-nhớt phương trình Hamilton-Jacobi tương ứng, chứng minh điều kiện cần đủ điều khiển tối ưu 4) Khi nghiên cứu nghiệm nhớt khớp nối: chứng minh hàm giá trị toán điều khiển tối ưu nghiệm nhớt phương trình 184 Hamilton-Jacobi liên quan Chứng minh số tính chất hàm giá trị tính liên tục, độ tăng, tính bị chặn điểm O Thiết lập điều kiện cần đủ cho điều khiển 1884) tối ưu tốn điều khiển tối ưu với thời gian vơ hạn 2.Đề xuất môt số vấn đề nghiên cứu 1885) Bên cạnh kết đạt luận án, sốvấn đề mở liên 1886) quan cần tiếp tục nghiên cứu như: • Ưng dụng vi phân cho nghiệm ß-nhớt phương trình HamiltonJacobi cấp cấp cao bao gồm tính nghiệm, tính ổn định tồn nghiệm • Đưa điều khiển phản hồi tối ưu rõ ràng hơn, xác lập sơ đồ để tìm điều khiển tối ưu cho toán điều khiển tối ưu với thời gian vơ hạn • Tìm điều khiển phản hồi tối ưu cho toán điều khiển tối ưu khớp nối có chi phí vào, Nghiên cứu toán điều khiển tối ưu mạng lưới 1887)Ưng dụng nghiệm ß-nhớt để nghiên cứu toán thực tiễn sinh thái, kỹ thuật, kinh tế, tài chính, [5] 1888) DANH MỤC CỒNG TRINH KHOA HỌC CUA TAC GIA LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN An [1] T.V Bang, P.T Tien, (2018), On the existence, uniqueness, and stability of Ị3-viscosity solutions to a class of Hamilton-Jacobi equations in Banach spaces, Acta Math Vietnam DOI: 10.1007/s40306-0180287-7 [2] P.T Tien, T.V Bang, (2019), Uniqueness of Ị3-viscosity solutions of Hamilton- Jacobi equations and applications to a class of optimal control problems, Differ.Equ.Dyn.Syst DOI: 10.1007/s12591-019-00479-7 185 [3] P.T Tien, T.V Bang, (2019), Hamilton-Jacobi equations for optimal control on junctions with unbounded running cost functions, Appl.Anal DOI: 10.1080/00036811.2019.1643012 186 1889) TÀI LIỆU THAM KHAO [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Hồng Tụy (2005), Hàmthựcvàgiảitíchhàm, NXB ĐHQG Hà Nội [B]Tài liệu tiếng Anh [2] Y Achdou, F Camilli, A Cutrì, N Tchou (2011), Hamilton-Jacobi equations on networks, IFACproceedingsvolumes 44 ( ), 2577-2582 [3] Y Achdou, F Camilli, A Cutrì, N Tchou (2013), Hamilton-Jacobi equations constrained on networks, NoDEA Nonlinear Differential Equations Appl 20 (3), 413-445 [4] Y Achdou, S Oudet, N Tchou (2015), Hamilton-Jacobi equations for optimal control on junctions and networks, ESAIM Control Optim Calc Var 21 (3), 876-899 [5] H Alexandru, T.Q Ky, P.T Tien, G Yin (2019), Harvesting of interacting stochastic populations, J.Math.Biol 79 ( ), 533-570 [6] S.M Aseev, A.V Kryazhimskii (2007), The Pontryagin maximum principle and problems of optimal economic growth, Proc.SteklovInst Math 257 (1), 1-255 [7] T.V Bang, T.D Van (2006), Viscosity solutions of the Cauchy problem for second-order nonlinear partial differential equations in Hilbert spaces, Electron.J.DifferentialEquations 47, 1-15 [8] T.V Bang (2006), The uniqueness of viscosity solutions of second order nonlinear partial differential equations in a Hilbert space of two dimensional functions, ActaMath.Vietnam 31 ( ), 149-165 [9] M Bardi, D.I Capuzzo (1997), Optimal control and viscosity solutions of Hamilton- Jacobi-Bellman equations, Systems & Control: Foundations & Applications Birkhauser Boston, Inc., Boston, MA [10] M Bardi, M.G Crandall, L.C Evans, H.M Soner, P.E Souganidis (1997), Viscositysolutionsandapplications,LectureNotesinMathematics,1960 Springer-Verlag, Berlin [11] G Barles, A Briani, E Chasseigne (2013), A Bellman approach for two- domains optimal control problems in R N, ESAIM Control Optim Calc Var 19 (3) 710-739 [12] G Barles (2013), An introduction to the theory of viscosity solutions for first-order Hamilton- Jacobi equations and applications, In Hamilton- Jacobi equations: approximations, numerical analysis and applications, Lecture Notes in Math., Springer, Heidelberg (2074), 49-109 [13] J Baumeister, A Leitao, G.N Silva (2007), On the value function for nonautonomous optimal control problems with infinite horizon Systems ControlLett 56 (3), 188-196 [14] R Bellman (1957), Dynamic programming, Princeton University Press, Princeton, N J [15] J.M Borwein, Q.J Zhu (1999), A survey of subdifferential calculus with applications, NonlinearAnal 38 (6), 687-773 [16] of J.M Borwein, M Fabián (1993), On convex functions having points Gateaux differentiability which are not points of Fréchet differentiability, Canad.J.Math 45 (6), 1121-1134 [17] J.M Borwein, S Fitzpatrick (1993), A weak Hadamard smooth renorming of Li(Q, ^), Canad.Math.Bull 36 (4), 407-413 [18] J.M Borwein, D Preiss (1987), A smooth variational principle with applications to subdifferentiability and to differentiability of convex functions, Trans.Amer.Math.Soc 303 (2), 517-527 [19] J.M Borwein, Q.J Zhu (1996), Viscosity solutions and viscosity subderivatives in smooth Banach spaces with applications to metric regularity, SIAMJ.ControlOptim 34 (5), 1568-1591 [20] M.G Crandall, P.L Lions (1985), Hamilton-Jacobi equations in infinite dimensions I Uniqueness of viscosity solutions, J Funct Anal 62 (3), 379-396 [21] M.G Crandall, P.L Lions (1986), Hamilton-Jacobi equations in infinite dimensions II Existence of viscosity solutions, J Funct.Anal 65 (3), 368-405 [22] M.G Crandall, L.C Evans, P.L Lions (1984), Some properties of viscosity solutions of Hamilton-Jacobi equations, Trans.Amer.Math.Soc 282 (2) , 487-502 [23] M.G Crandall, P.L Lions (1983), Viscosity solutions of Hamilton- Jacobi equations, Trans.Amer.Math.Soc 277 ( ), 1-42 [24] C Hermosilla, H Zidani (2015), Infinite horizon problems on stratifiable state-constraints sets, J.DifferentialEquations 258 (4), 1430-1460 [25] R Deville, G Godefroy, V Zizler (1993), Smoothness and renormings in Banach spaces, Pitman Monographs and Surveys in Pure and Applied Mathematics, Longman Scientific & Technical, Harlow; copublished in the United States with John Wiley & Sons, Inc., New York, 64 [26] R Deville, G Godefroy, V Zizler (1993), A smooth variational principle with applications to Hamilton-Jacobi equations in infinite dimensions, J.Funct.Anal 111 ( ), 197-212 [27] M Durea (2003), Applications of the Frechet subdifferential, Serdica Math.J 29 (4), 301-314 [28] W.H Fleming, H M Soner (2006), Controlled Markov processes and viscosity solutions, Second edition Springer, New York [29] Y Fleming, T Namba (2017), Well-posedness of Hamilton-Jacobi equations with Caputo’s time fractional derivative, Comm Partial Differential Equations 42 (7), 1088-1120 [30] L.C Evans ( 2010 ), Partial differential equations, American Mathematical Society [31] G Evéquoz, A.S Charles (2006), On differentiability and bifurcation Advancesinmathematicaleconomics,Adv.Math.Econ.,Springer,Tokyo, , 155-184 [32] N Hoang (2019), Regularity properties of viscosity solution of nonconvex Hamilton-Jacobi equations, J.ApplicableAnalysis 98 ( ), 1104-1119 [33] P Huyên (2009), Continuous-time stochastic control and optimization with financial applications, Stochastic Modelling and Applied Probability, Springer-Verlag, Berlin, 61 [34] H Ishii (1987), Perron’s method for Hamilton-Jacobi equations, DukeMath.J 55 ( ), 369-384 [35] D.M Khang (2019), Hamilton-Jacobi equations for optimal control on networks with entry or exit costs, ESAIMControlOptim.Calc.Var 25 (15) [36] , 1-31 X.J Li, J.M Yong (1995), Optimal control theory for infinite-dimensional systems, Systems & Control: Foundations & Applications Birkhauser Boston, Inc., Boston, MA [37] P.L Lions, P Souganidis (2016), Viscosity solutions for junctions: well 1890) posedness and stability, Atti Accad Naz Lincei Rend Lincei Mat Appl 27 (4), 535-545 [38] B.S Mordukhovich, N.M Nam, N.D Yen (2009), Subgradients of marginal functions in parametric mathematical programming, Math Program 116 (1-2), 369-396 [39] B.S Mordukhovich, Y Shao, Q.J Zhu (2000), Viscosity coderivatives and their limiting behavior in smooth Banach spaces, Positivity ( ), 1-39 [40] R.R Phelps (1989), Convex functions, monotone operators and differentiability Lecture Notes in Mathematics, Springer-Verlag, Berlin, 1364 [41] R.R Phelps (1974), Support cones in Banach spaces and their applications, AdvancesinMath 13, 1-19 [42] J Zabczyk (2008), Mathematicalcontroltheory, Birkhauser Boston, Inc., Boston, MA ... Chứng minh tính ổn định tồn nghiệm ß -nhớt phương trình Hamilton- Jacobi dạng tổng quát u + H(x, u, Du) = 3) Chứng minh hàm giá trị toán điều khiển tối ưu nghiệm ß -nhớt phương trình Hamilton- Jacobi. .. bàitốnđiều khiển tối u Trong chương này, chứng minh hàm giá trị toán điều khiển tối ưu nghiệm 3 -nhớt phương trình Hamilton- Jacobi tương ứng Các phản hồi điều kiện đủ cho điều khiển tối ưu đưa chương Chương... 3 -nhớt phương trình Hamilton- Jacobi dạng tổng quát u + H(x, u, Du) = khơng gian Banach Tính ổn định tồn nghiệm phương trình chúng tơi • Chương ứngdụngcủanghiệm nhớt ốivới bàitốnđiều khiển tối u