http://www.ebook.edu.vn Chu . o . ng 1 D - a . i cu . o . ng vˆe ` d¯ˆo ` thi . 1.1 D - i . nh ngh˜ıa v`a c´ac kh´ai niˆe . m 1.1.1 D - ˆo ` thi . c´o hu . ´o . ng D - ˆo ` thi . c´o hu . ´o . ng G = (V, E) gˆo ` m mˆo . t tˆa . p V c´ac phˆa ` n tu . ˙’ go . i l`a d¯ı ˙’ nh (hay n´ut) v`a mˆo . t tˆa . p E c´ac cung sao cho mˆo ˜ i cung e ∈ E tu . o . ng ´u . ng v´o . i mˆo . t cˇa . p c´ac d¯ı ˙’ nh d¯u . o . . c sˇa ´ p th´u . tu . . . Nˆe ´ u c´o d¯´ung mˆo . t cung e tu . o . ng ´u . ng c´ac d¯ı ˙’ nh d¯u . o . . c sˇa ´ p th´u . tu . . (a, b), ta s˜e viˆe ´ t e := (a, b). Ch´ung ta s˜e gia ˙’ su . ˙’ c´ac d¯ı ˙’ nh d¯u . o . . c d¯´anh sˆo ´ l`a v 1 , v 2 , . . . , v n hay gia ˙’ n tiˆe . n, 1, 2, . . . , n, trong d¯´o n = #V l`a sˆo ´ c´ac d¯ı ˙’ nh cu ˙’ a d¯ˆo ` thi . . Nˆe ´ u e l`a mˆo . t cung tu . o . ng ´u . ng cˇa . p c´ac d¯ı ˙’ nh d¯u . o . . c sˇa ´ p th´u . tu . . v i v`a v j th`ı d¯ı ˙’ nh v i go . i l`a gˆo ´ c v`a d¯ı ˙’ nh v j go . i l`a ngo . n; cung e go . i l`a liˆen thuˆo . c hai d¯ı ˙’ nh v i v`a v j . Ch´ung ta s˜e thu . `o . ng k´y hiˆe . u m = #E−sˆo ´ ca . nh cu ˙’ a d¯ˆo ` thi . G. C´ac ca . nh thu . `o . ng d¯u . o . . c d¯´anh sˆo ´ l`a e 1 , e 2 , . . . , e m . Mˆo . t c´ach h`ınh ho . c, c´ac d¯ı ˙’ nh d¯u . o . . c biˆe ˙’ u diˆe ˜ n bo . ˙’ i c´ac d¯iˆe ˙’ m, v`a e = (v i , v j ) d¯u . o . . c biˆe ˙’ u diˆe ˜ n bo . ˙’ i mˆo . t cung nˆo ´ i c´ac d¯iˆe ˙’ m v i v`a v j . Mˆo . t cung c´o gˆo ´ c tr`ung v´o . i ngo . n go . i l`a khuyˆen. Nˆe ´ u c´o nhiˆe ` u ho . n mˆo . t cung v´o . i gˆo ´ c ta . i v i v`a ngo . n ta . i v j th`ı G go . i l`a d¯a d¯ˆo ` thi . v`a c´ac cung tu . o . ng ´u . ng go . i l`a song song. D - o . n d¯ˆo ` thi . c´o hu . ´o . ng l`a d¯ˆo ` thi . khˆong khuyˆen trong d¯´o hai d¯ı ˙’ nh bˆa ´ t k`y v i v`a v j c´o nhiˆe ` u nhˆa ´ t mˆo . t cung (v i , v j ). Chˇa ˙’ ng ha . n, d¯ˆo ` thi . trong H`ınh 1.1 c´o cung e 8 l`a khuyˆen; c´ac cung e 4 v`a e 9 l`a song song do c`ung tu . o . ng ´u . ng cˇa . p d¯ı ˙’ nh v 3 v`a v 4 . 9 http://www.ebook.edu.vn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 e 1 e 2 e 3 e 4 e 5 e 6 e 7 e 8 e 9 • • • • • H`ınh 1.1: V´ı du . cu ˙’ a 2−d¯ˆo ` thi . c´o hu . ´o . ng. 1.1.2 D - ˆo ` thi . v`a ´anh xa . d¯a tri . V´o . i mˆo ˜ i x ∈ V, k´y hiˆe . u Γ(x) := {y ∈ V | (x, y) ∈ E}. Khi d¯´o ta c´o mˆo . t ´anh xa . d¯a tri . Γ: V → 2 V , x → Γ(x). K´y hiˆe . u Γ −1 l`a ´anh xa . (d¯a tri . ) ngu . o . . c cu ˙’ a Γ. Nˆe ´ u G l`a d¯o . n d¯ˆo ` thi . , th`ı d¯ˆo ` thi . n`ay ho`an to`an d¯u . o . . c x´ac d¯i . nh bo . ˙’ i tˆa . p V v`a ´anh xa . d¯a tri . Γ t`u . V v`ao 2 V . V`ı vˆa . y, d¯ˆo ` thi . n`ay c`on c´o thˆe ˙’ k´y hiˆe . u l`a G = (V, Γ). Nˆe ´ u xo´a cung e 9 trong H`ınh 1.1 ta nhˆa . n d¯u . o . . c d¯o . n d¯ˆo ` thi . v`a do d¯´o c´o thˆe ˙’ biˆe ˙’ u diˆe ˜ n bo . ˙’ i ´anh xa . d¯a tri . Γ. Trong tru . `o . ng ho . . p n`ay ta c´o Γ(v 1 ) = {v 2 }, Γ(v 2 ) = {v 1 , v 3 }, Γ(v 3 ) = {v 4 , v 5 }, Γ(v 4 ) = {v 5 }, Γ(v 5 ) = {v 1 , v 5 }. 1.1.3 D - ˆo ` thi . vˆo hu . ´o . ng Khi nghiˆen c´u . u mˆo . t sˆo ´ t´ınh chˆa ´ t cu ˙’ a c´ac d¯ˆo ` thi . , ta thˆa ´ y rˇa ` ng ch´ung khˆong phu . thuˆo . c v`ao hu . ´o . ng cu ˙’ a c´ac cung, t´u . c l`a khˆong cˆa ` n phˆan biˆe . t su . . kh´ac nhau gi˜u . a c´ac d¯iˆe ˙’ m bˇa ´ t d¯ˆa ` u v`a kˆe ´ t th´uc. D - iˆe ` u n`ay d¯o . n gia ˙’ n l`a mˆo ˜ i khi c´o ´ıt nhˆa ´ t mˆo . t cung gi˜u . a hai d¯ı ˙’ nh ta khˆong quan tˆam d¯ˆe ´ n th´u . tu . . cu ˙’ a ch´ung. V´o . i mˆo ˜ i cung, t´u . c l`a mˆo ˜ i cˇa . p c´o th´u . tu . . (v i , v j ) ta cho tu . o . ng ´u . ng cˇa . p khˆong c´o th´u . tu . . (v i , v j ) go . i l`a c´ac ca . nh. Tu . o . ng d¯u . o . ng, ta n´oi rˇa ` ng ca . nh l`a mˆo . t cung m`a hu . ´o . ng d¯˜a bi . bo ˙’ quˆen. Vˆe ` h`ınh ho . c, ca . nh (v i , v j ) d¯u . o . . c biˆe ˙’ u diˆe ˜ n bo . ˙’ i c´ac d¯oa . n thˇa ˙’ ng (hoˇa . c cong) v`a khˆong c´o m˜ui tˆen liˆen thuˆo . c hai d¯iˆe ˙’ m tu . o . ng ´u . ng hai d¯ı ˙’ nh v i v`a v j . 10 http://www.ebook.edu.vn Nghiˆen c´u . u c´ac t´ınh chˆa ´ t vˆo hu . ´o . ng cu ˙’ a d¯ˆo ` thi . G = (V, E) d¯u . a vˆe ` kha ˙’ o s´at tˆa . p E l`a tˆa . p c´ac ca . nh, t´u . c l`a, mˆo . t tˆa . p h˜u . u ha . n c´ac phˆa ` n tu . ˙’ m`a mˆo ˜ i phˆa ` n tu . ˙’ l`a mˆo . t cˇa . p hai d¯ı ˙’ nh phˆan biˆe . t hay d¯ˆo ` ng nhˆa ´ t cu ˙’ a V. D - a d¯ˆo ` thi . vˆo hu . ´o . ng l`a d¯ˆo ` thi . m`a c´o thˆe ˙’ c´o nhiˆe ` u ho . n mˆo . t ca . nh liˆen thuˆo . c hai d¯ı ˙’ nh. D - ˆo ` thi . go . i l`a d¯o . n nˆe ´ u n´o khˆong c´o khuyˆen v`a hai d¯ı ˙’ nh bˆa ´ t k`y c´o nhiˆe ` u nhˆa ´ t mˆo . t ca . nh liˆen thuˆo . c ch´ung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 e 1 e 2 e 3 e 4 e 5 e 6 e 7 e 8 e 9 • • • • • H`ınh 1.2: D - ˆo ` thi . vˆo hu . ´o . ng tu . o . ng ´u . ng d¯ˆo ` thi . trong H`ınh 1.1. 1.1.4 C´ac d¯i . nh ngh˜ıa ch´ınh Hai cung, hoˇa . c hai ca . nh go . i l`a kˆe ` nhau nˆe ´ u ch´ung c´o ´ıt nhˆa ´ t mˆo . t d¯ı ˙’ nh chung. Chˇa ˙’ ng ha . n, hai ca . nh e 1 v`a e 3 trong H`ınh 1.2 l`a kˆe ` nhau. Hai d¯ı ˙’ nh v i v`a v j go . i l`a kˆe ` nhau nˆe ´ u tˆo ` n ta . i ca . nh hoˇa . c cung e k liˆen thuˆo . c ch´ung. V´ı du . trong H`ınh 1.2 hai d¯ı ˙’ nh v 2 v`a v 3 l`a kˆe ` nhau (liˆen thuˆo . c bo . ˙’ i ca . nh e 3 ), nhu . ng d¯ı ˙’ nh v 2 v`a v 5 khˆong kˆe ` nhau. Bˆa . c v`a nu . ˙’ a bˆa . c Bˆa . c ngo`ai cu ˙’ a d¯ı ˙’ nh v ∈ V, k´y hiˆe . u d + G (v) (hay d + (v) nˆe ´ u khˆong so . . nhˆa ` m lˆa ˜ n) l`a sˆo ´ c´ac cung c´o d¯ı ˙’ nh v l`a gˆo ´ c. Bˆa . c trong cu ˙’ a d¯ı ˙’ nh v ∈ V, k´y hiˆe . u d − G (v) (hay d − (v) nˆe ´ u khˆong so . . nhˆa ` m lˆa ˜ n) l`a sˆo ´ c´ac cung c´o d¯ı ˙’ nh v l`a ngo . n. Chˇa ˙’ ng ha . n, d¯ˆo ` thi . c´o hu . ´o . ng trong H`ınh 1.1 c´o d + (v 2 ) = 2, d − (v 2 ) = 1. 11 http://www.ebook.edu.vn Hiˆe ˙’ n nhiˆen rˇa ` ng, tˆo ˙’ ng c´ac bˆa . c ngo`ai cu ˙’ a c´ac d¯ı ˙’ nh bˇa ` ng tˆo ˙’ ng c´ac bˆa . c trong cu ˙’ a c´ac d¯ı ˙’ nh v`a bˇa ` ng tˆo ˙’ ng sˆo ´ cung cu ˙’ a d¯ˆo ` thi . G, t´u . c l`a n  i=1 d + (v i ) = n  i=1 d − (v i ) = m. Nˆe ´ u G l`a d¯ˆo ` thi . vˆo hu . ´o . ng, bˆa . c cu ˙’ a d¯ı ˙’ nh v ∈ V, k´y hiˆe . u d G (v) (hay d(v) nˆe ´ u khˆong so . . nhˆa ` m lˆa ˜ n) l`a sˆo ´ c´ac ca . nh liˆen thuˆo . c d¯ı ˙’ nh v v´o . i khuyˆen d¯u . o . . c d¯ˆe ´ m hai lˆa ` n. V´ı du . d¯ˆo ` thi . vˆo hu . ´o . ng trong H`ınh 1.2 c´o d(v 2 ) = 3, d(v 5 ) = 5. C´ac cung (ca . nh) liˆen thuˆo . c tˆa . p A ⊂ V. C´ac d¯ˆo ´ i chu tr`ınh Gia ˙’ su . ˙’ A ⊂ V. K´y hiˆe . u ω + (A) l`a tˆa . p tˆa ´ t ca ˙’ c´ac cung c´o d¯ı ˙’ nh gˆo ´ c thuˆo . c A v`a d¯ı ˙’ nh ngo . n thuˆo . c A c := V \ A, v`a ω − (A) l`a tˆa . p tˆa ´ t ca ˙’ c´ac cung c´o d¯ı ˙’ nh ngo . n thuˆo . c A v`a d¯ı ˙’ nh gˆo ´ c thuˆo . c A c . D - ˇa . t ω(A) = ω + (A) ∪ ω − (A). Tˆa . p c´ac cung hoˇa . c ca . nh c´o da . ng ω(A) go . i l`a d¯ˆo ´ i chu tr`ınh cu ˙’ a d¯ˆo ` thi . . D - ˆo ` thi . c´o tro . ng sˆo ´ D - ˆo ` thi . c´o tro . ng sˆo ´ nˆe ´ u trˆen mˆo ˜ i cung (hoˇa . c ca . nh) e ∈ E c´o tu . o . ng ´u . ng mˆo . t sˆo ´ thu . . c w(e) go . i l`a tro . ng lu . o . . ng cu ˙’ a cung e. D - ˆo ` thi . d¯ˆo ´ i x´u . ng D - ˆo ` thi . c´o hu . ´o . ng go . i l`a d¯ˆo ´ i x´u . ng nˆe ´ u c´o bao nhiˆeu cung da . ng (v i , v j ) th`ı c˜ung c´o bˆa ´ y nhiˆeu cung da . ng (v j , v i ). D - ˆo ` thi . pha ˙’ n d¯ˆo ´ i x´u . ng D - ˆo ` thi . c´o hu . ´o . ng go . i l`a pha ˙’ n d¯ˆo ´ i x´u . ng nˆe ´ u c´o cung da . ng (v i , v j ) th`ı khˆong c´o cung da . ng (v j , v i ). 12 http://www.ebook.edu.vn D - ˆo ` thi . d¯ˆa ` y d¯u ˙’ D - ˆo ` thi . vˆo hu . ´o . ng go . i l`a d¯ˆa ` y d¯u ˙’ nˆe ´ u hai d¯ı ˙’ nh bˆa ´ t k`y v i v`a v j tˆo ` n ta . i mˆo . t ca . nh da . ng (v i , v j ). D - o . n d¯ˆo ` thi . vˆo hu . ´o . ng d¯ˆa ` y d¯u ˙’ n d¯ı ˙’ nh d¯u . o . . c k´y hiˆe . u l`a K n . D - ˆo ` thi . con Gia ˙’ su . ˙’ A ⊂ V. D - ˆo ` thi . con d¯u . o . . c sinh bo . ˙’ i tˆa . p A l`a d¯ˆo ` thi . G A := (A, E A ) trong d¯´o c´ac d¯ı ˙’ nh l`a c´ac phˆa ` n tu . ˙’ cu ˙’ a tˆa . p A v`a c´ac cung trong E A l`a c´ac cung cu ˙’ a G m`a hai d¯ı ˙’ nh n´o liˆen thuˆo . c thuˆo . c tˆa . p A. Nˆe ´ u G l`a d¯ˆo ` thi . biˆe ˙’ u diˆe ˜ n ba ˙’ n d¯ˆo ` giao thˆong cu ˙’ a nu . ´o . c Viˆe . t Nam th`ı d¯ˆo ` thi . biˆe ˙’ u diˆe ˜ n ba ˙’ n d¯ˆo ` giao thˆong cu ˙’ a th`anh phˆo ´ D - `a La . t l`a mˆo . t d¯ˆo ` thi . con. D - ˆo ` thi . bˆo . phˆa . n X´et d¯ˆo ` thi . G = (V, E) v`a U ⊂ E. D - ˆo ` thi . bˆo . phˆa . n sinh bo . ˙’ i tˆa . p U l`a d¯ˆo ` thi . v´o . i tˆa . p d¯ı ˙’ nh V v`a c´ac cung thuˆo . c U (c´ac cung cu ˙’ a E \ U bi . xo´a kho ˙’ i G). D - ˆo ` thi . con bˆo . phˆa . n X´et d¯ˆo ` thi . G = (V, E) v`a A ⊂ V, U ⊂ E. D - ˆo ` thi . con bˆo . phˆa . n sinh bo . ˙’ i tˆa . p A v`a U l`a d¯ˆo ` thi . bˆo . phˆa . n cu ˙’ a G A sinh bo . ˙’ i U. 1.2 Ma trˆa . n biˆe ˙’ u diˆe ˜ n d¯ˆo ` thi . 1.2.1 Ma trˆa . n liˆen thuˆo . c d¯ı ˙’ nh-cung Ma trˆa . n liˆen thuˆo . c d¯ı ˙’ nh-cung cu ˙’ a d¯ˆo ` thi . G = (V, E) l`a ma trˆa . n A = (a ij ), i = 1, 2, . . . , n, j = 1, 2, . . . , m, v´o . i c´ac phˆa ` n tu . ˙’ 0, 1 v`a −1, trong d¯´o mˆo ˜ i cˆo . t biˆe ˙’ u diˆe ˜ n mˆo . t cung cu ˙’ a G v`a mˆo ˜ i h`ang biˆe ˙’ u diˆe ˜ n mˆo . t d¯ı ˙’ nh cu ˙’ a G. Nˆe ´ u e k = (v i , v j ) ∈ E th`ı tˆa ´ t ca ˙’ c´ac phˆa ` n tu . ˙’ cu ˙’ a cˆo . t k bˇa ` ng khˆong ngoa . i tr`u . a ik = 1, a jk = −1. 13 http://www.ebook.edu.vn V´ı du . 1.2.1 Ma trˆa . n liˆen thuˆo . c d¯ı ˙’ nh-cung cu ˙’ a d¯ˆo ` thi . trong H`ınh 1.3 l`a      e 1 e 2 e 3 e 4 e 5 a +1 +1 0 0 0 b −1 0 +1 +1 0 c 0 −1 −1 0 +1 d 0 0 0 −1 −1      . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a b d c • • • • e 1 e 2 e 3 e 4 e 5 H`ınh 1.3: Nhˇa ´ c la . i rˇa ` ng, ma trˆa . n vuˆong go . i l`a unimodular nˆe ´ u d¯i . nh th´u . c cu ˙’ a n´o bˇa ` ng 1 hoˇa . c −1. Ma trˆa . n A cˆa ´ p m × n go . i l`a total unimodular nˆe ´ u tˆa ´ t ca ˙’ c´ac ma trˆa . n vuˆong con khˆong suy biˆe ´ n cu ˙’ a A l`a unimodular. Mˆe . nh d¯ˆe ` 1.2.2 Ma trˆa . n liˆen thuˆo . c d¯ı ˙’ nh-cung cu ˙’ a d¯ˆo ` thi . G = (V, E) l`a total unimodular. Ch´u . ng minh. Ch´u ´y rˇa ` ng ma trˆa . n liˆen thuˆo . c d¯ı ˙’ nh-cung cu ˙’ a d¯ˆo ` thi . G = (V, E) ch´u . a d¯´ung hai phˆa ` n tu . ˙’ kh´ac khˆong trˆen mˆo ˜ i cˆo . t, mˆo . t bˇa ` ng 1 v`a mˆo . t bˇa ` ng −1. Do d¯´o ta c´o thˆe ˙’ ch´u . ng minh theo quy na . p nhu . sau: Hiˆe ˙’ n nhiˆen, tˆa ´ t ca ˙’ c´ac ma trˆa . n vuˆong con khˆong suy biˆe ´ n cˆa ´ p 1 cu ˙’ a A l`a modular; gia ˙’ su . ˙’ khˇa ˙’ ng d¯i . nh d¯´ung cho mo . i ma trˆa . n con khˆong suy biˆe ´ n cˆa ´ p (k − 1). X´et ma trˆa . n vuˆong con A  cˆa ´ p k cu ˙’ a A. Nˆe ´ u mˆo ˜ i cˆo . t cu ˙’ a A  ch´u . a d¯´ung hai phˆa ` n tu . ˙’ kh´ac khˆong th`ı det(A  ) = 0 (thˆa . t vˆa . y, tˆo ˙’ ng tˆa ´ t ca ˙’ c´ac h`ang cu ˙’ a A  l`a vector khˆong, do d¯´o c´ac h`ang l`a d¯ˆo . c lˆa . p tuyˆe ´ n t´ınh). Nˆe ´ u tˆo ` n ta . i mˆo . t cˆo . t cu ˙’ a A  khˆong c´o phˆa ` n tu . ˙’ kh´ac khˆong th`ı det(A  ) = 0. Cuˆo ´ i c`ung, nˆe ´ u tˆo ` n ta . i cˆo . t j cu ˙’ a A  sao cho c´o d¯´ung mˆo . t phˆa ` n tu . ˙’ kh´ac khˆong a ij (bˇa ` ng 1, hay −1) th`ı det(A  ) = ± det(A  ), trong d¯´o A  l`a ma trˆa . n vuˆong cˆa ´ p (k − 1) nhˆa . n d¯u . o . . c t`u . A  bˇa ` ng c´ach xo´a h`ang i v`a cˆo . t j. Theo gia ˙’ thiˆe ´ t quy na . p, det(A  ) bˇa ` ng 1, −1 hay 0 v`a do d¯´o mˆe . nh d¯ˆe ` d¯u . o . . c ch´u . ng minh.  14 http://www.ebook.edu.vn 1.2.2 Ma trˆa . n liˆen thuˆo . c d¯ı ˙’ nh-ca . nh X´et d¯ˆo ` thi . vˆo hu . ´o . ng G = (V, E). Ma trˆa . n liˆen thuˆo . c d¯ı ˙’ nh-ca . nh cu ˙’ a d¯ˆo ` thi . G l`a ma trˆa . n A = (a ij ), i = 1, 2, . . . , n, j = 1, 2, . . . , m, v´o . i c´ac phˆa ` n tu . ˙’ 0 v`a 1, trong d¯´o mˆo ˜ i cˆo . t biˆe ˙’ u diˆe ˜ n mˆo . t ca . nh cu ˙’ a G v`a mˆo ˜ i h`ang biˆe ˙’ u diˆe ˜ n mˆo . t d¯ı ˙’ nh cu ˙’ a G; ngo`ai ra, nˆe ´ u ca . nh e k liˆen thuˆo . c hai d¯ı ˙’ nh v i v`a v j th`ı tˆa ´ t ca ˙’ c´ac phˆa ` n tu . ˙’ cu ˙’ a cˆo . t k bˇa ` ng khˆong ngoa . i tr`u . a ik = 1, a jk = 1. V´ı du . 1.2.3 Ma trˆa . n liˆen thuˆo . c d¯ı ˙’ nh-ca . nh cu ˙’ a d¯ˆo ` thi . trong H`ınh 1.4 l`a      e 1 e 2 e 3 e 4 e 5 a 1 1 0 0 0 b 1 0 1 1 0 c 0 1 1 0 1 d 0 0 0 1 1      . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a b d c • • • • e 1 e 2 e 3 e 4 e 5 H`ınh 1.4: Tr´ai v´o . i ma trˆa . n liˆen thuˆo . c d¯ı ˙’ nh-cung, n´oi chung ma trˆa . n liˆen thuˆo . c d¯ı ˙’ nh-ca . nh khˆong total unimodular. Chˇa ˙’ ng ha . n, trong v´ı du . trˆen, ma trˆa . n con    1 1 0 1 0 1 0 1 1    c´o d¯i . nh th´u . c bˇa ` ng −2. D - ˆo ` thi . vˆo hu . ´o . ng G = (V, E) go . i l`a hai phˆa ` n nˆe ´ u c´o thˆe ˙’ phˆan hoa . ch tˆa . p c´ac d¯ı ˙’ nh V th`anh hai tˆa . p con r`o . i nhau V 1 v`a V 2 sao cho d¯ˆo ´ i v´o . i mˆo ˜ i ca . nh (v i , v j ) ∈ E th`ı hoˇa . c v i ∈ V 1 , v j ∈ V 2 hoˇa . c v j ∈ V 1 , v i ∈ V 2 . 15 http://www.ebook.edu.vn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a b c d e • • • • • H`ınh 1.5: D - ˆo ` thi . hai phˆa ` n K 2,3 . V´ı du . 1.2.4 Dˆe ˜ kiˆe ˙’ m tra d¯ˆo ` thi . K 2,3 trong H`ınh 1.5 l`a hai phˆa ` n. Mˆe . nh d¯ˆe ` 1.2.5 Ma trˆa . n liˆen thuˆo . c d¯ı ˙’ nh-ca . nh cu ˙’ a d¯ˆo ` thi . vˆo hu . ´o . ng G = (V, E) l`a total unimodular nˆe ´ u v`a chı ˙’ nˆe ´ u G l`a d¯ˆo ` thi . hai phˆa ` n. Ch´u . ng minh. (1) Nˆe ´ u d¯ˆo ` thi . l`a hai phˆa ` n, th`ı ch´ung ta c´o thˆe ˙’ ch´u . ng minh theo quy na . p rˇa ` ng mo . i ma trˆa . n vuˆong con B cu ˙’ a ma trˆa . n liˆen thuˆo . c d¯ı ˙’ nh-ca . nh c´o d¯i . nh th´u . c det(B) = 0, 1 hoˇa . c −1. D - iˆe ` u n`ay d¯´ung v´o . i c´ac ma trˆa . n vuˆong con cˆa ´ p 1; gia ˙’ su . ˙’ khˇa ˙’ ng d¯i . nh d¯´ung v´o . i c´ac ma trˆa . n vuˆong con cˆa ´ p (k − 1). X´et ma trˆa . n vuˆong con B cˆa ´ p k. Nˆe ´ u mˆo ˜ i cˆo . t B j cu ˙’ a B ch´u . a d¯´ung hai phˆa ` n tu . ˙’ bˇa ` ng 1 th`ı  i∈I 1 B i =  i∈I 2 B i , trong d¯´o I 1 v`a I 2 l`a c´ac tˆa . p chı ˙’ sˆo ´ tu . o . ng ´u . ng hai phˆan hoa . ch cu ˙’ a tˆa . p c´ac d¯ı ˙’ nh V v`a B i l`a vector h`ang cu ˙’ a B. C´ac vector h`ang phu . thuˆo . c tuyˆe ´ n t´ınh, nˆen det(B) = 0. Nˆe ´ u, ngu . o . . c la . i, tˆo ` n ta . i cˆo . t c´o d¯´ung mˆo . t phˆa ` n tu . ˙’ bˇa ` ng 1, chˇa ˙’ ng ha . n b ij = 1, k´y hiˆe . u C l`a ma trˆa . n nhˆa . n d¯u . o . . c t`u . B bˇa ` ng c´ach xo´a h`ang i v`a cˆo . t j. Th`ı det(B) = ± det(C) (= 0, 1 hoˇa . c − 1 theo quy na . p). (2) Mˇa . t kh´ac, dˆe ˜ d`ang ch´u . ng minh rˇa ` ng ma trˆa . n liˆen thuˆo . c d¯ı ˙’ nh-ca . nh cu ˙’ a d¯ˆo ` thi . l`a mˆo . t chu tr`ınh d¯ˆo . d`ai le ˙’ (t´u . c l`a sˆo ´ ca . nh trˆen chu tr`ınh l`a le ˙’ -xem Phˆa ` n 1.3) c´o d¯i . nh th´u . c bˇa ` ng ±2. Do d¯´o G khˆong ch´u . a chu tr`ınh d¯ˆo . d`ai le ˙’ v`a v`ı vˆa . y n´o l`a hai phˆa ` n theo bˆo ˙’ d¯ˆe ` sau.  Bˆo ˙’ d¯ˆe ` 1.2.6 D - ˆo ` thi . vˆo hu . ´o . ng G l`a hai phˆa ` n nˆe ´ u v`a chı ˙’ nˆe ´ u G khˆong ch´u . a chu tr`ınh c´o d¯ˆo . d`ai le ˙’ . Ch´u . ng minh. D - iˆe ` u kiˆe . n cˆa ` n. Do V d¯u . o . . c phˆan hoa . ch th`anh V 1 v`a V 2 : V = V 2 ∪ V 2 , V 1 ∩ V 2 = ∅. 16 http://www.ebook.edu.vn Gia ˙’ thiˆe ´ t tˆo ` n ta . i mˆo . t chu tr`ınh c´o d¯ˆo . d`ai le ˙’ µ = {v i 1 , v i 2 , . . . , v i q , v i 1 } v`a khˆong mˆa ´ t t´ınh tˆo ˙’ ng qu´at, lˆa ´ y v i 1 ∈ V 1 . Do G l`a hai phˆa ` n, nˆen hai d¯ı ˙’ nh liˆen tiˆe ´ p trˆen chu tr`ınh µ pha ˙’ i c´o mˆo . t d¯ı ˙’ nh thuˆo . c V 1 v`a d¯ı ˙’ nh kia thuˆo . c V 2 . Do d¯´o v i 2 ∈ V 2 , v i 3 ∈ V 1 , . . . , v`a tˆo ˙’ ng qu´at, v i k ∈ V 1 nˆe ´ u k le ˙’ v`a v i k ∈ V 2 nˆe ´ u k chˇa ˜ n. M`a chu tr`ınh µ c´o d¯ˆo . d`ai le ˙’ nˆen v i q ∈ V 1 v`a bo . ˙’ i vˆa . y v i 1 ∈ V 2 . D - iˆe ` u n`ay mˆau thuˆa ˜ n v´o . i V 1 ∩ V 2 = ∅. D - iˆe ` u kiˆe . n d¯u ˙’ . Khˆong mˆa ´ t t´ınh tˆo ˙’ ng qu´at gia ˙’ thiˆe ´ t d¯ˆo ` thi . G liˆen thˆong. Gia ˙’ su . ˙’ khˆong tˆo ` n ta . i chu tr`ınh c´o d¯ˆo . d`ai le ˙’ . Cho . n d¯ı ˙’ nh bˆa ´ t k`y, chˇa ˙’ ng ha . n v i v`a g´an nh˜an cho n´o l`a “ + ”. Sau d¯´o lˇa . p la . i c´ac ph´ep to´an sau: Cho . n d¯ı ˙’ nh d¯˜a d¯u . o . . c g´an nh˜an v j v`a g´an nh˜an ngu . o . . c v´o . i nh˜an cu ˙’ a v j cho tˆa ´ t ca ˙’ c´ac d¯ı ˙’ nh kˆe ` v´o . i d¯ı ˙’ nh v j . Tiˆe ´ p tu . c qu´a tr`ınh n`ay cho d¯ˆe ´ n khi xa ˙’ y ra mˆo . t trong hai tru . `o . ng ho . . p: (a) Tˆa ´ t ca ˙’ c´ac d¯ı ˙’ nh d¯˜a d¯u . o . . c g´an nh˜an v`a hai d¯ı ˙’ nh bˆa ´ t k`y kˆe ` nhau c´o nh˜an kh´ac nhau (mˆo . t mang dˆa ´ u + v`a mˆo . t mang dˆa ´ u −); hoˇa . c (b) Tˆo ` n ta . i d¯ı ˙’ nh, chˇa ˙’ ng ha . n v j k , d¯u . o . . c g´an hai nh˜an kh´ac nhau. Trong Tru . `o . ng ho . . p (a), d¯ˇa . t V 1 l`a tˆa . p tˆa ´ t ca ˙’ c´ac d¯ı ˙’ nh d¯u . o . . c g´an nh˜an “+” v`a V 2 l`a tˆa . p tˆa ´ t ca ˙’ c´ac d¯ı ˙’ nh d¯u . o . . c g´an nh˜an “−”. Do tˆa ´ t ca ˙’ c´ac ca . nh liˆen thuˆo . c gi˜u . a c´ac cˇa . p d¯ı ˙’ nh c´o nh˜an kh´ac nhau nˆen d¯ˆo ` thi . G l`a hai phˆa ` n. Trong Tru . `o . ng ho . . p (b), d¯ı ˙’ nh v j k d¯u . o . . c g´an nh˜an “+” do . c theo mˆo . t dˆay chuyˆe ` n µ 1 n`ao d¯´o, v´o . i c´ac d¯ı ˙’ nh d¯u . o . . c g´an nh˜an “+” v`a “−” xen k˜e nhau xuˆa ´ t ph´at t`u . v i v`a kˆe ´ t th´uc ta . i v j k . Tu . o . ng tu . . , d¯ı ˙’ nh v j k d¯u . o . . c g´an nh˜an “−” do . c theo mˆo . t dˆay chuyˆe ` n µ 2 n`ao d¯´o, v´o . i c´ac d¯ı ˙’ nh d¯u . o . . c g´an nh˜an “+” v`a “−” xen k˜e nhau xuˆa ´ t ph´at t`u . v i v`a kˆe ´ t th´uc ta . i v j k . Nhu . ng nhu . thˆe ´ chu tr`ınh d¯i do . c theo µ 1 t`u . d¯ı ˙’ nh v i d¯ˆe ´ n d¯ı ˙’ nh v j k sau d¯´o d¯i ngu . o . . c la . i do . c theo µ 2 vˆe ` la . i v i c´o d¯ˆo . d`ai le ˙’ . D - iˆe ` u n`ay mˆau thuˆa ˜ n v´o . i gia ˙’ thiˆe ´ t, v`a do d¯´o khˆong thˆe ˙’ xa ˙’ y ra Tru . `o . ng ho . . p (b). D - i . nh l´y d¯u . o . . c ch´u . ng minh.  1.2.3 Ma trˆa . n kˆe ` hay ma trˆa . n liˆen thuˆo . c d¯ı ˙’ nh-d¯ı ˙’ nh Gia ˙’ su . ˙’ G = (V, E) l`a d¯ˆo ` thi . sao cho c´o nhiˆe ` u nhˆa ´ t mˆo . t cung liˆen thuˆo . c hai d¯ı ˙’ nh bˆa ´ t k`y v i v`a v j . Ma trˆa . n kˆe ` hay ma trˆa . n liˆen thuˆo . c d¯ı ˙’ nh-d¯ı ˙’ nh l`a ma trˆa . n vuˆong A = (a ij ) cˆa ´ p n × n 17 http://www.ebook.edu.vn v´o . i c´ac phˆa ` n tu . ˙’ 0 hoˇa . c 1: a ij :=  1 nˆe ´ u (v i , v j ) ∈ E, 0 nˆe ´ u ngu . o . . c la . i. Trong tru . `o . ng ho . . p d¯ˆo ` thi . vˆo hu . ´o . ng, ma trˆa . n kˆe ` cu ˙’ a d¯o . n d¯ˆo ` thi . c˜ung c´o thˆe ˙’ d¯u . o . . c d¯i . nh ngh˜ıa bˇa ` ng c´ach xem mˆo ˜ i ca . nh (v i , v j ) tu . o . ng ´u . ng hai cung (v i , v j ) v`a (v j , v i ). Trong tru . `o . ng ho . . p n`ay, ma trˆa . n kˆe ` l`a d¯ˆo ´ i x´u . ng. 1.2.4 C´ac biˆe ˙’ u diˆe ˜ n cu ˙’ a d¯ˆo ` thi . D - ˆe ˙’ mˆo ta ˙’ mˆo . t d¯ˆo ` thi . , ta c´o thˆe ˙’ su . ˙’ du . ng mˆo . t sˆo ´ c´ach biˆe ˙’ u diˆe ˜ n kh´ac nhau. V´o . i quan d¯iˆe ˙’ m lˆa . p tr`ınh, n´oi chung c´ac biˆe ˙’ u diˆe ˜ n n`ay khˆong tu . o . ng d¯u . o . ng theo kh´ıa ca . nh hiˆe . u qua ˙’ cu ˙’ a thuˆa . t to´an. C´o hai c´ach biˆe ˙’ u diˆe ˜ n ch´ınh: Th´u . nhˆa ´ t, su . ˙’ du . ng ma trˆa . n kˆe ` hoˇa . c c´ac dˆa ˜ n xuˆa ´ t cu ˙’ a n´o; th´u . hai, su . ˙’ du . ng ma trˆa . n liˆen thuˆo . c hoˇa . c c´ac dˆa ˜ n xuˆa ´ t cu ˙’ a n´o. Su . ˙’ du . ng ma trˆa . n kˆe ` Ch´ung ta biˆe ´ t rˇa ` ng c´ac ma trˆa . n kˆe ` cho ph´ep miˆeu ta ˙’ hoˇa . c c´ac 1-d¯ˆo ` thi . d¯i . nh hu . ´o . ng, hoˇa . c c´ac d¯o . n d¯ˆo ` thi . vˆo hu . ´o . ng. V´o . i c´ach biˆe ˙’ u diˆe ˜ n d¯ˆo ` thi . qua ma trˆa . n kˆe ` , ta thˆa ´ y sˆo ´ lu . o . . ng thˆong tin, gˆo ` m c´ac bit 0 v`a 1, cˆa ` n lu . u tr˜u . l`a n 2 . C´ac bit c´o thˆe ˙’ d¯u . o . . c kˆe ´ t ho . . p trong c´ac t`u . . K´y hiˆe . u w l`a d¯ˆo . d`ai cu ˙’ a t`u . (t´u . c l`a sˆo ´ c´ac bit trong mˆo . t t`u . m´ay t´ınh). Khi d¯´o mˆo ˜ i h`ang cu ˙’ a ma trˆa . n kˆe ` c´o thˆe ˙’ d¯u . o . . c viˆe ´ t nhu . mˆo . t d˜ay n bit trong n/w t`u . 1 . Do d¯´o sˆo ´ c´ac t`u . d¯ˆe ˙’ lu . u tr˜u . ma trˆa . n kˆe ` l`a nn/w. Ma trˆa . n kˆe ` cu ˙’ a d¯ˆo ` thi . vˆo hu . ´o . ng l`a d¯ˆo ´ i x´u . ng, nˆen ta chı ˙’ cˆa ` n lu . u tr˜u . nu . ˙’ a tam gi´ac trˆen cu ˙’ a n´o, v`a do d¯´o chı ˙’ cˆa ` n n(n − 1)/2 bit. Tuy nhiˆen, v´o . i c´ach lu . u tr˜u . n`ay, s˜e tˇang d¯ˆo . ph´u . c ta . p v`a th`o . i gian t´ınh to´an trong mˆo . t sˆo ´ b`ai to´an. Trong tru . `o . ng ho . . p c´ac ma trˆa . n thu . a (m  n 2 v´o . i d¯ˆo ` thi . c´o hu . ´o . ng; m  1 2 n(n + 1) d¯ˆo ´ i v´o . i d¯ˆo ` thi . vˆo hu . ´o . ng) c´ach biˆe ˜ u diˆe ˜ n n`ay l`a l˜ang ph´ı. Do d¯´o ta s˜e t`ım c´ach biˆe ˙’ u diˆe ˜ n chı ˙’ c´ac phˆa ` n tu . ˙’ kh´ac khˆong. V`ı mu . c d¯´ıch n`ay ta s˜e su . ˙’ du . ng mˆo . t ma ˙’ ng danh s´ach kˆe ` cho d¯ˆo ` thi . c´o hu . ´o . ng. D - ˆo ` thi . c´o hu . ´o . ng d¯u . o . . c biˆe ˙’ u diˆe ˜ n bo . ˙’ i mˆo . t ma ˙’ ng c´ac con tro ˙’ V out[1], V out[2], . . . , V out[n], trong d¯´o mˆo ˜ i con tro ˙’ tu . o . ng ´u . ng v´o . i mˆo . t d¯ı ˙’ nh trong d¯ˆo ` thi . c´o hu . ´o . ng. Mˆo ˜ i phˆa ` n tu . ˙’ cu ˙’ a ma ˙’ ng V out[i] chı ˙’ d¯ˆe ´ n mˆo . t n´ut d¯ˆa ` u lu . u tr˜u . mu . c d˜u . liˆe . u cu ˙’ a n´ut tu . o . ng ´u . ng d¯ı ˙’ nh v i v`a ch´u . a mˆo . t con tro ˙’ 1 K´y hiˆe . u x l`a sˆo ´ nguyˆen nho ˙’ nhˆa ´ t khˆong b´e ho . n x. 18