chuyên đề : Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng thức

Bài viết được chia làm 3 mục: Mở đầu là tóm tắt các kiến thức cơ bản trong SGK.Mục thứ hai là các ứng dụng về tính đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng thức cùng với các thí dụ minh họa. Mục cuối cùng là hệ thống các bài tập để bạn đọc tham khảo. Mặc dù rất tâm huyết với chuyên đề , nhưng do thời gian và khả năng có hạn nên bài viết khó tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong nhận được sự góp ý của quí thầy cô, bạn bè đồng nghiệp và các em học sinh để chuyên đề được hoàn thiện hơn và trở thành tài liệu có ích trong giảng dạy và học tập.

CHUYÊN ĐỀ : ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ

CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Tác giả: …………

Giáo viên trường: ………

Đối tượng bồi dưỡng: Học sinh lớp 12

Số tiết dự kiến: 15 tiết

MỞ ĐẦU

Bất đẳng thức là các dạng toán luôn xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh ĐH, CĐcủa Bộ giáo dục hàng năm và trong các đề thi HSG các cấp Đối với nhiều học sinh đâyđược coi là các bài toán khó, thậm chí là câu khó nhất trong đề thi ĐH, CĐ

Qua quá trình dạy học sinh ôn thi ĐH, CĐ và đặc biệt là dạy bồi dưỡng HSG Tôithấy khi gặp các loại toán này học sinh rất lúng túng, cần phải hướng dẫn học sinh một

cách bài bản giải các loại toán này Vì vậy tôi viết chuyên đề “ Ứng dụng tính đơn điệu

của hàm số để chứng minh bất đẳng thức” để giải quyết các vấn đề còn khó khăn hầu

hết đối với học sinh

Bài viết được chia làm 3 mục: Mở đầu là tóm tắt các kiến thức cơ bản trongSGK.Mục thứ hai là các ứng dụng về tính đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳngthức cùng với các thí dụ minh họa Mục cuối cùng là hệ thống các bài tập để bạn đọc thamkhảo

Mặc dù rất tâm huyết với chuyên đề , nhưng do thời gian và khả năng có hạn nên bài viếtkhó tránh khỏi những thiếu sót Tôi rất mong nhận được sự góp ý của quí thầy cô, bạn bèđồng nghiệp và các em học sinh để chuyên đề được hoàn thiện hơn và trở thành tài liệu cóích trong giảng dạy và học tập

PHẦN 1: TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1.Ứng dụng đạo hàm xét tính đơn điệu của hàm số

1.1 Định nghĩa: Cho hàm số f x( ) xác định trên khoảng K Khi đó

*) f x( ) gọi là đồng biến trên K nếu với mọi x x1 , 2 ∈K mà x1 <x2 ta đều có f x( ) 1 < f x( ) 2

*) f x( ) gọi là nghịch biến trên K nếu với mọi x x1 , 2 ∈K mà x1 <x2 ta đều có f x( ) 1 > f x( ) 2

Các hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên một khoảng còn được gọi chung là các hàm đơn điệu trên khoảng đó

1.2 Định lý ( Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu trên một khoảng)

Cho hàm số f x( ) có đạo hàm trên khoảng (a;b) Khi đó

*) Nếu f x( ) 0 ≥ ∀ ∈x ( ; )a b (và dấu = chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm) thì f x( ) đồng biếntrên ( ; )a b

*) Nếu f x( ) 0 ≤ ∀ ∈x ( ; )a b (và dấu = chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm) thì f x( ) nghịchbiến trên ( ; )a b

1.3 Điểm tới hạn của hàm số

Điểm x0 được gọi là điểm tới hạn của hàm số f x( ) nếu nó thuộc tập xác định của( )

f x và f x'( ) 0 0 = hoặc f x'( ) 0 không xác định

Chú ý: Trên mỗi khoảng phân chia bởi hai điểm tới hạn kề nhau, đạo hàm của hàm số giữ

nguyên một dấu.

2 Cực trị của hàm số

2.1 Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trên tập D, x 0∈D

*) x 0 được gọi là điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại khoảng (a;b) chứa điểm x 0 sao cho

(a;b)⊂D và f(x)<f(x 0 ), với mọi x 0∈(a;b)\{x 0 } Lúc đó, f(x 0) được gọi là giá trị cực đại của

f

*) x 0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại khoảng (a;b) chứa điểm x 0 sao

cho (a;b)⊂D và f(x)>f(x 0 ), với mọi x 0∈(a;b)\{x 0 } Lúc đó, f(x 0) được gọi là giá trị cực tiểu

của f

- Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị của hàm số

- Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị của hàm số

- Nếu x 0 là điểm cực trị của hàm số f thì điểm (x 0 ; f(x 0)) được gọi là điểm cực trị của đồ

thị hàm số f.

2.2 Định lí 1 (Định lí Fecmart-Điều kiện cần để hàm số có cực trị)

Nếu hàm số f có đạo hàm và đạt cực trị tại điểm x 0 thì f’(x 0) = 0

2.3 Định lí 2 (Điều kiện đủ - Dấu hiệu 1)

Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a;b) chứa điểm x 0 và có đạo hàm trên các khoảng

(a;x 0 ) và (x 0 ;b) Khi đó:

i) Nếu f’(x)<0, ∀ ∈x (a;x 0)và f’(x) > 0 ∀ ∈x (x ;b 0 ) thì f đạt cực tiểu tại điểm x 0

ii) Nếu f’(x)>0, ∀ ∈x (a;x 0)và f’(x) < 0 ∀ ∈x (x ;b 0 ) thì f đạt cực đại tại điểm x 0

2.4 Định lí 3 (Điều kiện đủ - Dấu hiệu 2)

Giả sử hàm số f có đạo hàm đến cấp hai trên khoảng (a;b) chứa điểm x 0 đồng thời f’(x 0)

= 0 và f’’(x 0)≠0 Khi đó

i) Nếu f’’(x 0 ) < 0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x 0

ii) Nếu f’’(x 0 ) > 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x 0

Quy tắc 2

-Tìm tập xác định

-Tính f’(x) Tìm các nghiệm x i của phương trình f’(x) = 0

-Tính f’’(x) và suy ra f’’(x i)

o Nếu f’’(x i ) < 0 thì f đạt cực đại tại x i

o Nếu f’’(x i ) > 0 thì f đạt cực tiểu tại x i

Chú ý: Khi áp dụng qui tắc 2, ta chỉ tìm được các điểm cực trị là nghiệm của phương

trình f’(x)=0, hơn nữa f’’(x) phải bằng khác 0 Ngoài các trường hợp trên, ta phải sử dụng qui tắc 1.

3 Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số và biểu thức

3.1 Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

<1>Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trên tập D Khi đó

- Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên D nếu thỏa mãn hai điều kiện sau:

- Dựa vào Bảng biến thiên suy ra giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

<3> Các bước tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn [a;b]:

- Tính đạo hàm

- Tìm các điểm tới hạn x i và tính các giá trị f a f b f x( ), ( ), ( ).i

- Kết luận max ( ) max[ ; ] { ( ); ( ); ( ) ;min ( ) mini } [ ; ] { ( ); ( ); ( )i }

a b

a b f x = f a f b f x f x = f a f b f x

3.2 Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức

Cho biểu thức n biến P= f x x( ; ; ; ) 1 2 x n xác định trên D D D= 1× 2× × D n, tức là

- Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của P trên D nếu thỏa mãn hai điều kiện sau:

Vậy BĐT (2) được chứng minh

b) Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân

* Đối với hai số không âm

+ Định lí: Với mọi a≥ 0,b≥ 0, ta có:

+ Phát biểu: Trung bình cộng của hai số không âm lớn hơn hoặc bằng trung bình

nhân của chúng Trung bình cộng của hai số không âm bằng trung bình nhân của chúngkhi và chỉ khi hai số đó bằng nhau

0

a b

⇔ − ≥ (luôn đúng)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b.

+ Hệ quả 1: Nếu hai số dương thay đổi nhưng có tổng không đổi thì tích của chúng

lớn nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau

+ Ý nghĩa hình học: Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình vuông có

diện tích lớn nhất

+ Hệ quả 2: Nếu hai số dương thay đổi nhưng có tích không đổi thì tổng của chúng

nhỏ nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau

+ Ý nghĩa hình học: Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích thì hình vuông

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c= =

+ Phát biểu: Trung bình cộng của ba số không âm lớn hơn hoặc bằng trung bình

nhân của chúng Trung bình cộng của ba số không âm bằng trung bình nhân của chúng khi

và chỉ khi ba số đó bằng nhau

+ Hệ quả 1: Nếu ba số dương thay đổi nhưng có tổng không đổi thì tích của chúng

lớn nhất khi và chỉ khi ba số đó bằng nhau

+ Hệ quả 2: Nếu ba số dương thay đổi nhưng có tích không đổi thì tổng của chúng

nhỏ nhất khi và chỉ khi ba số đó bằng nhau

+ SGK Đại số 10 được viết cho HS lớp 10 là những độc giả mới chỉ được bước đầu làm quenvới kiến thức BĐT trong chương trình toán lớp 8 nên chỉ trình bày những kiến thức đơn giản,

cơ bản nhất, mang tính chất phổ thông

.5 Một số bất đẳng thức thường gặp

5.1 Các BĐT gốc

0

x ≥ với ∀ ∈x R Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x= 0

• x2 +y2 ≥ 0 với ∀x y R, ∈ Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x= =y 0

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1 =x2 = = x n = 0

5.2 Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

• a ≥ 0 với ∀ ∈a R Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a= 0

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a1 =a2 = = a n

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi(a a1 , , , 2 a n) và (b b1 , , , 2 b n) là hai bộ số tương

ứng tỉ lệ, tức là tồn tại số thực k để a i =kb i với mọi i = 1 n

- Dạng 1: Chứng minh BĐT có chứa một biến bằng phương pháp đạo hàm.

- Dạng 2: Chứng minh BĐT có chứa nhiều biến bằng phương pháp đạo hàm Đốivới dạng này, cần làm cho HS nhận biết một số trường hợp sau đây:

+ TH1: Các biến có sự ràng buộc với nhau bởi một điều kiện nào đó

+ TH2: Biểu thức chứa biến là biểu thức đẳng cấp đối với các biến

+ TH3: Biểu thức chứa biến là biểu thức đối xứng đối với các biến

Từ những hiểu biết về Toán sơ cấp, ta có thể thấy: Đây là một PP rất hiệu quả trong

việc giải quyết nhiều bài toán chứng minh BĐT Bởi PP này được sự hỗ trợ của một công

cụ rất mạnh, đó là đạo hàm Nhờ đạo hàm mà ta có thể khảo sát hàm số và tìm cực trị mộtcách dễ dàng (nếu không sử dụng đạo hàm thì ngay cả việc xét tính biến thiên của hàm sốcũng không dễ dàng gì do chỉ sử dụng định nghĩa đồng biến và nghịch biến), do vậy màbài toán chứng minh BĐT bằng PP đạo hàm được giải quyết nhanh gọn hơn Khi chứngminh BĐT bằng PP hàm số chúng ta không phải mò mẫm và dự đoán theo các thủ thuật sơcấp đơn lẻ

PP này không được trình bày cụ thể trong SGK THPT nhưng được ẩn dưới một sốbài tập trong SGK Giải tích 12

Vậy BĐT đã cho được chứng minh.

Chú ý: Nhiều khi để chỉ ra một tính chất của một hàm số nào đó ta có thể nghiên cứu hàm

số đó trên một tập rộng hơn, còn cụ thể tập rộng hơn thế nào thì còn phụ thuộc vào từng bài toán Chẳng hạn:

Với bài toán trên nếu chỉ xét hàm số f x( ) = 2sinx+ t anx - 3x trên 0,

khi đó việc tính f (0) là không hợp logic

Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi x > 0 ta có:

Do đó: f (x) là hàm đồng biến trên [0, +∞) ⇒ f x( ) > f ( )0 = 0 với mọi x > 0

Vậy BĐT (*) được chứng minh

* Ta chứng minh:

3

sinx 6

Vậy h(x) = g'(x) là hàm số đồng biến trên [0, +∞)

Vậy BĐT (**) được chứng minh.

Ví dụ 3: Cho a≤ 6 , b≤ − 8 , c≤ 3 Chứng minh rằng với ∀ ≥x 1 thì: x4 − ax 2 −bx c≥

Một số HS giải bài toán như sau:

⇒ f x'( ) ≥ 0 với ∀ ≥x 1 ⇒ f x( ) đồng biến trên [1, +∞)

Do đó x≥ 1 ⇒ f x( ) ≥ f ( )1 = − − ≥ ≥ 1 a b 3 c

Vậy ∀ ≥x 1 ta có: x4 − ax 2 −bx c≥ (đpcm)

Trong các ví dụ xét ở trên, các BĐT cần chứng minh là các biểu thức chứa một biến x, do

đó khi chuyển hết về một vế HS có thể xác định được ngay hàm số cần tìm Ví dụ tiếp theo minh họa việc lựa chọn hàm số thích hợp để xét sự biến thiên, khi BĐT cần chứng minh là BĐT nhiều biến.

Ở câu này, HS có thể gặp khó khăn trong việc xét dấu của f ' (x) Chúng ta sẽ xét dấu của f ' (x)

thông qua dấu của hàm số khác là ( ) 1sin 2

⇔ sinA+ sinB+ sinC+ tanA+ tanB+ tanC > 2(A B C+ + ) = 2 π (đpcm)

Ở câu này HS cũng không khó khăn gì để đưa ra hàm số, cái khó của bài toán là ở chỗ xét

dấu của g' (x): không đơn giản đánh giá được ngay mà phải sử dụng BĐT sơ cấp:∀ ∈x 0,

0 cos < x< ⇒ 1 cos x< cosx và áp dụng BĐT Cauchy.

= x, do vai trò a, b tương đương nhau).

Ta có lời giải như sau:

Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

, 0 1

Vì a, b được liên hệ với nhau bởi biểu thức a + b = 1 nên ta có thể đặt:

2

2

sin os

a

b c

ϕ ϕ

≥ = VP (*) (do 2

sin 2 ϕ ≤ 1 ; 4

sin 2 ϕ ≤ 1 ) Vậy BĐT đã cho được chứng minh.

GV cho HS giải bài tập tương tự sau:

Cho a b, ≥ 0 và a b+ = 1, n nguyên dương Chứng minh rằng:

f '(x) - 0 +

f(x)

7 +∞

1

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: với ∀ ≥x 0 thì f x( ) ≥ > 1 0

Kết hợp cả hai trường hợp ta suy ra điều phải chứng minh.

≤ ; 1 4

3

z z

'( ) 3 2 1; '( ) 0 1

3

f t = − x + f x = ⇔ =t Lập bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên suy ra :

(0;1)

2Max ( )

Ví dụ 14 Cho các số thực , ,x y z thỏa mãn điều kiện x y z+ + =0 Chứng minh rằng:

Dấu bằng xảy ra khi x y z= = =0

Ví dụ 15 Cho các số thực , ,x y z thỏa mãn điều kiện x y z+ + =0 và x2 +y2 +z2 =1 Chứng minh rằng: 5 5 5 5

Dựa vào BBT ta suy ra được : ( ) 3 9 6 2

Ta nhận thấy: biểu thức chứa biến là biểu thức đối xứng với tất cả các biến.

Với điều kiện a2 + + =b2 c2 1 thì

Bảng biến thiên:

x 0 3

3 1

f '(x) + 0

f(x)

2 3 3

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: 0 ( ) 2

3 3

f x

≤ ≤ với ∀ ∈x ( )0,1 ⇔ f x1( ) ≥3 32 ⇔

2 1

−

Do đó:

2 ( 2)

0 2 1

a

−

0 2 1

b

−

0 2 1

c

−

Vậy (2) được chứng minh ⇒ (1) được chứng minh.

Ví dụ 19 Chứng minh rằng: x+2 y >lnx y x−lny

− ∀x > y > 0

Giải Do x > y > 0, lnx > lny ⇔ lnx − lny > 0, nên biến đổi bất đẳng thức

1

x

x

y

−

−

1

t t t

−

> × + với t x

y

= >1

1

t

t

−

( )

( ) ( )

2

0

t

f t

−

⇒ f(t) đồng biến [1, +∞) ⇒ f(t) > f(1) = 0 ∀t >1 ⇒ (đpcm)

Ví dụ 20 Chứng minh rằng: 1 ln ln 4





≠

Giải Xét hai khả năng sau đây:

+ Nếu y > x thì (1) ⇔ln ln 4( )

y x

+ Nếu y < x thì (1) ⇔ln ln 4( )

y x

Xét hàm đặc trưng f(t) = ln 4

1

t t

t−

− với t∈(0, 1)

2

t

f t

−

− − ∀t∈(0,1) ⇒ f(t) đồng biến (0, 1)

⇒ f(y) > f(x) nếu y > x và f(y) < f(x) nếu y < x ⇒ (đpcm)

Ví dụ 21 Chứng minh rằng: a b <b a ∀a > b ≥ e

Giải a b < b a ⇔ lna b < lnb a ⇔ blna < alnb ⇔ lna a<lnb b

Nhờ nắm vững các kiến thức về PP hàm số để chứng minh BĐT trong Toán sơ cấp ở ĐHSP, sau khi hướng dẫn HS giải một số bài tập như trên, GV có thể nêu chú ý cho HS như sau:

- Khi ứng dụng đạo hàm vào chứng minh BĐT có chứa nhiều biến thì vấn đề cơ bản vẫn là dẫn dắt HS xác định được một hàm số thích hợp, từ đó chuyển bài toán BĐT về bài toán hàm số.

- Khi chứng minh BĐT chứa nhiều biến bằng phương pháp đạo hàm, ta hướng dẫn HS tiến hành các hoạt động sau:

+ Nhận dạng bài toán.

+ Nếu bài toán thuộc dạng 1: Dạng các biến ràng buộc với nhau bởi điều kiện nào đó, thì

ta có thể chọn một biến là ẩn, các biến còn lại rút ra từ điều kiện hoặc coi là hằng số.

+ Nếu bài toán thuộc dạng 2: Dạng biểu thức chứa biến là biểu thức đẳng cấp với các

Đi chứng minh sinx t anx 1 1

f t

t

= + trên (0;+∞)Bài 13 Cho 0< < ≤ ≤x y z 1; 3x 2+ y z+ ≤4. tìm GTLN F =3x2 +2y2 +z2 (TH-TT)

Ta có f’’(a) > 0 suy ra f’(a) đb suy ra f′( )a ≥ f b′( ) =b4 +2bc3 −3b c2 2 >0

Vây f’(a) > 0 suy ra f(a) > f(b) = 0.

Bài 16 Cho x,y,z > 0 Cmr: x4+ + +y4 z4 xyz x y z( + + ≥) xy x( 2+ y2)+ yz(y2+z2)+zx(z2+x2)

HD: Không mất tính tổng quát ta giả sử: x y z≥ ≥ xét hàm số

( )x 4 4 4 (x ) x (x2 2) (y2 2) x(z2 2)

f =x + y +z +xyz + + −y z y + y − yz +z −z +x

chỉ ra f”(x) > 0 suy ra f′(x)≥ f y′( )=z y z2 − =3 z y z2( − ≥) 0 nên f(x) đb

suy ra f ( )x ≥ f y( ) =z4 −2z3y y z+ 2 2 =z2(z−y)2 ≥0

KẾT LUẬN

Trên đây là nội dung chuyên đề “Một số ứng dụng về tính đơn điệu của hàm số để chứngminh bất đẳng thức” chuyên đề dùng cho học sinh lớp 12 và ôn thi đại học.Chuyên đề tậpchung vào chủ yếu các bài toán khó về bất đẳng thức thường xuyên có mặt trong đề thiĐH,CĐ và HSG hàng năm.Từ đó cho học sinh thấy được sự ứng dụng đa dạng và rất tuyệtvời của tính đơn điêu của hàm số mà các vấn đề này trong SGK chưa được đề cập đến.Thời gian dự kiến là 15 tiết

Chuyên đề đã được tác giả áp dụng giảng dạy ở các lớp 12A1 trong năm học 2015-2016

ở trường THPT Trần Nguyên hãn Trong đó lớp 12A1 Khá 70%+TB 30% Khá Kết quảnhìn chung đã làm cho học sinh không còn lúng túng khi giải các loại toán này và đã tự tinhơn

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1.SGK ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH LỚP 12

2.CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ ÔN THI ĐH-CĐ CỦA TRẦN PHƯƠNG 3.BÁO THTT

4.ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC CỦA BỘ GD&ĐT

5.ĐỀ THI OLYMPIC CÁC NƯỚC.