ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN HỒI TRANG PHƯƠNG PHÁP LẶP SONG SONG TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA CÁC TỐN TỬ BREGMAN KHƠNG GIÃN MẠNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 46 01 12 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Trương Minh Tuyên Thái Nguyên – 2019 Lời cảm ơn Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Trương Minh Tuyên, người tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tơi suốt q trình học tập nghiên cứu để tơi hồn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, thầy giáo, giáo khoa Tốn -Tin, trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Ngun tận tình giúp đỡ tơi suốt q trình học tập nghiên cứu Trường Nhân dịp xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu đồng nghiệp trường THPT Phổ Yên, gia đình, bạn bè, người thân ln động viện, giúp đỡ tạo điều kiện cho suốt trình học tập thực luận văn ii Mục lục Lời cảm ơn ii Một số ký hiệu viết tắt v Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Banach phản xạ 1.2 Khoảng cách Bregman ánh xạ Bregman không giãn mạnh 1.2.1 Đạo hàm Gâteaux đạo hàm Fréchet 1.2.2 Hàm lồi khoảng cách Bregman 1.2.3 Hàm lồi hoàn toàn 12 1.2.4 Phép chiếu Bregman 15 1.2.5 Ánh xạ Bregman không giãn mạnh 17 1.3 Bài tốn tìm điểm bất động ánh xạ Bregman không giãn mạnh 18 Hai phương pháp chiếu tìm điểm bất động chung hữu hạn tốn tử Bregman khơng giãn mạnh 21 2.1 Phương pháp chiếu lai ghép 21 2.2 Phương pháp chiếu thu hẹp 26 2.3 Ứng dụng 28 2.3.1 Bài toán chấp nhận lồi 28 2.3.2 Không điểm chung toán tử đơn điệu cực đại 29 2.3.3 Bài toán cân 29 iii iv 2.3.4 Không điểm chung toán tử Bregman ngược đơn điệu mạnh 31 2.3.5 Bất đẳng thức biến phân 32 Kết luận 34 Tài liệu tham khảo 35 Một số ký hiệu viết tắt X không gian Banach X∗ không gian đối ngẫu X R tập hợp số thực R+ tập số thực không âm ∩ phép giao int M phần tập hợp M inf M cận tập hợp số M sup M cận tập hợp số M max M số lớn tập hợp số M M số nhỏ tập hợp số M argminx∈X F (x) tập điểm cực tiểu hàm F X ∅ tập rỗng dom(A) miền hữu hiệu toán tử (hàm số) A R(A) miền ảnh toán tử A A−1 toán tử ngược toán tử A I toán tử đồng lim sup xn giới hạn dãy số {xn } n→∞ lim inf xn n→∞ giới hạn dãy số {xn } v vi xn → x0 dãy {xn } hội tụ mạnh x0 xn dãy {xn } hội tụ yếu x0 x0 F (T ) tập điểm bất động ánh xạ T Fˆ (T ) tập điểm bất động tiệm cận ánh xạ T ∂f vi phân hàm lồi f f gradient hàm f M bao đóng tập hợp M projfC phép chiếu Bregman lên C Df (x, y) khoảng cách Bregman từ x đến y Mở đầu Đầu kỉ XX xuất nhiều định lý điểm bất động tiếng, phải kể đến nguyên lý điểm bất động Brouwer (1912), nguyên lý ánh xạ co Banach (1922) Các kết mở rộng lớp ánh xạ không gian khác Lý thuyết điểm bất động có nhiều ứng dụng lĩnh vực tốn học khác như: Giải tích số, phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, tối ưu hóa, tốn liên quan đến kinh tế toán cân bằng, toán chấp nhận lồi toán bất đẳng thức biến phân Bài tốn điểm bất động có hai lĩnh vực quan tâm nghiên cứu chủ yếu, là: Ta quan tâm đến tồn nghiệm phương trình T (x) = x, T ánh xạ từ tập C không gian X vào X nghiệm x0 gọi điểm bất động T Trong nhiều trường hợp quan trọng việc giải phương trình đưa việc tìm điểm bất động ánh xạ thích hợp Chẳng hạn, X không gian tuyến tính, S ánh xạ X y phần tử cố định thuộc X, nghiệm phương trình S(x) = y điểm bất động ánh xạ T xác định T (x) = S(x) + x − y, với x ∈ X Bên cạnh việc tìm phương pháp tìm hay xấp xỉ điểm bất động ánh xạ thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều người làm tốn ngồi nước Một toán xấp xỉ điểm bất động quan tâm nghiên cứu nhiều tốn tìm điểm bất động hay họ ánh xạ kiểu không giãn không gian Hilbert hay Banach Một khó khăn nghiên cứu tốn xấp xỉ điểm bất động toán liên quan khác (chẳng hạn tốn tìm khơng điểm) không gian Banach ta phải sử dụng đến ánh xạ đối ngẫu không gian Ta biết trường hợp tổng quát ánh xạ đối ngẫu khó xác định ngồi khơng có tính chất tuyến tính Do việc tìm dạng tường minh toán tử giải tương ứng với toán tử đơn điệu khơng gian Banach “rất khó” Để khắc phục khó khăn này, người ta sử dụng khoảng cách Bregman để thay cho khoảng cách thông thường thay ánh xạ đối ngẫu gradient phiếm hàm lồi, khả vi Gâteaux Mục đích luận văn trình bày lại kết tác giả Tuyen T.M báo [26] hai phương pháp chiếu tìm điểm bất động chung họ hữu hạn tốn tử Bregman khơng giãn mạnh, với số ứng dụng cho việc giải tốn liên quan khác khơng gian Banach phản xạ Nội dung luận văn chia làm hai chương chính: Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, luận văn đề cập đến số vấn đề không gian Banach phản xạ, khoảng cách Bregman, phép chiếu Bregman tốn tử Bregman khơng giãn mạnh Chương Hai phương pháp chiếu tìm điểm bất động chung hữu hạn tốn tử Bregman khơng giãn mạnh Trong chương luận văn tập trung trình bày lại cách chi tiết kết Tuyen T.M tài liệu [26] phương pháp chiếu lai ghép phương pháp chiếu thu hẹp tìm điểm bất động chung họ hữu hạn toán tử Bregman khơng giãn mạnh khơng gian Banach phản xạ Ngồi ra, số ứng dụng định lý cho việc giải số lớp toán liên quan khác giới thiệu chương Chương Kiến thức chuẩn bị Chương bao gồm ba mục Mục 1.1 trình bày số tính chất không gian phản xạ Mục 1.2 giới thiệu khoảng cách Bregman, phép chiếu Bregman toán tử Bregman không giãn mạnh Mục 1.3 đề cập đến số phương pháp tìm điểm bất động tốn tử Bregman không giãn mạnh Nội dung chương tham khảo tài liệu [1, 17, 20, 24, 27] 1.1 Không gian Banach phản xạ Trước hết, mục nhắc lại khái niệm không gian Banach phản xạ Định nghĩa 1.1.1 Một không gian Banach X gọi không gian phản xạ, với phần tử x∗∗ không gian liên hợp thứ hai X ∗∗ X, tồn phần tử x thuộc X cho x, x∗ = x∗ , x∗∗ với x∗ ∈ X ∗ Chú ý 1.1.2 Trong luận văn, sử dụng ký hiệu x∗ , x để giá trị phiếm hàm x∗ ∈ X ∗ x ∈ X Mệnh đề 1.1.3 [1] Cho X không gian Banach Khi đó, khẳng định sau tương đương: i) X không gian phản xạ ii) Mọi dãy bị chặn X, có dãy hội tụ yếu Mệnh đề cho ta mối liên hệ tập đóng tập đóng yếu khơng gian tuyến tính định chuẩn Mệnh đề 1.1.4 Nếu C tập lồi, đóng khác rỗng khơng gian khơng gian tuyến tính định chuẩn X, C tập đóng yếu Chứng minh Ta chứng minh phản chứng Giả sử tồn dãy {xn } ⊂ C cho xn x, x ∈ / C Theo định lý tách tập lồi, tồn x∗ ∈ X ∗ tách ngặt x C, tức tồn ε > cho y, x∗ ≤ x, x∗ − ε, với y ∈ C Đặc biệt, ta có xn , x∗ ≤ x, x∗ − ε, với n ≥ Ngồi ra, xn x, nên xn , x∗ → x, x∗ Do đó, bất đẳng thức trên, cho n → ∞, ta nhận x, x∗ ≤ x, x∗ − ε, điều vơ lý Do đó, điều giả sử sai, hay C tập đóng yếu Mệnh đề chứng minh Chú ý 1.1.5 Nếu C tập đóng yếu, hiển nhiên C tập đóng 1.2 1.2.1 Khoảng cách Bregman ánh xạ Bregman không giãn mạnh Đạo hàm Gâteaux đạo hàm Fréchet Cho X không gian Banach cho f : X −→ (−∞, +∞] hàm số Ta ký hiệu miền hữu hiệu domf tập {x ∈ X : f (x) < +∞} Với x ∈ 24 Do đó, từ Mệnh đề 1.2.20, ta nhận lim xn+1 − y n = n→∞ (2.8) Từ (2.6), (2.8) bất đẳng thức xn − y n ≤ xn+1 − xn + xn+1 − y n , suy xn − y n → 0, as n → ∞ Bước Mọi giới hạn yếu dãy {xn } thuộc F Từ Mệnh đề 1.2.4, ta có f liên tục X Do đó, từ tính bị chặn { f (xn )} từ định nghĩa Df (y n , xn ), ta nhận lim Df (y n , xn ) = n→+∞ Do vậy, từ định nghĩa y n , ta thu limn→+∞ Df (yni , xn ) = với i ∈ {1, 2, , N } Từ Mệnh đề 1.2.20 suy lim xn − yni = 0, n→∞ (2.9) với i ∈ {1, 2, , N } Từ (2.9) Mệnh đề 1.2.14, ta có lim n→∞ f (yni ) − f (xn ) = 0, (2.10) với i ∈ {1, 2, , N } Với p ∈ F với i ∈ {1, 2, , N }, ta có Df (p, xn ) − Df (p, yni ) = f (yni ) − f (xn ) + f (yni ) − f (xn ), p − xn + f (yni ), xn − yni Vì {yni } bị chặn, nên { f (yni )} bị chặn Do đó, từ bất đẳng thức trên, (2.9) (2.10), ta nhận lim (Df (p, xn ) − Df (p, yni )) = n→∞ 25 tức là, lim (Df (p, xn ) − Df (p, Ti xn )) = 0, (2.11) n→∞ với p ∈ F i ∈ {1, 2, , N } Vì, Ti toán tử BSNE F (Ti ) = Fˆ (Ti ), nên lim Df (Ti xn , xn ) = 0, (2.12) n→∞ với i ∈ {1, 2, , N } Do đó, {xnk } dãy {xn } hội tụ yếu v, v ∈ Fˆ (Ti ) = F (Ti ) với i ∈ {1, 2, , N } Vì vậy, v ∈ F , tức giới hạn yếu {xn } thuộc F Bước Dãy {xn } hội tụ mạnh projfF (x0 ), n → +∞ Đặt x† = projfF (x0 ) Vì xn+1 = projfCn ∩Qn (x0 ) F ⊂ Cn ∩ Qn , nên ta có Df (xn+1 , x0 ) ≤ Df (x† , x0 ) Từ đẳng thức ba điểm, ta có Df (xn , x† ) = Df (xn , x0 ) + Df (x0 , x† ) − f (x† ) − f (x0 ), xn − x0 ≤ Df (x† , x0 ) + Df (x0 , x† ) − f (x† ) − f (x0 ), xn − x0 = f (x† ) − f (x0 ), x† − xn (2.13) Vì, {xn } bị chặn, nên tồn dãy {xnk } {xn } hội tụ yếu phần tử u ∈ X Từ Bước 5, ta có u ∈ F Do đó, từ Mệnh đề 1.2.23 ii) (2.13), ta nhận lim sup Df (xnk , x† ) ≤ lim sup k→+∞ f (x† ) − f (x0 ), x† − xnk k→+∞ = f (x† ) − f (x0 ), x† − u ≤ Do đó, lim Df (xnk , x† ) = k→+∞ Từ Mệnh đề 1.2.20, {xnk } hội tụ mạnh x† Giả sử {xnl } dãy khác {xn }, hội tụ mạnh phần tử u Ta có, {xnl } hội tụ yếu u Bằng lập luận tương tự trên, ta nhận {xnl } hội tụ mạnh x† Do đó, {xn } hội tụ mạnh x† , n → +∞ Định lý chứng minh 26 2.2 Phương pháp chiếu thu hẹp Năm 2014, P.K Anh D.V Hieu [4] đưa hai phương pháp lặp song song dựa phương pháp chiếu co hẹp cho tốn tìm phần tử chung tập điểm bất động họ ánh xạ φ-tựa không giãn tiệm cận, tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân tập nghiệm tốn cân khơng gian Banach trơn 2-lồi Dựa ý tưởng này,T.M Tuyen [26] phát biểu chứng minh kết để tìm nghiệm Bài tốn (2.1) Định lý 2.2.1 Với x0 ∈ X, dãy {xn } xác định    C0 = X,        yni = Ti xn , i = 1, 2, , N,    in ∈ argmaxi=1,2, ,N {Df (yni , xn )}, y n = ynin ,       Cn+1 = {z ∈ Cn : Df (z, y n ) ≤ Df (z, xn )},      f x n+1 = projCn+1 (x0 ), (2.14) hội tụ mạnh projfF (x0 ) n → +∞ Chứng minh Bước Cn tập lồi đóng X với n ≥ Rõ ràng C0 tập lồi đóng, C0 = X Giả sử Cn tập lồi đóng X với n ≥ Ta có Cn+1 = Cn ∩ {z ∈ X : + f (xn ) − f (x), xn − f (y n ), z ≤ f (y n ) − f (xn ) f (y n ), y n }, điều suy Cn+1 tập lồi đóng X Do đó, từ cách xây dựng tập Cn , suy Cn tập lồi đóng X với n ≥ Bước Dãy {xn } hoàn toàn xác định Rõ ràng Cn tập lồi, đóng F ⊂ C0 Giả sử F ⊂ Cn với n ≥ Lấy p ∈ F với n ≥ 0, ta có Df (p, y n ) = Df (p, Tin xn ) ≤ Df (p, xn ), 27 điều suy p ∈ Cn+1 Do đó, qui nạp, ta nhận p ∈ Cn với n ≥ Suy ra, F ⊂ Cn với n ≥ Vì vậy, dãy {xn } hoàn toàn xác định Bước Dãy {xn } bị chặn Với p ∈ F , từ Mệnh đề 1.2.23 iii), ta có Df (xn , x0 ) = Df (projfCn (x0 ), x0 ) ≤ Df (p, x0 ) − Df (p, projfCn (x0 )) ≤ Df (p, x0 ), (2.15) điều suy dãy {Df (xn , x0 )} bị chặn Do đó, từ Mệnh đề 1.2.17, dãy {xn } bị chặn Bước Tồn giới hạn hữu hạn dãy {Df (xn , x0 )} Vì Cn+1 ⊂ Cn , nên từ Mệnh đề 1.2.23 iii) suy Df (xn+1 , projfCn (x0 )) + Df (projfCn (x0 ), x0 ) ≤ Df (xn+1 , x0 ), Df (xn+1 , xn ) + Df (xn , x0 ) ≤ Df (xn+1 , x0 ) (2.16) Suy {Df (xn , x0 )} dãy đơn điệu tăng kết hợp với (2.15), ta thu giới hạn limn→+∞ Df (xn , x0 ) tồn hữu hạn Bước Dãy {xn } hội tụ mạnh phần tử p ∈ X Ta có Cm ⊂ Cn với m ≥ n Do đó, xm ∈ Cn Vì, xn = projfCn , nên từ Bổ đề 1.2.23 iii) ta có Df (xm , xn ) ≤ Df (xm , x0 ) − Df (xn , x0 ) → 0, điều suy Df (xm , xn ), m, n → +∞ Từ Mệnh đề 1.2.20, xm −xn → 0, m, n → +∞ Do đó, {xn } dãy Cauchy Vì vậy, dãy {xn } hội tụ mạnh phần tử p ∈ X Bước Ta p ∈ F Vì {xn } dãy Cauchy, nên limn→+∞ xn+1 − xn = Từ xn+1 ∈ Cn+1 định nghĩa Cn+1 , ta nhận xn+1 − y n ≤ xn+1 − xn 28 Do đó, limn→+∞ xn+1 − y n = Vì vậy, từ đánh giá xn − y n ≤ xn+1 − xn + xn+1 − y n , ta thu limn→+∞ xn − y n = Từ định nghĩa y n , ta nhận xn − yni → 0, với i = 1, 2, , N Bởi lập luận tương tự Bước chứng minh Định lý 2.1.1, ta có p ∈ F Bước p = projfF (x0 ) Đặt x† = projfF (x0 ) Vì xn = projfCn (x0 ) F ⊂ Cn , ta có Df (xn , x0 ) ≤ Df (x† , x0 ) Do đó, lập luận tương tự Bước chứng minh Định lý 2.1.1, ta nhận p = x† Định lý chứng minh 2.3 Ứng dụng Trong mục này, luận văn đề cập đến số ứng dụng định lý 2.1.1 2.2.1 cho số toán liên quan 2.3.1 Bài toán chấp nhận lồi Cho Ci , i = 1, 2, , N N tập lồi, đóng khác rỗng X, cho C = ∩N i=1 Ci = ∅ toán chấp nhận lồi (CFP) xác định phần tử C Ta biết F (projfCi ) = Ci với i ∈ {1, 2, , N } hàm Legendre f khả vi Fréchet bị chặn tập bị chặn X, phép chiếu Bregman projf tốn tử BFNE F (projf ) = Fˆ (projf ) (xem [22]) Do đó, Ci lấy Ti = projfCi Ci Ci Định lý 2.1.1 Định lý 2.2.1, ta nhận hai thuật toán để giải toán chấp nhận lồi Định lý 2.3.1 Cho Ci , i = 1, 2, , N N tập lồi, đóng khác rỗng X, cho C = ∩N i=1 Ci = ∅ Cho f : X −→ R hàm Legendre bị chặn, khả 29 vi Fréchet lồi hoàn toàn tập bị chặn X Khi đó, với x0 ∈ X, dãy {xn } xác định (2.2) (2.14) với Ti = projfCi với i = 1, 2, , N , hội tụ mạnh projfC (x0 ), n → +∞ 2.3.2 Khơng điểm chung tốn tử đơn điệu cực đại ∗ Cho A : X −→ 2X toán tử đơn điệu cực đại tốn tìm phần tử x ∈ X cho ∈ Ax đóng vai trò quan trọng lĩnh vực tối ưu lĩnh vực liên quan Ta nhắc lại khái niệm toán tử giải A, ký hiệu ResfA : X −→ 2X xác định sau (xem [7]): ResfA (x) = ( f + A)−1 f (x) ◦ Bauschke cộng [7] chứng minh toán tử giải toán tử BFNE Nếu thêm điều kiện hàm Legendre f khả vi Fréchet bị chặn tập bị chặn X, tốn tử giải ResfA tốn tử BSNE thỏa mãn F (Resf ) = Fˆ (Resf ) (xem [22]) Từ F (Resf ) = A−1 0, Định lý 2.1.1 A A Định lý 2.2.1, ta lấy Ti = A ResfAi với i = 1, 2, , N , ta nhận hai thuật toán cho toán tìm khơng điểm chung họ hữu hạn tốn tử đơn điệu cực đại ∗ Định lý 2.3.2 Cho Ai : X −→ 2X , i = 1, 2, , N N toán tử đơn điệu cực −1 đại cho F = ∩N i=1 Ai = ∅ Cho f : X −→ R hàm Legendre bị chặn, khả vi Fréchet lồi hoàn toàn tập bị chặn X Khi đó, với x0 ∈ X, dãy {xn } xác định (2.2) (2.14) với Ti = ResfAi với i = 1, 2, , N , hội tụ mạnh projfF (x0 ), n → +∞ 2.3.3 Bài toán cân Cho C tập lồi, đóng khác rỗng X Cho g song hàm xác định C × C nhận giá trị R Bài toán cân phát biểu 30 sau: Tìm phần tử x ∈ C cho g(x, y) ≥ 0, ∀y ∈ C (2.17) Ta ký hiệu EP (g) tập nghiệm Bài toán (2.17) Để nghiên cứu Bài toán (2.17), ta cần đặt lên g số giả thiết sau (xem [8]): C1) g(x, x) = với x ∈ C; C2) g đơn điệu, tức là, g(x, y) + g(y, x) ≤ với x, y ∈ C; C3) với x, y, z ∈ C, lim sup g(tz + (1 − t)x, y) ≤ g(x, y); t↓0 C4) với x ∈ C, g(x, ) hàm lồi, nửa liên tục Toán tử giải song hàm g : C × C −→ R (xem [16]) Resfg : X −→ 2C xác định Resfg (x) = {z ∈ C : g(z, y) + f (z) − f (x), y − z ≥ ∀y ∈ C} Ta cần bổ đề (xem [22]): Bổ đề 2.3.3 Cho f : X −→ (−∞, +∞] hàm khả vi Gâteaux Cho C tập lồi đóng X Nếu song hàm g : C × C −→ R thỏa mãn điều kiện C1)-C4), dom (Resfg ) = X Bổ đề 2.3.4 Cho f : X −→ (−∞, +∞] hàm Legendre Cho C tập lồi đóng X Nếu song hàm g : C × C −→ R thỏa mãn điều kiện C1)-C4), i) Resfg đơn trị; ii) Resfg toán tử BFNE; iii) tập điểm bất động Resfg tập nghiệm toán cân bằng, tức là, F (Resfg ) = EP (g); 31 iv) EP (g) tập lồi đóng C; v) với x ∈ X u ∈ F (Resfg ), ta có Df (u, Resfg (x)) + Df (Resfg (x), x) ≤ Df (u, x) Do đó, Từ Bổ đề 2.3.3 Bổ đề 2.3.4 suy f : X −→ R hàm Legendre, bức, bị chặn, khả vi Fréchet lồi hoàn toàn tập bị chặn X ta lấy Ti = Resfgi , Ti tốn tử BSNE với F (Ti ) = Fˆ (Ti ) (xem [22], Bổ đề 1.3.2) Ti có miền hữu hiệu X Do đó, ta có định lý sau: Định lý 2.3.5 Cho Ci , i = 1, 2, , N N tập lồi, đóng khác rỗng X cho gi : Ci × Ci −→ R, i = 1, 2, , N N song hàm thỏa mãn điều kiện C1)-C4) cho S = ∩N i=1 EP (gi ) = ∅ Cho f : X −→ R hàm Legendre, bức, bị chặn, khả vi Fréchet lồi hoàn toàn tập bị chặn X Khi đó, với x0 ∈ X, dãy {xn } xác định (2.2) (2.14) với Ti = Resfgi với i = 1, 2, , N , hội tụ mạnh projfS (x0 ), n → +∞ 2.3.4 Khơng điểm chung tốn tử Bregman ngược đơn điệu mạnh Lớp toán tử Bregman ngược đơn điệu mạnh xây dựng Butnariu Kassay tài liệu [13] Ta giả sử hàm Legendre f thỏa mãn điều kiện miền sau: ran ( f − A) ⊂ ran ( f ) (2.18) ∗ Một toán tử A : X −→ 2X gọi toán tử Bregman ngược đơn điệu mạnh (BISM) (domA) ∩ (int domf ) = ∅ với x, y ∈ int domf , ξ ∈ Ax, η ∈ Ay, ta có ξ − η, f ∗ ( f (x) − ξ) − f ∗ ( f (y) − η) ≥ Toán tử phản giải A Af : X −→ 2X xác định Af = fo∗ ( f − A) 32 Ta biết toán tử A BISM toán tử phản giải Af (đơn trị) tốn tử BFNE (xem [13], Bổ đề 3.5) Reich cộng chứng minh ∗ f : X −→ (−∞, +∞] hàm Legendre A : X −→ 2X tốn tử BISM cho A−1 (0) = ∅, A−1 (0) = F (Af ) (xem [21], Mệnh đề 7) Do đó, hàm Legendre f khả vi Fréchet lồi hoàn toàn tập bị chặn X, tốn tử phản giải Af đơn trị toán tử BSNE thỏa mãn F (Af ) = Fˆ (Af ) (xem [22], Bổ đề 1.3.2) Bây giờ, cho Ci , i = 1, 2, , N N tập lồi, đóng khác rỗng ∗ X cho Ai : X −→ 2X , i = 1, 2, , N N toán tử BISM cho Ci ⊂ domAi với i ∈ {1, 2, , N } f : X −→ R Từ điều kiện miền (2.18), ta có domAfi = (domA) ∩ (int domf ) = domAi trường hợp int domf = X Từ Mệnh đề i) tài liệu [22], ta nhận A−1 (0) = F (Af ) Do đó, ta có định lý sau: Định lý 2.3.6 Cho Ci , i = 1, 2, , N N tập lồi, đóng khác rỗng ∗ X X cho C = ∩N i=1 Ci = ∅ Cho Ai : X −→ , i = 1, 2, , N N toán −1 tử BISM cho Ci ⊂ domAi S = ∩N i=1 Ai (0) = ∅ Cho f : X −→ R hàm Legendre, bị chặn, khả vi Fréchet lồi hoàn toàn tập bị chặn X Giả sử điều kiện miền (2.18) thỏa mãn với Ai Khi đó, với x0 ∈ X, dãy {xn } xác định (2.2) (2.14) với Ti = Afi với i = 1, 2, , N , hội tụ mạnh projfS (x0 ), n → +∞ 2.3.5 Bất đẳng thức biến phân Xét tốn bất đẳng thức biến phân: Tìm phần tử x† ∈ C cho Ax† , y − x† ≥ ∀y ∈ C, (2.19) A : X −→ X ∗ tốn tử BISM C tập lồi, đóng khác rỗng domA Ta ký hiệu V I(C, A) tập nghiệm Bài toán (2.19) Ta biết (xem [21], Mệnh đề 8), Reich cộng chứng minh f : X −→ (−∞, +∞] hàm Legendre lồi hoàn toàn, thỏa mãn điều 33 kiện miền (2.18) A : X −→ X ∗ toán tử BISM, C tập lồi, đóng khác rỗng domA ∩ int domf , V I(A, C) = F (projfC o Af ) Ta biết phép chiếu Begman projfC tốn tử BSNE thỏa mãn tính chất F (projfC ) = Fˆ (projfC ) Do đó, từ Bổ đề tài liệu [18], projfC o Af toán tử BSNE với F (projf o Af ) = Fˆ (projf o Af ) Vì vậy, ta có định lý sau: C C Định lý 2.3.7 Cho Ci , i = 1, 2, , N N tập lồi, đóng khác rỗng ∗ X cho C = ∩N i=1 Ci = ∅ Cho Ai : X −→ X , i = 1, 2, , N N toán tử BISM cho Ci ⊂ dom Ai S = ∩N i=1 V I(Ci , Ai ) = ∅ Cho f : X −→ R hàm Legendre, bị chặn, khả vi Fréchet lồi hoàn toàn tập bị chặn X Giả sử điều kiện miền (2.18) thỏa mãn với Ai Khi đó, với x0 ∈ X, dãy {xn } xác định (2.2) (2.14) với Ti = Afi với i = 1, 2, , N , hội tụ mạnh projfS (x0 ), n → +∞ Kết luận Luận văn trình bày lại cách chi tiết hệ thống vấn đề sau: • Một số tính chất đặc trưng không gian không gian Banach phản xạ, khoảng cách Bregman, phép chiếu Bregman, hàm lồi hoàn tồn; • Tốn tử Bregman khơng giãn mạnh số kết tốn tìm điểm bất động cho lớp ánh xạ này; • Các kết nghiên cứu T.M Tuyen tài liệu [26] phương pháp chiếu lai ghép phương pháp chiếu thu hẹp cho tốn tìm điểm bất động chung họ hữu hạn tốn tử Bregman khơng giãn mạnh không gian Banach phản xạ 34 Tài liệu tham khảo [1] Agarwal R P., O’Regan D., Sahu D R (2009), Fixed Point Theory for Lipschitzian-type Mappings with Applications, Springer [2] Ambrosetti A., Prodi G (1993), A Primer of Nonlinear Analysis, Cambridge University Press, Cambridge [3] Anh P K., Chung C V (2014), “Parallel hybrid methods for a finite family of relatively nonexpansive mappings”, Numer Funct Anal Optim., 35, pp 649–664 [4] Anh P.K., Hieu D.V (2016), “Parallel hybrid methods for variational inequalities, equilibrium problems and common fixed point problems”, Vietnam J Math., 44(2), pp 351–374 [5] Alber Y.I (1996), “Metric and generalized projection operators in Banach spaces: properties and applications, In: Kartsatos, A.G (ed.) Theory and Applications of Nonlinear Operator of Accretive and Monotone Type”, Marcel Dekker, New York, pp 15–50 [6] Bauschke H.H., Borwein J.M., Combettes P.L (2001), “Essential smoothness, essential strict convexity, and Legendre functions in Banach spaces”, Commun Contemp Math., 3, pp 615–647 [7] Bauschke H.H., Borwein J.M., Combettes P.L (2003), “Bregman monotone optimization algorithms”, SIAM J Control Optim., 42, pp 596–636 35 36 [8] Blum E., Oettli W (1994), “From optimization and variational inequalities to equilibrium problems”, Math Student, 63, pp 123–145 [9] Bonnans J.F., Shapiro A (2000), Perturbation Analysis of Optimization Problem, Springer, New York [10] Browder F.E (1996), “Existence and approximation of solutions of nonlinear variational inequalities”, Proc Natl Acad Sci USA., 56, pp 1080–1086 [11] Butnariu D., Iusem A.N (2000), Totally convex functions for fixed points computation and infinite dimensional optimization, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht [12] Butnariu D., Resmerita E (2006), “Bregman distances, totally convex functions and a method for solving operator equations in Banach spaces”, Abstr Appl Anal., 2006, pp 1–39 [13] Butnariu D., Kassay G (2008), “A proximal-projection method for finding zeroes of set-valued operators”, SIAM J Control Optim., 47, pp 2096–2136 [14] Ceng L.C., Yao J.C (2008), “A hybrid iterative scheme for mixed equilibrium problems and fixed point problems”, J Comput Appl Math., 214, pp 186– 201 [15] Censor Y., Reich S (1996), “Iterations of paracontractions and firmly nonexpansive operators with applications to feasibility and optimization”, Optimization, 37, pp 323–339 [16] Combettes P.L., Hirstoaga S.A (2005), “Equilibrium programming in Hilbert spaces”, J Nonlinear Convex Anal., 6, pp 117–136 [17] Goebel K., Kirk W.A (1990), Topics in Metric Fixed Point Theory, Cambridge Stud Adv Math., 28, Cambridge Univ Press, Cambridge, UK 37 [18] Reich S (1996), “A weak convergence theorem for the alternating method with Bregman distances, in: Theory and Applications of Nonlinear Operators of Accretive and Monotone Type”, Marcel Dekker, New York, pp 313– 318 [19] Reich S., Sabach S (2009), “A strong convergence theorem for a proximal type algorithm in reflexive Banach spaces”, J Nonlinear Convex Anal., 10, pp 471–485 [20] Reich S., Sabach S (2010), “Two strong convergence theorems for a proximal method in reflexive Banach spaces”, Numer Funct Anal Optim., 31, pp 22–44 [21] Reich S., Sabach S (2010), “Two strong convergence theorems for Bregman strongly nonexpansive operators in reflexive Banach spaces”, Nonlinear Analysis, 73, pp 122–135 [22] Reich S., Sabach S (2011), “Existence and approximation of fixed points of Bregman firmly nonexpansive mappings in reflexive Banach spaces, in: Fixed-Point Algorithms for Inverse Problems in Science and Engineering”, Springer, New York, 49 , pp 301–316 [23] Resmerita E (2004), “On total convexity, Bregman projections and stability in Banach spaces”, J Convex Anal., 11, pp 1–16 [24] Suantai S., Cho Y.J., Cholamjiak P (2012), “Halperns iteration for Bregman strongly nonexpansive mappings in reflexive Banach spaces”, Comput Math Appl., 64, pp 489–499 [25] Takahashi W., Toyoda M (2003), “Weak convergence theorems for nonexpansive mappings and monotone mappings”, J Optim Theory Appl., 118, pp 417–428 38 [26] Tuyen T.M (2017), “Parallel iterative methods for Bregman strongly nonexpansive operators in reflexive Banach spaces”, J Fixed Point Theory Appl., 19(3), pp 1695–1710 [27] Zegeye H (2014), “Convergence theorems for Bregman strongly nonexpansive mappings in reflexive Banach spaces”, Filomat, 7, pp 1525–1536 ... Chương Hai phương pháp chiếu tìm điểm bất động chung hữu hạn tốn tử Bregman không giãn mạnh Trong chương này, đề cập đến hai phương pháp lặp song song dựa phương pháp chiếu lai ghép phương pháp chiếu... (T ) = Fˆ (T ) 1.3 Bài tốn tìm điểm bất động ánh xạ Bregman không giãn mạnh Mục trình bày số phương pháp lặp tìm điểm bất động (chung) tốn tử Bregman khơng giãn mạnh không gian Banach phản xạ... chiếu Bregman 15 1.2.5 Ánh xạ Bregman không giãn mạnh 17 1.3 Bài tốn tìm điểm bất động ánh xạ Bregman không giãn mạnh 18 Hai phương pháp chiếu tìm điểm bất động chung