THPT Tân Bình – Bình Dương Giáo án Giải tích 12 Cơ – Chương Chương : ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ §1 SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ Tuần: 01 Ký duyệt Tiết PPCT: 1, Ngày soạn: 10/08/2009 Ngày dạy: 17/08/2009 A MỤC TIÊU: 1) Về kiến thức : Nắm mối liên hệ dấu đạo hàm tính đơn điệu hàm số Nắm qui tắc xét tính đơn điệu hàm số 2) Về kĩ : Biết xét tính đơn điệu số hàm số đơn giản Biết kết hợp nhiều kiến thức liên quan để giải toán Giúp học sinh vận dụng cách thành thạo định lí điều kiện đủ tính đơn điệu để xét chiều biến thiên hàm số 3) Về tư duy, thái độ : Rèn luyện tư logic, tính cẩn thận, xác tính lập luận B CHUẨN BỊ CỦA GV VÀ HS: (đánh dấu chéo vào phần có yêu cầu) 1) Chuẩn bị hs : Thước kẻ, compas Hs đọc trước nhà Bài cũ Làm tập sgk Giấy phim trong, viết lông 2) Chuẩn bị gv : Thước kẻ, compas Các hình vẽ Các bảng phụ Bài để phát cho Hs Computer, projector Câu hỏi trắc nghiệm C PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC: (đánh dấu chéo vào phần có yêu cầu) Gợi mở, vấn đáp Phân tích, tổng hợp Phát giải vấn đề Trực quan sinh động Hoạt động nhóm D TIẾN TRÌNH LÊN LỚP: 1) Ơn kiểm tra kiến thức cũ :  Yêu cầu HS nhắc lại số kiến thức cũ lớp 10 hàm số đồng biến, nghịch biến: ⋅ Cho hàm số ƒ xác định K (K: khoảng, đoạn, nửa khoảng)  ƒ đồng biến K nếu: ∀ x1 , x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ ƒ( x1 ) < ƒ( x2 )  ƒ nghịch biến K nếu: ∀ x1 , x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ ƒ( x1 ) > ƒ( x2 )  Từ định nghĩa ĐS 10 khảo sát biến thiên hàm số đơn giản: f ( x2 ) − f ( x1 ) >0  ƒ đồng biến K ⇔ x2 − x1 f ( x2 ) − f ( x1 ) ∀x∈ (a; b) hàm số đồng Hình 2: hàm số nghịch biến biến đoạn [a; b] khoảng (–∞; 0) ⋅ Nếu hàm số ƒ liên tục đồng biến (0; +∞) nửa khoảng (–∞; a] Ghi Định lý thuận, Định có đạo hàm f / ( x) < lý đảo phần ý ∀x∈ (–∞; a) hàm Về bổ sung thêm phần số nghịch biến nửa ứng dụng khoảng (–∞; a]  Vd Chứng minh hàm số Dặn Hs bổ sung thêm ý f ( x) = − x nghịch biến khoảng (0; 1) Gv trình bày Vd1 Giải : Trên khoảng (0; 1) cho Hs làm Vd hàm số xác định f / ( x) = −x < ∀x∈ (0; 1) − x2 hàm số nghịch biến khoảng (0; 1)  Vd Xét chiều biến thiên Trình bày bước xét chiều biến thiên hàm hàm số số y = x − 2x + 4x + Trình bày Vd3 chi tiết 3 Giải : Gọi Hs trình bày Vd ⋅ Txđ: D = R ⋅ Sau Hs làm Vd / ⋅ y = x – 4x + Vậy: = ( x − ) ≥ ∀x∈ R ⋅ f ( x ) đồng biến R / y =0⇔x=2 ⇔ f ( x) xác định R ⋅ Bảng biến thiên: f / ( x) ≥ ∀x∈ R ⋅ f ( x ) đồng biến khoảng (a; b) ⇔ f ( x) xác định khoảng (a; b) f / ( x) ≥ ∀x ∈ (a; b) ⋅ Hàm số đồng biến trên khoảng (– Gv: Lê Hành Pháp ⋅ Nếu hàm số ƒ nghịch biến khoảng I f / ( x) ≤ ∀x∈ I Định lý đảo: Giả sử hàm số ƒ có đạo hàm khoảng I / ⋅ Nếu f ( x) ≥ ∀x∈ I hàm số đồng biến khoảng I / ⋅ Nếu f ( x) ≤ ∀x∈ I hàm số nghịch biến khoảng I ( f / ( x) = số hữu hạn điểm) Chú ý: Khoảng I thay đoạn, nửa khoảng, bổ sung thêm giả thiết “ hàm số liên tục đoạn, nửa khoảng đó”  Vd1 Chứng minh hàm số f ( x) = − x đồng biến đoạn [–1; 0] Giải : Hàm số xác định ∀x∈ [–1; 1] nên đoạn [–1; 0] hàm số cho liên tục Ta có −x f / ( x) = > ∀x∈ (–1; 0) − x2 hàm số đồng biến đoạn [–1; 0] 2) Quy tắc xét chiều biến thiên hàm số : Gồm bước: ⋅ Tìm txđ ⋅ Tính đạo hàm ⋅ Bảng biến thiên ⋅ Kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến  Vd3 Xét chiều biến thiên x − 3x + hàm số y = x −3  Hướng dẫn: ⋅ Txđ: D = R\ {3} /   ⋅ Đạo hàm: y =  x + ÷ x −3  x2 − 6x + = = 1− , 2 ( x − 3) ( x − 3) / Trang2 THPT Tân Bình – Bình Dương Giáo án Giải tích 12 Cơ – Chương Phương pháp chung khoảng (–∞; +∞) hay y / = ⇔ x = x = chứng minh bất đẳng đồng biến R ⋅ Bảng biến thiên:  Vd5 Chứng minh x thức tính đơn điệu: ⋅ Hàm số f ( x ) liên tục π đoạn [a; b] > sinx ∀x∈ (0; ) ⋅ f ( x ) có đạo hàm f ( x) = x – sinx xác Giải : f / ( x) > ∀x ∈ (a; b) định ∀x∈ R nên liên tục ⇔ f ( x) đồng biến ⋅ Hàm số đồng biến π nửa khoảng [0; ) đoạn [a; b] ⇒ f ( x) > khoảng (–∞; 1) (5; +∞) f ( x) < ƒ(b) ƒ(a) ⋅ Hàm số nghịch biến f / ( x) = – cosx < ∀x∈ ⋅ f ( x ) có đạo hàm khoảng (1; 3) (3; 5) π / (0; ) hàm số đồng f ( x) < ∀x ∈ (a; b)  Vd5 Chứng minh x > sinx ∀x∈ ⇔ f ( x) nghịch biến π π (0; ) biến [0; ) đoạn [a; b] ⇒ 2 f ( x) < ƒ(a) f ( x) π ⇒ f ( x) >ƒ(0) ∀x∈ (0; ) > ƒ(b) ⇔ x – sinx > ⇔ x > sinx Hướng dẫn Hs làm Vd5 π ∀x∈ (0; ) E CỦNG CỐ : Nhắc lại kiến thức cho HS làm tập sgk F BÀI TẬP SGK : 1) Xét đồng biến, nghịch biến hàm số : a) y = + 3x – x c) y = x – x + 3 d) y = – x + x – b) y = x + x – 7x –  Hướng dẫn: 3 a) Hàm số đồng biến khoảng (–∞; ), nghịch biến khoảng ( ; +∞) 2 b) Hàm số đồng biến khoảng (–∞;–7) (1; +∞), nghịch biến khoảng (–7; 1) c) Hàm số đồng biến khoảng (–1; 0) (1; +∞), nghịch biến khoảng (–∞; –1) (0; 1) 2 d) Hàm số đồng biến khoảng (0; ), nghịch biến khoảng (–∞; 0) ( ; +∞) 3 2) Tìm khoảng đơn điệu hàm số : 3x + c) y = x − x − 20 a) y = 1− x 2x d) y = x − 2x x −9 b) y = 1− x  Hướng dẫn: / a) Hàm số xác định ∀x∈ R \ {1}, f ( x) = ( 1− x) , hàm số đồng biến khoảng (–∞; 1) (1; +∞) Gv: Lê Hành Pháp Trang3 Giáo án Giải tích 12 Cơ – Chương THPT Tân Bình – Bình Dương / b) Hàm số xác định ∀x∈ R \ {1}, f ( x) = − x2 + 2x − ( 1− x) − ( x − 1) − = ( − x) , hàm số nghịch biến khoảng (–∞; 1) (1; +∞) c) Hàm số xác định ∀x∈ (–∞; –4] ∪ [5; +∞), 2x − f / ( x) = , hàm số nghịch x − x − 20 biến nửa khoảng (–∞; –4] đồng biến nửa khoảng [5; +∞) −2 ( x + ) / d) D = R \ {–3; 3}, f ( x) = < x2 − 9) ( ∀x∈ D ⇒ hàm số nghịch biến khoảng (–∞; –3) (–3; 3) (3; +∞) x 3) Chứng minh hàm số y = đồng biến khoảng (–1; 1), nghịch biến x +1 khoảng (–∞; –1) (1; +∞)  Hướng dẫn: Hàm số xác định ∀x∈ R, 1( x + 1) − x(2 x) − x2 f / ( x) = f / ( x) = = 2 ; ( x + 1) (1+ x ) ⇔ x = –1 x = Theo bảng biến thiên ta có hàm số đồng biến khoảng (–1; 1), nghịch biến khoảng (–∞; –1) (1; +∞) 4) Chứng minh hàm số y = 2x − x đồng biến (0; 1), nghịch biến (1; 2)  Hướng dẫn: Hàm số xác định ∀x∈ [0; 2], 1− x f / ( x) = , f / ( x) = ⇔ x = Theo 2x − x bảng biến thiên ta có đồng biến khoảng (0; 1), nghịch biến khoảng (1; 2) 5) Chứng minh bất đẳng thức sau: π π x3 a) tanx > x ∀x∈ (0; ) b) tanx > x + ∀x∈ (0; ) 2  Hướng dẫn: π π a) f ( x ) = tanx – x xác định ∀x∈ R \ { + k π , k ∈ Z} nên liên tục nửa khoảng [0; ) 2 π f / ( x) = – = tan x > ∀x∈ (0; ) hàm số đồng biến nửa khoảng cos x π π π π [0; ) ⇒ f ( x) > ƒ(0) ∀x∈ (0; ) ⇔ tanx – x > ∀x∈ (0; ) ⇔ tanx > x ∀x∈ (0; ) 2 2 π x b) f ( x ) = tanx – x – xác định ∀x∈ R \ { + k π , k ∈ Z} nên liên tục nửa khoảng π π [0; ) f / ( x) = tan x – x = (tanx – x)(tanx + x) > ∀x∈ (0; ) 2 Gv: Lê Hành Pháp Trang4 THPT Tân Bình – Bình Dương Giáo án Giải tích 12 Cơ – Chương π π ) ⇒ f ( x) > ƒ(0) ∀x∈ (0; ) 2 3 π π x x ⇔ tanx – x – > ∀x∈ (0; ) ⇔ tanx > x + ∀x∈ (0; ) 2 3 G BÀI TẬP LÀM THÊM : 1) Xét chiều biến thiên hàm số sau: a) y = x + x + d) y = x – b) y = x – x + x + x e) y = x – x – c) y = x + x f) y = − x  Hướng dẫn: / / a) Hàm số xác định ∀x∈ R y = x + 6x, y = ⇔ x = x = –1 Hàm số đồng biến khoảng (–∞; –1) (0; +∞) Hàm số nghịch biến khoảng (–1; 0) b) Hàm số đồng biến khoảng (–∞; ) (1; +∞), nghịch biến khoảng ( ; 1) 3 x2 − / / c) Hàm số xác định ∀x∈ R \ {0}, y = − = , y = ⇔ x = – x = x x Hàm số đồng biến khoảng (–∞; – ) ( ; +∞) Hàm số nghịch biến khoảng (– ; 0) (0; ) x2 + / d) Hàm số xác định ∀x∈ R \ {0} y = > ∀x∈ x2 R \ {0} Hàm số đồng biến khoảng (–∞; 0) (0; +∞) e) Hàm số đồng biến khoảng (–1; 0) (1; +∞) Hàm số nghịch biến khoảng (–∞; –1) (0; 1) −x / f) Hàm số xác định đoạn [–2; 2]; y = , y /= 4− x ⇔ x = Hàm số đồng biến khoảng (–2; 0) nghịch biến khoảng (0; 2) 2) Chứng minh rằng: x−2 a) Hàm số y = đồng biến khoảng xác định x+2 − x2 − 2x + b) Hàm số y = nghịch biến khoảng xác định x +1  Hướng dẫn: /   / a) Hàm số xác định ∀x∈ R \ {2}; y =  − > ∀x ≠ hàm số ÷ =1+ ( x − 2)  x−2 đồng biến khoảng (–∞; –2) (–2; +∞) hàm số đồng biến nửa khoảng [0; Gv: Lê Hành Pháp Trang5 Giáo án Giải tích 12 Cơ – Chương THPT Tân Bình – Bình Dương /   b) Hàm số xác định ∀x ∈ R \ {–1}; y =  − x − + ÷ = −1 − < ∀x ≠ –1 x +1  ( x + 1) / hàm số nghịch biến khoảng (–∞; –1) (–1; +∞) 3) Chứng minh hàm số sau đồng biến R: a) f ( x ) = x – x + 17x + b) f ( x ) = x + x – cosx –  Hướng dẫn: / a) Hàm số xác định ∀x∈ R, f ( x) = x – 12x + 17 > ∀x∈ R ⇒ hàm số đồng biến R / b) Hàm số xác định ∀x∈ R, f ( x) = x + + sinx > ∀x∈ R ⇒ hàm số đồng biến R π 4) Chứng minh sinx + tanx > 2x ∀x∈ (0; )  Hướng dẫn: f ( x ) = sinx + tanx – 2x xác định ∀x∈ R nên liên tục nửa khoảng [0; 1 π π π ) f / ( x) = cosx + – > cos x + – > ∀x∈ (0; ) (vì ∀x∈ (0; ) cosx 2 cos x cos x 2 π < ⇒ cosx > cos x cos x + > 2) hàm số đồng biến nửa khoảng [0; ) cos x π π ⇒ f ( x) > ƒ(0) ∀x∈ (0; ) ⇔ sinx + tanx – 2x > ⇔ sinx + tanx > 2x ∀x∈ (0; ) 2 5) Tìm m để hàm số a) y = x – x + (m – 2)x + đồng biến R; b) y = x + x + (m + 1)x + 4m nghịch biến khoảng (–1; 1); c) y = – x + (m – 1) x + (m + 3)x + đồng biến khoảng (0; 3)  Hướng dẫn: / a) Hàm số xác định ∀x ∈ R, để hàm số đồng biến R ⇔ f ( x) = x – 6x + m – ≥ ∀x ⇔ ∆’ = 15 – 3m ≤ ⇔ m ≥ b) Hàm số xác định ∀x ∈ R, để hàm số đồng biến khoảng (–1; 1)  f '(−1) ≤ / ⇔ f ( x) = x + 6x + m + 1≤ ∀x∈ (–1; 1) ⇔ x1 ≤ –1 < ≤ x2 ⇔  ⇔  f '(1) ≤ 3 − + m + ≤ m ≤ ⇔ ⇔ m ≤ –10  3 + + m + ≤ m ≤ −10 c) Hàm số xác định ∀x ∈ R, để hàm số nghịch biến khoảng (0;3) −1 f '(0) ≤ / ⇔ f ( x) = – x + 2(m – 1)x + m + ≥ ∀x∈ (0; 3) ⇔ x1 ≤ < ≤ x2 ⇔  ⇔ −1 f '(3) ≤ m ≥ −3 m + ≥ 12  ⇔  12 ⇔ m ≥ 7 m − 12 ≥ m ≥  Gv: Lê Hành Pháp Trang6 THPT Tân Bình – Bình Dương Giáo án Giải tích 12 Cơ – Chương §2 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Tuần: 02 Tiết PPCT: 3, 4, Ngày soạn: 10/08/2009 Ngày dạy: 24/08/2009 Ký duyệt A MỤC TIÊU: 1) Về kiến thức : Hiểu khái niệm cực đại, cực tiểu, biết phân biệt với khái niệm lớn nhỏ Điều kiện cần đủ để hàm số đạt cực đại cực tiểu Sử dụng thành thạo điều kiện đủ để hàm số có cực trị 2) Về kĩ : Biết cách tìm điểm cực trị hàm số thông qua hai quy tắc 3) Về tư duy, thái độ : Rèn luyện tư duy, tính cẩn thận, xác tính tốn, lập luận B CHUẨN BỊ CỦA GV VÀ HS: (đánh dấu chéo vào phần có yêu cầu) 1) Chuẩn bị hs : Thước kẻ, compas Hs đọc trước nhà Bài cũ Giấy phim trong, viết lông 2) Chuẩn bị gv : Thước kẻ, compas Các hình vẽ Các bảng phụ Bài để phát cho hs Computer, projector Câu hỏi trắc nghiệm C PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC: (đánh dấu chéo vào phần có yêu cầu) Gợi mở, vấn đáp Phân tích, tổng hợp Phát giải vấn đề Hoạt động nhóm D TIẾN TRÌNH LÊN LỚP: 1) Ơn kiểm tra kiến thức cũ :  Điều kiện cần đủ để hàm số đơn điệu khoảng I π  Chứng minh tanx > x ∀x∈ (0; ) 2) Bài : Hoạt động HS Hoạt động GV Ghi bảng trình chiếu 1) Khái niệm cực đại, cực tiểu: Gv vẽ đồ thị hàm số y Giả sử hàm số ƒ xác định liên tục = x – 3x + cho Hs khoảng (a; b) x0 ∈ (a; b) nhận xét điểm cực đại,  x0 gọi điểm cực đại cực tiểu đồ thị hàm hàm số ƒ tồn khoảng số khoảng (–2; 2) (a; b) chứa x0 ƒ( x0 ) > f ( x) ∀x∈ Gv trình bày khái niệm (a; b) \ { x0 } Khi ƒ( x0 ) giá trị cực đại, cực tiểu, cực trị cực đại ƒ Gv ý: x Điểm cực đại cực  gọi điểm cực tiểu tiểu x0 gọi chung hàm số ƒ tồn khoảng (a; b) chứa x0 ƒ( x0 ) < f ( x) ∀x∈ Hs nhìn đồ thị trả lời điểm cực trị hàm số (a; b) \ { x0 } Khi ƒ( x0 ) giá trị cực tiểu ƒ Hệ số góc tiếp Dùng đồ thị để giải 2) Điều kiện cần để hàm số đạt cực Gv: Lê Hành Pháp Trang7 THPT Tân Bình – Bình Dương tuyến khơng  Vì hệ số góc tiếp tuyến giá trị đạo hàm hàm số nên giá trị đạo hàm hàm số khơng Chứng minh hàm số y = |x| khơng có đạo hàm x = Giải: ∆y = ƒ( x0 +∆x) – ∆y ƒ( x0 ) = |∆x| ⇒ = ∆x ∆x  ( ∆x > 0) = ∆x −1 (∆x < 0) ∆y = −1 Do lim− ∆x → ∆x ∆y lim+ =1 ∆x → ∆x ∆y lim ⇒ ∆x→ không tồn ∆x ⇒ hàm số y = |x| khơng có đạo hàm x = ⋅ Khi x < ⇒ y = –x ⇒ y / = –1 < ⋅ Khi x > ⇒ y = x ⇒ y/ = > ⋅ Qua điểm x = 0, đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương nên hàm số có cực tiểu điểm x = Học sinh thảo luận nhóm, rút bước tìm cực đại cực tiểu Giáo án Giải tích 12 Cơ – Chương thích trị: Tiếp tuyến điểm Định lý 1: Nếu hàm số ƒ có đạo cực trị song song với trục hàm điểm x0 đạt cực trị hồnh điểm f / ( x0 ) = 3) Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị : Định lý 2: Giả sử hàm số y = f ( x) liên tục khoảng (a; b) chứa điểm x0 có đạo hàm khoảng (a; x0 ) ( x0 ; b) Khi đó: / ⋅ Nếu qua x0 đạo hàm f ( x) đổi dấu từ âm sang dương tức f / ( x) < ∀x∈ (a; x0 ) f / ( x) > Trình bày định lý ∀x∈ ( x0 ; b) hàm số đạt cực GV cho Hs ghi bảng tiểu điểm x0 xét dấu đạo hàm (cấp 1) / ⋅ Nếu qua x0 đạo hàm f ( x) đổi dấu từ dương sang âm tức f / ( x) > ∀x∈ (a; x0 ) f / ( x) < Làm Vd1 ∀x∈ ( x0 ; b) hàm số đạt cực đại điểm x0 2x − Hs làm hoạt động sgk  Vd1 Tìm cực trị hs y = Chứng minh hàm số y = | x+3 x| khơng có đạo hàm Giải: Txđ : D = R \ {–3} /   / y = 2− > ∀x ≠ ÷= x +  ( x + 3)  –3 ⇒ hàm số đồng biến D nên khơng có cực trị Giáo viên đặt vấn đề: 4) Quy tắc tìm cực trị : Để tìm điểm cực trị ta tìm a) Quy tắc 1: số điểm mà ⋅ Tìm f / ( x) có đạo hàm ⋅ Tìm điểm x (i = 1,2,…) i Học sinh ghi quy tắc 1; không, vấn đề đạo hàm ƒ’( xi ) = hàm số điểm điểm cực trị? liên tục khơng có đạo hàm Gv yêu cầu học sinh / / nhắc lại định lý sau ⋅ Xét dấu f ( x) Nếu f ( x) đổi dấu Học sinh đọc tập đó, thảo luận nhóm suy x qua xi hàm số đạt cực trị nghiên cứu bước tìm cực đại, cực điểm xi Học sinh lên bảng trình tiểu hàm số bày giải: Gv tổng kết lại thông báo quy tắc ⋅ TXĐ: D = R \ {0} b) Quy tắc 2: Gv cố quy tắc Định lý 3: Giả sử hàm số ƒ có đạo ⋅ Ta có: Gv: Lê Hành Pháp Trang8 THPT Tân Bình – Bình Dương Giáo án Giải tích 12 Cơ – Chương thông qua tập: hàm cấp (a; b), f / ( x0 ) = ∀ Tìm cực trị hàm số: x // ∈ (a; b) f ( x0 ) ≠ // f ( x) = x + − ⋅ Nếu f ( x0 ) < hàm số đạt cực x đại điểm x0 Gv gọi học sinh lên bảng trình bày theo ⋅ Nếu f // ( x0 ) > hàm số đạt cực dõi bước giải tiểu điểm x0 học sinh Quy tắc 2: Trình bày Định lý / ⋅ Tìm f ( x) Cho Hs trả lời quy tắc2 ⋅ Tìm nghiệm xi (i = 1,2, …) Vậy hàm số đạt cực đại Gv nhận xét quy tắc phương trình f / ( x) = x = –2, giá trị cực tìm cực trị hàm số –7; hàm số đạt cực tiểu Ưu điểm: Khi khơng ⋅ Tính f // ( x) f // ( xi ) x = 2, giá trị cực tiểu cần lập đến biến thiên ⋅ Nếu f // ( x ) < hàm số đạt cực i làm cách nhanh đại điểm xi Hs nhẩm thuộc Định lý Thường vận dụng cho hàm có chứa hàm số ⋅ Nếu f // ( xi ) > hàm số đạt cực Hs thảo luận đưa lượng giác tiểu điểm xi Nhược điểm: Không áp quy tắc dụng qui tắc cho  Vd Tìm cực trị hàm số hàm số ƒ không liên tục y = 2sin2x – Hs làm Vd3 : Cho hàm x0 hàm số có Giải: f / ( x) = 4cos2x; f / ( x) = ⇔ số y = – x + m x – Tìm f // ( x ) π π = cos2x = ⇔ x = + k (k∈Z) m để hàm số đạt cực đại Cho Hs làm lại BT: điểm x = 2, yC§ = // Tìm cực trị hàm số: f ( x) = –8sin2x, Giải :  π kπ  −8 (k = 2n) f ( x) = x + − f / ( x) = –3 x + 2mx; f //  + ÷=  x //    ( k = 2n + 1) f ( x) = –6x + 2m Giải:TXĐ: D = R \ {0} ⋅ Hàm số đạt cực đại điểm ⋅ Hàm số đạt cực đại x2 − / π ⋅ f ( x) = − = điểm x = 2, yC§ = x = + n π , yC§ = –1 x x2 khi: f / ( x) = ⇔ x = 2, x = -2 ⋅ Hàm số đạt cực tiểu điểm  f / (2) = 4.2 x // π π  // = ⋅ f ( x) = x = + (2n + 1) , yCT = – x x  f (2) < ⇔ //  f (2) =  f (2) = 1> hàm số  đạt cực tiểu x = 2, giá m = trị cực tiểu ⇔m=3  m ⇒ Hsố đạt cực tiểu điểm x = – + 6 kπ π  x = − x + k 2π  π / / c) y = cosx – sinx, y = ⇔ sinx = cosx ⇔ sinx = sin( – x) ⇔   x = π − π + x + k 2π   π π // ⇔ x = + kπ (k∈ Z), y = –(sinx + cosx) = – sin(x + ) 4 π // π  k chẵn: y ( + kπ) = – < ⇒ Hàm số đạt cực đại điểm x = + 2lπ 4 π // π  k lẻ: y ( + kπ) = > ⇒ Hàm số đạt cực tiểu điểm x = + (2l + 1)π 4 d) Hàm số đạt cực tiểu điểm x = 1, y CT = –1 Hàm số đạt cực đại điểm x = –1, y C§ = Gv: Lê Hành Pháp Trang10 Giáo án Giải tích 12 Cơ – Chương THPT Tân Bình – Bình Dương  x0 = −1 1 − x0 =  x0 =   ⇔ ⇔  y0 =  x0 − 3x0 − y0 + =  y0 =    4  Vậy ∀m đồ thị hàm số cho qua hai điểm cố định  −1; ÷và (1; 0) 3  7) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = – x + x – b) Tuỳ theo giá trị m, biện luận số nghiệm phương trình – x + x – = m  Hướng dẫn: a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = – x + x –  Tập xác định: D = R  Sự biến thiên:  Chiều biến thiên: y ' = –3 x + 6x, y ' = ⇔ x = x = ⋅ y ' > ⇔ x∈ (0; 2): Hàm số đồng biến khoảng (0 ; 2) ⋅ y ' < ⇔ x∈(–∞; 0) ∪ (2; +∞): Hàm số nghịch biến khoảng (–∞; 0), (2; +∞)  Cực trị: ⋅ Hàm số đạt cực đại điểm x = 2, y C§ = ⋅ Hàm số đạt cực tiểu điểm x = 0, y CT = –1  Giới hạn: lim y = +∞, lim y = –∞ x →−∞ x →+∞  Bảng biến thiên:  Đồ thị:  Điểm uốn: y '' = –6x + 6, y '' = ⇔ x = 1, y(1) = Toạ độ điểm uốn I(1; 1) đồng thời tâm đối xứng đồ thị  Giao điểm đồ thị với trục Oy điểm (0; –1) Điểm đối xứng qua I (–1; 3) (3; –1) b) Số nghiệm phương trình số giao điểm đồ thị hàm số y = – x + x – với đường thẳng y = m Vậy:  Nếu m < –1 m > phương trình có nghiệm  Nếu m = –1 m = phương trình có nghiệm  Nếu –1 < m < phương trình có nghiệm x +1 8) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = x−2 b) Viết Pt tiếp tuyến đồ thị hàm số cho giao điểm A đồ thị với trục tung c) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số cho, biết tiếp tuyến song song với tiếp tuyến điểm A  Hướng dẫn: −3 a) y ' = , Đồ thị : ( x − 2) b) Pt tiếp tuyến có dạng y = y ' ( x0 )(x – x0 ) + y0 1  A  0; − ÷⇒ x0 = 0, y0 = – 2  Phương trình tiếp tuyến: y = – x – Gv: Lê Hành Pháp Trang40 THPT Tân Bình – Bình Dương Giáo án Giải tích 12 Cơ – Chương −3 −3  x0 = = ⇒ ⇔ ( x0 − 2) 4  x0 = Với x0 = ⇒ y0 = – (loại) 11 Với x0 = ⇒ y0 = Phương trình tiếp tuyến y = – x + x+2 9) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = 2x + b) Chứng minh đường thẳng y = mx + m – qua điểm cố định đường cong (H) m biến thiên c) Tìm giá trị m cho đường thẳng cho cắt đường cong (H) hai điểm thuộc nhánh (H)  Hướng dẫn: b) Đường thẳng y = mx + m – qua điểm cố định ( x0 ; y0 ) với giá trị m  x0 = −1 ⇔ y0 = mx0 + m − có nghiệm ∀m ⇔ ( x0 + 1) m − y0 − = , ∀ m ⇔  y0 = −1  x+2 Ngồi điểm thoả phương trình y = đường cong (H) Vậy đường thẳng y 2x + = mx + m – qua điểm cố định A(–1; –1) đường cong (H) m biến thiên x+2 c) Phương trình m(x +1) – = ⇔ 2x + m( x + 1)(2 x + 1) − 3( x + 1) ( x + 1)(2mx + m − 3) =0⇔ =0 2x + 2x + Vì đường thẳng y = mx + m – qua điểm cố định A(–1; –1) đường cong (H) ∀m mà A nằm bên trái đường tiệm cận đứng x = – Vậy để đường thẳng cho cắt đường cong (H) hai điểm thuộc nhánh bên trái tiệm cận đứng (H) phương trình (x + 1)(2mx + m – 3) = có hai nghiệm x1 3− m  3 − m  x= ⇔ –4 < m < 0: phương x →−∞ x →+∞ trình có nghiệm ▪ Bảng biến thiên: ∙ –m = –m = ⇔ Đồ thị: m = m = –4: ▪ Giao điểm đồ thị với trục Ox phương trình có (0; 0) (–3; 0) nghiệm ▪ y '' = 6x + 6, y '' = ⇔ x = –1 ⇒ ∙ ⇔ x∈  − ; +∞ ÷ Hàm số đồng biến khoảng  − ; +∞ ÷      Hướng dẫn: y = Gv: Lê Hành Pháp Trang45 Giáo án Giải tích 12 Cơ – Chương THPT Tân Bình – Bình Dương  1  y ' < ⇔ x∈  −∞; − ÷ 2  1  Hàm số nghịch biến khoảng  −∞; − ÷ 2   Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu điểm x = – , y CT = – 2  Giới hạn: xlim y = xlim y = +∞ →−∞ →+∞  Bảng biến thiên: Đồ thị:  Giao điểm đồ thị với trục Ox (0; 0) (–1; 0) −b  Trục đối xứng đường thẳng x = =– 2a m b) y ' = 4x + 2m, y ' = ⇔ x = – m  Để hàm số đồng biến khoảng (–1; +∞) – ≤ –1 ⇔m≥2 m  Để hàm số có cực trị khoảng (–1; +∞) – > –1 ⇔m c) Viết Pt tiếp tuyến đồ thị (C) điểm có hồnh độ x0 , biết f "( x0 ) = –6  Hướng dẫn: a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số f ( x) = – x + x + 9x + Tập xác định: D = R Sự biến thiên:  Chiều biến thiên: f '( x ) = –3 x + 6x + 9, f '( x ) = ⇔ x = –1, x =  f '( x) > ⇔ x∈(–1; 3) Hàm số đồng biến khoảng (–1; 3)  f '( x) < ⇔ x∈(–∞; –1) ∪ (3; +∞) Hs nghịch biến khoảng (–∞; –1), (3; +∞)  Cực trị:  Hàm số đạt cực đại điểm x = 3, y C§ = 29  Hàm số đạt cực tiểu điểm x = –1, y CT = –3  Giới hạn: lim y = +∞, lim y = –∞ x →−∞ x →+∞  Bảng biến thiên: Đồ thị: Gv: Lê Hành Pháp Trang46 Giáo án Giải tích 12 Cơ – Chương THPT Tân Bình – Bình Dương Điểm uốn: y '' = –6x + 6, y '' = ⇔ x = ⇒ I(1; 13) điểm uốn tâm đối xứng b) Ta có f '( x ) = –3 x + 6x + ⇒ f '( x − 1) = −3( x − 1) + 6( x − 1) + = –3 x + 12x f '( x − 1) > ⇔ –3 x + 12x > ⇔ < x < c) f "( x) = –6x + 6, f "( x0 ) = –6 ⇔ –6 x0 + = –6 ⇔ x0 = Với f '(2) = 9, ƒ(2) = 24 Phương trình tiếp tuyến x0 = y = 9(x – 2) + 24 hay y = 9x + 7) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số y = x + x + m b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận số nghiệm phương trình theo m: x + x + = c) Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực đại điểm cực tiểu đồ thị (C)  Hướng dẫn: a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số y = x + x + Tập xác định: D = R Sự biến thiên:  Chiều biến thiên: y ' = x + 6x, y ' = ⇔ x = 0, x = –2  y ' > ⇔ x∈(–∞; –2) ∪ (0; +∞) Hàm số đồng biến khoảng (–∞; –2), (0; +∞)  y ' < ⇔ x∈(–2; 0) Hàm số nghịch biến khoảng (–2; 0)  Cực trị:  Hàm số đạt cực đại điểm x = –2, y C§ =  Hàm số đạt cực tiểu điểm x = 0, y CT =  Giới hạn: lim y = –∞, lim y = +∞  x →−∞ x →+∞  Bảng biến thiên: Đồ thị:  y '' = 6x + 6, y '' = ⇔ x = –1 ⇒ Điểm uốn I(–1; 3) đồng thời tâm đối xứng đồ thị hàm số  Giao điểm đồ thị với trục Oy (0 ; 1) m b) Số nghiệm phương trình x + x + = số giao điểm đường m cong (C) với đường thẳng y = m m  < > ⇔ m < m > 10: phương trình có nghiệm 2 m m  = = ⇔ m = m = 10: phương trình có nghiệm 2 m  1< < ⇔ < m < 10: phương trình có nghiệm c) Điểm cực đại A(–2; 5), điểm cực tiểu B(0 ; 1), đường thẳng AB : y = –2x + 8) Cho hàm số f ( x ) = x – 3m x + 3(2m – 1)x + (m tham số) a) Xác định m để hàm số đồng biến tập xác định b) Với giá trị m, hàm số có cực đại cực tiểu ? c) Xác định m để f "( x) > 6x  Hướng dẫn: Tập xác định: D = R a) y ' = x – 6mx + 3(2m – 1) = 3( x – 2mx + 2m – 1) Để hàm số đồng biến tập xác định y ' ≥ ∀x∈R ⇔ x – 2mx + 2m – ≥ ∀m Gv: Lê Hành Pháp Trang47 THPT Tân Bình – Bình Dương Giáo án Giải tích 12 Cơ – Chương ⇔ ∆ ' = m − 2m + ≤ ⇔ m = b) Để hàm số có cực đại cực tiểu phương trình x – 2mx + 2m – 1= có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ ' = m − 2m + = (m − 1) > ⇔ m ≠ c) f '( x ) = x – 6mx + 3(2m – 1), f "( x) = 6x – 6m f "( x) > 6x ⇔ 6x – 6m > 6x ⇔ m < 9) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số f ( x ) = x – x2 + 2 b) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm có hồnh độ nghiệm phương trình f "( x) = c) Biện luận theo m số nghiệm phương trình x – x + = m  Hướng dẫn: a) f ( x ) = x – x2 + 2 Tập xác định: D = R Sự biến thiên:  Chiều biến thiên: f '( x ) = x – 6x, f '( x ) = ⇔ x = ± , x =  f '( x ) > ⇔ x∈(- ;0) ∪ ( ;+∞) Hs đồng biến khoảng (- ;0), ( ; +∞)  f '( x ) < ⇔ x∈(-∞;- ) ∪ (0; ) Hs đồng biến khoảng ∈(-∞;- ), (0; )  Cực trị: Hàm số đạt cực đại x = 0, y C§ = , đạt cực tiểu điểm x = ± , y CT = –3  Giới hạn: xlim y = xlim y = +∞ →−∞ →+∞  Bảng biến thiên: Đồ thị:  Giao điểm đồ thị với trục Oy (0; )  Hàm số chẵn nên đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng b) f '( x ) = x – 6x, f "( x) = x – 6, f "( x) = ⇔ x = ±  Tại x = –1 ta có f (–1) = –1 f '(−1) = phương trình tiếp tuyến y = 4x +  Tại x = ta có f (1) = –1 f '(1) = –4 phương trình tiếp tuyến y = –4x + c) Số nghiệm phương trình x – x + = m số giao điểm đường cong m y = x – x + với đường thẳng y = 2 m  < –3 ⇔ m < –6: phương trình vơ nghiệm m m  = –3 > ⇔ m = –6 m > 3: phương trình có nghiệm 2 m  = ⇔ m = 3: phương trình có nghiệm 2 Gv: Lê Hành Pháp Trang48 THPT Tân Bình – Bình Dương Giáo án Giải tích 12 Cơ – Chương m < ⇔ –6 < m < 3: phương trình có nghiệm 2 10) Cho hàm số y = – x + 2m x – 2m + (m tham số) có đồ thị ( Cm ) a) Biện luận theo m số cực trị hàm số b) Với giá trị m ( Cm ) cắt trục hoành ? c) Xác định m để ( Cm ) có cực đại, cực tiểu  Hướng dẫn: a) y = – x + 2m x – 2m + 1, y ' = –4 x + 4mx = –4x( x – m)  m ≤ 0: Hàm số có cực đại điểm x =  m > 0: Hàm số có cực đại điểm x = ± m cực tiểu đểm x = b) Phương trình – x + 2m x – 2m + = ln có nghiệm x = ±1 ∀m Do ( Cm ) ln cắt trục hồnh ∀m c) m > ( Cm ) có cực đại cực tiểu x+3 11) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số y = x +1 b) Chứng minh với giá trị m, đường thẳng y = 2x + m cắt (C) hai điểm phân biệt M N c) Xác định m cho độ dài MN nhỏ d) Tiếp tuyến điểm S (C) cắt hai tiệm cận (C) P Q Chứng minh S trung điểm PQ  Hướng dẫn: x+3 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số y = x +1 Tập xác định: D = R\ {–1} Sự biến thiên:  Chiều biến thiên: −2 y'= < ∀x∈D Hàm số nghịch biến ( x + 1) khoảng (–∞;–1) (–1; +∞)  Cực trị: Hàm số khơng có cực trị  Giới hạn tiệm cận:  xlim y = xlim y = Đồ thị có tiệm cận ngang y = →−∞ →+∞  lim− y = –∞, lim+ y = +∞ Đồ thị có tiệm cận đứng x = –1  –3 < x →−1 x →−1  Bảng biến thiên: Đồ thị:  Giao điểm đồ thị với trục Oy (0; 3).Giao điểm đồ thị với trục Ox (–3; 0)  Giao điểm hai đường tiệm cận I(–1; 1) tâm đối xứng đồ thị hàm số b) Hoành độ giao điểm đồ thị (C) đường thẳng x+3 y = 2x + m nghiệm phương trình = 2x + m x +1 Gv: Lê Hành Pháp Trang49 THPT Tân Bình – Bình Dương Giáo án Giải tích 12 Cơ – Chương x + ( m + 1) x + m − ⇔ = 0.(*) x +1 Phương trình f ( x) = x + ( m + 1) x + m − = có ∆ = m − 6m + 25 = (m − 3) + 16 > ∀m f (–1) ≠ nên phương trình (*) ln có nghiệm khác –1 ∀m hay với giá trị m, đường thẳng y = 2x + m cắt (C) hai điểm phân biệt M N m +1 m−3 c) Gọi xN , xM hoành độ điểm N, M Theo Víet: xN + xM = – ; x N xM = 2 MN = ( xN − xM )2 + ( y N − yM ) = ( xN − xM ) + [ (2 xN + m) − (2 xM + m) ] = 5( xN − xM ) = 5 5 ( xN + xM ) − xN xM  =  m − 6m + 25 = (m − 3) + 16  ≥ 16 = 20   4  4  Do MN ≥ Dấu xảy m = MN = −2 x+3 d) Gọi S( x0 ; y0 )∈ (C) Ta có y = , y'= nên tiếp tuyến (∆) S có dạng ( x + 1) x +1 −2 −2 x0 + y – y0 = (x – x0 ) hay y = (x – x0 ) + ( x0 + 1) ( x0 + 1) x0 + Giao điểm (∆) với tiệm cận ngang y = điểm P(2 x0 +1; 1)   Giao điểm (∆) với tiệm cận đứng x = –1 điểm Q  −1; y0 + ÷ x0 +   x + xQ y + yQ Vì P = x0 P = y0 nên S( x0 ; y0 ) trung điểm PQ 2 1 12) Cho hàm số f ( x ) = x – x – 4x + a) Giải phương trình f '(sin x ) = b) Giải phương trình f "(co s x ) = c) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số cho điểm có hồnh độ nghiệm phương trình f "( x) =  Hướng dẫn: 1 ± 17 a) f ( x ) = x – ∉ [–1; 1] nên x – 4x + 6, f '( x) = x – x – 4, f '( x) = ⇔ x = 2 phương trình f '(sin x) = vơ nghiệm b) f "( x) = 2x – 1, f "( x) = ⇔ x = π nên f "(co s x) = ⇔ cosx = ⇔ x = ± + k 2π , k∈Z   47 1 17 17 145 c) Tại x = , ta có f  ÷= f '  ÷= – Phương trình tiếp tuyến y = – x + 4 24   12 2 G BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM:  Hướng dẫn: 1(B); 2(A); 3(B); 4(C); 5(B) H ĐỀ KIỂM TRA: Đề 1: Cho hàm số y = x + (m – 1) x – (m + 2)x – (1) 1) (4 điểm) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) m = (3 điểm) Gv: Lê Hành Pháp Trang50 Giáo án Giải tích 12 Cơ – Chương THPT Tân Bình – Bình Dương b) Viết phương trình đường thẳng (d) vng góc với đường thẳng y = x tiếp xúc với đồ thị (C) (1 điểm) 2) (3 điểm) a) Chứng minh hàm số (1) ln ln có cực đại, cực tiểu (2 điểm) b) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị (C) (1 điểm) 3) (3 điểm) Biện luận theo k số nghiệm phương trình x – 3x = k Đáp án đề 1: 1) (4 điểm) a) m = ⇒ y = x – 3x – Tập xác định: D = R Sự biến thiên:  Chiều biến thiên: y ' = x – 3, y ' = ⇔ x = ±1  y ' > ⇔ x∈(–∞; –1) ∪ (1; +∞) Hàm số đồng biến khoảng (–∞; –1) (1; +∞)  y ' < ⇔ x∈(–1; 1) Hàm số nghịch biến khoảng (–1; 1)  Cực trị:  Hàm số đạt cực đại điểm x = –1, y C§ =  Hàm số đạt cực tiểu điểm x = 1, y CT = –3  Giới hạn: lim y = –∞, lim y = +∞ x →−∞ 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 x →+∞  Bảng biến thiên: 0,5 Đồ thị:  Giao điểm đồ thị với trục Oy (0; –1)  y '' = 6x, y '' = ⇔ x = ⇒ điểm uốn I(0; –1) điểm đối xứng đồ thị b) (d) vng góc với đường thẳng y = x ⇒ hệ số góc k = –3 y ' = x – = –3 ⇔ x = y(0) = –1 phương trình đường thẳng (d): y = –3x – Gv: Lê Hành Pháp 0,25 0,25 Vẽ 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 Trang51 THPT Tân Bình – Bình Dương Giáo án Giải tích 12 Cơ – Chương 2) (3 điểm) a) y ' = x + 2(m – 1)x – (m + 2) phương trình x + 2(m – 1)x – (m + 2) = có ∆’ = (m − 1) + 3(m + 2) = m + m + > ∀m nên y ' = có hai nghiệm phân biệt Do hàm số (1) ) ln ln có cực đại, cực tiểu ∀m b) điểm cực đại A(–1; 1), điểm cực tiểu B(1; –3) x +1 y −1 = đường thẳng AB có phương trình + −3 − ⇔ y = – 2x – 3) (3 điểm) Số nghiệm phương trình x – 3x = k số giao điểm đồ thị (C) y = x – 3x –1 với đường thẳng y = k –  k – < –3 k – 1> ⇔ k < –2 k > 2: phương trình có nghiệm  k – = –3 k – 1= ⇔ k = –2 k = 2: phương trình có nghiệm  > k – > –3 ⇔ –2< k < 2: phương trình có nghiệm Đề 2: Cho hàm số y = 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,5 0,75 0,75 0,75 0,75 ax + b x −1 1) (4 điểm) a) Tìm a, b để đồ thị hàm số cắt trục tung A(0; –1) tiếp tuyến đồ thị A có hệ số góc –3 (1,5 điểm) b) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số với a, b vừa tìm (2,5 điểm) 2) (3 điểm) Cho đường thẳng (d) có hệ số góc m qua điểm B(–2; 2) Tìm m để (d) cắt (C) hai điểm phân biệt M , M 3) (3 điểm) a) Các đường thẳng qua điểm M M song song với trục toạ độ tạo thành hình chữ nhật Tính cạnh hình chữ nhật theo m (2 điểm) b) Với giá trị m hình chữ nhật trở thành hình vng ? (1 điểm) Gv: Lê Hành Pháp Trang52 ... [? ?1; 1] ⇔ t = – 2 81 81 7 Ta có ƒ(? ?1) = , ƒ (1) = , ƒ(– ) = – , f (t ) = , max f (t ) = [ ? ?1; 1] [ ? ?1; 1] 16 16 2 81 Do f ( x) = , max f ( x) = R R 16 Gv: Lê Hành Pháp Trang 21 Giáo án Giải tích 12 ... Trang20 Giáo án Giải tích 12 Cơ – Chương THPT Tân Bình – Bình Dương / / a) Đặt t = sinx (? ?1? ?? t ≤ 1) , ƒ(t) = t + 2t – 1, f (t ) = 4t + 2, f (t ) = ∀t∈[? ?1; 1] ⇔ t = – 3 Ta có ƒ(? ?1) = ? ?1, ƒ (1) = 3, ƒ(–...  y ( ) = ? ?14 a > ⇒ hàm số đạt cực tiểu x = yCT = y( ) = + b 5a 5a 5a 25a lim− Gv: Lê Hành Pháp Trang 11 THPT Tân Bình – Bình Dương Giáo án Giải tích 12 Cơ – Chương 1 1 ? ?16 y // ( ) = 14 a > ⇒ hàm