ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Vũ Thị Ngọc Ánh SÓNG RAYLEIGH TRONG CÁC BÁN KHÔNG GIAN ĐÀN HỒI TRỰC HƯỚNG PHỦ LỚP MỎNG LIÊN KẾT TRƯỢT Chuyên ngành: Cơ học vật thể rắn Mã số: 60440107 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Cán hướng dẫn khoa học: PGS TS Phạm Chí Vĩnh Hà Nội - 2014 Lời cảm ơn Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy Phạm Chí Vĩnh, thầy tận tình hướng dẫn em suốt trình thực luận văn Em xin gửi lời cảm ơn đến thầy cô mơn Cơ học thầy khoa Tốn - Cơ - Tin học trang bị kiến thức giúp em hồn thành luận văn Các kết luận văn trình bày thảo luận xemina "Sóng ứng dụng" mơn Cơ học, khoa Toán - Cơ - Tin học Em nhận góp ý bổ ích từ thầy cô thành viên xemina Cuối cùng, em cảm ơn gia đình động viên tạo điều kiện tốt để em hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng năm 2014 Vũ Thị Ngọc Ánh Mục lục Sóng Rayleigh bán khơng gian đàn hồi trực hướng nén phủ lớp mỏng trực hướng nén liên kết trượt 1.1 Điều kiện biên hiệu dụng bậc ba 1.1.1 Các phương trình 1.1.2 Dạng ma trận phương trình 1.1.3 Điều kiện biên hiệu dụng bậc ba 10 1.2 1.3 Phương trình tán sắc xấp xỉ bậc ba 13 1.2.1 Phương trình tán sắc xấp xỉ 13 1.2.2 Ví dụ số 17 1.2.3 Trường hợp đẳng hướng 18 Công thức vận tốc sóng xấp xỉ bậc ba 19 Sóng Rayleigh bán không gian đàn hồi trực hướng không nén phủ lớp mỏng trực hướng không nén liên kết trượt 2.1 2.2 2.3 24 Điều kiện biên hiệu dụng bậc ba 25 2.1.1 Các phương trình 25 2.1.2 Dạng ma trận phương trình 26 2.1.3 Điều kiện biên hiệu dụng bậc ba 27 Phương trình tán sắc xấp xỉ bậc ba sóng Rayleigh 29 2.2.1 Phương trình tán sắc xấp xỉ bậc ba 29 2.2.2 Trường hợp đẳng hướng ngang 33 Công thức vận tốc sóng xấp xỉ bậc ba 34 KẾT LUẬN 37 MỞ ĐẦU Cấu trúc gồm lớp vật liệu mỏng gắn với lớp vật liệu dày, mơ hình hóa bán không gian bị phủ lớp mỏng, sử dụng rộng rãi công nghệ đại Theo Makarov cộng [9], sau phủ xong, tính chất học lớp vật liệu mỏng bị thay đổi Vì thế, để sử dụng kết cấu có hiệu cần đánh giá tính chất học lớp mỏng sau phủ Trong nhiều phương pháp đánh giá, phương pháp sóng mặt sử dụng rộng rãi nhất, khơng gây phá hủy vật liệu, thời gian kiểm tra ngắn Trong số sóng mặt sử dụng, sóng mặt Rayleigh cơng cụ thuận tiện [6] Vì phương trình tán sắc dạng sóng Rayleigh sở lý thuyết để từ xác định tính chất học lớp mỏng từ số liệu thực nghiệm, nên mục tiêu nghiên cứu sóng Rayleigh truyền cấu trúc Sử dụng giả thiết lớp mỏng, tác giả rút phương trình tán sắc xấp xỉ sóng Rayleigh cách sử dụng điều kiện biên hiệu dụng: thay toàn ảnh hưởng lớp lên bán không gian điều kiện biên mặt biên phân chia Điều kiện biên rút cách thay lớp mỏng theo lý thuyết Kirchhoff Tiersten [20], hay theo lý thuyết Mindlin Achenbach [2], khai triển Taylor ứng suất mặt lớp vật liệu theo độ dày h lớp mỏng Niklasson cộng [13], Rokhlin & Huang [15, 16], Benveniste [3], Steigmann [17], Ting [22], Phạm Chí Vĩnh & Nguyễn Thị Khánh Linh [31, 32] Tiersten [20], Bovik [4], Trần Thanh Tuấn [24] giả thiết lớp bán không gian đẳng hướng rút phương trình tán sắc xấp xỉ bậc hai (chúng khơng trùng nhau) Steigmann [17] giả thiết lớp mỏng đẳng hướng ngang có ứng suất dư, bán khơng gian đẳng hướng Tác giả tìm phương trình tán sắc xấp xỉ bậc hai sóng Trong đó, Wang cộng [33] xét bán không gian đẳng hướng phủ lớp dẫn điện, thu phương trình tán sắc xấp xỉ bậc Gần đây, [31] lớp bán không gian giả thiết đàn hồi trực hướng, [32] chúng giả thiết đàn hồi trực hướng có ứng suất trước Các tác giả tìm phương trình tán sắc xấp xỉ bậc ba cho hai trường hợp Trong tất cơng trình nêu trên, lớp bán không gian giả thiết gắn chặt Trong thực tế, sau thời gian sử dụng, lớp (mỏng) thường bị bóc tách khỏi bán khơng gian Khi đó, liên kết chúng liên kết trượt Cho đến nay, có phương trình tán sắc xấp xỉ bậc ba tìm Achenbach Keshava [2] cho trường hợp liên kết trượt, lớp bán không gian giả thiết đẳng hướng Tuy nhiên, phương trình tán sắc phụ thuộc vào hệ số trượt, có nguồn gốc từ lý thuyết Mindlin, mà việc sử dụng cần phải tránh nhấn mạnh Touratier [23], Muller Touratier [12], Stephen [18] Mục tiêu luận văn xây dựng phương trình tán sắc xấp xỉ (bậc ba) sóng Rayleigh truyền bán khơng gian đàn hồi trực hướng phủ lớp mỏng trực hướng với liên kết trượt Lớp bán không gian giả thiết nén không nén Để đạt mục đích này, luận văn sử dụng phương pháp điều kiện biên hiệu dụng: thay toàn ảnh hưởng lớp lên bán không gian điều kiện biên hiệu dụng (dạng ma trận) Nó liên kết (một cách tuyến tính) véctơ chuyển dịch với véctơ ứng lực mặt biên bán không gian (xem Phạm Chí Vĩnh & Nguyễn Thị Khánh Linh [31, 32]) Sự truyền sóng Rayleigh bán khơng gian phủ lớp (mỏng) sau xét sóng Rayleigh truyền bán không gian, không bị phủ lớp mỏng, mà biên chịu điều kiện biên hiệu dụng thu Để thu điều kiện biên hiệu dụng, cần thiết lập mối liên hệ (tuyến tính) véctơ chuyển dịch với véctơ ứng lực biên phân chia lớp bán không gian, gọi "điều kiện biên tiền hiệu dụng" Điều kiện biên tiền hiệu dụng rút cách sử dụng phương trình dạng ma trận lý thuyết đàn hồi khai triển Taylor véctơ chuyển dịch-ứng lực (thành lập từ véctơ chuyển dịch véctơ ứng lực) biên lớp (được giả thiết tự ứng suất) theo độ dày lớp (xem Phạm Chí Vĩnh & Nguyễn Thị Khánh Linh [31, 32]) Khi liên kết bán không gian lớp gắn chặt, véctơ chuyển dịch-ứng lực liên tục qua biên phân chia bán không gian lớp Điều kiện biên hiệu dụng suy trực tiếp từ điều kiện biên tiền hiệu dụng cách thay véctơ chuyển dịch, ứng lực lớp biên véctơ chuyển dịch, ứng lực bán không gian biên bán không gian Khi liên kết bán không gian lớp trượt: thành phần chuyển dịch pháp ứng suất pháp (vng góc với biên phân chia lớp bán không gian) liên tục qua biên phân chia, thành phần ứng suất tiếp khơng đó, thành phần chuyển dịch ngang (song song với biên phân chia) bị gián đoạn Khi véctơ chuyển dịch-ứng lực khơng liên tục qua biên phân chia điều kiện biên hiệu dụng không suy dễ dàng từ điều kiện biên tiền hiệu dụng trường hợp liên kết gắn chặt Để vượt qua khó khăn này, ta sử dụng biểu diễn nghiệm sóng Rayleigh để khử thành phần chuyển dịch ngang lớp khỏi điều kiện biên tiền hiệu dụng Cuối ta thu hệ thức liên hệ (tuyến tính) thành phần chuyển dịch pháp với thành phần ứng suất pháp lớp biên phân chia Từ (cùng với điều kiện thành phần ứng suất tiếp không biên bán không gian), ta thu điều kiện biên hiệu dụng cách thay thành phần chuyển dịch pháp thành phần ứng suất pháp lớp biên phân chia đại lượng tương ứng bán không gian Nội dung luận văn gồm hai chương: Chương 1: Sóng Rayleigh bán không gian đàn hồi trực hướng nén phủ lớp mỏng trực hướng nén liên kết trượt Chương 2: Sóng Rayleigh bán khơng gian đàn hồi trực hướng không nén phủ lớp mỏng trực hướng không nén liên kết trượt Các kết luận văn là: Thiết lập phương trình dạng ma trận lý thuyết đàn hồi trực hướng, nén khơng nén Tìm điều kiện biên hiệu dụng bậc ba cho hai trường hợp: (i) lớp bán không gian đàn hồi trực hướng nén được, liên kết trượt với (ii) lớp bán không gian đàn hồi trực hướng không nén được, liên kết trượt với Tìm phương trình tán sắc xấp xỉ bậc ba cho hai trường hợp nêu Xây dựng cơng thức vận tốc sóng xấp xỉ bậc ba 5 Các ví dụ số phương trình tán sắc cơng thức vận tốc sóng xấp xỉ thu có độ xác cao Các kết chương công bố báo sau: Pham Chi Vinh, Vu Thi Ngoc Anh, Rayleigh waves in an orthotropic half-space coated by a thin orthotropic layer with sliding contact, International Journal of Engineering Science 75 (2014) 154–164 Cần nhấn mạnh rằng, phương trình dạng ma trận lý thuyết đàn hồi công cụ thuận tiện để rút điều kiện biên tiền hiệu dụng mà sử dụng cho nhiều tốn khác, chẳng hạn để rút biểu diễn Stroh [19], để nghiên cứu phản xạ khúc xạ sóng [1] Khi mơi trường khơng nén (hay nói chung chịu ràng buộc đấy), để thu phương trình dạng ma trận lý thuyết đàn hồi cần khử áp suất thủy tĩnh (các nhân tử Lagrange) khỏi phương trình Do trình đến phương trình dạng ma trận lý thuyết đàn hồi không nén phức tạp khó khăn so với trường hợp nén Chương Sóng Rayleigh bán khơng gian đàn hồi trực hướng nén phủ lớp mỏng trực hướng nén liên kết trượt Trong chương này, ta nghiên cứu lan truyền sóng Rayleigh theo hướng x1 tắt dần theo hướng x2 , bán không gian đàn hồi trực hướng nén vô hạn x2 ≥ phủ lớp mỏng đàn hồi trực hướng nén có độ dày h x2 = -h _ _ c, ij c, ij x3 x1 x2 Hình 1.1: Mơ hình bán khơng gian trực hướng nén phủ lớp mỏng trực hướng nén Ở đây, ta giả thiết trục vật liệu lớp bán không gian trùng Một hệ tọa độ Descartes Ox1 x2 x3 sử dụng cho trục trùng với trục vật liệu (hình 1.1) Giả thiết lớp mỏng bán không gian liên kết trượt với Chú ý đại lượng giống bán không gian lớp có ký hiệu phân biệt dấu gạch ngang liên quan đến lớp 1.1 Điều kiện biên hiệu dụng bậc ba 1.1.1 Các phương trình Xét trạng thái biến dạng phẳng, thành phần chuyển dịch có dạng sau: ui = ui (x1 , x2 , t), u¯i = u¯i (x1 , x2 , t), i = 1, 2, u3 = u¯3 ≡ (1.1) ui , u¯i thành phần vectơ chuyển dịch, t thời gian Do vật liệu đàn hồi trực hướng nén được, mối liên hệ thành phần ứng suất σij thành phần gradien chuyển dịch (ui,j = ∂ui /∂xj ) (xem [21]) : σ ¯11 = c¯11 u¯1,1 + c¯12 u¯2,2 , σ ¯22 = c¯12 u¯1,1 + c¯22 u¯2,2 , (1.2) σ ¯12 = c¯66 (¯ u1,2 + u¯2,1 ) số đàn hồi c¯11 , c¯22 , c¯12 , c¯66 phải thỏa mãn bất đẳng thức sau (điều kiện cần đủ để lượng biến dạng xác định dương): c¯kk > 0, k = 1, 2, 6, c¯11 c¯22 − c¯212 > (1.3) Bỏ qua lực khối, phương trình chuyển động lớp có dạng [21]: 11,1 + 12,2 = uă1 , (1.4) 12,1 + 22,2 = uă2 vi l mt độ khối lượng lớp, dấu chấm " " biểu thị đạo hàm theo biến thời gian t 1.1.2 Dạng ma trận phương trình Từ (1.2)3 , ta có: u¯1,2 = −¯ u2,1 + σ¯12 c¯66 (1.5) Từ (1.2)2 , suy ra: u¯2,2 = − c¯12 u¯1,1 + σ ¯22 c¯22 c¯22 (1.6) Theo (1.4)1 : (1.7) σ 12,2 = 11,1 + uă1 o hm (1.2)1 theo x1 , ta được: (1.8) σ ¯11,1 = c¯11 u¯1,11 + c¯12 u¯2,21 Đạo hàm (1.6) theo x1 sử dụng kết vào (1.8), dẫn tới: σ ¯11,1 = c¯11 c¯22 − c¯212 c¯12 u¯1,11 + σ¯22,1 c¯22 c¯22 (1.9) Thay (1.9) vào (1.7), ta có: σ ¯12,2 = − c¯11 c¯22 − c¯212 c¯12 u¯1,11 22,1 + uă1 c22 c22 (1.10) Theo (1.4)2 suy ra: (1.11) 22,2 = 12,1 + uă2 Như vậy, ta biểu diễn đạo hàm theo hướng vng góc với lớp u¯1,2 , u¯2,2 , σ ¯12,2 , σ ¯22,2 qua đạo hàm theo hướng song song với lớp đạo hàm theo t đại lượng u¯1 , u¯2 , σ¯12 , σ¯22 tham số vật liệu qua phương trình (1.5), (1.6), (1.10), (1.11) Từ phương trình (1.5), (1.6), (1.10), (1.11) ta rút phương trình ma trận (tốn tử) sau: (1.12) ξ = Mξ,  ξ= U¯ = ¯ U T¯   ,M =  T u¯1 u¯2 , T¯ = M1 M2 M3 M4  , T σ ¯12 σ ¯22 với " T " kí hiệu chuyển vị ma trận, dấu phẩy " " đạo hàm riêng theo x2  N1 =   N3 =  −∂1 −∂1    N2 =  c¯66  , −δ¯ ∂12 + ρ¯ ∂t2 0 ρ¯ ∂t2  , (2.13) N4 = N1 Ở sử dụng kí hiệu: ∂1 = ∂/∂x1 , ∂12 = ∂ /∂x21 , ∂t = ∂ /∂t2 Từ (2.12) ta có:     U¯ (n)  2.1.3 T¯(n)  = Nn  U¯ T¯  , N =  N1 N2 N3 N4   , n = 1, 2, 3, , x2 ∈ [−h, 0] (2.14) Điều kiện biên hiệu dụng bậc ba Vì lớp mỏng nên h nhỏ Khai triển Taylor T¯ (−h) điểm x2 = đến cấp 3, ta được: 1 T¯ (−h) = T¯ (0) + T¯ (0)(−h) + T¯ (0)h2 − T¯ (0)h3 3! (2.15) Do x2 = −h lớp tự với ứng suất nên ta có: T¯ (−h) = (2.16) h3 h2 T¯ (0) = hT¯ (0) − T¯ (0) + T¯ (0) (2.17) Sử dụng (2.16) vào (2.15) suy ra: Từ (2.14) với n = 1, 2, (2.17) dẫn đến: h2 h3 (N3 N1 + N4 N3 )N2 + (N3 N2 + N42 )N4 T¯(0)+ (N3 N2 + N42 ) − h3 h2 (N3 N1 + N4 N3 )N1 + (N3 N2 + N42 )N3 U¯ (0) − hN3 + (N3 N1 + N4 N3 ) − =0 I − hN4 + (2.18) 27 I ma trận đơn vị cấp Sử dụng (2.13) vào (2.18), ta công thức dạng thành phần ca nú l: h2 u2,111 ă12 + uă2,1 r1 12,11 + c66 (2.19) h3 ă22,1 r2 u1,1111 r3 uă1,11 r1 22,111 + uă1,tt = 0, ti x2 = , + c¯66 c¯66 ¯u1,11 − uă1 + 12 + h 22,1 + 22 + h 12,1 uă2 + h2 u1,111 22,11 + uă1,1 2 h3 u2,1111 ă12,1 + r1 12,111 + uă2,11 = 0, ti x2 = + c66 với r1 = − δ¯ , c¯66 ¯ r2 = δ( δ¯ − 2), c¯66 r3 = 2r1 + 1, (2.20) (2.21) Vì lớp liên kết trượt với bán khơng gian nên tính liên tục chuyển dịch mặt biên phân chia bị phá vỡ nên từ (2.19) (2.20) ta không nhận điều kiện biên hiệu dụng Để tìm điều kiện biên hiệu dụng qua tìm phương trình tán sắc sóng, ta xét sóng Rayleigh truyền theo hướng x1 với vận tốc sóng c, số sóng k tắt dần theo phương x2 Chuyển dịch ứng suất sóng xác định công thức (1.24) cho lớp (1.25) cho bán không gian Thế (1.24) vào (2.19) (2.20) ta được: ε2 ρ¯c2 ρ¯c2 ε3 r1 + − r1 − + T¯2 (0) ε + c¯66 c¯66 c4 ρ ¯ ε − r2 − ρ¯c2 r3 − +U¯1 (0) ε ρ¯c2 − δ¯ + c¯66 ¯ δ = 0, +iU¯2 (0) ε2 ρ¯c2 − iT¯1 (0) − + ε3 2¯ ρc2 ε2 T¯1 (0) ε + − r1 − + iT¯2 (0) − + c¯66 ¯ ε δ ¯2 (0) ε¯ δ¯ − 3¯ ρc2 +U ρc2 + +iU¯1 (0) ε2 ρ¯c2 − (2.22) =0 với ε = kh độ dày không thứ nguyên lớp Do liên kết lớp bán khơng gian trượt, nên ta có điều kiện (1.27), (1.28) Thay (1.28)2 vào (2.22) khử U¯1 , ta mối liên hệ biên độ ứng suất pháp biên độ chuyển dịch pháp xác định sau: iT¯2 (0)(−a1 + a2 ε2 ) = −(a3 ε + a4 ε3 )U¯2 (0) 28 (2.23) a1 = rv2 x − e¯δ , a2 = a3 = c¯66 rv2 x(rv2 x eδ rv2 x + rv4 x2 , e¯δ e¯δ − − 2¯ c¯66 − e¯δ ), a4 = e¯ − 2rv2 x e¯2δ − 2¯ eδ rv2 x + rv4 x2 12 δ (2.24) với x= δ¯ c2 c2 , e ¯ = , rv = , c2 = δ c¯66 c¯2 c2 c66 , c¯2 = ρ c¯66 ρ¯ (2.25) Sử dụng điều kiện liên tục biên độ ứng suất pháp biên độ chuyển dịch pháp hai biểu thức cuối (1.28) vào (2.23) ta được: T2 (0)(−a1 + a2 ε2 ) = i(a3 ε + a4 ε3 )U2 (0) (2.26) Vậy mặt phẳng x2 = bán khơng gian có điều kiện sau: T1 (0) = , (2.27) T2 (0)(−a1 + a2 ε ) = iU2 (0)(a3 ε + a4 ε ) Phương trình thứ hai (2.27) điều kiện biên hiệu dụng bậc ba ta cần xác định (nó thay cách xấp xỉ tồn ảnh hưởng lớp lên bán không gian điều kiện này) 2.2 Phương trình tán sắc xấp xỉ bậc ba sóng Rayleigh 2.2.1 Phương trình tán sắc xấp xỉ bậc ba Bây ta bỏ qua lớp xét truyền sóng Rayleigh bán không gian đàn hồi trực hướng, không nén mà mặt phẳng x2 = thỏa mãn điều kiện (2.27) Theo [14], thành phần chuyển dịch sóng truyền theo hướng x1 tắt dần theo hướng x2 với vận tốc sóng c số sóng k xác định (1.25)1,2 biên độ chuyển dịch U1 (y) U2 (y) xác định bởi: U1 (y) = −k(b1 B1 e−b1 y + b2 B2 e−b2 y ), −b1 y U2 (y) = −ik(B1 e 29 −b2 y + B2 e ) (2.28) B1 , B2 số cần xác định b1 , b2 nghiệm phương trình: γb4 − (2β − X)b2 + (γ − X) = 0, (2.29) với b1 , b2 phải có phần thực dương, X = ρc2 γ = c66 , β = (δ − 2γ)/2, δ = c11 + c22 − 2c12 (2.30) Từ (2.29) suy ra: b21 + b22 = γ−X 2β − X = S, b21 b22 = =P γ γ (2.31) Dễ dàng thấy sóng Rayleigh tồn (→ b1 , b2 có phần thực dương) thì: (2.32) < X < c66 , b1 b2 = √ P , b1 + b2 = √ S+2 P (2.33) Sử dụng (1.25)1,2 (2.28) vào (2.1)3 tương ứng với bán không gian suy ra: σ12 = k (β1 B1 e−kb1 x2 + β2 B2 e−kb2 x2 )eik(x1 −ct) (2.34) Từ (2.1)1 (2.1)2 , ta khử áp suất thủy tĩnh sau sử dụng (2.3)1 , (1.25)1,2 , (2.28) (2.34) tương ứng với bán không gian ta được: σ22,1 = k (γ1 B1 e−kb1 x2 + γ2 B2 e−kb2 x2 )eik(x1 −ct) (2.35) βn = c66 (b2n + 1), γn = (X − δ + βn )bn , n = 1, (2.36) Từ (1.25)3,4 , (2.34) (2.35) suy ra: T1 (y) = ik β1 B1 e−b1 y + β2 B2 e−b2 y , (2.37) T2 (y) = k γ1 B1 e−b1 y + γ2 B2 e−b2 y Thế (2.28) (2.37) vào (2.27) ta hệ phương trình B1 , B2 :    f (b1 )B1 + f (b2 )B2 =   F (b1 )B1 + F (b2 )B2 = 30 (2.38) F (bn ) = γn (−a1 + a2 ε2 ) − (a3 ε + a4 ε3 ), (2.39) f (bn ) = βn , n = 1, Để B12 + B22 = định thức hệ phải không, điều dẫn tới: (2.40) f (b1 )F (b2 ) − f (b2 )F (b1 ) = Sử dụng (2.39) vào (2.40) có xét đến (2.31),(2.33) (2.36) suy phương trình tán sắc sóng cho sau: (2.41) G0 + G1 ε + G2 ε + G3 ε = G0 = a1 (X − δ)(b1 b2 − 1) − c66 (b21 b22 + b21 + b22 + 1) , G1 = a3 (b1 + b2 ), (2.42) G2 = −a2 (X − δ)(b1 b2 − 1) − c66 (b21 b22 + b21 + b22 + 1) , G3 = a4 (b1 + b2 ) Đây phương trình tán sắc xấp xỉ bậc ba mong đợi dạng hồn tồn tường minh Dạng khơng thứ nguyên là: (2.43) H0 + H1 ε + H2 ε + H3 ε = √ H0 = (rv2 x − e¯δ )[(x − eδ ) P + x], √ H1 = rµ rv2 x(rv2 x − e¯δ ) S + P , √ H2 = [¯ eδ (2 − e¯δ ) + 2¯ eδ rv2 x − rv4 x2 ][(x − eδ ) P + x], √ e2δ − 2rv2 x(¯ e2δ − 2¯ eδ rv2 x + rv4 x2 )] S + P , H3 = rµ [¯ 12 (2.44) S = eδ − − x, P = − x x= δ c¯66 X , eδ = , rµ = , c2 = c66 c66 c66 31 c66 ρ (2.45) Rõ ràng rằng, vận tốc sóng khơng thứ ngun x phụ thuộc vào tham số khơng thứ ngun: eδ , e¯δ , rµ , rv ε Chú ý ek > 0, e¯k > (k = 1, 2), e1 + e2 − 2e3 > e¯1 + e¯2 − 2¯ e3 > cii > (i = 1, 2, 6), c11 + c22 − 2c12 > c¯11 + c¯22 − 2¯c12 > Sau đây, từ phương trình tán sắc xấp xỉ tìm ta khảo sát ví dụ số 32 0.9 x 0.85 0.8 0.75 0.7 0.65 0.6 0.55 0.5 0.45 0.4 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 ε Hình 2.2: Đồ thị vận tốc sóng Rayleigh khơng thứ nguyên x(ε) đoạn [0,1] tính dựa phương trình tán sắc xác (nét liền) phương trình tán sắc xấp xỉ (2.43) (nét đứt) Ở rµ = 1, rv = 1.5, eδ = 3, e¯δ = 3.5 Qua hình 2.2, ta thấy đường cong vận tốc xấp xỉ bậc ba đường cong vận tốc xác gần trùng khoảng ε ∈ [0, 1] Điều chứng tỏ phương trình tán sắc xấp xỉ bậc ba xấp xỉ tốt 2.2.2 Trường hợp đẳng hướng ngang Khi lớp bán không gian đẳng hướng ngang (với trục đẳng hướng trục x3 ), ta có: c11 = c22 , c¯11 = c¯22 , c11 − c22 = 2c66 , c¯11 − c¯22 = 2¯ c66 dẫn đến eδ = e¯δ = 4, S = − x 33 (2.46) Từ (2.44) (2.46) suy H0 , H1 , H2 , H3 là: H0 = rv2 x − H2 = − x−4 √ − x + x , H1 = rµ rv2 x rv2 x − + − 8rv2 x + rv4 x2 x−4 √ √ 1−x , (2.47) 1−x+x , H3 = rµ − rv2 x 16 − 8rv2 x + rv4 x2 1+ √ 1−x Khi lớp bán không gian đẳng hướng, H0 , H1 , H2 , H3 tính (2.47) x = ρc2 /µ, rµ = trượt bán khơng gian lớp 2.3 µ ¯ với µ, µ¯ tương ứng mơ đun µ Cơng thức vận tốc sóng xấp xỉ bậc ba Ta tìm phương trình tán sắc xấp xỉ sóng Sau đây, từ phương trình tán sắc tìm được, ta xây dựng cơng thức xấp xỉ bậc ba cho vận tốc sóng Rayleigh khơng thứ ngun bình phương x(ε) mà có dạng sau: x(ε) = x(0) + x (0) ε + x (0) x (0) ε + ε + O(ε4 ) (2.48) x(0) vận tốc sóng Rayleigh khơng thứ ngun bình phương truyền bán không gian đàn hồi trực hướng không nén xác định [14] x(0) = − + −1+ √ 9eδ + 16 + 3 √ 9eδ + 16 − 3 eδ (4e2δ − 13eδ + 32) /2 eδ (4e2δ − 13eδ + 32) /2 (2.49) thức hiểu thực Do √ 9eδ + 16 − 3 eδ (4e2δ − 13eδ + 32) /2 − 3eδ = √ 9eδ + 16 + 3 (2.50) eδ (4e2δ − 13eδ + 32) /2 nên x(0) tính cơng thức sau: x(0) = − −1+ √ 9eδ + 16 + 3 eδ (4e2δ − 13eδ + 32) /2 − 3eδ + √ 9eδ + 16 + 3 eδ (4e2δ − 13eδ + 32) /2 34 (2.51) √ mà dễ sử dụng 9eδ + 16 + 3 eδ eδ (4e2δ − 13eδ + 32) > với giá trị Từ (2.43), ta có: x (0) = − x (0) = H1 H0x x=x(0) , x (0) = − − 2H H H + H 2H2 H0x 0x 1x 0xx H1 H0x , x=x(0) − 6H3 + 6H2x x (0) + 3H1xx x (0) + 3H1x x (0) + 3H0xx x (0)x (0) + H0xxx x (0) /H0x x=x(0) (2.52) H1 , H2 , H3 xác định (2.44) √ − 3x + eδ √ H0x = rv2 (x − eδ ) P + x + (rv2 x − e¯δ ) +1 P − 3x + eδ eδ − + 3x √ √ H0xx = 2rv2 + + (rv2 x − e¯δ ) P 4P P 3r (eδ − + 3x) 3(rv2 x − e¯δ )(eδ − + x) √ √ + H0xxx = v 4P P 8P P √ √ √ rµ rv2 2 H1x = √ √ 2(2rv x − e¯δ ) P (S + P ) − x(rv x − e¯δ )( P + 1) P S+2 P √ (2r x − e √ r r ¯ )( P + 1) µ δ v v H1xx = 2rµ rv4 S + P − √ SP + 2P P 2 √ √ √ rµ rv x(rv x − e¯δ ) P + P ( P + 1)2 − S + √ √ 4P (S + P ) SP + 2P P √ rv2 (¯ eδ − rv2 x) H2x = (x − eδ ) P + x + e¯δ (2 − e¯δ ) − 3x + eδ √ +1 + 2¯ eδ rv x − rv x P (2.53) Từ cơng thức vận tốc sóng thu được, ta khảo sát ví dụ cụ thể 35 0.9 0.8 x 0.7 0.6 0.5 0.4 0.2 0.4 0.6 0.8 ε Hình 2.3: Đồ thị vận tốc sóng Rayleigh khơng thứ nguyên x(ε) đoạn [0,1] tính dựa phương trình tán sắc xác (nét liền) cơng thức vận tốc sóng xấp xỉ (2.48) (nét đứt) Ở rµ = 1, rv = 1.5, eδ = 3, e¯δ = 3.5 Từ hình 2.3, ta thấy đường cong vận tốc vẽ từ công thức vận tốc sóng xấp xỉ bậc ba gần đường cong vận tốc xác khoảng ε ∈ [0, 1] Nó công thức xấp xỉ tốt sử dụng để đánh giá khơng phá hủy tính chất học lớp (và bán không gian) 36 KẾT LUẬN Các kết luận văn là: (i) Tìm phương trình tán sắc xấp xỉ bậc ba dạng sóng Rayleigh truyền bán không gian đàn hồi trực hướng bị phủ lớp mỏng trực hướng, liên kết trượt cho hai trường hợp nén khơng nén (ii) Từ đó, xây dựng cơng thức vận tốc sóng xấp xỉ bậc ba sóng Rayleigh (iii) Các kết thu (iv) Các ví dụ số rằng, phương trình tán sắc xấp xỉ cơng thức vận tốc sóng xấp xỉ có độ xác cao Chúng cơng cụ tốt để đánh giá tính chất học lớp (và bán khơng gian) trình sử dụng Hướng phát triển tiếp theo: Tìm phương trình tán sắc xấp xỉ cơng thức vận tốc sóng xấp xỉ sóng Rayleigh cho mơi trường khác như: mơi trường đàn hồi có ứng suất trước, môi trường đàn điện, 37 Tài liệu tham khảo [1] Achenbach, J D (1973), Wave propagating in elastic solids, North - Hollan Publishing Company/American Elsevier, Amsterdam/NewYork [2] Achenbach, J D and Keshava, S P (1967) "Free waves in a plate supported by a semi-infinite continuum", Journal of Applied Mechanics, 34, 397-404 [3] Benveniste, Y (2006) "A general interface model for a three-dimensional curved thin anisotropic interphase between two anisotropic media", Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 54, 708-734 [4] Bovik, P (1996) "A comparison between the Tiersten model and O(H) boundary conditions for elastic surface waves guided by thin layers", Journal of Applied Mechanics, 63, 162-167 [5] Chadwick, P (1976) "The existence of pure surface modes in elastic materials with orthorhombic symmetry", Journal of Sound and Vibration, 47, 39-52 [6] Every, A G (2002) "Measurement of the near-surface elastic properties of solids and thin supported films", Measurement Science and Technology, 13, R21-R39 [7] Kuchler, K., Richter, E (1998) "Ultrasonic surface waves for studying the properties of thin films", Thin Solid Films, 315, 29-34 [8] Hess, P., Lomonosov, A M., Mayer, A P (2013) "Laser-based linear and nonlinear guided elastic waves at surfaces (2D) and wedges (1D)", Ultrasonics, In press http://dx.doi.org/10.1016/j.ultras.2013.05.013 38 [9] Makarov, S., Chilla, E and Frohlich, H J (1995) "Determination of elastic constants of thin films from phase velocity dispersion of different surface acoustic wave modes", Journal of Applied Physics , 78, 5028-5034 [10] Malischewsky, A P (2004) "A note on Rayleigh-wave velocities as a function of the material parameters", Geofisica Internasional, 43, 507-509 [11] Mindlin, R D (1951) "Influence of rotatory inertia and shear on flexural motion isoropic elastic plates", Journal of Applied Mechanics, 18, 31-38 [12] Muller, P., Touratier, M (1996) "On the so-called variational consistency of plate models, I Indefinite plates: evaluation of dispersive behaviour", Journal of Sound and Vibration, 188, 515-527 [13] Niklasson, A J., Datta, S K., Dunn, M L (2000) "On approximating guided waves in thin anisotropic coatings by means of effective boundary conditions", Journal of the Acoustical Society of America, 108, 924-933 [14] Ogden, R W., Vinh, P C (2004) "On Rayleigh waves in incompressible orthotropic elastic solids", J Acoust Soc Am , 115 (2), 530– 533 [15] Rokhlin, S I., Huang, W (1992) "Ultrasonic wave interaction with a thin anisotropic layer between two anisotropic solids: Exact and asymptoticboundary-condition methods", Journal of the Acoustical Society of America, 92, 1729-1742 [16] Rokhlin, S I., Huang, W (1993) "Ultrasonic wave interaction with a thin anisotropic layer between two anisotropic solids II Second-order asymptotic boundary conditions", Journal of the Acoustical Society of America, 94, 3405-3420 [17] Steigmann, D J (2007) "Surface waves supported by thin-film/substrate interactions", IMA Journal of Applied Mathematics, 72, 730-747 [18] Stephen, N G (1997) "Mindlin Plate theory: best shear coefficient and higher spectra validity", Journal of Sound and Vibration, 202, 539-553 39 [19] Stroh, A N (1962), "Steady state problems in an anisotropic elasticity", Journal of Mathematics, 72, 730-747 [20] Tiersten, H F (1969) "Elastic Surface Waves Guided by Thin Films", Journal of Applied Physics, 46, 770-789 [21] Ting, T C T (1996) Anisotropic Elasticity: Theory and applications, Oxford University Press, NewYork [22] Ting, T C T (2009) "Steady waves in an anisotropic elastic layer attached to a half-space or between two half-spaces-a generalization of Love waves and Stoneley waves", Mathematics and Mechanics of Solids, 14, 52-71 [23] Touratier, M (1991) "An efficient standard plate theory", International Journal of Engineering Science, 29, 901-916 [24] Tuan, T T (2008) The ellipticity (H/V -ratio) of Rayleigh surface waves, PhD thesis, Friedrich-Schiller University Jena [25] Vinh, P C., Ogden, R W (2004) "On formulas for the Rayleigh wave speed", Wave Motion, 39, 191-197 [26] Vinh, P C., Ogden, R W (2004) "Formulas for the Rayleigh wave peed in orthotropic elastic solids", Achives of Mechanics, 56, 247-265 [27] Vinh,P C., Malischewsky, P (2007) "An improved approximation of Bergmann’s form for the Rayleigh wave velocity", Ultrasonic, 47, 49-54 [28] Vinh,P C., Malischewsky, P (2008) "Improved approximations of the Rayleigh wave velocity",Journal of Thermoplastic Composite Matererials, 21, 337-352 [29] Vinh, P C., Seriani, G (2009) "Explicit secular equations of Rayleigh waves in a non-homogeneous orthotropic elastic medium under the influence of gravity", Wave Motion, 46, 427-434 [30] Vinh, P C., Seriani, G (2010) "Explicit secular equations of Stoneley waves in a non-homogeneous orthotropic elastic medium under the influence of gravity", Applied Mathematics and Comptations, 215, 3515-3525 40 [31] Vinh, P C., Linh, N T K (2012) "An approximate secular equation of Rayleigh waves propagating in an orthotropic elastic half-space coated by a thin orthotropic elastic layer", Wave Motion , 49, 681-689 [32] Vinh, P C., Linh, N T K (2013) "An approximate secular equation of generalized Rayleigh waves in pre-stressed compressible elastic solids", International Journal of Non-Linear Mechanics, 50, 91-96 [33] Wang, J et al (2006) "Exact and approximate analysis of surface acoustic waves in an infinite elastic plate with a thin metal layer", Ultrasonics, 44, e941-e945 41 ... đàn hồi trực hướng nén phủ lớp mỏng trực hướng nén liên kết trượt Chương 2: Sóng Rayleigh bán không gian đàn hồi trực hướng không nén phủ lớp mỏng trực hướng không nén liên kết trượt Các kết. .. Sóng Rayleigh bán không gian đàn hồi trực hướng nén phủ lớp mỏng trực hướng nén liên kết trượt Trong chương này, ta nghiên cứu lan truyền sóng Rayleigh theo hướng x1 tắt dần theo hướng x2 , bán không. .. đàn hồi trực hướng, nén không nén Tìm điều kiện biên hiệu dụng bậc ba cho hai trường hợp: (i) lớp bán không gian đàn hồi trực hướng nén được, liên kết trượt với (ii) lớp bán không gian đàn hồi