ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Nguyễn Thị Hồng Hạnh ĐẶC TRƯNG TÍNH NHỊ PHÂN MŨ MẠNH CỦA HỌ TIẾN HÓA LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - Năm 2019 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Nguyễn Thị Hồng Hạnh ĐẶC TRƯNG TÍNH NHỊ PHÂN MŨ MẠNH CỦA HỌ TIẾN HĨA Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 8460101.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: Hà Nội - Năm 2019 TS Trịnh Viết Dược Mục lục Lời cảm ơn Lời mở đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1.Khơng gian tuyến tính định chuẩn 1.1.1 Các định nghĩa 1.1.2 Tốn tử tuyến tính bị chặn 1.1.3 Không gian tốn tử tuyến tính bị chặn 1.2.Họ tiến hóa không gian Banach Chương Đặc trưng tính nhị phân mũ mạnh họ tiến hóa 11 2.1.Khái niệm nhị phân mũ mạnh theo họ chuẩn 11 2.2.Đặc trưng tính nhị phân mũ mạnh họ tiến hóa sinh họ toán tử liên tục mạnh 13 2.3.Đặc trưng tính nhị phân mũ mạnh họ tiến hóa tổng quát 28 2.4.Nhị phân mũ mạnh không 36 Kết luận 41 Tài liệu tham khảo 42 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến Sỹ Trịnh Viết Dược người tận tình hướng dẫn để em hồn thành luận văn Em xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy giáo khoa Tốn - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nội dạy bảo em tận tình suốt trình học tập khoa Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè ln bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em suốt trình học tập thực luận văn Hà Nội, ngày 19 tháng 10 năm 2019 Học viên Nguyễn Thị Hồng Hạnh LỜI MỞ ĐẦU Tính hyperbolic tốn tử tuyến tính bị chặn xác định qua phổ tốn tử, phổ tốn tử khơng cắt trục ảo Perron vào năm 1930 đặc trưng tính hyperbolic tốn tử tuyến tính bị chặn thơng qua lớp ánh xạ liên tục bị chặn, phương pháp Perron sau gọi phương pháp “input-output” (đầu vào-đầu ra) Về mặt hình học, dáng điệu nghiệm phương trình trình vi phân gắn với tốn tử hyperbolic (cịn gọi hệ hyperbolic) giống với mặt phẳng pha điểm yên ngựa Không gian ban đầu phân tách thành tổng trực tiếp hai khơng gian đóng mà nghiệm bị co lại có giá trị ban đầu thuộc hai không gian (ứng với không gian ổn định) giãn có giá trị ban đầu thuộc khơng gian cịn lại (ứng với khơng gian khơng ổn định) Tính chất xem tính cốt lõi hệ hyperbolic, mở rộng khái niệm hyperbolic cho phương trình trình vi phân gắn với tốn tử tuyến tính khơng bị chặn phương trình trình vi phân gắn với tốn tử tuyến tính phụ thuộc thời gian (cịn gọi hệ khơng ơtơnơm - “non autonomous”) tính chất ln bảo toản Tuy nhiên, có điều chỉnh mặt khái niệm nên hệ khơng ơtơnơm có tính chất hyperbolic thường gọi hệ có nhị phân mũ Sau này, khái niệm hyperbolic tổng qt hóa Pesin thơng qua khái niệm hyperbolic không (hay nhị phân mũ không đều) Xét không gian hữu hạn chiều không gian Banach, khái niệm hyperbolic không cho phép hệ số giãn co quỹ đạo không bị chặn mà phụ thuộc vào thời điểm ban đầu Do đó, hệ hyperbolic khơng dáng điệu nghiệm với điều kiện ban đầu nằm không gian ổn định không gian không ổn định bị xấu mà khơng có kiểm sốt dáng điệu Tuy nhiên, khái niệm hyperbolic không đưa Pesin có hệ số giãn co tăng không hàm mũ Chi tiết lý thuyết hyperbolic không Pesin mối liên hệ lý thuyết với số mũ Lyapunov, giới thiệu người đọc tài liệu [4, 3] Khái niệm nhị phân mũ mạnh theo họ chuẩn cho trước đưa phát triển Luis Barreira Claudia Valls Trong luận văn này, trình bày chi tiết kết báo [5] Luis Barreira Claudia Valls xuất năm 2017 Trong báo này, tác giả đưa đặc trưng tính nhị phân mũ mạnh họ tiến hóa theo họ chuẩn hai trường hợp: họ tiến hóa sinh họ tốn tử tuyến tính liên tục mạnh họ tiến hóa tổng quát, kết phát biểu chứng minh theo phương pháp Perron mà đề cập trên; tính tương đương họ tiến hóa có nhị phân mũ mạnh không (theo nghĩa Pesin) họ tiến hóa có nhị phân mũ mạnh ứng với họ chuẩn Vì vậy, bố cục luận văn chia thành hai chương • Chương trình bày kiến thức giải tích hàm khơng gian tuyến tính định chuẩn, tốn tử tuyến tính bị chặn, khơng gian tốn tử tuyến tính bị chặn họ tiến hóa khơng gian Banach • Chương nội dung luận văn Chúng tơi trình bày chi tiết chứng minh báo [5] Luis Barreira Claudia Valls, đồng thời xây dựng ví dụ minh họa cho khái niệm nhị phân mũ mạnh theo họ chuẩn cho trước với mục đích hiểu rõ khái niệm Hà Nội, ngày 19 tháng 10 năm 2019 Học viên Nguyễn Thị Hồng Hạnh Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Khơng gian tuyến tính định chuẩn Trong mục này, chúng tơi trình bày lại số kiến thức giải tích hàm mà sử dụng chương sau Các kiến thức tham khảo hai sách [1, 2] 1.1.1 Các định nghĩa Định nghĩa 1.1.1 Tập X = ∅ gọi không gian véctơ trường số K X xác định hai phép toán: cộng véctơ + : X × X → X nhân số vơ hướng với véctơ · : K × X → X thỏa mãn tiên đề sau a) x + (y + z) = (x + y) + z với x, y, z ∈ X b) Tồn θ ∈ X cho x + θ = θ + x = x với x ∈ X c) Với x ∈ X tồn (−x) ∈ X cho x + (−x) = (−x) + x = θ d) x + y = y + x với x, y ∈ X e) α(βx) = (αβ)x với x ∈ X α, β ∈ K f) Với x, y ∈ X α, β ∈ K (α + β)x = αx + βx, α(x + y) = αx + αy g) 1x = x với x ∈ X Định nghĩa 1.1.2 Cho X không gian véctơ trường K (K = R C) X gọi không gian tuyến tính định chuẩn với x ∈ X xác định số gọi chuẩn x, kí hiệu x , thỏa mãn ba tiên đề sau: a) x ≥ với x ∈ X Đẳng thức xảy x = θ b) λx = |λ| x với x ∈ X λ ∈ K c) x + y ≤ x + y với x, y ∈ X Định nghĩa 1.1.3 Dãy {xn } không gian định chuẩn X gọi hội tụ tới x ∈ X lim xn − x = 0, ký hiệu xn → x n→∞ Định nghĩa 1.1.4 Dãy {xn } không gian định chuẩn X gọi dãy (hay dãy Cauchy) lim n,m→∞ xn − xm = Định nghĩa 1.1.5 Không gian định chuẩn X gọi không gian Banach dãy X hội tụ đến véctơ X 1.1.2 Tốn tử tuyến tính bị chặn Định nghĩa 1.1.6 Cho X Y hai không gian véctơ trường K Ánh xạ A : X → Y gọi tuyến tính i) A(x + x ) = Ax + Ax với x, x ∈ X ii) A(αx) = αAx với x ∈ X α ∈ K Định nghĩa 1.1.7 Cho X Y hai không gian định chuẩn Ánh xạ A : X → Y gọi liên tục x0 ∈ X với dãy {xn } ⊂ X cho xn → x0 A(xn ) → A(x0 ) Chú ý 1.1.1 Nếu A liên tục điểm x0 ∈ X A gọi liên tục X Định nghĩa 1.1.8 Cho X Y hai khơng gian định chuẩn Tốn tử tuyến tính A : X → Y gọi bị chặn tồn số C > cho Ax ≤ C x , ∀x ∈ X Khi đó, M := inf{C > : Ax ≤ C x } gọi chuẩn toán tử A kí hiệu A Định lý 1.1.1 Cho X, Y hai không gian định chuẩn A : X → Y tốn tử tuyến tính bị chặn Khi đó, A = sup Ax = sup Ax x ≤1 x =1 Định lý 1.1.2 Cho X, Y hai không gian định chuẩn A : X → Y tốn tử tuyến tính Khi đó, khẳng định sau tương đương i) A liên tục X ii) A liên tục điểm x0 thuộc X iii) A bị chặn Định nghĩa 1.1.9 Cho X, Y không gian tuyến tính định chuẩn D(A) khơng gian X Tốn tử tuyến tính A : D(A) → Y gọi tốn tử đóng với dãy {xn } ⊂ D(A) thỏa mãn xn → x, Axn → y x ∈ D(A) Ax = y Định lý 1.1.3 (Định lí đồ thị đóng) Cho X, Y không gian Banach A : X → Y tốn tử tuyến tính Khi đó, A liên tục A tốn tử đóng Định nghĩa 1.1.10 Cho họ (At )t∈T gồm tốn tử tuyến tính At từ khơng gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y Họ (At )t∈T gọi bị chặn điểm với x ∈ X tập {At x : t ∈ T } bị chặn Họ (At )t∈T gọi bị chặn tập { At : t ∈ T } bị chặn Định lý 1.1.4 (Nguyên lý bị chặn Banach - Steinhaus) Nếu họ (At )t∈T gồm tốn tử tuyến tính liên tục từ không gian Banach X vào không gian định chuẩn Y bị chặn điểm họ bị chặn 1.1.3 Khơng gian tốn tử tuyến tính bị chặn Cho hai khơng gian định chuẩn X Y Kí hiệu B(X, Y ) tập hợp tất tốn tử tuyến tính bị chặn từ X vào Y , trang bị hai phép toán sau: tổng hai toán tử A, B ∈ B(X, Y ) toán tử, kí hiệu A + B xác định ∀ x ∈ X; (A + B)(x) = Ax + Bx, tích số vơ hướng α ∈ K với toán tử A ∈ B(X, Y ) tốn tử, kí hiệu αA xác định (αA)(x) = α(Ax) Tập B(X, Y ) với hai phép tốn bên trở thành khơng gian véctơ trường K Trong trường hợp X = Y , B(X, Y ) ký hiệu B(X) Mặt khác, với A ∈ B(X, Y ) số A = sup Ax x =1 tạo thành chuẩn khơng gian véctơ B(X, Y ) Do đó, B(X, Y ) không gian định chuẩn Định lý 1.1.5 Nếu Y khơng gian Banach B(X, Y ) không gian Banach Định lý 1.1.6 Cho không gian Banach X A ∈ B(X) Nếu A < toán tử I − A khả nghịch ∞ (I − A) −1 Ak = k=0 1.2 Họ tiến hóa khơng gian Banach Trong phần này, chúng tơi nhắc lại khái niệm họ tiến hóa sinh phương trình vi phân khơng gian Banach Với giả thiết họ tốn tử tuyến tính liên tục mạnh, họ tiến hóa sinh phương trình vi phân không gian Banach tồn Nội dung phần viết theo sách chuyên khảo Daleckii-Krein [6] ∞ e(s+t)A e(t−τ )A P− x ds + e(t−τ )A P− x = ∞ e(s+τ )A e2(t−τ )A P− x ds + e(τ −t) ≤ A P− x ∞ ≤ e2(τ −t) e(s+τ )A P− x ds + e(τ −t) A A P− x ∞ ≤ max{1, P− }e2(τ −t) e(s+τ )A P− x ds + x A ≤ max{1, P− }e2(τ −t) A x τ Tương tự, ta có T (τ, t)P+ x τ = e(τ −t)A P+ x τ ∞ e−(s−τ )A e(τ −t)A P+ x ds + e(τ −t)A P+ x = ∞ e−(s−t)A e2(τ −t)A P+ x ds + e(τ −t) ≤ ≤ e2(τ −t) A P+ x ∞ e−(s−t)A P+ x ds + e(τ −t) A A P+ x ∞ ≤ max{1, P+ }e2(τ −t) e−(s−t)A P+ x ds + x A ≤ max{1, P+ }e2(τ −t) 2.3 A x t Đặc trưng tính nhị phân mũ mạnh họ tiến hóa tổng quát Trong mục trước, họ tiến hóa sinh họ toán tử liên tục mạnh hay liên kết với phương trình vi phân khơng gian Banach Trong mục này, chúng tơi xét họ tiến hóa tổng quát theo Định nghĩa 2.1.1 trình bày kết đặc trưng tính nhị phân mũ mạnh theo họ chuẩn cho trước họ tiến hóa tổng quát Điều kiện cần tính nhị phân mũ mạnh trình bày định lý đây, điều kiện cần cịn gọi tính chấp nhận yếu nghiệm thỏa mãn phương trình tiến hóa (2.3.18) cần hàm liên tục 28 Định lý 2.3.1 Cho họ tiến hóa (T (t, τ ))t,τ ∈R có nhị phân mũ mạnh với họ chuẩn · t Khi đó, Với y ∈ Y tồn x ∈ Y cho t T (t, s)y(s)ds x(t) = T (t, τ )x(τ ) + (2.3.18) τ với t ≥ τ Tồn số K, a > cho (2.2.9) Định lý 2.3.1 chứng minh tương tự Định lý 2.2.1, với lập luận thay đổi không đáng kể Do đó, chúng tơi khơng trình bày chứng minh Định lý 2.3.1 Tiếp theo điều kiện đủ cho tính nhị phân mũ mạnh, phần đảo Định lý 2.3.1 Lược đồ chứng minh định lý tương tự với Định lý 2.2.2 Sự khác biệt cách định nghĩa toán tử H Định lý 2.3.2 Giả sử với y ∈ Y tồn x ∈ Y thỏa mãn phương trình (2.3.18) tồn số K, a > cho (2.2.9) Khi đó, họ tiến hóa (T (t, τ ))t,τ ∈R có nhị phân mũ mạnh ứng với họ chuẩn · t Chứng minh Toán tử tuyến tính H : D(H) → Y định nghĩa sau: D(H) = {x ∈ Y : ∃ y ∈ Y thỏa mãn phương trình (2.3.18)}, Hx = y Trước hết, ta chứng minh toán tử H xác định Thật vậy, giả sử tồn y1 , y2 ∈ Y cho với t ≥ τ t x(t) = T (t, τ )x(τ ) + T (t, s)y1 (s)ds, τ t x(t) = T (t, τ )x(τ ) + T (t, s)y2 (s)ds τ Suy ra, t−τ t τ T (t, s)y1 (s)ds = t−τ t T (t, s)y2 (s)ds τ Do ánh xạ s → T (t, s)yi (s) liên tục, với i = 1, 2, nên cho τ → t ta thu y1 (t) = y2 (t) Vì t nên y1 = y2 Vậy, (H, D(H)) xác định 29 Tiếp theo, ta (H, D(H)) tốn tử đóng Lấy dãy (xn )n∈N D(H) hội tụ đến x ∈ Y cho Hxn = yn hội tụ đến y ∈ Y Ta cần chứng minh x ∈ D(H) Hx = y Với τ ∈ R, t ≥ τ ta có t x(t) − T (t, τ )x(τ ) = lim (xn (t) − T (t, τ )xn (τ )) = lim n→∞ n→∞ T (t, s)yn (s)ds τ Đặt M = sup{ T (t, s) : s ∈ [τ, t]} < ∞ Ta có, t t T (t, s)yn (s)ds − τ t T (t, s)y(s)ds ≤ M τ yn (s) − y(s) ds τ t yn (s) − y(s) s ds ≤M τ ≤ M yn − y ∞ (t − τ ) Do yn hội tụ đến y nên cho n → ∞ ta t lim n→∞ t T (t, s)yn (s)ds = T (t, s)y(s)ds τ τ Bởi tính giới hạn, t x(t) − T (t, τ )x(τ ) = T (t, s)y(s)ds τ với t ≥ τ Suy x ∈ D(H) Hx = y Theo giả thiết định lý, H : D(H) → Y song ánh Do đó, tốn tử ngược G : Y → D(H) ⊂ Y tốn tử đóng Theo định lý đồ thị đóng, G bị chặn Với τ ∈ R, ta định nghĩa không gian ổn định không ổn định sau: Fτs = {x ∈ X : sup T (t, τ )x t < ∞}, Fτu = {x ∈ X : sup T (t, τ )x t < ∞} t≥τ t≤τ Khi đó, Fτs Fτu không gian X Hơn nữa, hai không gian phần bù Bổ đề 2.3.1 X = Fτs ⊕ Fτu với τ ∈ R Chứng minh Lấy Φ : R → R hàm liên tục có giá trên[τ, τ + 1] cho τ +1 τ Φ(s)ds = Với x ∈ X, ta định nghĩa hàm g : R → X xác định g(t) = Φ(t)T (t, τ )x 30 Khi đó, g ∈ Y Do H khả nghịch nên tồn v ∈ D(H) cho Hv = g Từ (2.3.18) suy t ≥ τ + v(t) = T (t, τ )(v(τ ) + x), Vì v ∈ Y nên sup T (t, τ )(v(τ ) + x) < ∞ Do đó, v(τ ) + x ∈ Fτs Từ (2.3.18), ta t t≥τ có v(t) = T (t, τ )v(τ ), t ≤ τ Do đó, v(τ ) ∈ Fτu Vậy, x ∈ Fτs + Fτu Tiếp theo, ta chứng minh Fτs ∩ Fτu = {0} Lấy x ∈ Fτs ∩ Fτu , ta định nghĩa hàm u : R → X xác định u(t) = T (t, τ )x Từ định nghĩa Fτs Fτu suy u ∈ Y Vì H khả nghịch Hu = nên u = Do đó, x = u(τ ) = Gọi P (τ ) : X → Fτs Q(τ ) : X → Fτu phép chiếu liên kết với phân tích tổng trực tiếp X = Fτs ⊕ Fτu Khi đó, P (τ ) + Q(τ ) = Id có tính chất sau Bổ đề 2.3.2 P (t)T (t, τ ) = T (t, τ )P (τ ) với t, τ ∈ R tồn M > cho P (τ )x τ ≤ M x τ, (2.3.19) với x ∈ X τ ∈ R Chứng minh Với x ∈ X, ta có x = x1 + x2 với x1 ∈ Fτs x2 ∈ Fτu Ta chứng minh: T (t, τ )x1 ∈ Fts T (t, τ )x2 ∈ Ftu với t ∈ R, tức Fτs Fτu hai khơng gian bất biến với tốn tử T (t, τ ) Vì x1 ∈ Fτs nên sup T (t1 , τ )x1 t1 ≥τ t1 < ∞ Với t ≥ τ , ta có sup T (t1 , t)T (t, τ )x1 t1 ≥t t1 = sup T (t1 , τ )x1 t1 ≥t t1 < ∞ Với t < τ , hàm T (t1 , τ )x1 liên tục [t, τ ] nên sup T (t1 , t)T (t, τ )x1 t≤t1 ≤τ t1 < ∞ Suy ra, sup T (t1 , t)T (t, τ )x1 t1 ≥t t1 < ∞ Do đó, T (t, τ )x1 ∈ Fts với t ∈ R Tương tự, ta có T (t, τ )x2 ∈ Ftu với t ∈ R 31 Sử dụng tính bất biến hai không gian Fτs Fτu với tốn tử T (t, τ ), ta có P (t)T (t, τ )x = P (t)T (t, τ )(x1 + x2 ) = P (t)T (t, τ )x1 + P (t)T (t, τ )x2 = T (t, τ )x1 = T (t, τ )P (τ )x, với x ∈ X t, τ ∈ R Ta có, g ∞ = sup{ Φ(t)T (t, τ )x t : t ∈ [τ, τ + 1]} ≤ CKea x τ , C = sup{|Φ(t)| : t ∈ [τ, τ + 1]} Do đó, P (τ )x τ = v(τ ) + x ≤ v(τ ) = Gg + x τ ∞ τ + x τ τ ≤ v ∞ + x ≤ G g ∞ τ + x τ ≤ (CKea G + 1) x τ Đặt M = CKea G + ta điều phải chứng minh Bổ đề 2.3.3 Tồn số λ, D > cho T (t, τ )P (τ )x t ≤ De−λ(t−τ ) x τ , (2.3.20) với x ∈ X t ≥ τ Chứng minh Đặt Ψ : R → R hàm trơn có giá [τ, +∞) cho ≤ Ψ ≤ 1, Ψ = [τ + 1, +∞) sup |Ψ (t)| ≤ Lấy x ∈ Fτs , đặt u(t) = T (t, τ )x Khi t∈R đó, Ψu ∈ Y H(Ψu) = Ψ u Ta có, u(t) t = T (t, τ )u(τ ) t ≤ Kea x τ , t ∈ [τ, τ + 1] Mặt khác, sup{ u(t) t : t ∈ [τ + 1, +∞)} = sup{ Ψ(t)u(t) ≤ Ψu 32 ∞ t : t ∈ [τ + 1, +∞)} = G(Ψ u) ∞ ≤ G Ψu ∞ = G sup{ Ψ (t)u(t) t : t ∈ [τ, τ + 1]} ≤ G sup{ u(t) t : t ∈ [τ, τ + 1]} ≤ 2Kea G u(τ ) τ = 2Kea G x τ Do đó, u(t) t = T (t, τ )x t ≤ C x τ, t ≥ τ, (2.3.21) với C = Kea max{1, G } Tiếp theo, ta chứng minh tồn N ∈ N cho với t, τ ∈ R thỏa mãn t − τ ≥ N x ∈ Fτs u(t) Lấy t ≤ x τ (2.3.22) > 0, t0 ∈ R cho t0 > τ Gọi Ψ : R → R hàm trơn có giá [τ, t0 ] cho ≤ Ψ ≤ 1, Ψ = [τ + , t0 − ] Đặt, y(t) = Ψ(t)u(t) v(t) = u(t) t −∞ Ψ(s)ds, t ∈ R Khi đó, y, v ∈ Y Hv = y Ta có, v ∞ = Gy ∞ ≤ G y ∞ = G sup{ Ψ(t)u(t) = G sup{Ψ(t) u(t) ≤ G sup{ u(t) t t t : t ∈ R} : t ∈ [τ, t0 ]} : t ∈ [τ, t0 ]} ≤ G C x τ Mặt khác, v ∞ = sup{ v(t) t : t ∈ R} t = sup u(t) Ψ(s)ds : t ∈ R t −∞ t = sup u(t) Ψ(s)ds : t ≥ τ t −∞ Suy ra, t v(t) t = u(t) t Ψ(s)ds = u(t) t −∞ Ψ(s)ds ≤ C G x t τ 33 τ với t ≥ τ Với t ≥ t0 , ta có t v(t) t = u(t) Ψ(s)ds t τ t0 − ≥ u(t) Ψ(s)ds t τ+ = (t0 − τ − ) u(t) t C G t0 − τ − + Cho → ta Do đó, u(t) t ≤ x τ u(t) với > t ≥ t0 t ≤ C G x τ, t0 − τ t ≥ t0 Lấy t0 = τ + 2C G N ∈ N cho N ≥ t0 − τ = 2C G Với t ∈ R thỏa mãn t − τ ≥ N t ≥ t0 Do đó, u(t) t ≤ C G x t0 − τ τ = x τ Với t ≥ τ , tồn k ∈ N r ∈ [0, N ) cho t − τ = kN + r Bởi tính bất biến khơng gian ổn định với họ tiến hóa từ (2.3.21), (2.3.22), (2.3.19), ta có T (t, τ )P (τ )x t = T (t, τ + kN )T (τ + kN, τ )P (τ )x ≤ C T (τ + kN, τ )P (τ )x τ +kN C T (τ + (k − 1)N, τ )P (τ )x C CM ≤ k P (τ )x τ ≤ k x τ 2 ≤ = CM e t−τ −r N ≤ 2CM e Đặt D = 2CM, λ = ln , N ln x − lnN2 (t−τ ) t τ +(k−1)N τ x τ ta (2.3.20) Tương tự, họ tiến hóa giảm cấp mũ khơng gian không ổn định theo hướng âm thời gian Bổ đề 2.3.4 Tồn số λ, D > cho T (t, τ )Q(τ )x t ≤ De−λ(τ −t) x τ , với x ∈ X t ≤ τ 34 Lập luận tương tự phần cuối chứng minh cho Định lý 2.2.2, ta kiểm tra họ tiến hóa (T (t, τ ))t,τ ∈R thỏa mãn điều kiện nhị phân mũ mạnh theo họ chuẩn · t Tiếp theo, ta tính nhị phân mũ mạnh họ tiến hóa bất biến nhiễu đủ nhỏ Định lý 2.3.3 Giả sử họ (T (t, τ ))t,τ ∈R có nhị phân mũ mạnh với họ chuẩn · t B : R → B(X) hàm liên tục mạnh cho B(t) ≤ ce− |t| , t ∈ R Nếu c đủ nhỏ họ tiến hóa (U (t, τ ))t,τ ∈R xác định t U (t, τ )x = T (t, τ )x + T (t, s)B(s)U (s, τ )xds, t, τ ∈ R τ · có nhị phân mũ mạnh với họ chuẩn t Chứng minh Xét tốn tử tuyến tính L : D(L) → Y xác định sau: D(L) tập tất x ∈ Y cho tồn y ∈ Y thỏa mãn t x(t) = U (t, τ )x(τ ) + U (t, s)y(s)ds, t ≥ τ, τ Lx = y Tương tự toán tử H chứng minh Định lý 2.3.2, L xác định tốn tử đóng Với x, y ∈ Y cho Lx = y, ta có t U (t, s)y(s)ds x(t) = U (t, τ )x(τ ) + τ t T (t, s)B(s)U (s, τ )x(τ )ds = T (t, τ )x(τ ) + τ t + t t T (t, s)y(s) + T (t, w)B(w)U (w, s)y(s)dwds τ τ s t = T (t, τ )x(τ ) + T (t, w)B(w)U (w, τ )x(τ )dw τ t + t w T (t, s)y(s) + T (t, w)B(w)U (w, s)y(s)dsdw τ τ τ t = T (t, τ )x(τ ) + T (t, s)y(s) τ 35 w t T (t, w)B(w) U (w, τ )x(τ ) + + τ U (w, s)y(s)ds dw τ t T (t, w)(y(w) + B(w)x(w))dw = T (t, τ )x(τ ) + τ với t ≥ τ Suy ra, D(H) = D(L) Định nghĩa toán tử P : Y → Y xác định (P x)(t) = B(t)x(t) Ta có, B(t)x(t) t ≤ Ce |t| B(t)x(t) ≤ cC x(t) ≤ cC x(t) t với t ∈ R Do đó, P tốn tử tuyến tính bị chặn với P ≤ cC H = L + P Vậy, L = H − P = [I − P H −1 ]H : D(H) → Y Khi c đủ nhỏ P H −1 ≤ P G ≤ cC G < 1, với G = H −1 Do đó, I − P H −1 : Y → Y song ánh Suy ra, L : D(H) = D(L) → Y song ánh Tiếp theo, ta tồn số K , a > cho U (t, τ )x t ≤ K ea |t−τ | x τ với t, τ ∈ R Các lập luận cho ước lượng không đổi so với chứng minh ước lượng tướng ứng Định lý 2.2.3, chứng minh lược bỏ Bởi vậy, theo Định lý 2.3.2 họ tiến hóa (U (t, τ ))t,τ ∈R có nhị phân mũ mạnh với họ chuẩn 2.4 · t Nhị phân mũ mạnh khơng Trong mục này, chúng tơi trình bày kết kết nối tính nhị phân mũ mạnh không với nhị phân mũ mạnh theo họ chuẩn Trước hết, nhắc lại khái niệm nhị phân mũ mạnh khơng họ tiến hóa Định nghĩa 2.4.1 Họ tiến hóa (U (t, τ ))t,τ ∈R gọi có nhị phân mũ mạnh khơng tồn họ phép chiếu (P (t))t∈R gồm tốn tử tuyến tính bị chặn thỏa mãn điều kiện sau (i) P (t)T (t, τ ) = T (t, τ )P (τ ), t, τ ∈ R ¯