ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHẠM THANH TÙNG VÀNH VÀ MÔĐUN HẦU COHEN-MACAULAY LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHẠM THANH TÙNG VÀNH VÀ MÔĐUN HẦU COHEN-MACAULAY Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 8460104 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS TRẦN NGUYÊN AN THÁI NGUYÊN - 2019 i Lời cam đoan Tôi xin cam đoan kết trình bày luận văn không bị trùng lặp với luận văn trước Nguồn tài liệu sử dụng cho việc hoàn thành luận văn nguồn tài liệu mở Các thông tin, tài liệu luận văn ghi rõ nguồn gốc Thái nguyên, tháng năm 2019 Người viết Luận văn Phạm Thanh Tùng Xác nhận trưởng khoa chuyên môn Xác nhận người hướng dẫn khoa học TS Trần Nguyên An iii Mục lục Trang bìa phụ i Lời cam đoan ii iiiii Mục lục Lời nói đầu Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Môđun mở rộng 1.2 Chuyển phẳng 1.3 Chiều vành môđun Chương Vành môđun hầu Cohen- Macaulay 13 2.1 Độ sâu môđun Cohen-Macaulay 13 2.2 Vành môđun Cohen-Macaulay 26 2.3 Vành môđun hầu Cohen-Macaulay 28 2.4 Tính hầu Cohen-Macaulay vành đa thức vành chuỗi lũy thừa hình thức 32 2.5 Tính hầu Cohen-Macaulay qua đồng cấu phẳng 34 2.6 Tính chất (Cn ) 36 Kết luận 38 Tài liệu tham khảo 39 iii ii Lời nói đầu Vành môđun Cohen-Macaulay lớp vành môđun quan trọng Đại số giao hốn, Hình học Đại số, Lý thuyết bất biến Đại số tổ hợp Có nhiều lớp vành mơđun mở rộng (theo khía cạnh khác nhau) lớp vành môđun Cohen-Macaulay nhà toán học quan tâm nghiên cứu: vành môđun Cohen-Macaulay suy rộng [13], vành môđun Cohen-Macaulay dãy [12], Một mở rộng khác vành môđun Cohen-Macaulay nảy sinh từ tính chất độ sâu Trong sách "Commutative Algebra" [8, (15.C), p.97], Matsumura depth(P, M ) = depth(PP , MP ), với P ∈ Supp(M ) Tuy nhiên Matsumura đính sách "Commutative ring theory" [9, Exercise 136, p.132] (xem thêm [3, Lemma 18.1]) yêu cầu ví dụ vành iđêan thỏa depth(P, M ) < depth(PP , MP ) Y Han báo "D-rings", Acta Math Sinica, 4, 1047–1052, 1998 [4], định nghĩa vành R thỏa mãn depth(P, R) = depth(PP , RP ), với P ∈ Spec(R) mà ông gọi "D-ring" M.C Kang báo "Almost Cohen-Macaulay", Comm Algebra, 29(2), 781-787, 2001 [6], định nghĩa tổng quát cho môđun đổi tên thành môđun hầu Cohen-Macaulay Định nghĩa M C Kang sau Cho R vành Noether giao hoán M = R-môđun hữu hạn sinh Môđun M gọi hầu Cohen-Macaulay depth(P, M ) = depth(PP , MP ), với P ∈ Supp(M ) Vành R gọi hầu Cohen-Macaulay mơđun hầu Cohen-Macaulay Mục đích luận văn tìm hiểu lớp vành môđun hầu Cohen-Macaulay dựa báo M C Kang (2001), "Almost Cohen-Macaulay", Comm Algebra, 29(2), 781787 C Ionescu (2015), "More properties of almost Cohen-Macaulay rings", J Comm Algebra, 3, 363-372 Luận văn chia làm chương Chương trình bày số kiến thức chuẩn bị môđun mở rộng, chuyển phẳng, chiều vành mơđun Chương trình bày vành môđun hầu Cohen-Macaulay Để thấy mối liên hệ với lớp vành môđun Cohen-Macaulay chương luận văn trình bày chi tiết số kết dãy quy, độ sâu mơđun Cohen-Macaulay Tài liệu tham khảo mục [2], [9] Mục trình bày định nghĩa số tính chất vành mơđun hầu Cohen-Macaulay Tính hầu Cohen-Macaulay chia cho phần tử, vành đa thức, vành chuỗi lũy thừa hình thức, qua chuyển phẳng, đầy đủ hóa, đặc trưng tính hầu Cohen-Macaulay qua hệ tham số, qua điều kiện (Ck ), trình bày mục chương Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học TS Trần Nguyên An - giảng viên khoa Toán Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên Nhân dịp xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, người hướng dẫn cách đọc tài liệu, nghiên cứu khoa học đắn, tinh thần làm việc nghiêm túc dành nhiều thời gian, công sức giúp đỡ hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo Viện Toán học Đại học Thái Nguyên người tận tình giảng dạy khích lệ, động viên tơi vượt qua khó khăn học tập Tôi xin cảm ơn Ban lãnh đạo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Khoa Toán tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ suốt thời gian học tập Cuối cùng, xin cảm ơn bạn bè, người thân giúp đỡ, động viên, ủng hộ tơi để tơi hồn thành tốt luận văn khóa học Thái ngun, ngày 10 tháng năm 2019 Người viết Luận văn Phạm Thanh Tùng Chương Kiến thức chuẩn bị Trong tồn chương ta ln giả thiết R vành giao hốn 1.1 Mơđun mở rộng Để định nghĩa khái niệm môđun mở rộng, trước hết ta đưa khái niệm giải tự môđun Định nghĩa 1.1.1 Cho M R-môđun Một giải xạ ảnh (tự do) M phức mơđun xạ ảnh P• ánh xạ π : P0 → M cho d2 d1 π −−−→ P2 −−−→ P1 −−−→ P0 −−−→ M −−−→ dãy khớp Ví dụ 1.1.2 Xét Z2 Z-mơđun Khi giải xạ ảnh Z2 j p ··· → → Z → − Z→ − Z2 → j phép nhân p phép chiếu tự nhiên Mệnh đề 1.1.3 Mỗi mơđun M có giải tự Chứng minh Chọn F0 R-môđun tự cho có tồn cấu α : F0 → M Đặt S1 = Ker(F0 → M ) = Ker α Chọn F1 môđun tự cho có tồn cấu p1 : F1 → S1 Đặt d1 = j1 p1 : F1 → F0 , j1 : S1 → F0 phép nhúng tự nhiên.Vì p1 tồn cấu nên Im d1 = j1 (p1 (F1 )) = j1 (Ker α) = Ker α Tương tự ta tiếp tục đặt Si+1 = Ker(Fi → Si ) với Fi môđun tự Khi ta viết quy nạp thành dãy khớp −−−→ S1 −−−→ F0 −−−→ M −−−→ 0, −−−→ Si+1 −−−→ Fi −−−→ Si −−−→ Đặt dãy khớp ngắn với cho Si nối với dãy khớp ngắn, ta có 0 S2 F1 d2 F0 d1 α M S1 0 Từ ta có giải tự M d2 d1 α · · · → F3 −→ F2 −→ F0 − → M → 0, Fi R-mơđun Hệ 1.1.4 Mỗi R-mơđun M có giải xạ ảnh Định nghĩa 1.1.5 Cho M R-môđun Một giải nội xạ M phức mơđun nội xạ E• ánh xạ i : M → E0 cho dãy i d0 d1 −−−→ M −−−→ E −−−→ E −−−→ E −−−→ khớp Ví dụ 1.1.6 Một giải nội xạ Z-môđun Z → Z → Q → Q/Z → → → · · · Định lý 1.1.7 Mọi R-mơđun nhúng vào R-môđun nội xạ Mệnh đề 1.1.8 Mỗi R-mơđun có giải nội xạ Chứng minh Thật vậy, cho M R-mơđun, theo Định lí 1.1.7 tồn R- môđun nội xạ E đơn cấu i : M → E i Đặt C = Coker(M → E ) Tiếp tục giả sử ta xây dựng R- môđun C i Tồn E i R-môđun nội xạ đơn cấu C i → E Đặt C i+1 = Coker(C i → E i ) Ta có dãy khớp sau −−−→ M −−−→ E −−−→ C −−−→ 0 −−−→ C i −−−→ E i −−−→ C i+1 −−−→ Sắp xếp lại dãy khớp ta 0 C2 M i d0 E0 E1 d1 C1 0 Do ta nhận giải nội xạ M Định nghĩa 1.1.9 Xét giải xạ ảnh R-mơđun M d2 d1 π −−−→ P2 −−−→ P1 −−−→ P0 −−−→ M −−−→ Tác động hàm tử HomR (−, N ) vào giải ta phức HomR (P• , N ) d∗ d∗ d∗ −−− → HomR (P0 , N ) −−− → HomR (P1 , N ) −−− → HomR (P2 , N ) −−−→ d∗0 = Ta định nghĩa ExtiR (M, N ) = H i (HomR (P• , N )) = Ker(d∗i+1 ) Im(d∗i ) Mệnh đề 1.1.10 Định nghĩa ExtiR (M, N ) không phụ thuộc vào việc chọn giải xạ ảnh M Định nghĩa 1.1.11 Xét giải nội xạ R-môđun M i d0 d1 −−−→ N −−−→ E −−−→ E −−−→ E −−−→ Tác động HomR (M, −) ta có phức HomR (M, E • ) d−1 d0 d1 ∗ ∗ ∗ −−− → HomR (M, E ) −−− → HomR (M, E ) −−− → HomR (M, E ) −−−→ d−1 ∗ = Ta định nghĩa Ker(di∗ ) Im(d∗i−1 ) extiR (M, N ) = H i (HomR (M, E • )) = Mệnh đề 1.1.12 Định nghĩa extiR (M, N ) không phụ thuộc vào việc chọn giải nội xạ M Mệnh đề 1.1.13 Ta có ExtiR (M, N ) ∼ = extiR (M, N ) với i Chú ý 1.1.14 Do ExtiR (M, N ) ∼ = extiR (M, N ) nên ta đồng chúng gọi môđun mở rộng thứ i M N , kí hiệu ExtiR (M, N ) Mệnh đề 1.1.15 Cho dãy khớp R-môđun → M → M → M → Ta có dãy khớp dài môđun Ext HomR (M , N ) HomR (M, N ) δ1 Ext1R (M , N ) HomR (M , N ) Homn−1 R (M , N ) δn−1 ExtnR (M , N ) ExtnR (M, N ) Extn+1 R (M , N ) Extn+1 R (M, N ) δn−1 ExtnR (M , N ) Extn+1 R (M , N ) Mệnh đề 1.1.16 Cho dãy khớp R-môđun, → N → N → N → (ii), (iii) Hiển nhiên theo (i) (iv) Giả sử depth(I, M ) = d Ta có ExtiA (A/I, M/xM ) = với i < d − Extd−1 A (A/I, M/xM ) ∼ = ExtdA (A/I, M ) Extd−1 A (A/I, M/xM ) = depth(I, M/xM ) = d − Cho (R, m) Noether địa phương M R-môđun hữu hạn sinh Khi phần tử cực tiểu Supp M thuộc Ass M Do đó, x ∈ m phần tử M quy x ∈ / p với phần tử cực tiểu Supp M quy nạp suy dim M/(x1 , , xn )M = dim M − n x1 , , xn M -dãy (Xem Định lý 2.1.13) Từ ta có mệnh đề sau Mệnh đề 2.1.25 Cho (R, m) vành Noether địa phương M = R-mơđun hữu hạn sinh Khi M -dãy phần hệ tham số M Đặc biệt, depth M ≤ dim M Kết đánh giá mạnh sau Mệnh đề 2.1.26 Với p ∈ Ass M ta có depth M ≤ dim R/p Chứng minh Ta sử dụng quy nạp depth M Nếu depth M > tồn x ∈ m M -chính quy Với p ∈ Ass M ta chọn z ∈ M cho Rz cực đại số môđun cyclic M triệt tiêu p Nếu z ∈ xM , z = xy với y ∈ M py = x M -chính quy; Hơn nữa, Rz mơđun thực Ry , ngược lại chọn z Do p chứa ước khơng M/xM chứa q ∈ Ass(M/xM ) Vì x ∈ / p, ta có p ∈ / Supp(M/xM ) p = q Theo Mệnh đề 2.1.24 ta có depth(M/xM ) = depth M − 1, theo quy nạp, dim R/p > dim R/q ≤ depth(M/xM ) = depth M − Ta chứng minh cách khác sau Chứng minh Giả sử depth M > dim(R/p) Ext0R (R/p, M ) = p ∈ Ass(M ) nên tồn đơn cấu A/p −→ M tức HomR (R/p, M ) = Mà Ext0R (R/p, M ) ∼ = HomR (R/p, M ) nên Ext0R (R/p, M ) = Điều mâu thuẫn 25 2.2 Vành môđun Cohen-Macaulay Định nghĩa 2.2.1 Cho R vành Noether địa phương, M R R-môđun hữu hạn sinh, M gọi môđun Cohen-Macaulay (hay đơn giản môđun CM) depth M = dim M M = Nếu R R-mơđun CM ta nói R vành CM địa phương Một cách tổng quát, với R vành Noether bất kì, M R-mơđun CM Mm môđun CM vành địa phương Rm với iđêan cực đại m ∈ Supp(M ) Tương tự trường hợp vành địa phương, R vành CM R-mơđun CM Ví dụ 2.2.2 (i) Với R = k[X, Y ] vành đa thức hai biến trường k m = (X, Y ) iđêan cực đại R, Rm vành địa phương chiều Khi X, Y R-dãy nên ảnh X, Y Rm Rm -dãy Do dim Rm = depth Rm hay Rm vành CM địa phương (ii) Vành R = k[[X1 , , Xn ]] chuỗi lũy thừa hình thức trường k vành địa phương với iđêan cực đại (X1 , , Xn ) Ta có dim R = depth R = n R vành CM địa phương (iii) R = k[[X, Y ]]/(XY, Y ) vành địa phương chiều Nhưng phần tử (X, Y ) bị triệt tiêu Y , nghĩa depth R = nên R không vành CM (iv) Vành Noether chiều không vành CM Chẳng hạn, với < n ∈ N Z/nZ vành CM (v) Miền nguyên chiều vành CM phần tử khác khơng quy Chẳng hạn, Z, k[X] vành CM Định lý 2.2.3 Cho (R, m) vành Noether địa phương M R-môđun hữu hạn sinh Khi (i) Nếu M mơđun CM với p ∈ Ass(M ) ta có dim(R/p) = dim M = depth M Do iđêan nguyên tố liên kết M tối tiểu Ass(M ) (ii) Nếu x1 , , xr ∈ m M -dãy ta đặt M = M/(x1 , , xr )M M mơđun CM M môđun CM 26 (iii) Nếu M mơđun CM Mp môđun CM Rp với p ∈ Spec(R) Hơn Mp = depth(p, M ) = depthRp Mp Chứng minh (i) Ta có dim(R/p) ≤ dim M dim(R/p) ≥ depth M Lại có M mơđun CM nên dim M = depth M Do dim A/p = dim M = depth M (ii) Theo Định lý 2.1.13 ta có dim M = dim M − r, mà depth M = depth M − r nên M CM tức dim M = depth M M CM (iii) Ta cần chứng minh với trường hợp p ∈ Supp(M ) tức Mp = Trước hết, theo Mệnh đề 2.1.25,(i) ta có depth(p, M ) ≤ depth Mp theo Mệnh đề 2.1.26 depth Mp ≤ dim Mp Bây ta chứng minh depth(p, M ) = dim Mp quy nạp theo depth(p, M ) Với depth(p, M ) = 0, p ⊆ q ∈ Ass(M ) mà p ∈ Supp(M ) q ∈ Supp(M ) nên p = q dim Mp = Với depth(p, M ) > 0, tồn a ∈ p M −chính quy Mp −chính quy Ta có depth(p, M/aM ) = depth(p, M ) − dim Mp /aMp = dim Mp − Mà theo giả thiết quy nạp depth(p, M/aM ) = dim Mp /aMp Do depth(p, M ) = dim Mp Định lý 2.2.4 Cho (R, m) vành Noether địa phương M = R-mơđun CM Khi (i) depth(I, M ) = dim M − dim M/IM với iđêan I ⊆ m, (ii) x = x1 , , xr M -dãy dim M/xM = dim M − r, (iii) x M -dãy phần hệ tham số M Chứng minh (i) Quy nạp theo depth(I, M ) Với depth(I, M ) = 0, tồn p ∈ Ass M với I ⊆ p; Theo Định lý 2.2.3,(i) dim M = dim R/p = dim M/IM hay dim M − dim M/IM = Với depth(I, M ) > 0, chọn x ∈ I M -chính quy Khi đó, depth(I, M/xM ) = depth(I, M ) − 1, theo giả thiết quy nạp depth(I, M/xM ) = dim M/xM − dim M/IM 27 Mà M M/xM R-môđun Cohen-Macaulay nên dim M/xM = dim M − nên ta có điều phải chứng minh (ii) Điều kiện cần hiển nhiên Ta chứng minh điều kiện đủ Từ (i) suy depth((x), M ) = n, x M −dãy (iii) Từ (ii) ta có dim M/(x)M = dim M − r Gọi xr+1 , , xr+s hệ tham số M = M/xM tức dim M = r + s (M /(xr+1 , , xr+s )M ) < ∞ Mà M /(xr+1 , , xr+s )M ∼ = M/(x1 , , xr+s )M Do x1 , , xr+s hệ tham số M Hay x phần hệ tham số M ⇐) Theo ([9], Th.14.1) (ii) ta có điều phải chứng minh 2.3 Vành môđun hầu Cohen-Macaulay Trước hết ta nhắc lại số tính chất độ sâu theo [3, Lema 18.1] Mệnh đề 2.3.1 Cho R vành Noether giao hốn M = R-mơđun hữu hạn sinh, P ∈ Supp(M ) Khi M -dãy quy P địa phương hóa thành MP -dãy quy Như với iđêan I ⊆ P, ta có depth(I, M ) ≤ depth(IP , MP ) Hơn (i) Nhìn chung ta có depth(I, M ) < depth(IP , MP ) (ii) Với iđêan I tồn iđêan tối đại P ∈ Supp(M ) thỏa mãn depth(I, M ) = depth(IP , MP ) (iii) Đặc biệt P iđêan tối đại depth(P, M ) = depth(PP , MP ) Chứng minh (i) Ta xét ví dụ sau Giả sử k trường, xét vành R = k[X, Y, Z](X,Y,Z) /(X) ∩ (X, Y, Z)2 Đặt P = (X, Y ) Ta có depth(P, R) = P ⊆ (X, Y, Z) ∈ Ass(R) (X, Y ) ∈ / Ass(R) nên depth(PP , RP ) > (ii) Giả sử x1 , , xr M -dãy tối đại I Khi I chứa ước khơng M/(x1 , , xr ) Do I ⊆ P ∈Ass(M/(x1 , ,xr ) P 28 Theo Định lý tránh nguyên tố tồn P ∈ Ass(M/(x1 , , xr ), I ⊆ P Địa phương hóa iđêan nguyên tố Q = P địa phương hóa iđêan nguyên tố Q chứa P ta có depth(I, M ) = depth(IQ , MQ P ) (iii ) suy từ (ii) Định nghĩa 2.3.2 Cho R vành Noether giao hoán M = R-môđun hữu hạn sinh Môđun M gọi hầu Cohen-Macaulay depth(P, M ) = depth(PP , MP ), với P ∈ Supp(M ) Vành R gọi vành hầu Cohen-Macaulay R-mơđun hầu Cohen-Macaulay Ta có mơđun Cohen-Macaulay môđun hầu Cohen-Macaulay Bổ đề 2.3.3 Môđun M hầu Cohen-Macaulay với P ∈ Supp(M ), với dãy M -dãy quy tối đại x1 , , xr P ta có P ∈ Ass((M/x1 , , xr )M ) Chứng minh Lấy P ∈ Supp(M ) Giả sử depth(P, M ) = Ta có depth(P, RP ) = ⇔ P RP ∈ AssRP (MP ) = ⇔ P ∈ AssR (M ) Giả sử depth(P, M ) = r ≥ x1 , , xr M -dãy quy P Khi depth(P RP , MP ) = r ⇔ depth(P RP /(x1 , , xr )RP , MP /(x1 , , xr )MP ) = ⇔ P RP /(x1 , , xP )RP ∈ AssRP /(x1 , ,xr )RP (MP /(x1 , , xr )MP ) ⇔ P/(x1 , , xr ) ∈ AssR/(x1 , ,xr ) (M/(x1 , , xr )M ) ⇔ P ∈ AssR (M/(x1 , , xr )M ) Vậy bổ đề chứng minh Hệ 2.3.4 Giả sử M R-môđun hầu Cohen-Macaulay, P, Q ∈ Supp(M ), P ⊆ Q Nếu Q ∈ Ass(M ) P ∈ Ass(M ) Chứng minh Vì Q ∈ Ass(M ), depth(PQ , MQ ) = Do depth(Q, M ) = Suy Q không chứa phần tử M -chính quy Do P ⊆ Q nên suy depth(P, M ) = Vậy P ∈ Ass(M ) Hệ chứng minh 29 Ví dụ 2.3.5 Giả sử k trường Vành R = k[X, Y, Z](X,Y,Z) /(X)∩(X, Y, Z)2 khơng hầu Cohen-Macaulay (X, Y, Z) ∈ Ass(R) (X, Y ) ∈ / Ass(R) (X, Y ) ⊆ (X, Y, Z) Bổ đề 2.3.6 Cho x ∈ R phần tử quy Nếu M hầu Cohen-Macaulay M/xM hầu Cohen-Macaulay Chứng minh Kiểm tra theo Định nghĩa 2.3.2 Bổ đề 2.3.7 Cho R vành Noether giao hoán, M R-mơđun hữu hạn sinh Khi mệnh đề sau tương đương: (i) M hầu Cohen-Macaulay; (ii) dim MP ≤ + depth(P, M ), ∀P ∈ Supp M Chứng minh Giả sử M hầu Cohen-Macaulay tồn p ∈ Supp(M ), dim MP > + depth(P, M ) Vì M hầu Cohen-Macaulay nên depth(P, M ) = depth(RP , MP ) Gọi giá trị r Gọi x1 , , xr M -dãy P Ta có P/I ∈ Ass(M/IM ), I = AnnR (M )+ (x1 , , xr ) Vì dim MP = dim(R/ Ann(M ))P ≥ r + nên htR/I (P/I) ≥ Theo [7, Định lý 144] tồn vô hạn iđêan nguyên tố R/I chứa P/I Mặt khác, M hầu Cohen-Macaulay x1 , , xr M -dãy nên theo Bổ đề 2.3.6 ta có M/(x1 , , xr )N = M/IM hầu Cohen-Macaulay Vì P/I ∈ AssR/I (M/IM ) nên theo Hệ 2.3.4 iđêan nguyên tố R/I chứa P/I iđêan nguyên tố liên kết M/IM Do AssR/I (M/IM ) khơng tập hữu hạn Điều vơ lý Do ta có điều phải chứng minh Ngược lại, giả sử dim MP ≤ + depth(P, M ), với P ∈ Supp(M ) Lấy P0 Supp(M ) Gọi x1 , , xr M − dãy quy tối đại P0 Đặt I = Ann(M ) + (x1 , , xr ) Ta có depth(P0 /I, M/I) = Vì dim MP0 ≤ r + dim MP0 = ht P0 / AnnR M ≤ htR/I P0 /I + ht(I/ AnnR M ) ≤ htR/I (P0 /I) + r ≤ + r nên htR/I (P0 /I) ≤ 30 Nếu ht(P0 /I) = P0 /I ∈ AssR/I (M/IM ) Nếu ht(P0 /I) = tồn P ∈ Spec(R) cho P0 ⊆ P P/I ∈ AssR/I (M/IM ) Do đó, depth(P, M ) = r dim MP ≤ r + theo giả thiết Do r + + ht P0 /P ≤ ht(I/ AnnR M ) + ht(P0 /I) + ht(P/P0 ) ≤ ht P/ AnnR ≤ r + Điều kép theo P0 = P Do P0 /I ∈ AssR/I (M/(x1 , , xr )M ) Kéo theo P0 ∈ Ass R(M/x1 , , xr ) Theo Bổ đề 2.3.3 ta có M hầu Cohen-Macaulay Vậy bổ đề chứng minh Mệnh đề 2.3.8 Cho (R, m) vành địa phương, M R-mơđun hữu hạn sinh Khi mệnh đề sau tương đương: (i) M hầu Cohen-Macaulay; (ii) dim M ≤ + depth M Chứng minh Giả sử M hầu Cohen-Macaulay nên theo Bổ đề 2.3.7 ta có dim M ≤ + depth M Giả sử dim M ≤ + depth M Ta chứng minh dim MP ≤ + depth(P, M ) với P ∈ Supp(M ) quy nạp theo depth(M ) − depth(P, M ) Nếu P = m depth(P, M ) = depth M dim MP < dim M ≤ + depth M = + depth(P, M ) Do đó, dim MP ≤ depth(P, M ) nên suy dim MP = depth(P, M ) Giả sử depth(P, M ) < depth M Theo [7, Định lý 128] tồn iđêan nguyên tố P1 thỏa mãn P ⊆ P1 ⊆ m depth(P1 , M ) = + depth(P, M ) Theo quy nạp dim MP1 ≤ + depth(P1 , M ) kéo theo dim MP < dim MP1 ≤ + depth(P1 , M ) = + depth(P1 , M ) = + depth(P, M ) Do đó, dim MP ≤ + depth(P, M ) 31 Hệ 2.3.9 (i) Nếu dim M ≤ M hầu Cohen-Macaulay (ii) Nếu (R, m) vành địa phương M R−mơđun Cohen-Macaulay M hầu Cohen-Macaulay Hệ 2.3.10 Cho M R-môđun Khi phát biểu sau đương đương (i) M hầu Cohen-Macaulay (ii) MP hầu Cohen-Macaulay, ∀P ∈ Supp(M ) (iii) MQ hầu Cohen-Macaulay, ∀Q ∈ Supp(M ) (iv) dim MQ ≤ + depth(QRQ , MQ ), ∀Q ∈ Supp(M ) ∩ Max(R) Chứng minh (i) ⇒ (ii) Lấy P ∈ Supp(M ), ∀QRP ∈ Supp(MP ) Ta có Q ⊆ P Q ∈ Supp(M ) Lấy x¯1 , , x¯r MP -dãy quy tối đại QRP Ta có x1 , , xr M -dãy quy tối đại Q Vì M hầu Cohen-Macaulay, Q ∈ Ass(M/(x1 , , xr )M ) Kéo theo QRP ∈ Ass(M/(x1 , , xr )M ) = Ass MP /(x¯1 , , x¯r ) Theo Bổ đề 2.3.3 suy MP hầu Cohen-Macaulay (ii) ⇒ (iii) hiển nhiên (iii) ⇒ (iv) Với P ∈ Supp(M ) theo [7, Định lý 135] ∃Q ⊇ P, Q ∈ Max(R) depth(P, M ) = depth(P RQ , MQ ) Vì MQ hầu Cohen-Macaulay nên + depth(P RQ , MQ ) ≥ depth(MQ )P RQ = dim MP Vậy depth MP < + depth(P, M ) Theo Bổ đề 2.3.7 ta có M hầu Cohen-Macaulay Vậy mệnh đề chứng minh 2.4 Tính hầu Cohen-Macaulay vành đa thức vành chuỗi lũy thừa hình thức Bổ đề 2.4.1 Cho R vành giao hoán Noether, M R-môđun hữu hạn sinh, x ∈ J(R) Jacobson R, x phần tử R-chính quy M -chính quy Nếu M/xM R/(x)-mơđun hầu Cohen- Macaulay M hầu Cohen-Macaulay 32 Chứng minh Lấy Q ∈ Supp(M ) ∩ Max(R) Vì x ∈ J(R) x ∈ Q Ta có Q/(x) ∈ Supp(M/xM ) ∩ Max(R/xR) M/xM R/(x)-mơđun hầu Cohen-Macaulay nên dim(M/xM ) ≤ + depth(Q/x, M/xM ) Theo [7, Định lý 156] ta có dim MQ ≤ + depth(Q, M ) Do đó, theo suy M hầu Cohen-Macaulay Định lý 2.4.2 Cho R vành giao hoán Noether Khi R hầu Cohen-Macaulay R[[X1 , , Xn ]] hầu Cohen-Macaulay, với n ≥ Chứng minh Ta có Xn R[[X1 , , Xn−1 ]]-chính quy R[[X1 , , Xn−1 ]] ∼ = R[[X1 , , Xn ]]/(Xn ) Giả sử R[[X1 , , Xn ]] hầu Cohen-Macaulay nên theo Bổ đề 2.3.6 ta có R[[X1 , , Xn−1 ]] hầu Cohen-Macaulay Nếu R hầu Cohen-Macaulay theo đẳng cấu R ∼ = R[X1 ]/(X1 ) hầu Cohen-Macaulay Lại theo Bổ đề 2.4.1 ta có R[[X1 ]] hầu Cohen-Macaulay Cứ tiếp tục trình ta có R[[X1 , , Xn ]] hầu Cohen-Macaulay Định lý 2.4.3 Cho (R, m) vành địa phương chiều n + Giả sử R không Cohen-Macaulay Khi R hầu Cohen-Macaulay với hệ tham số {x1 , , xn+1 } tồn số j, ≤ j ≤ n + thỏa mãn {x1 , , xj , , xn+1 } dãy quy Chứng minh Giả sử R hầu Cohen-Macaulay Nếu P ∈ Ass(R) theo Bổ đề 2.3.7 ta có ht P ≤ Giả sử {x1 , , xn+1 }, n ≥ hệ tham số Tồn xi , ≤ i ≤ n + phần tử R-chính quy Ta giả sử x1 phần tử R-chính quy Do đó, R/(x1 ) hầu Cohen-Macaulay Hơn nữa, {x2 , , xn+1 } hệ tham số R/(x1 ) Do sau thay đổi số ta có {x2 , , xj , , xn } dãy quy R/(x1 ) Suy {x1 , , xj , , xn } dãy quy R Vậy định lý chứng minh 33 Định lý 2.4.4 Giả sử φ : R → S đồng cấu phẳng Giả sử P S = S với P ∈ Spec(R) φ∗ : Spec(S) → Spec(R) toàn ánh (i) Nếu S hầu Cohen-Macaulay R vành thớ S ⊗R k(P )(= SP /P SP ) vành hầu Cohen-Macaulay với P ∈ Spec(R) (ii) Nếu R hầu Cohen-Macaulay S ⊗R k(P ) Cohen-Macaulay P ∈ Spec(R) S hầu Cohen-Macaulay Chứng minh Với P ∈ Spec(R), với iđêan nguyên tố S ⊗R k(P ), tồn Q ∈ Spec(S) cho Q ∩ R = P QS ⊗R k(P ) tương ứng cho iđêan nguyên tố S ⊗R k(P ) Hơn nữa, ta có dim SQ = dim RP + dim SQ ⊗R k(P ), depth(QSQ , SQ ) = depth(P RP , RP ) + depth(QSQ ⊗R k(P ), SQ ⊗R k(P )) Từ ta có điều phải chứng minh Định lý 2.4.5 Vành R hầu Cohen-Macaulay R[X1 , , Xn ] hầu Cohen-Macaulay Chứng minh Với P ∈ Spec(R), vành thớ R[X] ⊗R k(P ) không vành đa thức trường k(P ) Do R[X] ⊗R k(P ) Cohen-Macaulay Theo Định lý 2.4.4 định lý chứng minh 2.5 Tính hầu Cohen-Macaulay qua đồng cấu phẳng Kết sau tìm hiểu tính hầu Cohen-Macaulay qua đồng cấu phẳng, địa phương Mệnh đề 2.5.1 Giả sử f : (R, m) → (S, n) đồng cấu phẳng, địa phương vành Noether địa phương Khi (i) Nếu S hầu Cohen-Macaulay R S/mS hầu Cohen-Macaulay 34 (ii) Nếu R S/mS hầu Cohen-Macaulay R S/mS Cohen-Macaulay S hầu Cohen-Macaulay Chứng minh (i) Ta có dim(R) = dim(S) − dim(S/mS) ≤ + depth S − dim(S/mS) ≤1 + depth S − depth(S/mS) = + depth R Lại có dim(S/mS) − depth(S/mS) =(dim(S) − depth S) − (dim(R) − depth R) ≤1 − (dim(R) − depth R) ≤ Từ ta có điều phải chứng minh (ii) Vì f phẳng nên ta có dim(S) = dim(R) + dim(S/mS) ≤1 + depth(R) + depth(S/mS) =1 + depth(S) Câu hỏi mở Tồn hay không vành địa phương R, S f : (R, m) → (S, N) đồng cấu phẳng địa phương vành địa phương cho R S/mS hầu Cohen-Macaulay S không hầu Cohen-Macaulay Hệ 2.5.2 Giả sử R vành Noether địa phương, I = R iđêan chứa Jacobson R R đầy đủ R theo tơpơ I -adic Khi R hầu Cohen-Macaulay R hầu Cohen-Macaulay Chứng minh Vì I chứa Jacobson R, nên đồng cấu tự nhiên R → R phẳng Max R ∼ = Max(R) Hơn nữa, m ∈ Max(R) m iđêan cực đại tương ứng R, ta có vành thớ đồng cấu Rm → Rm trường Áp dụng Mệnh đề 2.5.1 ta có hệ chứng minh 35 2.6 Tính chất (Cn) Nhắc lại với n số tự nhiên, vành Noether R gọi có tính chất Serre (Sn ) depth(RP ) ≥ min(ht P, n) với iđêan nguyên tố P ∈ Spec(R) Hơn nữa, R Cohen-Macaulay R có tính chất (Sn ) với n ∈ N Định nghĩa 2.6.1 Giả sử n ∈ N số tự nhiên Ta nói vành Noether R có tính chất (Cn ) depth(RP ) ≥ min(ht P, n) − 1, ∀P ∈ Spec(R) Nhận xét 2.6.2 i) Nếu R có tính chất (Cn ) R có tính chất (Cn−1 ) (ii) Nếu R có tính chất (Sn ) R có tính chất (Cn ) (iii) Nếu R có tính chất (Cn )thì RP có tính chất (Cn ), ∀P ∈ Spec(R) Định lý 2.6.3 Vành Noether R hầu Cohen-Macaulay R có tính chất (Cn ) với n ∈ N Chứng minh Giả sử R hầu Cohen-Macaulay P ∈ Spec(R) Khi RP hầu Cohen-Macaulay nên suy depth(RP ) ≥ ht(P )−1 Nếu n ≥ ht(P ) min(ht(P ), n) = ht(P ) Do depth(RP ) ≥ min(n, ht(P )) − Nếu n < ht(P ) min(n, ht(P )) = n depth(RP ) ≥ ht(P ) − > n − = min(ht(P ), n) − Ngược lại, giả sử P ∈ Spec(R), ht(P ) = l Khi depth(RP ) ≥ min(l, ht(P )) − = ht(P ) − Mệnh đề 2.6.4 Giả sử k ∈ N, vành Noether R có tính chất (Ck ) RP hầu Cohen-Macaulay với P ∈ Spec(R) với depth(RP ) ≤ k − Chứng minh Giả sử P ∈ Spec(R) cho min(k, ht(P ))−1 ≤ depth(RP ) ≤ k −2 Nếu ht(P ) ≤ k depth(RP ) ≥ ht(P )−1 Và ht(P ) > k , k −2 > depth(RP ) ≥ k −1 Điều mâu thuẫn Ngược lại, giả sử P ∈ Spec(R) Nếu depth(RP ) ≤ k − RP hầu CohenMacaulay, ht(P ) − ≤ depth(RP ) ≤ k − Vì min(ht(P ), k) = ht(P ), depth(RP ) ≥ min(k, ht(P )) Nếu k − < depth(RP ) ht(P ) > k − 2, nên suy depth(RP ) ≥ min(k, ht(P )) − Mệnh đề 2.6.5 Giả sử R vành Noether, k ∈ N x ∈ R khơng ước khơng Nếu R/xR có tính chất (Ck ) R có tính chất (Ck ) 36 Chứng minh Giả sử Q ∈ Spec(R) cho depth(RQ ) = n ≤ k − Nếu x ∈ Q depth(R/xR)Q = n − ≤ k − Khi ht(Q/xR) ≤ n − + = n nên suy ht(Q) ≤ n + = depth RQ + Nếu x ∈ / Q lấy P ∈ min(Q + xR) Khi (Q + xR)RP P AP -nguyên sơ depth(RP ) ≤ depth(RQ ) + = n + Do depth(R/xR)Q = n − 1, nên suy ht(P/xR) ≤ n Do ht(P ) ≤ n + = depth(RP ) + 37 Kết luận Luận văn tìm hiểu vành mơđun hầu Cohen-Macaulay Luận văn đạt kết sau - Hệ thống số kiến thức dãy quy, độ sâu vành môđun, vành môđun Cohen-Macaulay; - Tìm hiểu định nghĩa số tính chất vành mơđun hầu CohenMacaulay; - Tìm hiểu tính chất vành môđun hầu Cohen-Macaulay chia cho phần tử, tính hẩu Cohen-Macaulay vành đa thức, vành chuỗi lũy thừa hình thức, qua đồng cấu phẳng, qua địa phương hóa, qua đầy đủ hóa; - Tìm hiểu điều kiện (Ck ) đặc trưng tính hầu Cohen-Macaulay qua điều kiện (Ck ); 38 Tài liệu tham khảo [1] M F Atiyah and I G Macdonald (1969), Introduction to commutative algebra, Reading Mass: Addison-Wesley [2] W Bruns and J Herzog (1998), Cohen-Macaulay rings, Cambridge University Press (Revised edition) [3] D Eisenbud (2004), Commutative algebra with a view toward algebraic geometry, Springer [4] Y Han (1998), "D-rings", Acta Math Sinica, 4, 1047–1052 [5] C Ionescu (2015), "More properties of almost Cohen-Macaulay rings", J Commut Algebra, 3, 363-372 [6] M C Kang (2001), "Almost Cohen-Macaulay", Comm Algebra, 29(2), 781-787 [7] I.Kaplansky (1974), Commutative rings, revised ed., The Univ of Chicago Press Chicago [8] H Matsumura (1970), Commutative algebra, W A Benjamin, New York [9] H Matsumura (1986), Commutative ring theory, Cambridge University Press [10] J J Rotman (1993), An introduction to Homological Algebra, Academic Press [11] R Y Sharp (1990), Steps in commutative algebra, Cambridge University Press [12] R P Stanley (1996), Combinatorics and Commutative Algebra, Second edition, Birkhăauser Boston-Basel-Berlin Tiếng Đức [13] N T Cuong, P Schenzel, N V Trung (1978), "Verallgeminerte CohenMacaulay moduln", Math-Nachr., 85, 156-177 39 ... môđun Cohen- Macaulay 13 2.2 Vành môđun Cohen- Macaulay 26 2.3 Vành môđun hầu Cohen- Macaulay 28 2.4 Tính hầu Cohen- Macaulay vành đa thức vành. .. sinh Môđun M gọi hầu Cohen- Macaulay depth(P, M ) = depth(PP , MP ), với P ∈ Supp(M ) Vành R gọi hầu Cohen- Macaulay mơđun hầu Cohen- Macaulay Mục đích luận văn tìm hiểu lớp vành mơđun hầu Cohen- Macaulay. .. Có nhiều lớp vành mơđun mở rộng (theo khía cạnh khác nhau) lớp vành mơđun Cohen- Macaulay nhà tốn học quan tâm nghiên cứu: vành môđun Cohen- Macaulay suy rộng [13], vành môđun Cohen- Macaulay dãy