Phng trỡnh nghim nguyờn CHUYấN PHNG TRèNH NGHIM NGUYấN Chuyên đề Bồi dỡng HSG Toán Giáo viên : Phan c Thnh Trng THCS Qunh vinh Phơng trình nghiệm nguyên là một lĩnh vực khó,đa dạng về phơng pháp giải,linh hoạt về cách suy luận Tuy nhiên,ở mức độ nào đó,chúng ta có thể trấn an học sinh bằng cách cung cấp bài tập một cách hệ thống kèm theo phơng pháp điển hình và qui trình bắt buộc (nếu có). Với phạm vi bồi dỡng HSG thi cấp huyện, trong chuyên đề này tôi u tiên đề cập dạng bài Giải bằng phơng pháp phân tích, các phơng pháp khác nh Chẵn lẻ,Cực hạn, Dùng bất đẳng thức, Loại trừ ,Chia hết, Đồng d, Xuống thang chỉ giới thiệu với mục đích tham khảo và làm cho học sinh có khái niệm về chúng mà thôi. i. GiảI bằng ph ơng pháp phân tích Vài lu ý khi giảng dạy phơng pháp này: - Chuyên đề chỉ đề cập đến 3 kiểu phân tích: thành tích,thành tổng các luỹ thừa, thành tổng dạng liên phân số. (Kiểu bài này phù hợp với trình độ thi HSG cấp huyện) - Cần phải nhắc nhở và chỉ rõ : Chỉ có trên tập Z (hoặc hẹp hơn nữa là trên số tự nhiên,tập số nguyên tố) thì việc phân tích 1 số nguyên thành tích các thừa số hoặc tổng các luỹ thừa mới có thể thực hiện đ ợc. Điều này không thực hiện đợc đối với số trên tập R (vì có vô hạn khả năng),để tránh sự nhầm lẫn đáng tiếc giống nh trờng hợp sau: Bài tập: Giải pt: x 2 +2x-3 = 0. Có h/s giải: x(x+2) =3 .Giải 4 khả năng và chọn đợc x=1, x=-3 ! ( Một sự trùng hợp thú vị) H/s này đã không đọc kỹ đề (giải trên R),vì vậy đã mắc mắc sai lầm lớn . - a/ Đối với dạng phân tích thành tích +) Dng n gin: Khụng cn gii h m gii cỏc c, thay giá trị vừa tìm vào phơng trình suy ra nghiệm (BT: 1; 2; 5; 9; 10; 11). Loi bi toỏn ny sau khi phõn tớch cú dng .))(( = byax (Nhân tử chỉ chứa một biến) m a v b l cỏc hng s. +) Dng phi gii h l bi tp sau khi biến đổi phng trỡnh cú dng .)'')(( = nybxambyax (nhân tử chứa nhiều biến) ,trong trng hp cú nhiu kh nng cú th nhn xột loi b bt ( BT: 3; 4; 7). Cng cú th phi nhn xột tp xỏc nh hoc c im riờng bit loi b bt kh nng ( nh BT: 8; 9). +) Dng nghim nguyờn ca phng trỡnh bc hai 2 n lu ý l phi gii theo k cn ( chớnh phng) do ú phi kiểm tra các khả năng có thể xảy ra và chọn nghiệm thoả mãn .Loại bài này dùng vào cuối năm lớp 9. (Bài12 đến bài 17) -b/ Đối với dạng Phân tích thành tổng các luỹ thừa Khi khụng phõn tớch c thnh tớch thỡ ngh n nú. Cn chn cỏch vit hp lý cú th phõn tớch c . 1 Phng trỡnh nghim nguyờn -c/ Dạng liên phân số thì cách cho đề đã khá rõ, cần lu ý là: một phân số khi phân tích thành liên phân số, kết quả phân tích là duy nhất,do đó việc đặt tơng ứng các thành phần là hợp lý. Bài tập GiảI bằng ph ơng pháp phân tích a. Phân tích thành tích. 1, Tỡm nghim nguyờn ca cỏc phng trỡnh: a. xyyx =+ ; b. 9 =++ yxyx ; c. 212 =++ yxxy (thi chọn HSG lớp 8-2003-2004) d. xyyxp =+ )( vi p l mt s nguyờn t. 2, a. Tỡm x, y thuc N: 53 3 = xyx b. Tỡm x, y, z thuc N* tha món ++= =+ )(2 222 zyxxy zyx Hay tỡm tam giỏc vuụng cú s o din tớch bng s o chu vi. (Thi chọn HSG lớp 8 năm 2001-2002) 3, Gii cỏc phng trỡnh sau trên Z a. 968103 22 =++ yxyx b. 092 22 =+ yxyx c. 0 22 =+ yxx d. 91 22 = yx 4, Tỡm cỏc s nguyờn x 6 2 ++ xx l s chớnh phng (Sơ tuyển 2004-2005) 5, Tỡm tt c cỏc cp s nguyờn dng sao cho tng ca mi s vi s 1 thỡ chia ht cho s kia. 6, Tỡm n N sao cho n 222 118 ++ l mt s chớnh phng. 7, Tỡm nghim nguyờn ca phng trỡnh: )8)(7)(1( 2 +++= xxxxy 8, Tỡm x, y, z N* : 0)()2( 323 =++ yxxzxyyzy 9, Tỡm xy sao cho 14)( 222 += xyyx 10, Tỡm x;y nguyờn ca phng trỡnh: 19522 2 += yxxyx . (Sơ tuyển 2006-2007) 11,( S tuyn 2002-2003) Hai i c vua ca hai trng thi u vi nhau, mi u th ca i ny phi u mt vỏn vi mi u th ca i kia. Bit rng tng s cỏc vỏn c phi u bng 2 ln tng s u th hai i v mt trong hai i cú s u th l s lẻ. Tỡm s u th ca mi i 12.Tìm n nguyên để các nghiệm của pt : x 2 - (4+n)x +2n = 0 cũng nguyên. 13. Tìm n nguyên để các nghiệm của pt : x 2 -(4+n)x+ 4n- 25 = 0 cũng nguyên. 14. Tìm số p nguyên tố,biết pt: x 2 +px-12p = 0 có 2 nghiệm đều nguyên. 15.Tìm Nnm ; sao cho các nghiệm của phơng trình: x 2 -m(n+1)x +m +n +1 = 0 cũng là số tự nhiên. 16, Tỡm x, y Z tha món cỏc phng trỡnh: 2 Phng trỡnh nghim nguyờn a. 155332 22 =++++ yxxyyx b. 9539109 22 =+ yyxyyx 17, Tỡm x, y Z tha món cỏc phng trỡnh: a. )(283612 22 yxyxyx +=++ ; b. )(3)(7 22 yxyxyx +=+ b. Phân tích thành tổng các luỹ thừa 1, Tỡm nghim nguyờn ca phng trỡnh: )32(2 362 = yxxy 2, Tỡm nghim nguyờn ca phng trỡnh: 422222 222 =++ zyzxyzyx 3, Tỡm nghim nguyờn dng ca phng trỡnh: 16954 22 =+ yxyx 4, Tỡm nghim nguyờn ca phng trỡnh: a. 100613 22 =+ xyyx b. 22 6 yxx = 5, Tỡm nghim nguyờn dng ca phng trỡnh: 2622423 222 =+++++ yzxzxyzyx 6, Tỡm nghim t nhiờn ca phng trỡnh: yyyx 3653 232 =+ 7, Tỡm nghim nguyờn ca phng trỡnh: xxy 242 22 += ( Thi HSGlớp 9- huyện Quỳnh lu 2005-2006) 8, Tỡm nghim t nhiờn ca phng trỡnh: a. 3222236 )5(315 +=+ yzyxzxzx b. )4914(17)284( 244222 +++=++ yyxyx c. phân tích thành liên phân số 1, Tỡm nghim nguyờn dng ca phng trỡnh 7 10 1 1 = + + z y x 2, Tỡm nghim t nhiờn ca phng trỡnh : )(40)1(31 tyyztztxtxyxyzt ++=++++ 3, Tỡm nghim t nhiờn ca phng trỡnh: )1(229)(55 32233 +=++ xyyxyx 4, Tỡm nghim nguyờn dng ca phng trỡnh: 3838)2(7 22 +=+++ xyyxyxyx II-HNG DN GII A, PHN TCH THNH TCH. 1, a/. 1)1)(1(1)1()1(0 ====+ yxyyxyxxyxyyx { } 1;1)1( x ) 2211 === yxx cp nghim (2;2) ) 1 x 001 === yx cp nghim (0;0) b/. ( ) ( ) ( )( ) 101110119 =++=+++=++ yxyyxyxyx Suy ra 1 + x l c ca 10. Suy ra 1 + x { } 10;5;2;1 suy ra { } 11;9;6;4;3;1;2;0 x Thay giỏ tr ca x vo phng trỡnh ó cho thu c y tng ng. Cỏc nghim ca ph.t. l: (1;4); (4;1); (-3;-6); (-6;-3); (0;9); (9;0); (-2;-11); (-11;-2) c/. 2xy+x+y=21 4xy+2x+2y+1=43 (2x+1)(2y+1)=43 2x+1 là ớc của 43 => { } { } 22;21;1;043;43;1;1 x Thay các giá trị vào pt ta có các giá trị y tơng ứng là: 21;-22; 0; -1. Vậy phơng trình có 4 nghiệm (x;y)= (0;21) ; (-1;-22) ; (21;0); (-22;-1) 3 Phng trỡnh nghim nguyờn d/. xyyxp =+ )( ( ) ( ) ( )( ) 22 0 ppypxppyppyxpypxxy === Suy ra px { } 2 ;;1 pp . Do tớnh cht i xng ta cú cỏc nghim. (0;0); (2p;2p); (p+1;p 2 +p); (p 2 +p;p+1); (p-p 2 ;p-1); (p-1;p-p 2 ). 2, a/. ( ) 5353 23 == yxxxyx do { } yxx 5;1 tng ng l { } 74;2 Nghim ca phng trỡnh l (x;y) = (5;74) vỡ y = -2 b loi. b/. * ,, zyx t h ( ) ++= +==+ )2)((2 2)1( 2 2222 zyxxy xyyxzzyx Suy ra ( ) ( ) (*)4 2 2 zyxyxz +++= (*) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 2 224444 +=+++=+++ zyxzzyxyx Do 02 + yx 422 +=+=+ yxzzyx thay kt qu ny vo (2) ta c ( ) ( ) ( ) ( )( ) 84484448444222 ===+= yxyyxyxxyyxxy Suy ra { } { } 4;12;0;8;2;6;3;58;4;2;14 xx Giỏ tr x = 0; -4 b loi nờn y tng ng l: {12;-4;8;0;6;5} Giỏ tr y = -4; 0 b loi nờn z tng ng l: {13;10;10;13} Cỏc nghim ca phng trỡnh l (5;12;13); (12;5;13); (6;8;10); (8;6;10). 3. Gii h trờn Z. a/. ( ) ( ) 9629124968103 222222 =++++=++ yxyxyxyxyxyx ( ) ( ) ( )( ) .12.824.432.348.296.1962439632 22 =======++=++ yxyxyxyx 6.16 ( Cỏc hoỏn v v trỏi du (-).(-) nờn cú 24 kh nng ) Nhn xột: Do ( ) ( ) yxyxyx 64243 +=+++ l s chn nờn cỏc kh nng tng 2 tha s l s l u b b: 1.96; 3.32 nờn ta ch gii 16 h v c 16 nghim (x,y)=(-94;71);(44;-21);(94;-71);(-44;21);(-14;34);(14;-34);(16;-6);(-16;6);(-26;21); (26;-21);(4;1);(-4;-1);(-16;14);(16;-14);(-4;6);(4;-6). b/. ( ) ( ) ( )( ) ( ) 99092 22222 =+++=++=+ yxxyxyxxyxyxyxyx ( )( ) 331992 ===+ yxyx và các hoán vị cùng đổi dấu của chúng. Nhận xét: ( ) ( ) xyxyx 32 =++ để Zx thì 4 khả năng từ 1.9 bị loại vì 1+9 = 10 và (-1)+(-9) = -10 đều bị loại,( 10 không chia hết cho 3) nên chỉ giải2 hệ 3.3 và (-3)(- 3). 4 Phng trỡnh nghim nguyờn => = = = = = =+ = =+ 1 2 1 2 32 3 32 3 y x y x yx yx yx yx nên phơng trình có 2 nghiệm là (2;1); (-2; -1). c/. ( ) ( ) 121204440 22 2222 =+=+=+ yxyxxyxx ( )( ) ( )( ) 11111122122 ===+++ yxyx Giải 2 hệ đợc 2 nghiệm là (0; 0); (-1; 0). d/. ( )( ) 1379119191 22 ===+= yxyxyx Giải 8 hệ đợc 8 nghiệm là (x,y) = (46;45); (46;-45); (-46;45); (-46;-45) (10;3); (-10;3) ; (-10;-3); (10;-3). 4. Đặt 22 6 mxx =++ với m Z => 4 23 4 1 2 1 206 2222 = ++=++ mxxmxx 4 23 2 1 2 1 3 23 2 1 2 2 = + ++= + mxmxmx ( )( ) )1(2312323122122 ===+++ mxmx .(*) Và các hoán vị nên ta giải 4 hệ : 5 Phng trỡnh nghim nguyờn (*) = = = = = = = = =+ =++ =+ =++ =+ =++ =+ =++ 6 5 6 6 6 5 6 6 23122 1122 23122 1122 1122 23122 1122 23122 m x m x m x m x mx mx mx mx mx mx mx mx Nh vậy có 2 giá trị của x thoả mãn là x=5; x= -6 5, Gọi x, y là 2 số nguyên dơng cần tìm suy ra yx 1 + và xy 1+ Nên ( )( ) )(11 =++ xypyx với p N pxyyxxy =+++ 1 Do 1;1 yx chia cả 2 vế của (*) cho xy suy ra 1 111 0 =++ p xyyx Do { } .4;3;23103 111 <++ pp xyyx Nếu p = 4 ,khi đó 3 phân số 1 có tổng bằng 3=> mỗi phân số bằng 1 => x=y=1 Nếu p = 3 ( ) 12 )2(12 12 1 121212 111 = + ==+=++=++ y yy y y xyxyxyyx xyyx 6 Phng trỡnh nghim nguyờn 12 2 1 = y y Do y { } { } 2;11;2 12 2 1 == xy y y suy ra có 2 nghiệm là (1; 2); (2; 1) Nếu p=2 ( ) 1 2 1 1 1 1111 111 += + =+==++=++ yy y xyyxxyyx xyyx Để { } { } 2;33;2 == xyx suy ra có 2 nghiệm là (3; 2); (2; 3). Kết luận: Phơng trình đã cho có 5 nghiệm (1; 1); (1; 2); (2; 1); (2; 3); (3;2). Chú ý: Trờng hợp p =3; p =2, các phơng trình có dạng nh bài tập 1 nên có thể giải bằng cách phân tích thành tích ( nhớ x,y nguyên dơng) Ví dụ: p=3 => x+y+1=2xy x(2y-1)- 3)12)(12( 2 3 )12( 2 1 == yxy { } { } { } 1;22;13;112 yxx . Vậy p.t có 2 nghiệm : (1;2);(2;1) 6. Đặt A n =++ 222 118 Thử n 8 thấy A không chính phơng (2305; 2306; 2308; 2312; 2320; 2336; 2368; 2442; 2560). Với n > 8 ta có A= ( ) ( ) 9221822 8888 +=++ nn Do 2 8 chính phơng nên để A chính phơng thì 2 n-8 +9 = m 2 với m N* ( ) ( ) 8 233 =+ n mm = =+ b a m m 23 23 với a,b N và a > b ( ) == = (*)6122)2.(622 )1(222 8 babba nba Suy ra 2 b là ớc của 6, hay 2 b {1; 2; 3; 6} b {0; 1} (chỉ nhận 1;2; còn 3;6 loại) thay vào (2) ta có 2 a {7; 8} suy ra a =3 (chỉ nhận 8, ứng với b=1; còn 7 loại ) Vậy b =1; a = 3 suy ra n = a + b + 8 = 12 Với n =12 ta có ( ) 24812118 80922222 =+=++ thoả mãn yêu cầu bài toán. 7. ( )( )( ) ( )( ) 788871 2222 +++=+++= xxxxyxxxxy Đặt ( ) ( ) 04949722440778 222222 =+++=+=+= zzyzzyzzyxxz ( ) ( ) 49722 22 =+ zy ( )( ) 7749149722722 ===++ zyzy Giải các khả năng có 6 hệ. 7 Phng trỡnh nghim nguyờn *) = =++ 49722 1722 zy zy = = 16 12 z y ; *) = = = =++ 9 12 49722 1722 z y zy zy *) = = = =++ 9 12 1722 49722 z y zy zy *) = = = =++ 16 12 1722 49722 z y zy zy *) = = = =++ 7 0 7722 7722 z y zy zy *) = = = =++ 0 0 7722 7722 z y zy zy Giải các phơng trình đặt cho z. *) z = -16 ( ) ( ) ( ) 12;4;12;4404168 2 2 ==+=+ xxxx *) z = 9 ( ) ( ) ( ) ( ) 12;9;12;9;12;1;12;19;198 2 ===+ xxxx *) z = 0 ( ) ( ) 0;8;0;08;008 2 ===+ xxxx *) z = -7 ( ) ( ) .0;7;0;17;178 2 ===+ xxxx Vậy phơng trình đã cho có 10 nghiệm. 8. ( ) ( ) zyzyxyxxyzxyxxyzzyzyyxxzxyyzy 32322323323 20202 =+=++=++ zyzyzyzyzyxyxxyzzy 2223232222 2 ++=++ ( ) ( ) ( ) ( )( ) (*) 4 11 2 1 2 2 2 2 2 y yzzy y xyzyyzzzyxyzyxyz ++= ++=+ Do VT ( )( ) 11 4 00 2 2 + yzzy y VP ( Đổi dấu 1- y) 1 = y vì nếu 2 2 4 1 y y y >> vô lí (chú ý: x;y;z * N ) Khi y =1 phơng trình đã cho trở thành = = =+ =+ = + 1 2 1 2 1 2 1 2 1 4 1 2 1 (*) 2 xz xz xz xz xz Phơng trình đã cho có vô số nghiệm (n; 1; n); (n; 1; n-1) với n N * 8 Phng trỡnh nghim nguyờn 9. Tìm xy sao cho 14)( 222 += xyyx Đk x, y là các chữ số ,x 0 14)( 222 += xyyx 0142 4224 =+ xyyyxx ( ) ( ) 01442 224224 =++++ xyyxyyxx ( ) ( ) 012 2 2 22 =++ xyyx ( )( ) 01212 2222 =++++ xyyxxyyx vì x 2 +y 2 +2xy+1 >0 ( ) 01012 2 22 ==+ yxxyyx ( )( ) 011 =+ yxyx =+= == 98;87;76;65;54;43;32;21;101 89;78;67;56;45;34;23;121 xyyx xyyx Có 17 số thoả mãn yêu cầu. 10. 19522 2 += yxxyx ( ) ( ) 01962 =++ yxxyxx ( )( ) ( ) 02212312 =+++ xxyx ( )( ) 12(*)22312 +=+ xyxx là ớc của 22 Hay { } { } 6;5;1;022;11;2;112 + xx ,(Các ớc 22;2 bị loại vì 2x+1 là lẻ) Thay vào phơng trình (*) có y tơng ứng là { } 11;4;26;19 y Vậy phơng trình đã cho có 4 nghiệm (x; y) = (0; 19); (-1; -26); (5; 4); (-6; -11). 11. Theo bài ra ta có phơng trình: xy = 2( x + y) (*) trong đó x, y thuộc Z + và x lẻ (*) ( ) ( ) ( ) 4222022022 ==+=++ yyxyyxyxxy ( )( ) 422 = yx 2x Ư(4)={ 1; 2; 4} { } { } 3;12;6;0;4;1;3 = xx do x lẻ Thay x=1; x=3 vào phơng trình (*) ta đợc kết quả y { } 6;2 ;-2 bị loại Vậy số đấu thủ của hai trờng là 3; 6. 12.Tìm n nguyên để các nghiệm của pt : x 2 - (4+n)x +2n = 0 cũng nguyên. Vì các hệ số của pt đều nguyên nên đk cần là 016 2 >+= n là số chính ph ơng Đặt n 2 +16 = k 2 ; 4.48.216.1))((16 22 ===+= knknknZk Để ý : (n+k) +(n-k)=2n là số chẵn, nên khả năng-1.16 bị loại( vì tổng của 2 thừa cố này =15(lẻ), chỉ còn phải xét 6 khả năng có từ -2.8 và -4.4.Kết quả cho ở bảng sau: n+k 8 -8 2 -2 4 -4 n- k -2 2 -8 8 -4 4 n 3 -3 -3 3 0 0 Ta kiểm tra lại cho 3 khả năng có đợc của n=-3;0;3 để lấy ngiệm (Nếu phù hợp) *) n = 3 => x 2 -7x+6 = 0 =>x =1;6 , cả 2 nghiệm đều thoả mãn => n = 3 thoả mãn. *) n =-3 => x 2 -x-6 = 0 =>x = -2;4 , cả 2 nghiệm đều thoả mãn => n = -3 thoả mãn. *) n = 0 => x 2 - 4x = 0 =>x = 0;4 , cả 2 nghiệm đều thoả mãn => n = 0 thoả mãn. 9 Phng trỡnh nghim nguyờn Vậy có 3 giá trị thoả mãn : n = -3;0;3 13. Tìm n nguyên để các nghiệm của pt : x 2 -(4+n)x+ 4n- 25 = 0 cũng nguyên. Vì các hệ số của pt đều nguyên nên đk cần là 0100)4( 2 >+= n là số chính ph ơng Đặt (n-4) 2 +100 = k 2 ; 10.1050.2100.1100)4)(4( ====+ knknZk Để ý : (n-4+k) +(n-4-k)=2n là số chẵn, nên khả năng-1.100 bị loại( vì tổng của 2 thừa cố này =99(lẻ), chỉ còn phải xét 6 khả năng có từ -2.50 và - 10.10. Kết quả cho ở bảng sau: n- 4+k 50 -50 2 -2 10 - 10 n- 4 - k -2 2 - 50 50 - 10 10 n 28 -20 -20 28 4 4 Ta kiểm tra lại cho 3 khả năng có đợc của n=- 20;4;28 để lấy ngiệm (Nếu phù hợp) *) n = 28 => x 2 -32x+87 = 0 =>x =3;29 , cả 2 nghiệm đều thoả mãn => n = 28 thoả mãn. *) n =- 20=>x 2 +16x-105 = 0 =>x =-21;5, cả 2 nghiệm thoả mãn => n =-20 thoả mãn. *) n = 4 => x 2 - 8x - 9 = 0 =>x = -1;9 , cả 2 nghiệm đều thoả mãn => n = 4 thoả mãn. Vậy có 3 giá trị thoả mãn : n = - 20;4;28 14. Tìm số p nguyên tố,biết pt: x 2 +px-12p = 0 có 2 nghiệm đều nguyên. Vì các hệ số của pt đều nguyên nên đk cần là 0)48( >+= pp là số chính ph ơng Do p là số nguyên tố =>đk cần tiếp theo là: 3;24848 =+ pppp Với p = 2 6;40242100 2 ==+= xxx cả 2 nghiệm đều nguyên,p=2 TMĐK. Với p = 3 153 = , không chính phơng nên p = 3 bị loại. Vậy p = 2 là số nguyên tố cần tìm. 15.Tìm Nnm ; sao cho các nghiệm của phơng trình: x 2 -m(n+1)x +m +n +1 = 0 cũng là số tự nhiên. Gọi 21 ; xx là các nghiệm của pt,khi đó ,theo Viet ta có: .2)1()1)(1(1. )2 .(1. )1) .(1( 212121 21 21 +=+= ++= +=+ mnxxmnnxxxx nmxx nmxx 2)1)(1()1( 21 =+ xxmn (*) Do x;m;n đều là số tự nhiên,nên ,từ pt (2) của hệ Viet ta có : 1; 21 xx Kết hợp đk đó với pt (1)=> m> 0 => vế trái của (*) là tổng của 2 số không âm 10 [...]... =>y = 2 Vậy nghiệm của pt là (x;y;z) = (2;2;5) III-giải bằng phơng pháp cực hạn 1 Tìm nghiệm nguyên dơng của các phơng trình: a) x+y+z = xyz ; b) x+y+z+t = xyzt ; c) x+y+z+9 =xyz ; 2 Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình : x+y+1=xyz 3 Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình: x3+7y = y3+7x 4 Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình: xy yz zx + + =3 z x y 5 Tìm nghiệm nguyên dơng của các phơng trình: a)... x+ 2+ y 3 Vậy nghiệm của phơng trình là (2; 3) II-Giải bằng phơng pháp chẵn- lẻ 1 2 3 4 Tìm nghiệm nguyên tố của phơng trình: x2-2y2= 1 Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: x3- 2y3- 4z3= 0 Bài Đấu cờ Sơ tuyển của huyện Quỳnh lu- năm 2002-2003(In ở phần I) Tìm nghiệm tự nhiên của phơng trình : 2x+y2+y =111 ( Sơ tuyển tỉnh của huyện Quỳnh lu- năm 2005-2006) 5 Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: (2x+5y+1)(... +y+x2+x) = 105 6 Tìm số nguyên tố p để (4p+1) là số chính phơng 7 Tìm nghiệm nguyên tố của phơng trình: xy+1 = z Hớng dẫn giải 1.Tìm nghiệm nguyên tố của phơng trình: x2-2y2= 1 (1) (1) => x2=2y2+1=> x2 lẻ => x lẻ=> x=2n+1 =>2y2= (2n+1)2- 1 =4(n2+n) =>y2 chẵn =>y chẵn => y=2 ( 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất) => x=3 Vậy pt có 1 nghiệm (x;y)= (2;3) 2.Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: x3- 2y3- 4z3= 0... 1999 không có nghiệm nguyên Giả sử pt có nghiệm nguyên, khi đó do x;y nguyên nên x 2 ; y 2 0;1(mod 4) VT 0;1;2(mod4) Trong khi đó VP =1999 =499.4 + 3 ( VP 3(mod 4) Vậy điều giả sử là sai, hay phơng trình không có nghiệm nguyên 5 Ch/m: Với x;y;z nguyên thì ( x2+y2+z2) không đồng d với 7 theo môdun 8 Từ đó suy ra phơng trình 4x2+y2+9z2 = 71 không có nghiệm nguyên Giả sử x 2 + y 2 + z 2 7(mod 8)... phơng trình x +y = 1999 không có nghiệm nguyên 5 Ch/m: Với x;y;z nguyên thì ( x2+y2+z2) không đồng d với 7 theo môdun 8 Từ đó suy ra phơng trình 4x2+y2+9z2 = 71 không có nghiệm nguyên Hớng dẫn giải 1a) x2-2y2 = 5 Chú ý rằng: x Z ; x 1(mod 5); x 2(mod 5) x 2 1(mod 5) Tơng tự : y 2 1(mod 5) 2 y 2 2(mod 5) x2-2y2 1;3(mod 5) Trong khi đó VP = 5 0(mod 5) Do đó VT = Vậy phơng trình không có nghiệm. .. phơng trình có 5 nghiệm: (x;y;z) = (1;1;3); (1;2;2),(2;1;2),(2;3;1),(3;2;1) 3 Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình: x3+7y = y3+7x.(3) (3) (x-y)(x2+xy+y2-7) = 0 => x=y hoặc x2+xy+y2 = 7 Khi x=y => nghiệm của pt là (x;y)= (n;n), với n là số nguyên dơng 7 x = 1; y = 2 0 xy 3 x = 2; y = 1 do (x-y)2 xy Khi , từ x2+xy+y2 = 7=> (x-y)2 = 7- 3xy, Vậy pt có vô số nghiệm (x;y)= (2;1),(1;2), (n;n) 4 Tìm nghiệm. .. (2y-1)(2z-1)=23=1.23 => y=1; z=12 (khôngTMgiả sử) *) x=3=> (1c)3 yz-y-z = 12 (3y-1)(3z-1)=37=1.37 => 3y=2; 3z=38 ( loại vì y;z không nguyên) Vậy (1c) đã có 1 nghiệm (x;y;z) = (1;2;12) Thực hiện hoán vị cho nghiệm này ta có 6 nghiệm cần tìm 2 Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình : x+y+1=xyz.(2) Bài này không có dạng nh bài 1, vai trò nh nhau chỉ đúng cho x và y Giả sử 1 x y - Khi x = y => (2)2x +1... Vậy phơng trình không có nghiệm nguyên 1b) x2-3y2 = 17 x2 =3y2+17 Chú ý rằng: Z ; x 2 0;1(mod 3);3 y 2 0(mod 3);17 2(mod 3) x Do đó VT = x2 0;1(mod 3) Trong khi đó VP = 3y2+ 17 Vậy phơng trình không có nghiệm nguyên 2(mod 3) 1c) x2-5y2 = 17 x2 =5y2+17 Tơng tự nh 2 câu trên VT = x2 0;1;4(mod 5) Trong khi đó VP = 5y2+17 2(mod 5) Vậy phơng trình không có nghiệm nguyên 1d) 2x+122 = y2- 32 y2... y không nguyên (tơng tự cho - 35) Giải các khả năng còn lại ta chọn đợc y = 4 (ứng với Vậy phơng trình có 1 nghiệm (x;y) = (0; 4) 21 5 y + 1 = 21 y + 1= 5 ) Phng trỡnh nghim nguyờn 6.Tìm số nguyên tố p để (4p+1) là số chính phơng Giả sử (4p+1) = x2 => x2 lẻ => x lẻ=> x =2n+1 với n là số nguyên Khi đó 4p+1 = 4n2+ 4n+ 1=>p = n(n+1) => p chẵn => p = 2 (2 là số nguyên tố chẵn duy nhất) Vậy số nguyên. .. *) 4x2+y2+9z2 = 71 (2x)2+y2+(3z)2 = 71 Do x;y;z nguyên nên 2x;y;3z đều nguyên Theo chứng minh trên thì VT không đồng d với 7 theo môdun 8 Trong lúc đó 71= 8.8 +7 => VP lại đồng d với 7 theo môdun 8 Vậy phơng trình không có nghiệm nguyên Tài liệu tham khảo I-định nghĩa,Các tính chất của chia hết trên tập Z: Đ/n: Số a nguyên đợc gọi là chia hết cho số b nguyên nếu số d của a:b bằng 0 b Kí hiệu : a ; viết . yx Vậy nghiệm của phơng trình là (2; 3). II-Giải bằng ph ơng pháp chẵn- lẻ 1. Tìm nghiệm nguyên tố của phơng trình: x 2 -2y 2 = 1. 2. Tìm nghiệm nguyên. Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: (2x+5y+1)( x 2 +y+x 2 +x) = 105. 6. Tìm số nguyên tố p để (4p+1) là số chính phơng. 7. Tìm nghiệm nguyên tố của phơng trình: