CHUYấN TH TCH Phần 1. Thể tích khối đa diện A. Lý thuyết 1. Khái niệm thể tích của 1 khối đa diện (Sgk hh 12) 2. Các công thức tính thể tích của khối đa diện a) Thể tích khối hộp chữ nhật V = abc với a, b, c là 3 kích thớc của khối hp chữ nhật b) Thể tích của khối chóp V= 3 1 S đáy . h ; h: Chiều cao của khối chóp c) Thể tích của khối lăng trụ V= S đáy . h ; h: Chiều cao của khối lăng trụ B. Các dạng bài tập Dạng 1. Tính thể tích của khối đa diện *Ph ơng pháp: Để tính thể tích của khối đa diện ta có thể: +áp dụng trực tiếp các công thức tính thể tích +Chia khối đa diện thành các khối nhỏ hơn mà thể tích của các khối đó tính đợc +Bổ sung thêm bên ngoài các khối đa diện để đợc 1 khối đa diện có thể tính thể tích bằng công thức và phần bù vào cũng tính đợc thể tích. *Các bài tập 1)Về thể tích của khối chóp +Nếu khối chóp đã có chiều cao và đáy thì ta tính toán chiều cao, diện tích đáy và áp dụng công thức :V= 3 1 S đáy . h Bài 1: Tính thể tích hình chóp tam giác đều SABC trong các trờng hợp sau: a) Cạnh đáy bằng a, góc ABC = 60 o b) AB = a, SA = l c) SA = l, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng giải: a) Gọi O là tâm ABC đều SO (ABC) S ABC = 2 1 a 2 3a = 4 3 2 a ABC có SA = SB; ABC = 60 o SA = AB = SB = a C S A B O a SO OA ( vì SO (ABC) ) Tam giác vuông SOA có: SO 2 = SA 2 - OA 2 = a 2 - ( 3 2 a 2 3 ) 2 = 2 2 2 3 2 3 a a a = 1 CHUYấN TH TCH SO = a 3 2 Vậy VSABC = SABC . SO = 3 1 . 4 3 2 a . a 3 2 . 3 2 2 a l b) Tơng tự câu a đáp số: VSABC = 3 1 . 4 3 2 a . 3 2 2 a l c) Gọi O là tâm ABC Gọi A là trung điểm BC Dễ thấy ((SBC), (ABC)) = góc SAO = Tam giác vuông SOA có: SO 2 = l 2 - OA 2 = l 2 - 9 4 AA 2 Tam giác vuông SOA có: sin'.sin 3 1 ' 3 1 AASO AA SO == (2) Từ (1) (2) ta có: 2 9 4 2 9 1 sin'.sin' lAAAA =+ O B A' A C a AA 2 (sin 2 + 4) = 9l 2 4sin 3 2 ' + = l AA SABC = )4(sin2 33 4sin3 3 4sin 3 2 1 2 1 2 2 22 '. + ++ == l ll BCAA 4sin sin. 4sin 3 3 1 22 sin ++ == ll SO VSABC = 3 1 SABC . SO = 4sin).4(sin sin 3 3 22 2 . ++ l Bài 2. Cho lăng trụ ABCABC có độ dài cạnh bên = 2a, ABC vuông tại A, AB = a, AC = a 3 . Hình chiếu vuông góc của A trên (ABC) là trung điểm BC. Tính VAABC theo a? Giải. -Gọi H là trung điểm BC AH (ABC) (gt) -Ta có SABC = 3. 2 2 1 2 1 aACAB = -Vì AH (ABC) AH AH Tam giác vuông AHA có: AH 2 = AA 2 - AH 2 = (2a) 2 - 4 1 .(a 2 + 3a 2 ) hay AH 2 = 4a 2 - a 2 = 3a 2 AH = a 3 B C H 2a a a 3 C' A' VAABC = 3 1 SABC .AH = 2 2 2 1 3 1 2 3.3. a aa = Bài 3. Hình chóp SABCD có SA (ABC), SA = a. ABC vuông cân có AB = BC =a. B là trung điểm SB. C là chân đờng cao hạ từ A của SAC a) tính VSABC 2 CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH b) Chøng minh r»ng AB ⊥ (AB’C’). TÝnh VSAB’C’ Gi¶i a) S∆ABC = 2 2 1 2 1 . aBCBA = ; SA =a ⇒ VSABC = 3 1 S∆ABC .SA = 6 1 a 3 a C A a a B' C' B b) ∆SAB cã AB = SA = a ⇒∆SAB c©n t¹i A ⇒ AB’ ⊥ SB B’S = B’B BC⊥ AB ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ AB’ BC⊥ SA ⇒ AB’ ⊥ (SAC) ⇒ AB’ ⊥ SA ⇒SC ⊥ (AB’C’) AC’ ⊥ SC C¸ch 1 2 2 2 1 2 1 2' a aSBAB === V× AB’ ⊥ (SBC) ⇒AB’ ⊥ B’C’. SC = aACSA 3 22 =+ 3 2 ' a SC SA SC == B’C’ 2 = SB’ 2 - SC’ 2 = 66 '' 2 aa CB =⇒ ⇒S∆AB’C’ = 3462 2 1 2 1 2 '''. aaa CBAB == ⇒V∆AB’C’ = 363243 1 32 aaa = C¸ch 2 3 ' ' 1 1 2 3 3 a SB SC SB SC a = = = 3 ' ' 3 3 ' ' ' 1 1 1 ' ' ' 6 6 6 36 3 SAB C SABC a V SA SB SC a SA B C V SA SB SC a V a = = = ⇒ = = Bµi 4 H×nh chãp SABC cã SA⊥ (ABC), ∆ABC c©n t¹i A, D lµ trung ®iÓm BC, AD = a, (SB, (ABC)) = α; (SB, (SAD)) = β. TÝnh VSABC. Gi¶i 3 CHUYấN TH TCH Dễ thấy (SB, (ABC)) = = SBA (SB, (SAD)) = = BSD ABC cân AD BC DB = DC SAB có cos = SB AB (1) BC AD BC SA (vì SA (ABC) BC (SAD) BC SD a B A C D S Tam giác vuông SB có sin = SB BD (2) Từ (1) (2) sinsincos 22 aAB BDAB == sin cos 22 2 2 aAB AB = AB 2 (sin 2 cos 2 ) = -a 2 cos 2 AB = cos 2 sincos 1 22 a SSAB =BD.AD = 2 2 2 2 2 2 sin sin cos cos cos cos sin cos sin . . Sin a a AD AB = = SA = AB. tan = 22 sincos sin a VSABC = 3 1 SA.SABC = 22 sincos sin 3 1 a 22 2 sincos sin a = 22 3 sincos3 cossin a Bài 5 Cho hình vuông ABCD cạnh a. các nửa đờng thẳng Ax, Cy (ABCD) và ở cùng một phía với mặt phẳng đó. Điểm M không trùng với với A trên Ax, điểm N không trùng với C trên Cy. Đặt AM = m, CN = n. Tính thể tích của hình chóp BAMNC. Giải 4 CHUYấN TH TCH Gọi I là giao điểm của AC và BD Ta có BD AC (vì ABCD là hình vuông) (Ax, Cy) (ABCD) BD (AMNC) BI (AMNC) BI = 2 2 2 a BD = x n A D C m B M N Diện tích hình thang AMNC là S = 2 2)( 2 )( . anmCNAM AC ++ = VAMNC = )( . 62 2 2 2)( 3 1 3 1 2 nmBIS a a anm AMNC +== + *Nếu khối chóp cần tính thể tích cha bíết chiều cao thì ta phải xác định đựơc vị trí chân đờng cao trên đáy. Ta có một số nhận xét sau: -Nếu hình chóp có cạnh bên nghiêng đều trên đáy hoặc các cạnh bên bằng nhau thì chân đờng cao là tâm đ- ờng tròn ngoại tiếp đáy. -Nếu hình chóp có các mặt bên nghiêng đều trên áy hoặc có các đờng cao của các mặt bên xuất phát từ một đỉnh bằng nhau thì chân đờng cao là tâm đờng tròn nội tiếp đáy -Hình chóp có mặt bên hoặc mặt mặt chéo vuông góc với đáy thì đờng cao của hình chóp là đờng cao của mặt bên hoặc mặt chéo đó. -Nếu có một đờng thẳng vuông góc với mặt đáy của khối chóp thì đờng cao của khối chóp sẽ song song hoc nm trờn với đờng thẳng đó. -Nếu một đờng thẳng nằm trong đáy của khối chóp vuông góc vuông góc với một mặt phẳng chứa đỉnh của khối chóp thì đờng cao của khối chóp là đờng thẳng kẻ từ đỉnh vuông góc với giao tuyến của mặt đáy và mặt phẳng chứa đỉnh đã nói ở trên. *Nếu khối chóp là khối tứ diện thì ta cần khéo chọn mặt đáy thích hợp. Bài 6: SABCD có đáy là tâm giác cân tại A, BC =a, ABC = , các cạnh bên nghiêng trên đáy một góc . Tính VSABC Giải A S C B H a - Gọi H là hình chiếu của S lên (ABC) - Vì các cạnh bên nghiêng đều trên đáy H là tâm đờng tròn ngoại tiếp ABC. 5 CHUYấN TH TCH - Ta có: ABC = sin 2 1 ACAB mà BC 2 = 2AB 2 - 2AB 2 cos = 2AB 2 (1-cos ) = a 2 AB = 2 cos1 a SABC = 24cos1 sin 22 1 2 2 1 cossin 22 aa AB == HA = R = sin2sin2 aBC = Tan giác vuông có tan = AH SH SH = cos2sin2 tan aa = VSABC = cos24 cot cos2243 1 3 1 2 3 2 .cot a aa ABC SHS == Bài 7: SABC có đáy ABCD là hình bình hành và SABCD = 3 và góc giữa 2 đờng chéo = 60 o . các cạnh bên nghiêng đều trên đáy 1 góc 45 o . Tính VSABCD Giải A B C O D -Hạ SO (ABCD) - Vì khối chóp có các bên nghiêng đều trên đáy. O là tâm đờng tròn đi qua 4 đỉnh A, B, C, D tứ giác ABCD là hình chữ nhật và {O} = AC BD - Đặt AC = BD =x. Ta có S hcnABCD = 2 1 AC.BD.sin60 o = 3. 2 4 3 2 3 2 2 1 == xx x=3 - (SA, (ABCD)) = (SA, AO) = SAO = 45 o = SCO = (SC, (ABCD)) ASC vuông cân tại S SO = 1 2 1 = AC VSABCD = 3 3 3 1 1.3 = Bài 8: SABC có SA = SB = SC = a. ASB = 60 o , BSC = 90 o , CSA = 120 o . a) Chứng minh rằng ABC vuông b) Tính VSABC Giải a) H B A S C a 6 CHUYấN TH TCH = = o ASB SBSA 60 AB = a -Tam giác vuông SBC có BC 2 = SB 2 + SC 2 = 2a 2 -SAC có AC 2 = a 2 + a 2 -2a 2 cos120 o = 2a 2 - 2a 2 (- 2 1 ) =3a 2 -ABC có AC 2 = AB 2 + BC 2 ABC vuông tại B b) Hạ SH (ABC) Vì SA = SB = SL HA = HB = HC H là trung điểm AC ABC vuông tại B Tam giác vuông SHB có SB = a SH 2 = SB 2 - BH 2 = 24 2 aa SH = BH = 2 3 2 a AC = (Hoặc SAC là nửa đều tam giác đều SH = 22 aSA = ) VSABC = 12 2 6 1 2 1 3 1 3 1 23 .2 . aa ABC aaSHBCABSHS === Bài 9: SABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AB = 2, ACB = 90 o . SAC và SBD là các tam giác đều có cạnh = 3 . Tính thể tích khối chóp SABCD. Đáp số: VSABCD = 4 6 Bài 10: SABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D, SAD đều cạnh = 2a, BC = 3a. Các mặt bên lập với đáy các góc bằng nhau. Tính VSABCD Giải 2a 3a C D H K - Hạ SH (ABCD), H (ABCD) - Vì các mặt bên lập với đáy các góc bằng nhau nên dễ dàng chứng minh đợc H là tâm đờng tròn nội tiếp đáy - Gọi K là hình chiếu của H lên AD - Ta có HK = a AD = 2 - Tam giác vuông SHK có HK = a SK = 32 2 3 aa = (vì SAD đều) SH = 23 22 aaa = Vì ABCD ngoại tiếp nên: AB + CD = AD + BC = 5a 7 CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH ⇒SABCD = 2 2 2.5 2 ).( 5a aa ADCDAB == + ⇒VSABCD = 3 5 2 3 1 3 1 23 2.5. a ABCD aaSHS == Bµi 11: Cho h×nh chãp SABCD cã ABCD lµ h×nh vu«ng c¹nh 2a, SA = a, SB = a 3 , (SAB) ⊥ (ABCD). M, N lần lượt là trung ®iÓm AB, BC. TÝnh VSBMDN Gi¶i S A D C H B M N ∆SAB h¹ SH b AB (SAB) b (ABCD) ⇒SH b (ABCD) ⇒ SH b (BMDN) S∆CDN = S∆MDA = 4 1 S⋄ABCD ⇒ S⋄BMDN = 2 1 S⋄ABCD = 2 1 2a.2a = 2a 2 ∆SAB cã AB 2 = SA 2 + SB 2 = 4a 2 ⇒ SAB vu«ng t¹i S ⇒ 222222 3 4 3 11111 aaaSBSASH =+=+= ⇒ SH = 2 3a ⇒VSBMDN = 3 1 S⋄BMDN.SH = 2 3 2 3 2 3 1 3 .2 aa a = Bµi 12: SABCD cã ⋄ABCD lµ h×nh thang víi AB = BC = CD = 2 1 AD. ∆SBD vu«ng t¹i S vµ n»m trong mÆt ph¼ng vu«ng gãc víi ®¸y. SB = 8a, SD = 15a. TÝnh VSABCD Gi¶i S H 15a 8a A D C B -Trong ∆SBD kÎ SH b BD V× (SBD) b (ABCD) ⇒SH b (ABCD) -Tam gi¸c vu«ng SBD cã 222 111 SDSHSH += 8 CHUYấN TH TCH hay 222 225 1 64 11 aaSH += hay aaSH 17 120 289 14400 . == -Vì hình thang có AB = BC = CD = 2 1 AD DA = = 60 o , B = C = 120 o -SBD có BD 2 = SB 2 +SD 2 =289a 2 BD = 17a CBD có BD 2 =2BC 2 (1+ 2 1 ) = 3BC 2 = 289a 2 BC = a 3 17 SBCD = 12 3289 2 3 2 3 289 2 1 2 2 1 2 120sin a o aBC == SABCD = 3SBCD = 12 3289 2 a VSABCD = 3 1 SABCD.SH = 17 120 12 3289 3 1 . 2 a a = 170 3 a 3 Bài 13: hình chóp SACD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SCD cân tại S và nằm trong mặt phẳng (ABCD). SAB có SA = a, ASB = 2 và nằm trong mặt phẳng lập với (SCD) một góc . Tính thể tích khối chóp SABCD Giải S A D C K B H Trong SCD hạ SH CD Vì SCD cân tại S H là trung điểm CD. SH CD (SCD) (ABCD SH (ABCD) Gọi K là trung điểm AB Ta có HK AB AB SH (vì SH (ABD)) AB (SKH) AB SK SAB cân tại S Dễ thấy ((SAB), (SCD)) = KSH = SAB có SK = acos , AB = 2AK = 2asin SHK vuông tại H có SH =SK.cos = acos 2 KH = SKsin = asincos. SABCD =AB.BC = 2asin.asincos = 2a2sin 2 cos VSABCD = 23 3 2 .3 1 sinaS ABCD SH = Bài 14: Hình chóp SABCD có ABC vuông tại B, SA b (ABC). ACB =60 o , BC = a, SA = a 3 , M là trung điểm SB. Tính thể tích MABC Giải 9 CHUYấN TH TCH H C A B a M Cách 1. SA b (ABC) Từ M kẻ MH // AS cắt AB tại H MH b (ABC) Vì M trung điểm SB H- trung điểm MH= 2 3 2 1 a SA = SABC = 3.60tan 2 2 1 2 1 2 1 aaaBCAB o == VMABC = 42 3 2 2 1 3 1 3 1 3 .3 a a ABC aMHS == Cách 2. 2 1 == SB SM V V ASABC MABC VMABC = SABC V 2 1 mà VSABC = 3 1 SA.SABC = 63.3 3 2 1 2 2 1 3 1 aaa = Vmabc = 3 4 1 a Bài 15 : Hình chóp SABCD có ABCD là hình vuông tâm O, SA (ABCD), AB = a, SA = a 2 . H, K lần lợt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SD. Chứng minh rằng: SC (AHK) và tính thể tích hình chóp OAHK. Giải A C O H K a a N F E B D a 2 S y x AH SB (gt) (1) BC AB (vì ABCD là hình vuông) BC SA (vì SA (ABCD)) BC (SAB) BC AH (2) 10 [...]... Cho lăng trụ đứng tam giác đều ABCABC có cạnh đáy và cạnh bên đều bằng a M, N, E lần l ợt là trung điểm của BC, CC, CA Tính tỉ số thể tích hai phần lăng trụ do (MNE) tạo ra Giải 25 CHUYấN TH TCH E A' C' A' B' N A C M I B Dễ thấy (MNE) cắt lăng trụ theo thiết diện là ngũ giác MNEFI Gọi V1, V2 tơng ứng là thể tích phần trên và phần dới của thiết diện, ta có V1 = VNIBM + VNBBFI + VNBCEF V2 = VNFAE + VNAAFI... theo x b)Tính d(A, (BCD)) Tơng tự bài 4 Đáp số: x2 6 VABCD = = 4 4+ x 2 d(A, (BCD)) = x 2x 4+ x 2 Bài 6: Cho lăng trụ đứng ABCA 1B1C1 có AB = a, AC = = 2a, AA 1 = 2a 5 và BAC = 120o Gọi m là trung điểm của cạnh CC1 Chứng minh rằng MB MA1 và tinh khoảng cách d từ điểm A tới mặt phẳng (A1BM) Giải z B C A M x y B1 2a C1 A1 Đa và hệ trục toạ độ A1xyz vuông góc nh hình vẽ: gốc toạ độ A1 trục A1Z hớng theo... có: V Max x = h 3 Bài 8: Cho hình trụ có bán kính đáy x, chiều cao y, diện tích toàn phần bằng 2 Với x nào thì hình trụ tồn tại? Tính thể tích V của khối trụ theo x và tìm giá trị lớn nhất của V Giải 2 2 Ta có Stp=Sxq+2Sđ= 2xy + 2x = 2 ( xy + x ) Theo giả thiết ta có 2 (xy+x2)=2 xy+x2 =1 y = 1 x2 x Hình trụ tồn tại y>0 1-x2> 0 0 < x < 1 Khi đó V = x2y = x(1-x2) = -x3+x Khảo sát hàm số trên với x (0,1)... 2 Cách 2: Sử dụng phơng pháp toạ độ z S M N D C O y B A x Chọn hệ toạ độ xyz có tia OX tia OA, tia oy OB, tia oz OS Dễ thấy A(2; 0; 0), B(0; 1; 0), S(0; 0; 2 2 ), C(-2; 0; 0), D(0; -1; 0), M(-1; 0; Do (ABM) (SCD) = MN AB // CD 19 2) CHUYấN TH TCH MN//CD N là trung điểm SD N(0; - 1 2 ; 2) = (2; 0; -2 2 ); SM = (-1; 0; - 2 ); SB = (0; 1; -2 2 ); SN = (0; [ SA , SM ] = (0; 4 2 ; 0) VSABM = 1 [ SA... minh rằng MB MA1 và tinh khoảng cách d từ điểm A tới mặt phẳng (A1BM) Giải z B C A M x y B1 2a C1 A1 Đa và hệ trục toạ độ A1xyz vuông góc nh hình vẽ: gốc toạ độ A1 trục A1Z hớng theo A1 A Trục A1y hớng theo A1C1 Trục A1x tạo với trục Oy góc 90o và nằm trong MP (A1B1C1) Toạ độ các điểm: A1(0 ; 0; 0), B1( a 2 3 ; a ;0) , C1(0; 2a; 0) 2 A(0 ; 0; 2a 5 ), B( a 2 3 ; a ;2a 2 M(0; 2a; a 5 ) a 3 5a BM ( 2 ;... trong đờng tròn tâm O AA, BB là các đờng sinh của khối trụ Biết góc của mặt phẳng (ABCD) và đáy hình trụ bằng 60 o Tính thể tích khối trụ Giải B' A' B A C D AD DC A' D DC ADA là góc của (ABCD) và đáy Do đó: ADA = 60o OAD vuông cân nên AD = OA 2 = R 2 ADA có h = AA = ADtan60o = R 6 V = R2h = R3 6 Bài 4: Bên trong hình trụ có một hình vuông ABCD cạnh a nội tiếp mà A, B thuộc đờng tròn đáy thứ nhất và... góc 45 o Tính thể tích khối trụ Giải 34 CHUYấN TH TCH D O' C' M' A J O B Gọi I, J là trung điểm của AB và CD Ta có: OI AB; IJ cắt OO tại ttrung điểm M của OO MIO = 45o là góc của mặt (ABCD) với đáy, do đó: OI = a 2 2 ;R= h = 2OM = a2 8 + a2 4 = 3a 2 8 a 2 3 Vậy V = R2h = 3 a 8 a 2 = 3. a 3 2 16 Bài 5: Một hình trụ có diện tích toàn phần S = 6 Xác định các kích thớc của khối trụ để thể tích của khối... điểm AA1 Tính thể tích lăng trụ MA1BC1 Hớng dẫn: a3 2 12 +Chọn mặt đáy thích hợp V = +Có thể dùng cả phơng pháp toạ độ Bài 22: Tứ diện ABCD có AB = x có các cạnh còn lại bằng 1 a.Tính thể tích tứ diện theo x b.tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng ACD c Tìm x để thể ABCD đạt giá trị lớn nhất Giải a C H D B C Cách 1: Gọi H là Hình chiếu của D lên (ABC) vì DA = DC = DB = 1 H là tâm đờng tròn ngoại . = a 3 . Hình chiếu vuông góc của A trên (ABC) là trung điểm BC. Tính VAABC theo a? Giải. -Gọi H là trung điểm BC AH (ABC) (gt) -Ta có SABC = 3. 2 2 1. Tứ diện ABCD có AB = x có các cạnh còn lại bằng 1. a.Tính thể tích tứ diện theo x. b.tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng ACD c. Tìm x để thể ABCD