ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGUYỄN THỊ MỴ PHƯƠNG PHÁP CHIẾU GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRÊN TẬP NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG TÁCH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGUYỄN THỊ MỴ PHƯƠNG PHÁP CHIẾU GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRÊN TẬP NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG TÁCH Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS Nguyễn Thị Thu Thủy THÁI NGUYÊN - 2019 iii Mục lục Bảng ký hiệu danh sách viết tắt Mở đầu Chương Bài toán điểm bất động tách tốn bất đẳng thức biến phân khơng gian Hilbert 1.1 Bài toán điểm bất động tách không gian Hilbert 1.1.1 Ánh xạ không giãn phép chiếu mêtric 1.1.2 Bài toán điểm bất động 1.1.3 Bài toán điểm bất động tách 10 1.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân 11 1.2.1 Ánh xạ đơn điệu 11 1.2.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân 13 1.2.3 Mối liên hệ toán bất đẳng thức biến phân toán điểm bất động 14 Chương Phương pháp chiếu giải toán bất đẳng phân với ràng buộc điểm bất động tách 2.1 Bài toán phương pháp 2.1.1 Bài toán 2.1.2 Phương pháp 2.2 Sự hội tụ 2.2.1 Định lý hội tụ 2.2.2 Một số hệ 2.2.3 Ví dụ minh họa thức biến 17 17 17 19 20 20 30 33 iv Kết luận 36 Tài liệu tham khảo 37 Bảng ký hiệu danh sách viết tắt H 2H PC Fix(T ) VIP SFP SFPP không gian Hilbert thực tập tập H phép chiếu mêtric lên tập C tập điểm bất động ánh xạ T toán bất đẳng thức biến phân toán chấp nhận tách toán điểm bất động tách Mở đầu Cho H không gian Hilbert thực với tích vơ hướng , chuẩn , C tập lồi, đóng khác rỗng H, F ánh xạ từ tập H chứa C vào H Bài toán bất đẳng thức biến phân (Variational Inequality Problem) với ánh xạ giá F tập ràng buộc C , ký hiệu VIP(F ,C ), phát biểu sau: Tìm x∗ ∈ C cho F (x∗ ), x − x∗ ≥ ∀x ∈ C (1) Bài toán bất đẳng thức biến phân giới thiệu lần vào năm 1966 Philip Hartman Guido Stampacchia công bố nghiên cứu bất đẳng thức biến phân liên quan tới việc giải toán biến phân, toán điều khiển tối ưu tốn lý thuyết phương trình đạo hàm riêng Đến nay, toán bất đẳng thức biến phân phát triển thành nhiều dạng khác nhau, toán bất đẳng thức biến phân tách, toán bất đẳng thức biến phân véc-tơ, toán bất đẳng thức biến phân ẩn Bài toán bất đẳng thức biến phân thu hút nhiều quan tâm nghiên cứu nhà tốn học mơ hình chứa nhiều tốn quan trọng lĩnh vực khác toán ứng dụng lý thuyết tối ưu, toán bù, toán điểm bất động, lý thuyết trò chơi, cân mạng giao thơng Một hướng nghiên cứu quan trọng toán bất đẳng thức biến phân xây dựng phương pháp giải Trong phương pháp giải toán bất đẳng thức biến phân phương pháp chiếu đóng vai trò quan trọng đơn giản thuận lợi q trình tính tốn Mục tiêu đề tài luận văn đọc hiểu trình bày lại phương pháp chiếu giải lớp bất đẳng thức biến phân tập ràng buộc tập nghiệm toán điểm bất động tách báo [3] cơng bố năm 2017 Bài tốn trình bày cụ thể sau: Cho C Q tập lồi đóng khơng gian Hilbert H1 H2 , F : C → H1 ánh xạ đơn điệu mạnh, A : H1 → H2 tốn tử tuyến tính bị chặn, T : C → C , S : Q → Q ánh xạ khơng giãn Bài tốn bất đẳng thức biến phân với ràng buộc điểm bất động tách VIP(F, Ω) tốn Tìm x∗ ∈ Ω cho F (x∗ ), x − x∗ ≥ ∀x ∈ Ω, (2) Ω tập nghiệm toán điểm bất động tách (Split Fixed Point Problem), ký hiệu SFPP: Tìm x∗ ∈ Fix(T ) cho Ax∗ ∈ Fix(S), (3) Fix(T ), Fix(S) tập điểm bất động ánh xạ T ánh xạ S Nội dung đề tài luận văn viết hai chương Chương 1: Bài toán điểm bất động tách toán bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert Chương trình bày khái niệm ánh xạ khơng giãn, phép chiếu mêtric, toán điểm bất động tách, toán bất đẳng thức biến phân, mối liên hệ toán bất đẳng thức biến phân toán điểm bất động không gian Hilbert thực H Nội dung chương tổng hợp từ tài liệu [1, 2, 5, 7, 8, 13] Chương Phương pháp chiếu giải bất đẳng thức biến phân với ràng buộc điểm bất động tách Chương trình bày phương pháp chiếu giải toán bất đẳng thức biến phân với tập ràng buộc tập nghiệm toán điểm bất động tách không gian Hilbert Nội dung chương viết dựa báo [3] cơng bố năm 2017 Luận văn hồn thành Trường Đại học khoa học – Đại học Thái Nguyên, hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Thị Thu Thủy Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Thị Thu Thủy, người tận tình hướng dẫn giúp đỡ em suốt trình nghiên cứu để em hồn thành luận văn Em bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới quý thầy cô giáo Trường Đại học khoa học – Đại học Thái Nguyên giảng dạy giúp đỡ em hồn thành khóa học Nhân dịp em xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, đồng nghiệp trường THPT Ân Thi, gia đình bạn bè động viên, giúp đỡ tạo điều kiện cho em suốt trình học tập thực luận văn Thái Nguyên, tháng 10 năm 2019 Tác giả luận văn Nguyễn Thị Mỵ Chương Bài toán điểm bất động tách toán bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert Chương trình bày số kiến thức liên quan đến toán điểm bất động, toán điểm bất động tách toán bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert thực Mục 1.1 giới thiệu toán điểm bất động, toán điểm bất động tách, trình bày số tính chất phép chiếu mêtric tính chất tập nghiệm tốn điểm bất động Mục 1.2 giới thiệu toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu trình bày mối liên hệ toán bất đẳng thức biến phân tốn điểm bất động khơng gian Hilbert thực Kiến thức chương viết sở tài liệu [1, 2, 4] 1.1 Bài toán điểm bất động tách không gian Hilbert Cho H khơng gian Hilbert thực với tích vơ hướng , chuẩn , tương ứng Cho {xn } dãy không gian H Ta ký hiệu xn x nghĩa dãy {xn } hội tụ yếu đến x xn → x nghĩa dãy {xn } hội tụ mạnh đến x 1.1.1 Ánh xạ không giãn phép chiếu mêtric Định nghĩa 1.1.1 (xem [2]) Cho C tập khác rỗng không gian Hilbert thực H (i) Ánh xạ T : C → H gọi ánh xạ L–liên tục Lipschitz C tồn số L ≥ cho T (x) − T (y) ≤ L x − y ∀x, y ∈ C (1.1) (ii) Trong (1.1), L ∈ [0, 1) T gọi ánh xạ co; L = T gọi ánh xạ không giãn Sau ta xét hình chiếu phần tử x ∈ H lên C Định nghĩa 1.1.2 (xem [2]) Cho C tập lồi đóng khác rỗng không gian Hilbert thực H Phép cho tương ứng phần tử x ∈ H phần tử PC (x) ∈ C xác định x − PC (x) ≤ x − y với y ∈ C (1.2) gọi toán tử chiếu (hay phép chiếu mêtric) chiếu H lên C Định lý 1.1.3 (xem [2]) Cho C tập lồi đóng khác rỗng không gian Hilbert thực H Với x ∈ H, tồn phần tử PC (x) ∈ C cho (1.2) thỏa mãn Chứng minh Thật vậy, đặt d = inf x − u Khi đó, tồn {un } ⊂ C u∈C cho x − un −→ d, n −→ ∞ Từ ta có un − um = (x − un ) − (x − um ) = x − un ≤2 x − un + x − um + x − um un + um −4 x− 2 − 4d2 −→ 0, n, m −→ ∞ Do {un } dãy Cauchy không gian Hilbert thực H Suy tồn u = lim un ∈ C Do chuẩn hàm số liên tục nên x − u = d Giả sử tồn n→∞ 24 Sử dụng tính chất không giãn phép chiếu PC , ta y k+1 − y k = PC xk+1 + δA∗ Suk+1 − Axk+1 ≤ xk+1 + δA∗ Suk+1 − Axk+1 − xk − δA∗ Suk − Axk = xk+1 − xk + δA∗ Suk+1 − Suk + Axk − Axk+1 = xk+1 − xk 2 − PC xk + δA∗ Suk − Axk 2 + δ A∗ Suk+1 − Suk + Axk − Axk+1 +2δ xk+1 − xk , A∗ Suk+1 − Suk + Axk − Axk+1 (2.12) Vì A∗ tốn tử tuyến tính bị chặn nên A∗ Suk+1 − Suk + Axk − Axk+1 ≤ A∗ = A 2 Suk+1 − Suk + Axk − Axk+1 Suk+1 − Suk + Axk − Axk+1 (2.13) Đặt Θk := 2δ xk+1 − xk , A∗ (Suk+1 − Suk + Axk − Axk+1 ) sử dụng tính chất khơng giãn ánh xạ S PQ , ta Θk = 2δ A xk+1 − xk , Suk+1 − Suk + Axk − Axk+1 = 2δ Axk+1 − Axk , Suk+1 − Suk − 2δ Axk+1 − Axk Suk+1 − Suk =δ − Axk+1 − Axk − Suk+1 − Suk PQ Axk+1 − PQ Axk − Axk+1 − Axk 2 − δ Axk+1 − Axk ≤δ 2 − Axk+1 − Axk − Suk+1 − Suk 2 ≤ −δ Axk+1 − Axk − Suk+1 − Suk (2.14) Kết hợp (2.13), (2.14) với (2.12), ta y k+1 − y k 2 ≤ xk+1 − xk −δ − δ A Suk+1 − Suk + Axk − Axk+1 Bước 4: Chứng minh lim xk+1 − xk = 0, k→∞ lim xk − T y k k→∞ = (2.15) 25 Từ (2.11) < δ < A +1 , ta y k+1 − y k ≤ xk+1 − xk ∀k ∈ N (2.16) Đặt tk = T (z k ) Từ tính khơng giãn ánh xạ T , PC , (2.16) Bổ đề 2.1.2, ta tk+1 − tk = T z k+1 − T z k ≤ z k+1 − z k = PC y k+1 − λk+1 µF y k+1 − PC y k − λk µF y k ≤ y k+1 − λk+1 µF y k+1 − y k + λk µF y k = y k+1 − λk µF y k+1 − y k − λk µF y k + µ (λk − λk+1 ) F y k+1 ≤ (1 − λk τ ) y k+1 − y k + µ|λk − λk+1 F y k+1 ≤ (1 − λk τ ) xk+1 − xk + µ|λk − λk+1 F y k+1 Hay tk+1 − tk − xk+1 − xk ≤ −λk τ xk+1 − xk + µ|λk − λk+1 F y k+1 Vì dãy {xk }, {F (y k )} bị chặn lim λk = 0, ta k→∞ lim sup tk+1 − tk − xk+1 − xk ≤ k→∞ Do đó, theo Bổ đề 2.1.3 lim tk − xk = k→∞ Vì xk+1 − xk = (1 − αk ) tk − xk ≤ tk − xk 26 xk − T y k ≤ xk − tk + tk − T y k = x k − tk + T z k − T y k ≤ xk − tk + z k − y k = xk − tk + PC y k − λk µF y k − PC y k ≤ xk − tk + y k − λk µF y k − y k = xk − tk + λk µ F y k nên từ lim tk − xk = 0, lim λk = tính bị chặn dãy {F (y k )}, ta suy k→∞ k→∞ lim k−→∞ xk+1 − xk = 0, lim xk − T y k = k→∞ Bước 5: Chứng minh lim y k − T y k k→∞ lim uk − Suk = = 0, (2.17) k→∞ Kết hợp tính khơng giãn ánh xạ T với T (x∗ ) = x∗ , ta có xk+1 − x∗ = αk xk − x∗ + (1 − αk ) T z k − x∗ ≤ αk xk − x∗ + (1 − αk ) T z k − x∗ = αk xk − x∗ + (1 − αk ) T z k − T (x∗ ) ≤ αk x k − x ∗ + (1 − αk ) z k − x∗ 2 (2.18) Từ bất đẳng thức (2.9) (2.3), ta suy z k − x∗ ≤ (1 − λk τ ) y k − x∗ + λk µ F (x∗ ) = (1 − λk τ )2 y k − x∗ ≤ (1 − λk τ )2 xk − x∗ +λk µ F (x∗ ) ≤ xk − x∗ 2 + λk µ F (x∗ ) −δ 1−δ A (1 − λk τ ) y k − x∗ + λk µ F (x∗ ) Suk − Axk − δ uk − Axk + uk − Axk 2(1 − λk τ ) y k − x∗ + λk µ F (x∗ ) − δ (1 − λk τ )2 +λk µ F (x∗ ) 1−δ A Suk − Axk (1 − λk τ ) y k − x∗ + λk µ F (x∗ ) (2.19) 27 Thay (2.19) vào (2.18), ta xk+1 − x∗ ≤ x2 − x∗ −δ (1 − αk ) (1 − λk τ )2 1−δ A + (1 − αk ) λk µ F (x∗ ) (1 − λk τ ) y k − x∗ + λk µ F (x∗ ) Suk − Axk + uk − Axk (2.20) Đặt νk := δ (1 − αk ) (1 − λk τ )2 Ψk := (1 − αk ) λk µ F (x∗ ) (1 − λk τ ) y k − x∗ + λk µ F (x∗ ) Từ (2.20), ta có Suk − Axk νk 1−δ A ≤ xk − x∗ ≤ xk − x∗ + xk+1 − x∗ Vì lim xk+1 − xk k→∞ − xk+1 − x∗ + uk − Axk 2 + Ψk xk+1 − xk + Ψk (2.21) = 0, dãy {xk } {y k } bị chặn, lim λk = k→∞ limk→∞ αk = α ∈ (0, 1) nên vế phải (2.21) tiến tới k → ∞ Chú nên − δ A > lim νk = δ(1 − α) > 0, ta ý rằng, δ ∈ 0, k→∞ A +1 lim Suk − Axk = 0, k→∞ lim uk − Axk = k→∞ (2.22) Sử dụng tính chất khơng giãn phép chiếu PC {xk } ⊂ C , ta y k − xk = PC xk + δA∗ Suk − Axk − PC xk ≤ xk + δA∗ Suk − Axk − xk = δA∗ Suk − Axk ≤ δ A∗ Suk − Axk = δ A Suk − Axk Kết hợp với (2.22), ta suy lim y k − xk = k→∞ (2.23) 28 Theo bất đẳng thức tam giác yk − T yk ≤ xk − y k + xk − T y k uk − Suk ≤ uk − Axk + Suk − Axk từ đó, theo (2.23), (2.15) (2.22), ta có lim y k − T (y k ) = 0, lim uk − Suk = k→∞ (2.24) k→∞ Bước 6: Chứng minh lim sup F (x∗ ), x∗ − y k + λk µF (y k ) ≤ k→∞ Lấy dãy {y ki } dãy {y k } cho lim sup F (x∗ ), x∗ − y k = lim F (x∗ ), x∗ − y k1 i→∞ k→∞ Vì dãy {y ki } bị chặn nên ta giả sử y ki y Do lim sup F (x∗ ), x∗ − y k = lim F (x∗ ), x∗ − y k1 i→∞ k→∞ = F (x∗ ), x∗ − y Vì tập C lồi đóng nên đóng yếu Do từ {y ki } ⊂ C y ki y, ta suy y ∈ C Ta chứng minh y ∈ Fix(T ) / Fix(T ), tức y = T (y) Vì y ki Giả sử trái lại y ∈∈ y T ánh xạ không giãn nên từ (2.17) Bổ đề 2.1.4, ta lim inf y ki − y < lim inf y ki − T (y) i→∞ i→∞ ≤ lim inf i→∞ y ki − T (y ki ) + T (y ki ) − T (y) = lim inf T (y ki ) − T (y) i→∞ ≤ lim inf y ki − y i→∞ Điều vô lý Vậy y ∈ Fix(T ) Vì y ki x ki y Do Ax ki y lim y k − xk = 0, ta k→∞ Ay Kết hợp với (2.22), ta có uki Ay (2.25) 29 Vì {uki } ⊂ Q Q đóng yếu nên từ (2.25) ta có Ay ∈ Q Ta chứng minh Ay ∈ Fix(S) Giả sử trái lại S(Ay) = Ay, từ Bổ đề 2.1.4 (2.24), ta có lim inf uki − Ay < lim inf uki − S(Ay) i→∞ i→∞ = lim inf uki − Suki + Suki − S(Ay) i→∞ ≤ lim inf ( uki − Suki + Suki − S(Ay) ) i→∞ = lim inf Suki − S(Ay) i→∞ ≤ lim inf uki − Ay i→∞ Điều vơ lý Do Ay ∈ Fix(S) Từ y ∈ Fix(T ) Ay ∈ Fix(S), ta có y ∈ Ω Do đó, x∗ ∈ ΩF nên F (x∗ ), y − x∗ ≥ Kết hợp F (x∗ ), y − x∗ ≥ 0, lim λk = tính bị chặn dãy {F (y k )}, ta k→∞ có lim sup F (x∗ ), x∗ − y k + λk µF (y k ) k→∞ = lim sup F (x∗ ), x∗ − y k + λk µ F (x∗ ), F (y k ) k→∞ = lim sup F (x∗ ), x∗ − y k k→∞ ∗ = F (x ), x∗ − y ≤ Bước 7: Chứng minh dãy {xk } hội tụ mạnh đến x∗ Kết hợp tính chất khơng giãn phép chiếu PC , bất đẳng thức x−y ≤ x − y, x − y ∀x, y ∈ H1 , 30 Bổ đề 2.1.2 (2.8), ta z k − x∗ = PC (y k − λk µF (xk )) − PC (x∗ ) ≤ y k − λk µF (y k ) − x∗ 2 = y k − λk µF (y k ) − [x∗ − λk µF (y k )] − λk µF (y k ) ≤ y k − λk µF (y k ) − [x∗ − λk µF (y k )] 2 − λk µ F (x∗ ), y k − λk µF (y k ) − x∗ ≤ (1 − λk τ )2 y k − x∗ ≤ (1 − λk τ ) y k − x∗ 2 − 2λk µ F (x∗ ), y k − λk µF (y k ) − x∗ − 2λk µ F (x∗ ), y k − λk µF (y k ) − x∗ Thế bất đẳng thức vào (2.18), ta có xk+1 − x∗ ≤ αk x k − x ∗ + (1 − αk ) z k − x∗ ≤ αk x k − x ∗ + (1 − αk )(1 − λk τ ) xk − x∗ 2 − 2λk µ(1 − αk ) F (x∗ ), y k − λk µF (y k ) − x∗ = [1 − λk (1 − αk )τ ] xk − x∗ θk = + λk (1 − αk )τ θk , (2.26) 2µ F (x∗ ), x∗ − y k + λk µF (xk ) τ Vì lim sup F (x∗ ), x∗ − y k + λk µF (xk ) ≤ 0, k→∞ nên lim sup θk ≤ k→∞ ∞ λk (1 − αk )τ = ∞ nên áp dụng Bổ đề 2.1.1 vào (2.26), ta Do đó, k=0 xk → x∗ Định lý 2.2.1 chứng minh 2.2.2 Một số hệ Trước hết ta trình bày áp dụng cho toán bất đẳng thức biến phân tách 31 Định nghĩa 2.2.2 (xem [3]) Cho C Q tập lồi đóng khác rỗng khơng gian Hilbert thực H1 H2 , F : C → H1 ánh xạ β -đơn điệu mạnh L-liên tục Lipschitz C , F1 : C → H1 ánh xạ η1 -đơn điệu mạnh ngược C F2 : Q → H2 ánh xạ η2 -đơn điệu mạnh ngược Q Bài toán bất đẳng thức biến phân tách tốn Tìm x∗ ∈ ΩF1 C cho Ax∗ ∈ ΩF2 Q , (2.27) ΩF1 C ΩF2 Q tập nghiệm tốn bất đẳng thức biến phân Tìm x∗ ∈ C cho F1 (x∗ ), x − x∗ ≥ ∀x ∈ C (2.28) Tìm y ∗ ∈ Q cho F2 (y ∗ ), y − y ∗ ≥ ∀y ∈ Q (2.29) Nhận xét 2.2.3 Xét ánh xạ F1 : C → H1 η1 -đơn điệu mạnh ngược C F2 : Q → H2 η2 -đơn điệu mạnh ngược Q Theo Bổ đề 1.2.8, với ≤ ξ1 ≤ 2η1 < ξ2 ≤ 2η2 , ánh xạ T : C → C, S : Q → Q cho T (x) = PC (x − ξ1 F1 (x)) ∀x ∈ C, S(y) = PQ (y − ξ2 F2 (y)) ∀y ∈ Q ánh xạ không giãn Fix(T ) = ΩF1 C , Fix(S) = ΩF2 Q Theo Định lý 2.2.1, ta có hệ sau Hệ 2.2.4 (xem [3]) Cho C Q tập lồi đóng khác rỗng không gian Hilbert thực H1 H2 , A : H1 → H2 toán tử tuyến tính bị chặn với tốn tử liên hợp A∗ Giả sử F : C → H1 β -đơn điệu mạnh L-liên tục Lipschitz C, F1 : C → H1 ánh xạ η1 -đơn điệu mạnh ngược C F2 : Q → H2 ánh xạ η2 -đơn điệu mạnh ngược Q Với x0 ∈ C 32 bất kỳ, xét dãy {xk }, {uk }, {v k }, {y k }, {z k } {tk } sau    uk = PQ (Axk ),       v k = PQ (uk − ξ2 F2 (uk )),      y k = PC (xk + δA∗ (v k − Axk )),   z k = PC (y k − λk µF (y k )),       tk = PC (z k − ξ1 F1 (z k )),      xk+1 = αk xk + (1 − αk )tk ∀k ≥ 0, 2β , {λk } A 2+1 L2 {αk } hai dãy số khoảng (0, 1) thỏa mãn đồng thời điều kiện δ ∈ 0, , < ξ1 ≤ 2η1 , < ξ2 ≤ 2η2 , µ ∈ 0, (C2)–(C4) Định lý 2.2.1 Khi dãy {xk } hội tụ mạnh đến nghiệm VIP(F, Ω) với điều kiện tập nghiệm Ω = {x∗ ∈ ΩF1 C : Ax∗ ∈ ΩF2 Q } toán bất đẳng thức biến phân tách (2.27)–(2.29) khác rỗng Sau áp dụng cho tốn tìm nghiệm có chuẩn nhỏ Nhận xét 2.2.5 Ta xét trường hợp đặc biệt Hệ 2.2.4 F (x) = x với x ∈ C Dễ thấy F β -đơn điệu mạnh L-liên tục Lipschitz C với β = L = Khi tốn bất đẳng thức biến phân VIP(F, Ω) hệ trở thành tốn tìm nghiệm có chuẩn nhỏ toán bất đẳng thức biến phân tách Từ Hệ 2.2.4 chọn tham số µ = 1, ta có hệ sau Hệ 2.2.6 (xem [3]) Cho C Q tập lồi đóng khác rỗng không gian Hilbert thực H1 H2 , A : H1 → H2 toán tử tuyến tính bị chặn với tốn tử liên hợp A∗ , F1 : C → H1 ánh xạ η1 -đơn điệu mạnh ngược C F2 : Q → H2 ánh xạ η2 -đơn điệu mạnh ngược Q Giả sử tập nghiệm Ω = {x∗ ∈ ΩF1 C ; Ax∗ ∈ ΩF2 Q } toán bất đẳng thức biến phân tách (2.27)–(2.29) khác rỗng Với x0 ∈ C bất kỳ, xét dãy 33 {xk }, {uk }, {v k }, {y k }, {z k } {tk } sau    uk = PQ (Axk ),       v k = PQ (uk − ξ2 F2 (uk )),      y k = PC (xk + δA∗ (v k − Axk )),   z k = PC (y k − λk y k ),       tk = PC (z k − ξ1 F1 (z k )),      xk+1 = αk xk + (1 − αk )tk ∀k ≥ 0, 2β , {λk } A 2+1 L2 {αk } hai dãy số khoảng (0, 1) thỏa mãn đồng thời điều kiện δ ∈ 0, , < ξ1 ≤ 2η1 , < ξ2 ≤ 2η2 , µ ∈ 0, (C2)–(C4) Định lý 2.2.1 Khi dãy {xk } hội tụ mạnh đến x∗ ∈ Ω, x∗ = min{ x : x ∈ Ω} Hệ 2.2.6 cho ta thuật tốn tìm nghiệm có chuẩn nhỏ toán bất đẳng thức biến phân tách, ánh xạ F1 , F2 đơn điệu mạnh ngược 2.2.3 Ví dụ minh họa Trong mục ta trình bày ví dụ minh họa cho Định lý 2.2.1 Xét H1 = R3 với chuẩn x = (x21 + x22 + x23 ) với x = (x1 , x2 , x3 )T ∈ R3 H2 = R2 với chuẩn y = (y12 + y22 ) với y = (y1 , y2 )T ∈ R2 Xét A : R3 → R2 cho A(x) = (x1 + x3 , x2 + x3 )T với x = (x1 , x2 , x3 )T ∈ R3 Khi đó, A tốn tử tuyến tính bị chặn từ R3 √ vào R2 với chuẩn A = Xét B : R2 → R3 cho B(y) = (y1 , y2 , y1 + y2 )T với y = (y1 , y2 )T ∈ R2 Khi đó, B tốn tử tuyến tính bị chặn từ R2 vào √ R3 với chuẩn B = 34 Với x = (x1 , x2 , x3 )T ∈ R3 y = (y1 , y2 )T ∈ R2 , ta có A(x), y = x, B(y) Do B = A∗ toán tử liên hợp A Xét C = {(x1 , x2 , x3 )T ∈ R3 : x1 + x2 − x3 ≥ 1} ánh xạ T : C → C xác định T (x) = PK1 (x) với x ∈ C tập K1 cho K1 = {(x1 , x2 , x3 )T ∈ R3 : x1 + x2 − x3 = 1} Vì tốn tử chiếu ánh xạ không giãn nên T ánh xạ không giãn Tập điểm bất động T cho Fix(T ) = {(x1 , x2 , x3 )T ∈ R3 : x1 + x2 − x3 = 1} Đặt Q = {(y1 , y2 )T ∈ R2 : y1 − y2 ≥ 4} xét ánh xạ S : Q → Q cho S(y) = PK2 (y) với y ∈ Q tập K2 cho K2 = {(y1 , y2 )T ∈ R2 : y1 − y2 = 4} Do S ánh xạ khơng giãn tập điểm bất động S cho Fix(S) = {(y1 , y2 )T ∈ R2 : y1 − y2 = 4} Tập nghiệm Ω2 toán điểm bất động tách (SFPP) Ω2 = {x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ Fix(T ) : A(x) = A(x1 , x2 , x3 ) ∈ Fix(S)} = {x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 : x1 + x2 − x3 = 1, x1 − x2 = 4} = {(t + 4, t, 2t + 3)T : t ∈ R} −5 −1 T , , 3 Chọn điểm xuất phát x0 = (4, 3, −6)T ∈ C bất kỳ, δ = 0, 2, λk = , k+2 k+1 αk = Ta thấy {λk } {αk } hai dãy số khoảng (0, 1) thỏa 2(k + 3) mãn đồng thời điều kiện Nghiệm có chuẩn nhỏ toán điểm bất động tách x∗ = ∞ λk (1 − αk ) = ∞ lim λk = 0, k→∞ k=0 lim αk = k→∞ ∈ (0, 1) 35 Sử dụng tiêu chuẩn dừng xk+1 − xk < ε = 10−6 ta có kết tính tốn Bảng 2.1 Bảng 2.1: Ví dụ số minh họa cho Định lý 2.2.1 Số bước lặp k xk1 xk2 xk3 4.00000 3.00000 −6.00000 0.93056 0.09722 −1.97222 0.60625 −0.33542 −1.22917 0.63155 −0.46645 −0.98490 0.71990 −0.54125 −0.87135 ··· ··· ··· ··· 7390 2.32615 −1.67115 −0.34500 7391 2.32615 −1.67115 −0.34500 7392 2.32615 −1.67115 −0.34500 7393 2.32615 −1.67115 −0.34500 7394 2.32615 −1.67115 −0.34500 Nghiệm xấp xỉ sau 7394 bước lặp x7394 = (2.32615, −1.67115, −0.34500)T −5 −1 T xấp xỉ tốt cho nghiệm có chuẩn nhỏ x∗ = , , 3 36 Kết luận Đề tài luận văn trình bày phương pháp lặp giải toán bất đẳng thức biến phân với tập ràng buộc tập nghiệm toán điểm bất động tách Cụ thể: (1) Trình bày mối quan hệ toán bất đẳng thức biến phân, toán điểm bất động; giới thiệu toán điểm bất động tách, tốn bất đẳng thức biến phân tách (2) Trình bày phương pháp lặp giải toán bất đẳng thức biến phân với ràng buộc điểm bất động tách sở phương pháp chiếu giải toán bất đẳng thức biến phân kỹ thuật lặp Krasnoselskii–Mann tìm điểm bất động ánh xạ khơng giãn (3) Trình bày hệ phương pháp giải toán bất đẳng thức biến phân với tập ràng buộc tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân tách, tốn tìm nghiệm có chuẩn nhỏ tốn bất đẳng thức biến phân tách 37 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Hoàng Tụy (2003), Hàm thực Giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Tiếng Anh [2] Agarwal R.P., O’Regan D., Sahu D.R (2009), Fixed point theory for lipschitzian-type mappings with applications, Springer [3] T.V Anh, L.D Muu (2016), "A projection-fixed point method for a class of bilevel variational inequalities with split fixed point constraints", Optimization, 65(6), 1229-1243 [4] Byrne C (2002), "Iterative oblique projection onto convex sets and the split feasibility problem", Inverse Problems, 18(2), 441–453 [5] Byrne C., Censor Y., Gibali A., Reich S (2012), "The split common null point problem", J Nonlinear Convex Anal., 13(4), 759–775 [6] Censor Y., Elfving T (1994), "A multi projection algorithm using Bregman projections in a product space", Numer Algorithms, 8(2-4), 221–239 [7] Ceng L.C., Ansari Q.H., Yao J.C (2012), "Relaxed extragradient methods for finding minimum-norm solutions of the split feasibility problem", Nonlinear Anal., 75(4), 2116–2125 [8] Censor Y., Gibali A., Reich S (2012), "Algorithms for the split variational inequality problem", Numer Algorithms, 59(2), 301–323 38 [9] Moudafi A (2010), "The split common fixed-point problem for demicontractive mappings", Inverse Problems, 26(5), ID: 055007 [10] Moudafi A (2011), "Split monotone variational inclusions", J Optim Theory Appl., 150(2), 275–283 [11] Suzuki T (2005), "Strong convergence of Krasnoselskii and Mann’s type sequence for one–parameter nonexpansive semigroup without Bochner integrals", J Math Anal Appl., 305(1), 227–239 [12] Xu H.K (2002), "Iterative algorithms for nonlinear operators", J London Math Soc 66(1), 240–256 [13] Xu H.K (2010), "Iterative methods for the split feasibility problem in infinitedimensional Hilbert spaces", Inverse Problems, 26(10), ID: 105018 [14] Yamada I (2001), "The hybrid steepest descent method for the variational inequality problem over the intersection of fixed point sets of nonexpansive mappings", In: Butnariu, D., Censor, Y., Reich, S (eds.) Inherently Parallel Algorithms for Feasibility and Optimization and Their Applications, Elsevier, Amsterdam, pp 473-504 ... Chương Phương pháp chiếu giải bất đẳng thức biến phân với ràng buộc điểm bất động tách Chương trình bày phương pháp chiếu giải toán bất đẳng thức biến phân với tập ràng buộc tập nghiệm tốn điểm bất. .. Chương Phương pháp chiếu giải toán bất đẳng thức biến phân với ràng buộc điểm bất động tách Chương trình bày phương pháp lặp giải toán bất đẳng thức biến phân với ràng buộc tập nghiệm toán điểm bất. .. 1.2.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân 13 1.2.3 Mối liên hệ toán bất đẳng thức biến phân toán điểm bất động 14 Chương Phương pháp chiếu giải toán bất đẳng phân