Chương II : SỐ TỰ NHIÊN A NỘI DUNG BÀI GIẢNG Lý thuyết số tự nhiên coi cửa ngõ tốn học, hiểu biết tối thiểu số tự nhiên cần thiết Tập hợp số tự nhiên xây dựng phương pháp tiên đề, nhiên giáo trình giới thiệu với bạn đọc theo hướng số tự nhiên xác định số tập hợp hữu hạn Điều vừa phù hợp với trình xuất hình thành khái niệm số tự nhiên hoạt động thực tiễn xã hội lồi người, vừa phù hợp với việc hình thành khái niệm số cho học sinh Từ xa xưa, chưa biết khái niệm số lượng, người nguyên thủy nhu cầu sống, biết so sánh số lượng tập hợp, dần nhận thức khái niệm nhiều Chẳng hạn, chuẩn bị chiến đấu, người tù trưởng lạc phát cho chiến binh vũ khí Nếu chiến binh phát mà số vũ khí số vũ khí nhiều số chiến binh Ngược lại, có chiến binh chưa phát mà vũ khí đẫ hết số vũ khí số chiến binh Trường hợp thứ ba chiến binh phát vũ khí mà kho khơng vũ khí Theo cách hiểu trường hợp thứ ba, người tù trưởng thiết lập tương ứng – tập hợp vũ khí tập hợp chiến binh (tất nhiên họ thực cách trực giác) Ở trường hợp có song ánh tập hợp vũ khí tập hợp chiến binh Sự đụng chạm thường xuyên đến nhu cầu so sánh (phân phối số cho người lạc, số ngựa với kỵ sĩ, ) tiếp xúc với tượng tự nhiên như: người có hai mắt, hai tai, bàn tay có năm ngón, làm cho người cổ xưa đến khái niệm số lượng, số Đầu tiên hình thành số nhỏ, đơn giản để phục vụ nhu cầu đánh dấu tập hợp như: đếm hai mắt, hai tai, năm ngón chân, Đó việc hình thành số tự nhiên : 1, 2, Dưới ta trình bày khái niệm số tự nhiên, mô theo hình thành chúng lịch sử 35 §1 TẬP HỢP TƯƠNG ĐƯƠNG 1.1 Tập hợp tương đương Định nghĩa Cho hai tập hợp A B Ta nói tập hợp A tương đương với tập hợp B, ký hiệu A  B, và tồn song ánh từ A đến B Ví dụ: 1) Cho A ={1, 2, 3, 4} B = {a, b, c, d} Ta thấy A  B thiết lập song ánh từ A đến B, chẳng hạn song ánh f cho bảng 1  f :  a b c d    2) Cho A, B, C ba điểm phân biệt không thẳng hàng Gọi [AB], [AC] tập hợp điểm đoạn AB AC Khi ta có [AB]  [AC] A Thật vậy, ta thiết lập ánh xạ f : [AB]  [AC] M  M’ cho MM’//BC M’ M Dễ dàng chứng minh f song ánh 1.2 Một số tính chất C B Tính chất Quan hệ  nói định nghĩa 1.1 có tính chất quan hệ tương đương, nghĩa với tập A, B, C bất kỳ, ta có: a) Tính phản xạ: A  A, b) Tính đối xứng: A  B  A, c) Tính bắc cầu: A  B B  C A  C Chứng minh a) A  A nhờ có ánh xạ đồng 1A : A  A a  a b) Nếu A  B tồn song ánh f : A  B Khi có ánh xạ ngược f-1 : B  A song ánh, B  A 36 c) Giả sử có A  B B  C Khi tồn song ánh f : A  B g : B  C Suy ánh xạ tích h = g◦f : A  C song ánh, A  C Nhận xét: Quan hệ  xác định có tính chất quan hệ tương đương, ta gọi quan hệ tương đương tập hợp Khi có A  B ta có B  A ta nói hai tập A B tương đương với Tính chất Với tập A, B, A1, B1 ta có: a) Nếu A  A1, B  B1 A  B  A1  B1 b) Nếu A  A1, B  B1 A  B = A1  B1 =  A  B  A1  B Chứng minh Vì A  A1, B  B1 nên có song ánh: f : A  A1 g : B  B Dễ thấy ánh xạ   xác định sau:  : A  B  A1  B1 (a, b)  (a, b) = (f(a), g(b))  : A  B  A1  B1 f ( x ), x  A  x  (x) =  g( x ), xminh B song ánh Từ ta suy điều cầnchứng 1.3 Định lý Cantor Cho A, B tập hợp tuỳ ý Xảy hai trường hợp sau: a) A tương đương với tập B, b) B tương đương với tập A Nếu đồng thời xảy hai trường hợp a) b) A B tương đương với Chúng ta không chứng minh định lý Ta ý thêm nói A tương đương với tập B đồng nghĩa với việc nói có đơn ánh từ A đến B Vì cần chứng minh A tương đương với tập B ta cần có đơn ánh từ A đến B §2 TẬP HỢP HỮU HẠN – TẬP HỢP VƠ HẠN 2.1 Định nghĩa ví dụ 37 Định nghĩa - Một tập hợp gọi hữu hạn khơng tương đương với tập thực - Một tập hợp gọi vơ hạn khơng hữu hạn (Hay tập hợp vơ hạn tương đương với tập thực nó) Ví dụ: 1)  tập hợp hữu hạn Thật vậy,  khơng có tập thực nên khơng thể tương đương với tập thực Theo định nghĩa suy  tập hợp hữu hạn 2) Tập đơn tử {a} hữu hạn Thật vậy, {a} có tập thực  mà rõ ràng  không tương đương với {a}, nên {a} không tương đương với tập thực 3) Tập hợp điểm nằm đoạn thẳng vô hạn Thật vậy, giả sử AB đoạn thẳng bất kỳ, ký hiệu [AB] tập hợp điểm AB Lấy điểm C không thuộc đường thẳng AB, đoạn thẳng AB lấy điểm I với I  A, I  B C Ta có [AB]  [AC] [AI]  [AC] (Theo ví dụ 2) §1) Do tính chất bắc cầu quan hệ  nên suy [AB]  [AI] Mặt khác, rõ ràng [AI] tập thực [AB] B Theo định nghĩa suy [AB] tập A I hợp vô hạn 2.2 Một số tính chất (của tập hợp hữu hạn tập hợp vơ hạn) a) Tính chất Mọi tập hợp tương đương với tập hợp hữu hạn tập hợp hữu hạn Chứng minh Giả sử A tập hợp hữu hạn B ~ A, cần chứng minh B tập hợp hữu hạn Giả sử ngược lại, B tập hợp vơ hạn, tồn tập thực B’ B cho B’  B Do B ~ A nên tồn song ánh f : B  A Ta thấy B’  f(B’) f song ánh Khi ta có: A  B, B  B’, B’  f(B’) Áp dụng hai lần tính chất bắc cầu quan hệ , suy A  f(B’) (1) 38 Vì f : B  A song ánh mà B’ tập thực B nên f(B’) tập thực A (2) Từ (1) (2) suy A tập hợp vô hạn, điều mâu thuẫn với giả thiết Vậy giả thiết B tập hợp vô hạn sai, hay B hữu hạn (đpcm) Hệ 1: Tập hợp tương đương với tập hợp vô hạn tập hợp vô hạn b) Tính chất Mọi tập tập hợp hữu hạn tập hợp hữu hạn Chứng minh Giả sử A tập hợp hữu hạn B  A, cần chứng minh B tập hợp hữu hạn Giả sử ngược lại, B tập hợp vô hạn Khi tồn tập thực B’ B cho B’  B, tồn song ánh g : B  B’ Xét tập A’ = (A\ B)  B’, rõ ràng A’ tập thực A Lập ánh xạ f : A  A’  x, x  A \ B x  f(x) =  g ( x ), x  B Ta thấy f song ánh, A  A’, tức A tương đương với tập thực A’ Suy A tập hợp vô hạn, điều mâu thuẫn với giả thiết A hữu hạn, nghĩa B tập hợp vô hạn sai Vậy B tập hợp hữu hạn (đpcm) Hệ 2: Tập hợp chứa tập hợp vô hạn tập hợp vô hạn c) Tính chất Nếu A, B hai tập hữu hạn tương đương A\ B ~ B\ A Chứng minh Giả sử ngược lại, A\ B B\ A khơng tương đương với Khi theo định lý Cantor, hai tập hợp tương đương với tập tập hợp Không tính tổng quát, giả sử A\ B tương đương với tập B\ A Nghĩa tồn đơn ánh f : A\ B  B\ A, hiển nhiên f(A\ B)  (B\ A) Lập ánh xạ g : A  B  x, x  B x  g(x) =  f ( x), x  B Ta thấy g đơn ánh g(A)  B, A  g(A) Vì B  A nên B  g(A), mà g(A) tập thực B, B tập vơ hạn, điều trí với giả thiết B hữu hạn Vậy A\ B  B\ A (đpcm) 39 d) Tính chất Nếu A tập hợp hữu hạn, A1 A2 tập A mà A1  A2, A\ A1  A\ A2 Chứng minh Ta có A\ A1 = (A\ (A1  A2))  (A2\ A1) với (A\ (A1  A2))  (A2\ A1) = A\ A2 = (A\ (A1  A2))  (A1\ A2) với (A\ (A1  A2))  (A1\ A2) = Mặt khác, A1  A2 nên A1\ A2  A2\ A1 (theo tính chất 3) Sử dụng tính chất §1 ta suy A\ A1  A\ A2 (đpcm) e) Tính chất Hợp hai tập hợp hữu hạn tập hợp hữu hạn Chứng minh Giả sử A B tập hợp hữu hạn, ta cần chứng minh A  B tập hợp hữu hạn Xét hai trường hợp xảy ra: - Trường hợp 1: A  B =  Giả sử ngược lại, A  B tập hợp vơ hạn, có đơn ánh f : A  B  A  B cho f(A  B)  A  B Như có a  A  B mà a  f(A  B) Khơng tính tổng qt, ta giả thiết a  A Đặt f(A) = A’, f(B) = B’ Vì A  B =  f đơn ánh nên A’  B’ =  Ta có B  B’ nên B\ B’  B’\ B = B’  A (theo tính chất 3), nghĩa có song ánh g : B\ B’  B’  A Lập ánh xạ h : A  A  f ( x), x  A x  h(x) = g ( f ( x)), f ( x)  A Ta thấy h đơn ánh h(A)  A’  B’ nên a  h(A) Như có đơn ánh h : A  A mà h(a)  A, tức A tương đương với tập thực nó, hay A tập hợp vô hạn, điều trái với giả thiết A hữu hạn Vậy A  B tập hợp hữu hạn - Trường hợp 2: A  B   Khi ba tập hợp A\ B, A  B, B\ A tập hợp hữu hạn rời Ta có A  B = (A\ B)  (A  B)  (B\ A) 40 Áp dụng kết trường hợp 1, trước tiên ta có C = A\ B)  (A  B) tập hợp hữu hạn, ta có A  B = C  (B\ A) tập hữu hạn Vậy ta có điều phải chứng minh Hệ Hợp hữu hạn tập hữu hạn tập hữu hạn f) Tính chất 6: Tích Đề hai tập hữu hạn tập hữu hạn Chứng minh Giả sử A B hai tập hợp hữu hạn Nếu hai tập  hiển nhiên AB =  tập hữu hạn Ta xét tập khác  - Nếu A tập đơn tử bất kỳ: A={x}, xét tập {x}B Thiết lập ánh xạ f : {x}B  B (x, b)  b , bB Ta thấy f song ánh, {x}B  B, mà B tập hợp hữu hạn, suy {x}B tập hợp hữu hạn - Nếu A tập hợp hữu hạn khác  tuỳ ý: A = {x1, x2, …, x n}, ta có: AB = {x1, x2, …, xn}B = {x1}B  {x2}B …  {xn}B Các tập {x1}B, {x2}B, …, {xn}B tập hữu hạn, AB hợp họ hữu hạn tập hữu hạn nên AB hữu hạn Vậy ta có điều phải chứng minh §3 SỐ TỰ NHIÊN QUAN HỆ THỨ TỰ TRÊN TẬP HỢP SỐ TỰ NHIÊN 3.1 Bản số – Số tự nhiên a) Bản số: Ta biết quan hệ  tập hợp quan hệ tương đương Như vậy, ta phân lớp tập hợp sau: tập hợp tương đương với thuộc lớp Những tập thuộc lớp theo quan hệ tương đương gọi số Ta có định nghĩa sau: Định nghĩa Nếu A  B ta nói A B có số hay lực lượng Bản số (lực lượng) tập A ký hiệu card(A) 41 Ta thường ký hiệu số chữ thường như: a, b, c, Chẳng hạn a số tập hợp A ta viết a=card(A) Nhận xét: Card(A) = Card(B) A  B b) Số tự nhiên Định nghĩa Bản số tập hợp hữu hạn gọi số tự nhiên Tập hợp tất số tự nhiên ký hiệu N Vậy: a  N có tập hợp hữu hạn A cho a = Card(A) Ví dụ: 1)  tập hợp hữu hạn nên Card() số tự nhiên Ta ký hiệu Card() = (đọc “số không”) 2) Tập đơn tử A = {a} tập hợp hữu hạn nên Card({a}) số tự nhiên, ký hiệu Card({a}) = (đọc “số một”) 3.2 Quan hệ thứ tự tập hợp số tự nhiên a) Định nghĩa Cho hai số a, b  N gọi A, B hai tập hợp hữu hạn cho a = Card(A), b = Card(B) Ta nói a nhỏ b, ký hiệu a  b, A tương đương với tập B Nếu a  b a  b, ta viết a < b (đọc a thực nhỏ b) Nhận xét - Trong định nghĩa có mặt hai tập hợp A, B cho a = Card(A), b= Card(B) Định nghĩa không phụ thuộc vào việc chọn A, B Nghĩa A1, B1 tập hợp mà A  A1, B  B1 A tương đương với tập B A1 tương đương với tập B1 Thật vậy, theo giả thiết suy tồn song ánh f : A1  A g : B B1 đơn ánh h : A  B Khi ánh xạ tích g◦h◦f : A1  B1 đơn ánh, chứng tỏ A1 tương đương với tập B1 - Khi A tương đương với tập B’ B mà Card(A) = a ta có Card(B’) = a, theo nhận xét trên, coi ab A  B Ví dụ: Vì  tập tập hợp nên  a, a  N b) Định lý Quan hệ  nói định nghĩa quan hệ thứ tự toàn phần tập hợp số tự nhiên N Chứng minh 42 Trước tiên ta chứng minh quan hệ  quan hệ thứ tự N Thật vậy, quan hệ  có tính chất sau: a) Tính phản xạ: a  N, giả sử a = Card(A) Vì A ln tương đương với tập A, A nên a  a b) Tính phản đối xứng: giả sử a  b b  a với a, b  N Gọi A, B tập hợp cho Card(A) = a, Card(B) = b Theo giả thiết suy A tương đương với tập B B tương đương với tập A, áp dụng định lý Cantor ta có A  B, suy Card(A) = Card(B) hay a = b c) Tính chất bắc cầu: giả sử a  b b  c với a, b, c  N Gọi A, B, C tập cho Card(A) = a, Card(B) = b, Card(C) = c Từ giả thiết suy tồn đơn ánh f : A  B g : B  C Do tồn ánh xạ h = g◦f : A  C đơn ánh, a  c Vậy quan hệ  quan hệ thứ tự N Ta chứng tỏ quan hệ thứ tự toàn phần N Giả sử a, b hai phần tử thuộc N a = Card(A), b = Card(B) Theo định lý Cantor A tương đương với tập B, B tương đương với tập A, nghĩa a  b b  a Vậy quan hệ  quan hệ thứ tự toàn phần N (đpcm) 3.3 Số liền sau a) Định nghĩa Cho a b hai số tự nhiên với a  b Gọi B tập hợp hữu hạn mà Card(B) = b, ta biết a  b nên có A  B mà Card(A) = a b gọi số liền sau a Card(B\A) = Khi ta nói a số liền trước b hay a b số liền Số liền sau a ký hiệu a’ Ví dụ: Số số liền sau số b) Một số tính chất 1) Số số liền sau số tự nhiên Điều hiển nhiên = Card() mà  khơng chứa tập 2) Mỗi số tự nhiên có số liền sau Chứng minh 43 - Tồn Giả sử a   a = Card(A) Xét tập {A} tập đơn tử mà phần tử tập hợp A Rõ ràng {A} phần tử A Khi B = A{A} tập hữu hạn Card(B\A) = Card({A}) = Vậy tồn số tự nhiên b = Card(B) số liền sau a - Duy Giả sử a   có hai số liền sau b b2 Gọi B1, B2 tập hợp mà Card(B1) = b1, Card(B2) = b2 Theo định nghĩa phải có tập A1 B1, A2 B2 cho Card(A1) = Card(A2) = a Card(B1\A1) = Card(B2\A2) = Các hệ thức cho ta A1  A2, B1\A1  B2\A2 Mà B1 = (B1\A1)  A1, B2 = (B2\A2)  A2 nên ta suy B1  B2, Card(B1) = Card(B2) hay b1 = b2, nghĩa phần tử liền sau Tính chất chứng minh 3) Mỗi số tự nhiên khác số liền sau số tự nhiên Giả sử b  N, b  Card(B) = b Thế B  , tồn phần tử x  B Đặt A = B\{x} Dễ thấy B  A Card(B\A) = Card({x}) = Vậy b số liền sau a = CardA 4) Mỗi số tự nhiên khác số liền sau số tự nhiên Chứng minh Giả sử b  N, b  0, b = Card(B) số liền sau số tự nhiên a1 a2 Theo định nghĩa có tập A1 B, A2 B cho: Card(A1) = a1, Card(B\A1) = 1, Card(A2) = a2, Card(B\A2) = Từ ta có B\A1  B\A2, A1 = B\(B\A1) A2 = B\(B\A2) tập hợp tương đương với Vì Card(A1) = Card(A2) hay a1 = a2 (đpcm) 5) Cho a, b   mà a < b, a’ b Chứng minh Gọi B tập hợp mà Card(B) = b Vì a< b nên tồn A  B, A  B cho Card(A) = a tồn phần tử x  B\ A Khi ta có a’ = Card(A{x}) A{x} B, a’ b (đpcm) Tính chất có hệ là: Giữa hai số tự nhiên liền khơng có số tự nhiên khác 3.4 Dãy số tự nhiên Ký hiệu: card() =  N 44 Các tam giác cân OA1A2 OA1Ak (vì có cặp cạnh  tương ứng nhau) Do O nằm tia phân giác góc A  Suy A2O phân giác A Hạ OJ  A2A3, ta có tam giác vuông OIA2 tam giác vuông OJA2 (I trung điểm A1A2) Suy JA2 = IA2 = A2A3 Do tam giác OA2A3 cân trung tuyến OJ  A2A3 O Vì Ak OA3 = OA2 = OA1 = OAk A3 tức đường tròn tâm O qua A3 J A A I Lập lại lý luận ta đỉnh đa giác nằm đường tròn tâm O 3.5 Đa giác Định nghĩa Hai đa giác hai đa giác có số cạnh có cặp cạnh tương ứng nhau, cặp góc tương ứng Ta biết ba trường hợp (c.c.c, c.g.c, g.c.g) hai tam giác điều kiện (dấu hiệu) để hai tam giác Hai tam giác có “yếu tố tuyến tính” nhau: chiều cao tương ứng, đoạn trung tuyến, bán kính đường tròn ngoại tiếp Dễ thấy rằng, hai đa giác chúng có số cạnh độ dài cạnh chúng Định nghĩa Hai đa giác đồng dạng hai đa giác có số cạnh có cặp goác tương ứng nhau, cặp cạnh tương ứng tỷ lệ Nhờ định lý Ta lét ta có: Định lý Hai tam giác đồng dạng chúng thoả mãn điều kiện sau: a) Một cặp góc xen hai cặp cạnh tỷ lệ b) Hai cặp góc c) Ba cặp cạnh tương ứng tỷ lệ Định lý chứng minh nhiều sách phổ thông, bạn đọc tự chứng minh xem tập Hai tam giác đòng dạng có tỷ số yếu tố tuyến tính tỷ số đồng dạng Hai đa giác đồng dạng chúng có số cạnh 63 §4 ĐƯỜNG TRỊN 4.1 Xác định đường tròn Từ định nghĩa đường tròn (xem §1), ta thấy đường tròn hồn tồn xác định biết tâm bán kính Ta dùng ký hiệu (O,R) để đường tròn tâm O, bán kính R Từ tính chất tam giác (xem §2) ta thấy đường tròn xác định ba điểm khơng thẳng hàng Ta có : - Tập điểm nhìn hai điểm cố định góc vng đường tròn có tâm trung điểm đoạn thẳng nối hai điểm bán kính độ dài đoạn - Tập điểm nhìn hai điểm cố định góc  khơng đổi hai cung tròn đối xứng qua đường thẳng nối hai điểm - Tập điểm có tỷ số khoảng cách đến hai điểm cố định k  (k > 0) đường tròn có đường kính đoạn nối điểm chia chia đoạn thẳng nối hai điểm cho theo tỷ số k (đường tròn Apơlơniuyt) 4.2 Đường tròn ngoại tiếp đa giác Định nghĩa Đa giác nội tiếp đa giác có đỉnh nằm đường tròn Đường tròn gọi đường tròn ngoại tiếp đa giác Mọi tam giác ln có đường tròn ngoại tiếp Mỗi đa giác có đường tròn ngoại tiếp Mỗi hình chữ nhật, hình thang cân tứ giác nội tiếp Khơng phải tứ giác có đường tròn ngoại tiếp Ta có: “Tứ giác lồi tứ giác nội tiếp có tổng hai góc đói 180 o hai đỉnh phía cạnh nhìn hai mút cạnh góc” Định lý (Định lý Ptơlêmê) Trong tứ giác lồi nội tiếp, tích hai đoạn chéo tổng tích cạnh đối Chứng minh Giả sử tứ giác ABCD, cần chứng minh AC BD = AB CD + AD BC 64  Vẽ tia đối xứng với BD qua phân giác B cắt đoạn chéo AC điểm E Ta có: Tam giác ABE đồng dạng với tam giác A DBC, B AB AE ,  BD CD suy AB.CD = AE.BD D E Tam giác BCE đồng dạng với tam giác BDA, nên ta có C BC EC ,  BD AD suy AD.BC = EC.BD Từ đẳng thức ta AB CD + AD BC = AE BD + EC BD = (AE + EC) BD = AC BD (đpcm) 4.3 Đường tròn nội tiếp đa giác Định nghĩa Tiếp tuyến đường tròn đường thẳng có điểm chung với đường tròn Định lý Đường thẳng tiếp tuyến đường tròn có điều kiện sau: a) Đường thẳng vng góc với bán kính đường tròn nút bán kính b) Đường thẳng cách tâm đường tròn khoảng bán kính đường tròn Hệ Tại điểm đường tròn có tiếp tuyến với đường tròn (nhận điểm làm tiếp điểm) Giao hai tiếp tuyến đường tròn cách hai tiếp điểm Định nghĩa Đường tròn nội tiếp đa giác đường tròn nằm đa giác tiếp xúc với tất cạnh đa giác Đa giác có đường tròn nội tiếp gọi đa giác ngoại tiếp Ví dụ: Mỗi tam giác đa giác ngoại tiếp Mỗi đa giác đa giác ngoại tiếp, tâm đường tròn nội tiếp đa giác tâm đường tròn ngoại tiếp Ta gọi tâm chung tâm đa giác 65 Định lý Điều kiện cần đủ để tứ giác lồi ngoại tiếp tổng cạnh đối tứ giác Chứng minh Điều kiện cần Giả sử tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn tâm O, gọi M, N, P, Q tiếp điểm Khi ta có AM = AQ B BM = BN M CP = CN A N DP = DQ, O Do Q AM + BM + CP + DP = AQ + DQ + BN + C P CN D Suy AB + CD = AD + BC Điều kiện đủ Giả sử tứ giác ABCD thoả mãn kiện AB + CD = AD + BC (*) Hai phân giác A B cắt O, giả sử O tâm đường tròn tiếp xúc với AD, AB, BC tương ứng Q, M, N Để ý phải có Q AD N BC không AB = AM + MB = AQ + BN > AD + BC, B A M (*) khơng thể xảy Khơng tính tổng qt giả sử Q AD, N kẻ tiếp tuyến thứ hai từ D, giả sử tiếp tuyến cắt Q BC C’, ta phải chứng minh C’  C D C Trong tứ giác ngoại tiếp AB C’D, ta có AB + C’D = AD + B C’ C’ so sánh với (*) suy CD – C’D = BC – B C’ hay  CD – C’D = CC’ điều mâu thuẫn với bất đẳng thức tam giác DCC’ Vậy C’  C, nghĩa tứ giác ABCD tứ giác ngoại tiếp Định lý chứng minh §5 CÁC HÌNH KHƠNG GIAN 66 Các hình hình học thường gặp khơng gian hình đa diện hình tròn xoay Các khối đa diện khối tròn xoay phần khơng gian giới hạn hình đa diện khói tròn xoay 5.1 Hình đa diện a) Hình tứ diện Hình đa diện có vai trò hình tam giác mặt phẳng hình tứ diện Bốn điểm A, B, C, D không thuộc mặt phẳng xác định bốn tam giác, tam giác có đỉnh ba bốn điểm Hình gồm bốn tam giác gọi hình tứ diện A Bốn điểm A, B, C, D gọi đỉnh; bốn tam giác ABC, ABD, ACD, BCD gọi mặt; sáu đoạn thẳng AB, Q M AC, AD, BC, BD, CD gọi cạnh hình tứ diện O Hai cạnh khơng có đỉnh chung gọi D B hai cạnh đối diện Ba đường thẳng nối trung điểm N P cạnh đối diện đồng quy điểm O gọi trọng tâm hình tứ diện C b) Hình chóp Hình chóp hình gồm đa giác A1A2 An (gọi đáy) n tam giác SA1A2, SA2A3, , SAnA1 (gọi mặt bên) S điểm nằm ngồi mặt phẳng chứa đa giác, S gọi đỉnh hình chóp Ký hiệu SA1A2 An hình chóp đỉnh S, đáy đa giác A1A2 An Hình chóp gọi theo tên đáy Chẳng hạn gọi hình chóp tam giác đáy tam giác, hình chóp tứ giác đáy tứ giác S S D AHình chóp tứ giác SABCD SABCD C A D E Hình chóp ngũ giác Chú ý: Hình D tứ diện hình chóp tam giác C D c) Hình lăng trụ 67 Hình lăng trụ hình gồm hai đa giác A1A2 An, B1B2 Bn có cạnh tương ứng song song (gọi hai đáy) n hình bình hành A1A2B1B2, A2A3B3B2, , AnA1B nB1 (gọi mặt bên) Ký hiệu hình lăng trụ A1A2 AnB1B2 Bn Hình lăng trụ gọi theo tên đáy: lăng trụ tam giác, lăng trụ tứ giác, A3 A3 A4 A2 A1 A2 A1 B3 B4 B1 B3 B1 B2 B2 Lăng trụ tam giác A1A2A3B1B2B3 Lăng trụ tứ giác A1A2A3A4B1B2B3B4 d) Hình hộp Hình lăng trụ có đáy hình bình hành gọi hình hộp Như vậy, hình hộp hình có sáu mặt hình bình hành Hai đỉnh khơng thuộc mặt gọi hai đỉnh đối diện; đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện gọi đường chéo; bốn đường chéo hình hộp đồng quy điểm O gọi tâm hình hộp Hình hộp có sáu mặt hình chữ nhật gọi hình hộp chữ nhật; sáu mặt hình vng gọi hình lập phương A4 A3 A4 A3 A2 O A1 B4 A1 B4 B3 B3 B2 B1 Hình hộp A1A2A3A4B1B2B3B4 A1A2A3A4B1B2B3B4 A4 A3 A1 A2 B4 B A2 68 B3 B1 Hình hộp B2 chữ nhật Hình lập phương A1A2A3A4B1B2B3B4 5.2 Hình tròn xoay a) Mặt cầu Mặt cầu tập hợp tất điểm không gian cách điểm cố định O khoảng R Điểm O gọi tâm, R gọi bán kính mặt cầu b) Mặt trụ Mặt trụ tập hợp tất điểm không gian cách đường thẳng cố định d khoảng R  Các đường thẳng l song song với d cách d khoảng R tạo nên mặt trụ, đường thẳng gọi đường sinh mặt trụ R gọi bán kính mặt trụ c) Mặt nón Mặt nón: Cho hình tròn tâm O thuộc mặt phẳng (P), lấy điểm S  (P) cho S có hình chiếu lên mặt phẳng (P) O Mặt nón đỉnh S hình gồm nửa đường thẳng gốc S nối với điểm M thuộc đường tròn tâm O Các nửa đường thẳng gọi la đường sinh mặt nón 5.3 Vẽ hình khơng gian a) Phép chiếu song song Cho mặt phẳng (P) đường thẳng l cắt (p) Hình chiếu điểm M lên mặt phẳng (P) điểm M’ giao đường thẳng qua M song song với l mặt phẳng (P) Còn nói M’ R  O R l S O M M l M’ P 69 O hình chiếu M qua phép chiếu song song lên mặt phẳng (P) theo phương chiếu l Tập hợp hình chiếu điểm thuộc hình F khơng gian hình F’ mặt phẳng (P) Hình F’ gọi hình chiếu F Hình F’ hình đồng dạng với gọi hình biểu diễn hình F Vẽ hình khơng gian F tức vẽ hình biểu diễn b) Phép chiếu song song bảo A tồn tính song song tỷ số đoạn thẳng song song, khơng bảo tồn độ dài đoạn thẳng độ lớn góc Vì N vậy, chẳng hạn, tam giác tuỳ ý M coi hình biểu diễn tam giác đều, tam giác vuông tam giác cân Một hình bình hành tuỳ ý coi hình B D biểu diễn hình chữ nhật, hình vng P hình thoi Đường Elip biểu diễn Q hình tròn C Ví dụ: Vẽ hình biểu diễn tứ diện cắt mặt phẳng qua trung điểm cạnh AB, BC CD BÀI TẬP CHƯƠNG IV Tính độ dài trung tuyến xuất phát từ đỉnh A tam giác ABC,  biết AB = 1, AC = 2, A = 120o Chứng minh tứ giác, tổng bình phương tất cạnh tổng bình phương hai đường chéo cộng với bốn lần bình phương đoạn thẳng nối trung điểm hai đường chéo Chứng minh ABCD hình chữ nhật với điểm M ta ln có MA2 + MC2 = MB2 + MD Chứng minh đường chéo tứ giác vuông góc với tổng bình phương hai cạnh đối diện bẳng tổng bình phương hai cạnh lại 70 B HƯỚNG DẪN TỰ HỌC CHƯƠNG III I MỤC ĐÍCH – YÊU CẦU Chương III đề cập đến số vấn đề hình hình học nhằm mục đích sau : Cung cấp cho người học khái niệm kiến thức hình hình học mặt phẳng khơng gian: hình tròn, tam giác, tứ giác, đa giác, đường tròn nội tiếp đa giác, đường tròn ngoại tiếp đa giác, hình tứ diện, hình chóp, hình lăng trụ, hình hộp, mặt cầu, mặt trụ, mặt nón; bên cạnh khái niệm có số tính chất chúng Từ giúp người học hiểu rõ hình hình học, biết cách vẽ xác hình này, có nhìn rộng sâu nội dung phương pháp hình thành cho trẻ biểu tượng Tốn nói chung biểu tượng hình dạng nói riêng Rèn luyện cho người học khéo léo, cẩn thận, trí tưởng tượng phong phú vẽ hình, quan sát hình 71 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phan Hữu Chân, nguyễn Tiến Tài, Tập hợp lôgic số học, NXB GD, 1997 [2] Nguyễn Văn Đồnh, Nguyễn Văn Kh, Hình học sơ cấp, ĐHSP Hà nội I, 1994 [3] Trương Đức Hinh, Đào Tam, Hình học sơ cấp, NXB GD, 1995 [4] Đinh Thị Nhung, Tốn phương pháp hình thành biểu tượng Tốn học cho trẻ mẫu giáo, Tập I, NXB ĐH Quốc gia Hà nội, 2001 [5] Nguyễn Tiến Tài, Nguyễn Văn Ngọc, Số tự nhiên, Trường ĐHSP Hà Nội I, 1994 [6] Lại Đức Thịnh, Giáo trình số học, NXB GD, 1997 [7] Hồng Xn Sính, Đại số đại cương, NXB GD, 1998 72 MỤC LỤC Lời nói đầu Chương I: Tập hợp - Quan hệ - Ánh xạ Các khái niệm tập hợp 1.1 Khái niệm tập hợp 1.2 Sự xác định tập hợp 1.3 Tập rỗng, tập đơn tử 1.4 Minh họa tập hợp hình vẽ Bài tập Quan hệ bao hàm tập hợp 2.1 Quan hệ bao hàm - Tập 10 2.2 Hai tập hợp 10 2.3 Một số tính chất quan hệ bao hàm 11 2.4 Tập hợp tập tập hợp 11 Bài tập 12 Các phép toán tập hợp 3.1 Phép hợp 13 3.2 Phép giao 13 3.3 Một số tính chất phép hợp, phép giao 14 3.4 Liên hệ phép hợp phép giao 15 3.5 Phép trừ 15 3.6 Sự liên quan phép trừ với phép hợp phép giao 16 Bài tập 17 Quan hệ 4.1 Tích Đề tập hợp 17 4.2 Quan hệ hai 18 4.3 Một số tính chất thường gặp quan hệ hai 19 4.4 Quan hệ tương đương 19 4.5 Quan hệ thứ tự 21 Bài tập 23 Ánh xạ 5.1 Các khái niệm ví dụ ánh xạ 25 5.2 Ảnh tạo ảnh 27 73 Bài tập 28 Các ánh xạ đặc biệt - Tích ánh xạ - Ánh xạ ngược 6.1 Các ánh xạ đặc biệt 29 6.2 Tích ánh xạ 31 6.3 Ánh xạ ngược 32 Bài tập 34 Chương II: Lơgic tốn Lơgic mệnh đề phép toán 1.1 Phép phủ định 36 1.2 Phép hội 37 1.3 Phép tuyển 38 1.4 Phép kéo theo 39 1.5 Phép tương đương 40 Bài tập 41 Công thức luật lôgic mệnh đề 2.1 Khái niệm công thức 43 2.2 Giá trị công thức 43 2.3 Hai công thức 44 2.4 Phép biến đổi công thức 46 2.5 Luật lôgic mệnh đề 48 Bài tập 48 Lôgic vị từ 3.1 Hàm mệnh đề biến 49 3.2 Hàm mệnh đề hai biến 51 3.3 Hàm mệnh đề n biến 52 Bài tập 52 Các phép tốn lơgic vị từ 4.1 Phép phủ định 53 4.2 Phép hội 53 4.3 Phép tuyển 54 4.4 Phép kéo theo 54 4.5 Phép tương đương 55 Bài tập 56 74 Các lượng từ 5.2 Lượng từ “tồn tại’’ 57 5.2 Lượng từ “với mọi’’ 58 5.3 Liên hệ lượng từ “tồn tại’’, “với mọi’’ phép phủ định 58 Bài tập 59 Chương III: Số tự nhiên Tập hợp tương đương 1.1 Quan hệ tương đương tập 62 1.2 Một số tính chất 62 1.3 Định lý Cantor 63 Tập hợp hữu hạn, tập hợp vơ hạn 2.1 Định nghĩa ví dụ 64 2.2 Một số tính chất 64 Số tự nhiên - Quan hệ thứ tự tập hợp số tự nhiên 3.1 Bản số - Số tự nhiên 67 3.2 Quan hệ thứ tự tập hợp số tự nhiên 68 3.3 Số liền sau 69 3.4 Dãy số tự nhiên 71 Bài tập 71 Các phép toán tập hợp số tự nhiên 4.1 Định nghĩa phép cộng phép nhân số tự nhiên 72 4.2 Một số tính chất phép tốn cộng phép tốn nhân 73 4.3 Liên hệ quan hệ thứ tự phép toán cộng, phép toán nhân 75 4.4 Phép trừ phép chia 76 Bài tập 77 Phép đếm cách ghi số 5.1 Hệ thống ghi số số g 78 5.2 Đổi số 81 5.3 Cách viết số hệ thống ghi số số g 82 5.4 So sánh số hệ thống ghi số số g 84 Bài tập 84 Các dấu hiệu chia hết 6.1 Dấu hiệu chia hết cho 84 75 6.2 Dấu hiệu chia hết cho 25 85 6.3 Dấu hiệu chia hết cho 86 6.4 Dấu hiệu chia hết cho 11 86 Bài tập 86 Thực hành phép toán hệ thống ghi số số g 7.1 Phép cộng 87 7.2 Phép trừ 88 7.3 Phép nhân 98 7.4 Phép chia 92 Bài tập 93 Chương IV: Các hình hình học Các khái niệm hình hình học 1.1 Định nghĩa 95 1.2 Các phép tốn hình 95 1.3 Xác định hình tính chất đặc trưng 96 Tam giác 2.1 Định nghĩa 97 2.2 Các đường điểm đặc biệt tam giác 98 Đa giác 3.1 Đường gấp khúc 99 3.2 Đa giác 99 3.3 Tứ giác 101 3.4 Đa giác 102 3.5 Đa giác 103 Đường tròn 4.1 Xác định đường tròn 104 4.2 Đường tròn ngoại tiếp đa giác 105 4.3 Đường tròn nội tiếp đa giác 106 Các hình khơng gian 5.1 Hình đa diện 107 5.2 Hình tròn xoay 111 5.3 Vẽ hình khơng gian 111 Bài tập chương IV 111 76 77 ... a) b) c) d) e) a – b = (a + c) – (b + c) a – b = (a – c) – (b – c) a – (b + c) = (a – b) – c a + (b – c) = (a + b) – c a – (b – c) = (a + c) – b HD chương II Giả sử A, B tập cho CardA=a CardB=b... b2 Gọi B1, B2 tập hợp mà Card(B1) = b1, Card(B2) = b2 Theo định nghĩa phải có tập A1 B1, A2 B2 cho Card(A1) = Card(A2) = a Card(B1A1) = Card(B2A2) = Các hệ thức cho ta A1  A2, B1A1  B2A2... hạn, A1 A2 tập A mà A1  A2, A A1  A A2 Chứng minh Ta có A A1 = (A (A1  A2))  (A2 A1) với (A (A1  A2))  (A2 A1) = A A2 = (A (A1  A2))  (A1 A2) với (A (A1  A2))  (A1 A2) =