Tuyển tập câu hỏi trắc nghiệm Toán 11 có đáp án và lời giải năm 2020, 2021

64 A Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác.. 64 C Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.. Các bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy số và cấp số nhân.. Xác đị

Trang 2

Mục lục

1 Hàm số lượng giác 2

A Lý thuyết 2

1 Định nghĩa 2

B Tính tuần hoàn 3

C Sự biến thiên và đồ thị của hàm số lượng giác 3

D Câu hỏi trắc nghiệm 5

2 PHƯƠNG TRÌNH LƯƠNG GIÁC CƠ BẢN 30

A Phương trình sin x = a 30

B Phương trình cos x = a 30

C Phương trình tan x = a 30

D Phương trình cot x = a 31

E Bài tập trắc nghệm 32

3 MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP 64

A Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác 64

B Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x 64

C Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác 64

D Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sin x và cos x 64

E Phương trình chứa sin x ± cos x và sin x cos x 65

F Bài tập trắc nghệm 66

2 TỔ HỢP-XÁC SUẤT 106 1 Quy tắc cộng - quy tắc nhân 106

A Quy tắc cộng 106

1 Tóm tắt lý thuyết 106

2 Các dạng toán 106

} Dạng 1 Các bài toán áp dụng quy tắc cộng 106

B Quy tắc nhân 109

Trang 3

1 Tóm tắt lí thuyết 109

} Dạng 2 Đếm số 109

} Dạng 3 Chọn đồ vật 113

} Dạng 4 Sắp xếp vị trí 116

C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 124

2 Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp 146

A Hoán vị 146

1 Tóm tắt lý thuyết 146

2 Các dạng toán về hoán vị 146

} Dạng 1 Hoán vị các chữ số trong số tự nhiên 146

} Dạng 2 Hoán vị đồ vật 149

} Dạng 3 Hoán vị vòng quanh 150

} Dạng 4 Hoán vị lặp 152

B Chỉnh hợp 153

} Dạng 5 Đếm số 153

} Dạng 6 Bài toán chọn người và chọn đồ vật 156

C Tổ hợp 158

2 Tính chất của các số Ck n 158

} Dạng 7 Các bài toán đếm 158

} Dạng 8 Công thức hoán vị - chỉnh hợp - tổ hợp 163

D BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 175

3 Nhị thức Newton 202

A Tóm tắt lí thuyết 202

1 Công thức nhị thức Newton 202

2 Tam giác Pascal 202

B Các dạng toán 203

} Dạng 1 Khai triển nhị thức Newton 203

} Dạng 2 Chứng minh các đẳng thức tổ hợp bằng cách sử dụng khai triển nhị thức Newton 204

} Dạng 3 Tính tổng bằng cách sử dụng khai triển nhị thức Newton 205

} Dạng 4 Tìm hệ số và tìm số hạng chứa xk 207

} Dạng 5 Tìm hệ số không chứa x 209

} Dạng 6 Tìm số hạng hữu tỷ (nguyên) trong khai triển (a + b)n 212

} Dạng 7 Tìm số hạng có hệ số nhất trong khai triển biểu thức 215

} Dạng 8 Sử dụng tính chất của số Ck n để chứng minh đẳng thức và tính tổng 216

Trang 4

4 Phép thử và biến cố 255

1 Phép thử, không gian mẫu 255

2 Biến cố 255

3 Phép toán trên các biến cố 255

} Dạng 1 Mô tả không gian mẫu và xác định số kết quả có thể của phép thử 256

} Dạng 2 Xác định biến cố của một phép thử 258

} Dạng 3 Phép toán trên biến cố 260

5 Xác suất của biến cố 293

1 Định nghĩa cổ điển của xác suất 293

2 Tính chất của xác suất 293

3 Các biến cố độc lập, công thức nhân xác suất 293

4 Xác suất điều kiện 294

} Dạng 1 Sử dụng công thức tính xác suất của một biến cố 294

} Dạng 2 Tính xác suất theo quy tắc cộng 297

} Dạng 3 Tính xác suất dùng công thức nhân xác suất 300

} Dạng 4 Xác suất điều kiện, xác suất toàn phần và công thức Bayes 302

3 DÃY SỐ-CẤP SỐ CỘNG-CẤP SỐ NHÂN 337 1 Phương pháp quy nạp toán học 337

A Các dạng toán 337

} Dạng 1 Một số bài toán số học 337

} Dạng 2 Chứng minh đẳng thức 340

} Dạng 3 Chứng minh bất đẳng thức 345

} Dạng 4 Phương pháp quy nạp trong một số bài toán khác và toán tổng hợp 351

B Bài tập trắc nghiệm 359

2 Dãy số 363

1 Định nghĩa dãy số 363

2 Số hạng của dãy số 363

3 Số hạng tổng quát 363

4 Cách xác định một dãy số 364

5 Tính tăng giảm của dãy số 364

6 Dãy số bị chặn 364

Trang 5

} Dạng 1 Dự đoán công thức và chứng minh quy nạp công thức tổng quát của dãy

số 365

} Dạng 2 Xét sự tăng giảm của dãy số 375

} Dạng 3 Xét tính bị chặn của dãy số 380

C Bài tập trắc ngihệm 383

3 Cấp số cộng 409

1 Định nghĩa cấp số cộng 409

2 Tính chất các số hạng của cấp số cộng 409

3 Số hạng tổng quát 409

4 Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng 409

} Dạng 1 Sử dụng định nghĩa cấp số cộng 410

} Dạng 2 Tính chất của các số hạng trong cấp số cộng 413

} Dạng 3 Số hạng tổng quát 416

} Dạng 4 Tính tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng 420

} Dạng 5 Vận dụng công thức tính tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng 423

C Bài tập trắc nghiệm 428

4 Cấp số nhân 475

1 Định nghĩa và các tính chất của cấp số nhân 475

} Dạng 1 Chứng minh một dãy số là cấp số nhân 476

} Dạng 2 Xác định q uk của cấp số nhân 480

} Dạng 3 Tính tổng liên quan cấp số nhân 487

} Dạng 4 Các bài toán về cấp số nhân có liên quan đến hình học 489

} Dạng 5 Các bài toán tìm số hạng tổng quát của dãy số và cấp số nhân 493

} Dạng 6 Cấp số nhân liên quan đến nghiệm của phương trình 494

} Dạng 7 Phối hợp giữa cấp số nhân và cấp số cộng 496

} Dạng 8 Các bài toán thực tế liên quan cấp số nhân 499

C Bài tập trắc nghiệm 509

5 Giới hạn của dãy số 561

1 Giới hạn của dãy số 561

2 Các định lý về giới hạn hữu hạn 562

3 Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn 562

4 Giới hạn vô cực 562

} Dạng 1 Dùng định nghĩa chứng minh giới hạn 563

} Dạng 2 Tính giới hạn dãy số dạng phân thức 565

Trang 6

} Dạng 3 Tính giới hạn dãy số dạng phân thức chứa an 565

} Dạng 4 Dãy số dạng Lũy thừa - Mũ 571

} Dạng 5 Giới hạn dãy số chứa căn thức 573

6 Giới hạn hàm số 633

A Tóm tắt lý thuyết 633

1 Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm 633

2 Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực 634

3 Giới hạn vô cực của hàm số 635

} Dạng 1 Giới hạn của hàm số dạng vô định 636

} Dạng 2 Giới hạn dạng vô định 653

} Dạng 3 Tính giới hạn hàm đa thức, hàm phân thức và giới hạn một bên 657

7 Hàm số liên tục 733

1 Hàm số liên tục tại một điểm 733

2 Hàm số liên tục trên một khoảng 733

3 Một số định lí cơ bản 733

} Dạng 1 Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm 734

} Dạng 2 Hàm số liên tục trên một tập hợp 740

} Dạng 3 Dạng tìm tham số để hàm số liên tục - gián đoạn 743

} Dạng 4 Chứng minh phương trình có nghiệm 746

4 ĐẠO HÀM 804 1 Đạo hàm và ý nghĩa của đạo hàm 804

1 Đạo hàm tại một điểm 804

2 Đạo hàm trên một khoảng 805

B BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 806

} Dạng 1 Tính đạo hàm bằng định nghĩa 806

} Dạng 2 Số gia của hàm số 808

} Dạng 3 Ý nghĩa vật lý của đạo hàm 810

} Dạng 4 Phương trình tiếp tuyến 811

2 CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM 839

1 Đạo hàm của một hàm số thường gặp 839

2 Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương 839

3 Đạo hàm của hàm hợp 839

Trang 7

3 ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 879

1 Giới hạn của hàm số 879

2 Đạo hàm của hàm số y = sin x 879

3 Đạo hàm của hàm số y = cos x 879

4 Đạo hàm của hàm số y = tan x 879

5 Đạo hàm của hàm số y = cot x 879

} Dạng 1 Tính đạo hàm 880

} Dạng 2 Tính đạo hàm tại một điểm 884

4 Vi phân 906

B Trắc nghiệm 907

5 Đạo hàm cấp 2 918

1 Định nghĩa 918

2 Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai 918

B Trắc nghiệm 919

II HÌNH HỌC 942 6 PHÉP BIẾN HÌNH 943

7 PHÉP TỊNH TIẾN 943

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 943

2 Tính chất 943

3 Tính chất 944

4 Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến 944

B CÁC DẠNG TOÁN 944

} Dạng 1 Xác định ảnh của một điểm qua một phép tịnh tiến 944

} Dạng 2 Xác định ảnh trong hệ tọa độ 945

8 Phép đối xứng trục 971

2 Nhận xét 971

3 Tính chất 971

Trang 8

4 Trục đối xứng của một hình 972

B Các dạng bài tập 972

} Dạng 1 Xác định ảnh của một hình qua phép đối xứng trục 972

} Dạng 2 Tìm trục đối xứng của một đa giác 973

9 PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM 993

2 Biểu thức tọa độ 993

3 Tính chất 993

4 Tâm đối xứng của một hình 994

B CÁC DẠNG BÀI TẬP 994

} Dạng 1 Xác định ảnh của một hình qua phép đối xứng tâm 994

} Dạng 2 Tìm tâm đối xứng của một hình 994

10 PHÉP QUAY 1010

2 Nhận xét 1010

3 Tính chất 1010

} Dạng 1 Xác định ảnh của một hình qua một phép quay 1011

11 PHÉP DỜI HÌNH 1035

A TÓM TẮT LÍ THUYẾT 1035

2 Nhận xét 1035

3 Tính chất 1035

4 Khái niệm hai hình bằng nhau 1035

} Dạng 1 Xác định ảnh của một hình qua một phép dời hình 1035

12 PHÉP VỊ TỰ 1046

2 Tính chất 1046

3 Cách tìm tâm vị tự của hai đường tròn 1047

} Dạng 1 Xác định ảnh của một hình qua phép vị tự 1048

} Dạng 2 Tìm tâm vị tự của hai đường tròn 1048

Trang 9

13 PHÉP ĐỒNG DẠNG 1082

2 Tính chất 1082

3 Hình đồng dạng 1082

} Dạng 1 Xác định ảnh của một hình qua phép đồng dạng 1082

1 ĐƯỜNG THẲNG, MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ SONG SONG 1091 1 Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng 1091

1 Khái niệm mở đầu 1091

2 Các tính chất thừa nhận 1091

3 Cách xác định một mặt phẳng 1092

4 Hình chóp và hình tứ diện 1092

} Dạng 1 Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng 1092

} Dạng 2 Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng 1097

} Dạng 3 Xác định thiết diện 1103

} Dạng 4 Chứng minh 3 điểm thẳng hàng đồng qui và 3 đường thẳng đồng qui 1109 } Dạng 5 Bài toán cố định 1113

2 Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song 1161

1 Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian 1161

2 Tính chất 1162

} Dạng 1 Chứng minh hai đường thẳng song song 1163

} Dạng 2 Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng 1171

} Dạng 3 Tìm thiết diện bằng cách kẻ song song 1174

} Dạng 4 Chứng minh 3 điểm thẳng hàng và các yếu tố cố định 1180

3 ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG 1226

1 Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng 1226

2 Tính chất 1226

} Dạng 1 Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng 1228

Trang 10

} Dạng 2 Tìm giao tuyến hai mặt phẳng khi biết một mặt phẳng song

song với đường thẳng cho trước 1236

} Dạng 3 Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng 1241

4 Hai mặt phẳng song song 1285

2 Tính chất 1285

3 Định lý Ta-lét (Thalès) 1286

4 Hình lăng trụ và hình hộp 1286

5 Hình chóp cụt 1287

} Dạng 1 Chứng minh hai mặt phẳng song song 1288

} Dạng 2 Tìm giao tuyến của mặt phẳng (α) với mặt phẳng (β) biết (α) qua điểm A; song song với mặt phẳng (γ) 1294

} Dạng 3 Xác định thiết diện 1300

5 Phép chiếu song song Hình biểu diễn của một hình không gian 1341

1 Phép chiếu song song 1341

2 Các tính chất của phép chiếu song song 1341

3 Hình biểu diễn của một số hình không gian trên mặt phẳng 1341

} Dạng 1 Vẽ hình biểu diễn của một hình cho trước 1342

} Dạng 2 Sử dụng phép chiếu song song để chứng minh song song 1344

2 VECTO TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN 1351 1 Véc-tơ trong không gian 1351

1 Các định nghĩa 1351

2 Các quy tắc tính toán với véc-tơ 1351

3 Một số hệ thức véc-tơ trọng tâm, cần nhớ 1352

4 Điều kiện đồng phẳng của ba véc-tơ 1352

5 Phân tích một véc-tơ theo ba véc-tơ không đồng phẳng 1352

6 Tích vô hướng của hai véc-tơ 1353

} Dạng 1 Xác định véc-tơ và các khái niệm có liên quan 1353

} Dạng 2 Chứng minh đẳng thức véc-tơ 1354

} Dạng 3 Tìm điểm thỏa mãn đẳng thức véc-tơ 1355

} Dạng 4 Tích vô hướng của hai véc-tơ 1357

Trang 11

} Dạng 5 Chứng minh ba véc-tơ đồng phẳng 1357

} Dạng 6 Phân tích một véc-tơ theo 3 véc-tơ không đồng phẳng cho trước 1358

} Dạng 7 Ứng dụng véc-tơ chứng minh bài toán hình học 1359

2 Hai đường thẳng vuông góc 1388

1 Tích vô hướng của hai véc-tơ trong không gian 1388

2 Góc giữa hai đường thẳng 1388

} Dạng 1 Xác định góc giữa hai véc-tơ 1389

} Dạng 2 Xác định góc giữa hai đường thẳng trong không gian 1390

} Dạng 3 Sử dụng tính chất vuông góc trong mặt phẳng 1391

} Dạng 4 Hai đường thẳng song song cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba 1393 C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 1394

3 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng 1484

2 Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng 1484

3 Tính chất 1484

4 Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng 1485

5 Phép chiếu vuông góc và định lý ba đường vuông góc 1486

} Dạng 1 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng 1487

} Dạng 2 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng 1489

} Dạng 3 Xác định thiết diện của một khối đa diện cắt bởi mặt phẳng đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng cho trước 1492

4 Hai mặt phẳng vuông góc 1625

1 Định nghĩa góc giữa hai mặt phẳng 1625

2 Cách xác định góc của hai mặt phẳng cắt nhau 1625

3 Diện tích hình chiếu của một đa giác 1625

4 Hai mặt phẳng vuông góc 1625

5 Hình lăng trụ đứng, hình hộp chữ nhật, hình lập phương 1626

6 Hình chóp đều và hình chóp cụt đều 1626

} Dạng 1 Tìm góc giữa hai mặt phẳng 1627

} Dạng 2 Tính diện tích hình chiếu của đa giác 1628

} Dạng 3 Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc 1629

Trang 12

} Dạng 4 Thiết diện chứa một đường thẳng và vuông góc với một mặt phẳng 1631

5 Khoảng cách 1782

1 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng 1782

2 Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng 1782

3 Khoảng cách từ một đường thẳng tới một mặt phẳng song song 1782

4 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song 1782

5 Đường thẳng vuông góc chung và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau 1783 B Các dạng toán 1783

} Dạng 1 Khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng 1783

} Dạng 2 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng 1784

} Dạng 3 Khoảng cách giữa đường và mặt song song - Khoảng cách giữa hai mặt song song 1786

} Dạng 4 Đoạn vuông góc chung - Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau 1788 C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 1791

III TUYỂN TẬP ĐỀ THI HỌC KỲ I CÁC TRƯỜNG THPT 1893 1 THPT Chuyên Hà Nội Amsterdam 1894

2 THPT Đan Phượng Hà Nội 1902

3 Chu Văn An, HCM 1909

4 Dĩ An, Bình Dương 1912

5 Củ Chi, Hồ Chí Minh 1920

6 Nguyễn Trung Ngạn, Hưng Yên 1925

7 Chuyên Trần Phú, Hải Phòng 1936

8 Hoàng Hoa Thám, HCM 1950

9 Lê Hồng Phong, Hồ Chí Minh 1953

10 Sở Giáo Dục và Đào Tạo Bà Rịa-Vũng Tàu 1958

11 THPT Nguyễn Thị Minh Khai 1967

12 Sở GD - ĐT Nam Đinh 1970

13 Ân Thi, Hưng Yên 1975

14 Lương Thế Vinh, TPHCM 1982

15 Chuyên Hạ Long, Quảng Ninh 1984

16 THPT Nguyễn Du, TP.HCM 2003

17 LuongTheVinh-DongNai 2005

18 Nguyễn Chí Thanh HCM 2020

19 Hoa Lư A, Ninh Bình 2023

Trang 13

21 HK1 THPT Hoài Đức A, Hà Nội 2039

22 THPT Nguyễn Hữu Cầu, Hồ Chí Minh 2047

23 Kim Liên Hà Nội 2050

24 THPT Lý Thánh Tông, Hà Nội 2060

25 THPT Nguyễn Trãi, Hà Nội 2068

26 Toán 11 không chuyên, PTNK, Hồ Chí Minh 2077

27 THPT Phước Vĩnh, Bình Dương 2081

28 Yên Mỹ - Hưng Yên 2091

29 Nguyễn Sỹ Sách, Nghệ An 2100

30 Thạch Thành 1, Thanh Hóa 2111

31 THPT Chuyên SPHN 2118

IV TUYỂN TẬP ĐỀ THI HỌC KỲ II CÁC TRƯỜNG THPT 2125 32 Đề HK2, Sở Giáo dục & Đào tạo Bình Phước 2126

33 Đề HK2, Sở Giáo dục & Đào tạo Thái Bình 2136

34 HK2, THPT Chuyên Amsterdam, Hà Nội 2149

35 Đề HK2 (2016 - 2017), THPT Chuyên Lương Thế Vinh, Đồng Nai 2159

36 Đề HK2 (2016-2017), THPT Đoàn Kết, Hai Bà Trưng, Hà Nội 2174

37 Đề HK2 (2016-2017, THPT Kim Liên, Hà Nội 2183

38 Đề HK2, THPT Nguyễn Trãi, Hà Nội 2190

39 Đề GHK2, THPT Lý Thánh Tông, Hà Nội 2198

40 Đề HK2, THPT Trương Định, Hà Nội 2206

41 Đề HK2, THPT Hai Bà Trưng, Huế 2213

42 Đề HK2, THPT Đông Sơn 2, Thanh Hóa 2222

43 Học kỳ 2 Lớp 11 THPT MƯỜNG BI 2229

44 Đề HK2, THPT Tô Hiến Thành, Thanh Hóa 2236

45 Đề HK2, THPT Thiệu Hóa, Thanh Hóa 2247

46 Đề HK2 (2016-2017), THPT Nông Cống 3, Thanh Hóa 2253

47 Đề HK2, THPT Hà Huy Tập, Hà Tĩnh 2266

48 Đề HK2, THPT Lê Quảng Chí, Hà Tĩnh 2274

49 Đề HK2 (2016-2017), THPT Phan Đình Phùng, Hà Tĩnh 2279

50 Đề HK2, Trần Hưng Đạo, Gia Lai 2290

Trang 14

ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH

Trang 15

Chương 1: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Hàm số tang là hàm số được xác định bởi công thức y = sin x

cos x(cos x 6= 0) , kí hiệu là y = tan x.Tập xác định của hàm số y = tan x là D = R \nπ

2 + kπ, k ∈ Zo.d) Hàm số côtang

Hàm số côtang là hàm số được xác định bởi công thức y = cos x

sin x(sin x 6= 0) , kí hiệu là y = cot x.Tập xác định của hàm số y = cot x là D = R \ {kπ, k ∈ Z}

2

Trang 16

B TÍNH TUẦN HOÀN

a) Định nghĩa Hàm số y = f (x) có tập xác địnhD được gọi là hàm số tuần hoàn, nếu tồn tại một

số T 6= 0 sao cho với mọi x ∈ D ta có:

• x − T ∈ D và x + T ∈ D

• f (x + T ) = f (x)

Số dương T nhỏ nhất thỏa mãn các tính chất trên được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn đó.Người ta chứng minh được rằng hàm số y = sin x tuần hoàn với chu kì T = 2π; hàm số y = cos xtuần hoàn với chu kì T = 2π; hàm số y = tan x tuần hoàn với chu kì T = π; hàm số y = cot xtuần hoàn với chu kì T = π

• Tập xác định D = R, có nghĩa xác định với mọi x ∈ R;

• Tập giá trị T = [−1; 1], có nghĩa −1 ≤ sin x ≤ 1;

• Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2π, có nghĩa sin (x + k2π) = sin x với k ∈ Z;

• Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng −π

• Là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng

• Tập xác định D = R, có nghĩa xác định với mọi x ∈ R;

• Tập giá trị T = [−1; 1], có nghĩa −1 ≤ cos x ≤ 1;

• Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2π, có nghĩa cos (x + k2π) = cos x với k ∈ Z;

• Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (−π + k2π; k2π) và nghịch biến trên mỗi khoảng(k2π; π + k2π),k ∈ Z;

• Là hàm số chẵn nên đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng

Trang 17

VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

• Là hàm số tuần hoàn với chu kì π, có nghĩa tan (x + kπ) = tan x với k ∈ Z;

• Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng −π

2 + kπ;

π

2 + kπ

, k ∈ Z;

x

−3π2

−π −π

2

π 2

• Là hàm số tuần hoàn với chu kì π, có nghĩa tan (x + kπ) = tan x với k ∈ Z;

• Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (kπ; π + kπ) , k ∈ Z;

x

−3π2

−π

−π2

π 2

π 3π

2 y

O

Trang 18

D CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Hàm số xác định khi và chỉ khi sin x 6= 0 ⇔ x 6= kπ, k ∈ Z

Lời giải

Hàm số xác định ⇔ sin

x − π2

6= 0 ⇔ x − π

Hàm số xác định ⇔ sin x − cos x 6= 0 ⇔ tan x 6= 1 ⇔ x 6= π

4 + kπ, k ∈ Z

Vậy tập xác định D = R \nπ

4 + kπ, k ∈ Z

o

Câu 5 Hàm số y = tan x + cot x + 1

sin x+

1cos x không xác định trong khoảng nào trong các khoảngsau đây?

C π

2 + k2π; π + k2π

với k ∈ Z D (π + k2π; 2π + k2π) với k ∈ Z

Lời giải

Trang 19

Hàm số xác định ⇔

(sin x 6= 0cos x 6= 0

Câu 7 Tìm tập xác định D của hàm số y = 3 tan2x

2 − π4

Hàm số xác định ⇔ cos2

x

2 −π4

6= 0 ⇔ x

Lời giải

Hàm số xác định khi và chỉ khi 1+tan x 6= 0 và tan x xác định ⇔

(tan x 6= −1cos x 6= 0

x 6= π2

Vậy hàm số không xác định trong khoảng

Trang 20

Hàm số xác định khi và chỉ khi 1 − sin x > 0 ⇔ sin x < 1 (∗).

Mà −1 ≤ sin x ≤ 1 nên (∗) ⇔ sin x 6= 1 ⇔ x 6= π

2 + k2π, k ∈ Z

Vậy tập xác định D = R \nπ

2 + k2π, k ∈ Z

o

Trang 21

π

2 + x

6= 0 ⇔ π

Câu 15 Tìm tập xác định D của hàm số y = tanπ

2cos x

Câu 16 Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?

A y = − sin x B y = cos x − sin x C y = cos x + sin2x D y = cos x sin x.Lời giải

Tất các các hàm số đều có TXĐ: D = R Do đó ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D Bây giờ ta kiểm tra f (−x) = f(x)hoặc f (−x) = −f (x)

• Với y = f (x) = − sin x Ta có f (−x) = − sin (−x) = sin x = − (− sin x) ⇒ f (−x) = −f (x) Suy

ra hàm số y = − sin x là hàm số lẻ

Trang 22

• Với y = f (x) = cos x − sin x Ta có f (−x) = cos (−x) − sin (−x) = cos x + sin x ⇒ f (−x) 6={−f (x), f (x)} Suy ra hàm số y = cos x − sin x không chẵn không lẻ.

• Với y = f (x) = cos x + sin2x Ta có f (−x) = cos (−x) + sin2(−x) = cos (−x) + [sin (−x)]2 =cos x + [− sin x]2 = cos x + sin2x ⇒ f (−x) = f (x) Suy ra hàm số y = cos x + sin2x là hàm sốchẵn

• Với y = f (x) = cos x · sin x Ta có f (−x) = cos (−x) · sin (−x) = − cos x sin x ⇒ f (−x) = −f (x).Suy ra hàm số y = cos x sin x là hàm số lẻ

A y = sin 2x B y = x cos x C y = cos x · cot x D y = tan x

sin x.Lời giải

A y = |sin x| B y = x2sin x C y = x

cos x. D y = x + sin x.Lời giải

Ta kiểm tra được A là hàm số chẵn, các đáp án B, C, D là hàm số lẻ

Câu 20 Trong các hàm số sau, hàm số nào có đồ thị đối xứng qua trục tung?

A y = sin x cos 2x B y = sin3x · cosx − π

2

C y = tan x

3x

Lời giải

Ta dễ dàng kiểm tra được các hàm số y = sin x cos 2x; y = tan x

tan2x + 1 và y = cos x sin

Trang 23

A y = cos x + sin2x B y = sin x + cos x C y = − cos x D y = sin x cos 3x.Lời giải

Ta kiểm tra được đáp án A và C là các hàm số chẵn Đáp án B là hàm số không chẵn, không lẻ Đáp

Viết lại đáp án A là y = sinπ

2 − x= cos x Ta kiểm tra được đáp án A, B và D là các hàm số chẵn.Đáp án C là hàm số lẻ

Câu 24 Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ?

A y = 1 − sin2x B y = |cot x| · sin2x

C y = x2tan 2x − cot x D y = 1 + |cot x + tan x|

Trang 24

C y =√

2 cos

x − π4

= √1

2(sin x + cos x) Viết lại đáp án C là y =√

2 cos

x − π4

= sin x + cos x Kiểm tra được đáp án A là hàm số lẻ nên có

đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ

Ta kiểm tra được đáp án B và C là các hàm số không chẵn, không lẻ Xét đáp án D

Hàm số xác định ⇔ sin 2x ≥ 0 ⇔ 2x ∈ [k2π; π + k2π] ⇔ x ∈

hkπ;π

4 ∈D nhưng −x = −π

4 ∈ D Vậy y =/ √sin 2x không chẵn, không lẻ

Câu 28 Mệnh đề nào sau đây là sai?

A Đồ thị hàm số y = |sin x| đối xứng qua gốc tọa độ O

B Đồ thị hàm số y = cos x đối xứng qua trục Oy

C Đồ thị hàm số y = |tan x| đối xứng qua trục Oy

D Đồ thị hàm số y = tan x đối xứng qua gốc tọa độ O

4

+ sinx +π

4

C y =√

2 sin

x + π4

+ sin (π − 2x) = −2 sin x + sin 2x

Trang 25

Viết lại đáp án B là y = sinx −π

4

+ sinx + π

− sin x = sin x + cos x − sin x = cos x

Ta kiểm tra được đáp án A và B là các hàm số lẻ Đáp án C là hàm số chẵn

Xét đáp án D Hàm số xác định ⇔

(sin x ≥ 0cos x ≥ 0

⇒ D =hk2π;π

2 + k2π

i(k ∈ Z)

x −π2

C y = 2015 + cos x + sin2018x D y = tan2017x + sin2018x

Câu 31 Mệnh đề nào sau đây là sai?

A Hàm số y = sin x tuần hoàn với chu kì 2π B Hàm số y = cos x tuần hoàn với chu kì 2π

C Hàm số y = tan x tuần hoàn với chu kì 2π D Hàm số y = cot x tuần hoàn với chu kì π.Lời giải

Vì hàm số y = tan x tuần hoàn với chu kì π

Câu 32 Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số tuần hoàn?

A y = sin x B y = x + sin x C y = x cos x D y = sin x

x .Lời giải

Hàm số y = x + sin x không tuần hoàn Thật vậy:

Vậy hàm số y = x + sin x không phải là hàm số tuần hoàn

Tương tự chứng minh cho các hàm số y = x cos x và y = sin x

x không tuần hoàn

Câu 33 Trong các hàm số sau đây, hàm số nào không tuần hoàn?

sin 2x.Lời giải

Trang 26

Chọn đáp án C

Câu 34 Tìm chu kì T của hàm số y = sin5x −π

4

Hàm số y = sin (ax + b) tuần hoàn với chu kì T = 2π

|a|.

Áp dụng: Hàm số y = sin5x −π

4

tuần hoàn với chu kì T = 2π

Hàm số y = −1

2sin (100πx + 50π) tuần hoàn với chu kì T =

2π100π =

Hàm số y = cos 2x tuần hoàn với chu kì T1 = 2π

2 = π.

Hàm số y = sinx

2 tuần hoàn với chu kì T2 =

2π12

= 4π

Suy ra hàm số y = cos 2x + sinx

2 tuần hoàn với chu kì T = 4π.

Nhận xét T là bội chung nhỏ nhất của T1 và T2

5 .Suy ra hàm số y = cos 3x + cos 5x tuần hoàn với chu kì T = 2π

Trang 27

Câu 39 Tìm chu kì T của hàm số y = 3 cos (2x + 1) − 2 sinx

+ 2 cos

3x −π4

2 = π.

Hàm số y = 2 cos

3x − π4

tuần hoàn với chu kì T2 = 2π

3 .Suy ra hàm số y = sin2x + π

3

+ 2 cos3x −π

4

Hàm số y = tan (ax + b) tuần hoàn với chu kì T = π

Hàm số y = cot (ax + b) tuần hoàn với chu kì T = π

|a|.

Áp dụng: Hàm số y = tan 3x tuần hoàn với chu kì T1 = π

3.Hàm số y = cot x tuần hoàn với chu kì T2 = π

Suy ra hàm số y = tan 3x + cot x tuần hoàn với chu kì T = π

Nhận xét T là bội chung nhỏ nhất của T1 và T2

Hàm số y = cotx

3 tuần hoàn với chu kì T1 = 3π.

Hàm số y = sin 2x tuần hoàn với chu kì T2 = π

Suy ra hàm số y = cotx

3 + sin 2x tuần hoàn với chu kì T = 3π.

Trang 28

2.Suy ra hàm số y = sinx

2 − tan2x + π

4

6 =

π

3.Hàm số y = −2 cos 2x tuần hoàn với chu kì T2 = π

Suy ra hàm số đã cho tuần hoàn với chu kì T = π

3.Hàm số y = − cos 4x tuần hoàn với chu kì T2 = 2π

4 =

π

2.Suy ra hàm số đã cho tuần hoàn với chu kì T = π

C y = tan (−2x + 1) D y = cos x sin x.Lời giải

Vì y = tan (−2x + 1) có chu kì T = π

|−2| =

π

2.Nhận xét Hàm số y = cos x sin x = 1

2sin 2x có chu kỳ là π.

Trang 29

Câu 49 Hàm số nào sau đây có chu kì khác 2π?

2.Hai hàm số y = sinx

Câu 51 Cho hàm số y = sin x Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A Hàm số đồng biến trên khoảngπ

2; π

, nghịch biến trên khoảng

Åπ;3π2

ã

B Hàm số đồng biến trên khoảng

Å

−3π

2 ; −

π2

ã, nghịch biến trên khoảng −π

2;

π2

C Hàm số đồng biến trên khoảng0;π

2

, nghịch biến trên khoảng−π

2; 0

D Hàm số đồng biến trên khoảng−π

2;

π2

, nghịch biến trên khoảng Å π

2;

3π2

ã.Lời giải

Ta có thể hiểu thế này 00Hàm số y = sin x đồng biến khi góc x thuộc gốc phần tư thứ IV và thứ I;nghịch biến khi góc x thuộc gốc phần tư thứ II và thứ III00

Câu 52 Với x ∈Å 31π

4 ;

33π4

ã, mệnh đề nào sau đây là đúng?

A Hàm số y = cot x nghịch biến B Hàm số y = tan x nghịch biến

C Hàm số y = sin x đồng biến D Hàm số y = cos x nghịch biến

Lời giải

Ta có Å 31π

4 ;

33π4

Câu 53 Với x ∈

0;π4

, mệnh đề nào sau đây là đúng?

A Cả hai hàm số y = − sin 2x và y = −1 + cos 2xđều nghịch biến

Trang 30

B Cả hai hàm số y = − sin 2xvà y = −1 + cos 2x đều đồng biến.

C Hàm số y = − sin 2xnghịch biến, hàm số y = −1 + cos 2xđồng biến

D Hàm số y = − sin 2xđồng biến, hàm số y = −1 + cos 2xnghịch biến

Do đó y = sin 2x đồng biến ⇒ y = − sin 2x nghịch biến

y = cos 2x nghịch biến ⇒ y = −1 + cos 2x nghịch biến

ã

2 ; 2π

ã.Lời giải

Xét A Ta có x ∈

0;π4

→ 2x ∈ 0;π

2

thuộc gốc phần tư thứ I nên hàm số y = sin 2x đồng biếntrên khoảng này

Câu 55 Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên khoảng −π

3;

π6

?

A y = tan

2x + π6

B y = cot

2x + π6

C y = sin

2x + π6

D y = cos

2x + π6

.Lời giải

thuộc góc phần tư thứ IV và thứ nhấtnên hàm số y = sin2x + π

6

đồng biến trên khoảng −π

3;

π6

Câu 56 Đồ thị hàm số y = cosx − π

2

được suy từ đồ thị C của hàm số y = cos x bằng cách:

A Tịnh tiến C qua trái một đoạn có độ dài là π

Nhắc lại lý thuyết Cho C là đồ thị của hàm số y = f (x) và p > 0, ta có:

+Tịnh tiến C lên trên p đơn vị thì được đồ thị của hàm số y = f (x) + p

+Tịnh tiến C xuống dưới p đơn vị thì được đồ thị của hàm số y = f (x) − p

+Tịnh tiến C sang trái p đơn vị thì được đồ thị của hàm số y = f (x + p)

+Tịnh tiến C sang phải p đơn vị thì được đồ thị của hàm số y = f (x − p)

Vậy đồ thị hàm số y = cosx − π

2

được suy từ đồ thị hàm số y = cos x bằng cách tịnh tiến sang phảiπ

2 đơn vị

Câu 57 Đồ thị hàm số y = sin x được suy từ đồ thị C của hàm số y = cos x bằng cách:

2.

Trang 31

B Tịnh tiến C qua phải một đoạn có độ dài là π

Câu 58 Đồ thị hàm số y = sin x được suy từ đồ thị C của hàm số y = cos x + 1 bằng cách:

2 và lên trên 1 đơn vị.

B Tịnh tiến C qua phải một đoạn có độ dài là π

2 và lên trên 1 đơn vị.

C Tịnh tiến C qua trái một đoạn có độ dài là π

2 và xuống dưới 1 đơn vị.

D Tịnh tiến C qua phải một đoạn có độ dài là π

2 và xuống dưới 1 đơn vị.

2 đơn vị ta được đồ thị hàm số y = cos

x − π2

+ 1

Tiếp theo tịnh tiến đồ thị y = cos

x − π2

+ 1 xuống dưới 1 đơn vị ta được đồ thị hàm số y =cosx − π

Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong

bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D Hỏi hàm

y

O

−π2

π 2

A y = 1 + sin 2x B y = cos x C y = − sin x D y = − cos x

Lời giải

Ta thấy tại x = 0 thì y = 1 Do đó loại đáp án C và D Tại x = π

2 thì y = 0 Do đó chỉ có đáp án Bthỏa mãn

.Lời giải

Ta thấy: Tại x = 0 thì y = 0 Do đó loại B và C

Tại x = π thì y = −1 Thay vào hai đáp án còn lại chỉ có D thỏa

Trang 32

Ta thấy: Tại x = 0 thì y = 1 Do đó ta loại đáp án B và D.

Tại x = 3π thì y = 1 Thay vào hai đáp án A và C thì chit có A thỏa mãn

5π 4

3π 4 1

ã

Ta thấy hàm số có GTLN bằng 1 và GTNN bằng −1 Do đó loại đáp án C

Tại x = 0 thì y = −

√2

7π 4

3π 4

√ 2 1

−√2

A y = sin

x − π4

Trang 33

Câu 64 Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ởbốn phương án A, B, C, D Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

x

y

O

2π π

A y = sin x B y = |sin x| C y = sin |x| D y = − sin x

−π2

A y = cos x B y = − cos x C y = cos |x| D y = |cos x|

Ta thấy hàm số có GTNN bằng 0 Do đó chỉ có A hoặc D thỏa mãn

Ta thấy tại x = 0 thì y = 0 Thay vào hai đáp án A và D chỉ có duy nhất A thỏa mãn

Câu 67 Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ởbốn phương án A, B, C, D Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

Trang 34

−3π2

−π

−π2

π 2

x −π2

Trang 35

Ta có y = 1 + |cos x| ≥ 1 và y = 1 + |sin x| ≥ 1 nên loại C và D

Ta thấy tại x = 0 thì y = 1 Thay vào hai đáp án A và B thì chỉ có A thỏa

Câu 70 Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y = 3 sin x − 2

A M = 1, m = −5 B M = 3, m = 1 C M = 2, m = −2 D M = 0, m = −2.Lời giải

Ta có −1 ≤ sin x ≤ 1 ⇒ −3 ≤ 3 sin x ≤ 3 ⇒ −5 ≤ 3 sin x − 2 ≤ 1 ⇒ −5 ≤ y ≤ 1 ⇒

A y ≥ −4, ∀x ∈ R B y ≥ 4, ∀x ∈ R C y ≥ 0, ∀x ∈ R D y ≥ 2, ∀x ∈ R.Lời giải

Ta có −1 ≤ sin

x + π3

Câu 74 Hàm số y = 5 + 4 sin 2x cos 2x có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên?

Lời giải

Ta có y = 5 + 4 sin 2x cos 2x = 5 + 2 sin 4x

Mà −1 ≤ sin 4x ≤ 1 ⇒ −2 ≤ 2 sin 4x ≤ 2 ⇒ 3 ≤ 5 + 2 sin 4x ≤ 7

⇒ 3 ≤ y ≤ 7 mà y ∈ Z ⇒ y ∈ {3; 4; 5; 6; 7} nên y có 5 giá trị nguyên

Trang 36

Mà −1 ≤ sin

x +π4

Ta có y = sin 2017x − cos 2017x =√

2 sin2017x − π

4

Mà −1 ≤ sin

2017x − π

6 = cos

x +π6

Ta có −1 ≤ cos

x + π6

Trang 37

2 + kπ, k ∈ Z

Lời giải

Ta có y = sin4x − cos4x = sin2x + cos2x

sin2x − cos2x = − cos 2x

Ta có −1 ≤ cos 3x ≤ 1 ⇒ 0 ≤ |cos 3x| ≤ 1 ⇒ 0 ≥ −2 |cos 3x| ≥ −2

= sin 2x − cos 2x + 2 =√

2 sin2x − π

4

+ 2

ò.Lời giải

Ta có y = sin6x + cos6x = sin2x + cos2x2− 3 sin2x cos2x sin2x + cos2x

2 , ∀x ∈ R.Lời giải

Ta có y = cos4x + sin4x = sin2x + cos2x2− 2 sin2x cos2x = 1 − 1

Trang 38

Câu 85 Hàm số y = 1 + 2 cos2x đạt giá trị nhỏ nhất tại x = x0 Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Ta có y = sin2x + 2 cos2x = sin2x + cos2x + cos2x = 1 + cos2x

Do −1 ≤ cos x ≤ 1 ⇒ 0 ≤ cos2x ≤ 1 ⇒ 1 ≤ 1 + cos2x ≤ 2 ⇒

Ta có y = 8 sin2x + 3 cos 2x = 8 sin2x + 3 1 − 2 sin2x = 2 sin2x + 3

Mà −1 ≤ sin x ≤ 1 ⇒ 0 ≤ sin2x ≤ 1 ⇒ 3 ≤ 2 sin2x + 3 ≤ 5

Trang 39

Câu 90 Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số y = 4 sin 2x − 3 cos 2x

Ta có y = sin2x − 4 sin x + 5 = (sin x − 2)2+ 1

Do −1 ≤ sin x ≤ 1 ⇒ −3 ≤ sin x − 2 ≤ −1 ⇒ 1 ≤ (sin x − 2)2 ≤ 9

2

ã2

≤ 94

Ta có y = cos2x + 2 sin x + 2 = 1 − sin2x + 2 sin x + 2 = − sin2x + 2 sin x + 3 = −(sin x − 1)2+ 4

Mà −1 ≤ sin x ≤ 1 ⇒ −2 ≤ sin x − 1 ≤ 0 ⇒ 0 ≤ (sin x − 1)2 ≤ 4

⇒ 0 ≥ −(sin x − 1)2 ≥ −4 ⇒ 4 ≥ −(sin x − 1)2+ 4 ≥ 0

Suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 0

Dấu 00 =00 xảy ra ⇔ sin x = −1 ⇔ x = −π

2 + k2π (k ∈ Z)

Câu 94 Tìm giá trị lớn nhất M và nhất m của hàm số y = sin4x − 2 cos2x + 1

A M = 2, m = −2 B M = 1, m = 0 C M = 4, m = −1 D M = 2, m = −1.Lời giải

Trang 40

Ta có y = sin4x − 2 cos2x + 1 = sin4x − 2 1 − sin2x + 1 = sin2x + 12− 2.

Do 0 ≤ sin2x ≤ 1 ⇒ 1 ≤ sin2x + 1 ≤ 2 ⇒ 1 ≤ sin2x + 12 ≤ 4

Ngày có ánh sáng mặt trời nhiều nhất ⇔ y = 14 ⇔ sin

ã+ 12.Mực nước của kênh cao nhất khi:

A t = 13 (giờ) B t = 14 (giờ) C t = 15 (giờ) D t = 16 (giờ)

Lời giải

Mực nước của kênh cao nhất khi h lớn nhất ⇔ cosÅ πt

8 +

π4

Định dạng
Số trang	2.312
Dung lượng	14,69 MB