Lời nói đầu Chúng tôi dới sự hớng dẫn của thầy Nguyễn Danh Nam viết chuyên đề "Sử dụng phơng pháp độ trong giải toán hình học phổ thông". Hình học phổ thông khá là đa dạng và phong phú. ở đây chúng tôi nghiên cứu một khía cạnh cách giải các bài toán hình học. Sử dụng phơng pháp tọa độ trong giải toán hình học, đây là một phơng pháp khá mạnh, dùng nó có thể giải quyết hầu hết các bài toán hình học ở phổ thông. Chuyên đề gồm hai phần lớn: Phần I. Sử dụng phơng pháp tọa độ trong mặt phẳng giải các bài toán hình học phẳng. Phân II. Sử dụng phơng pháp tọa độ trong không gian giải các bài toán hình học không gian. Mục tiêu của chuyên đề: Cung cấp một thể loại giải toán hình học. Chuyên đề có tính tổng hợp cao, có tính s phạm và tận dụng các thế mạnh của phơng pháp. Chúng tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới sự giúp đỡ động viên về tinh thần của thầy Nguyễn Danh Nam. Cuối cùng, dù đã cố gắng, nhng thật khó tránh khỏi những thiếu sót bởi những hiểu biết và kinh nghiệm hạn chế rất mong nhận đợc những ý kiến đóng góp quý báu của thầy và các bạn đọc. Nhóm thực hiện: Phạm Văn Thiện Nguyễn Mạnh Hùng Bùi Văn Giáp (Lớp Toán A-K41) Thái Nguyên, ngày 15 tháng 12 năm 2008 1 Giới thiệu chung Chuyên đề gồm hai phần chính Phần I Sử dụng phơng pháp toạ độ trong mặt phẳng giải toán hình học phẳng mở đầu Phơng pháp toạ độ hoá trong mặt phẳng để giải các bài toán hình học đợc chia thành các dạng: Dạng 1: Giải bài toán định lợng Dạng 2: Giải bài toán định tính Dạng 3: Giải bài toán về điểm và quỹ tích điểm Khi sử dụng phơng pháp này là thực hiện theo các bớc: Bớc 1: Thiết lập trục toạ độ thích hợp, từ đó suy ra toạ độ của các điểm cần thiết. Bớc 2: Thực hiện bài toán dựa trên kiến thức về hình học giải tích trong mặt phẳng. Việc thiết lập hệ trục toạ độ thích hợp là bớc làm quan trọng nhất, nó đợc lựa chọn trên các dạng thờng gặp sau: 1. Bài toán có hai điểm cố định A, B Ta thờng thiết lập hệ toạ độ theo một trong ba dạng sau: Dạng 1: A, B Cx Dạng 2: A, B Oy và đối xứng qua Oy và đối xứng với Ox Dạng 3: A, B ở về một phía của một trục 2 O A B x O A B x y y x O A B x O A B y y x O A B y x O A B 2. Bài toán cho ABC 1. Nếu ABC đều, ta thờng thiết lập hệ trục toạ độ theo một trong ba dạng sau: 2. Nếu ABC cân tại A, ta thờng thiết lập hệ trục toạ độ theo một trong hai dạng sau: 3. Nếu ABC vuông tại A, ta thờng thiết lập hệ trục toạ độ theo một trong hai dạng sau: 4. Nếu ABC là thờng thì chọn một đỉnh trùng với gốc toạ độ và có một cạnh trùng với một trục toạ độ. 3. Bài toán cho tứ giác ABCD 1. Nếu ABCD là hình vuông hoặc hình chữ nhật ta thờng thiết lập hệ trục toạ độ theo một trong ba dạng sau: 3 A y B O H C x B y AO C x y A B C O G x A y B O H C x A y BO C x y xO A C B y xO B A C 2. Nếu ABCD là hình vuông hoặc hình thoi, ta thờng thiết lập hệ toạ độ theo dạng sau: 3. Nếu ABCD là hình thang vuông, ta thờng thiết lập hệ toạ độ theo một trong hai dạng sau: Bài toán 1: Giải bài toán định lợng I. Phơng pháp Ta thực hiện theo các bớc sau: Bớc 1: Thiết lập hệ trục toạ độ thích hợp, từ đó suy ra toạ độ của các điểm cần thiết. Bớc 2: Thiết lập biểu thức giải tích cho giá trị cần xác định, thông thờng bao gồm: 4 OA D CB x O A D C B x y y O D A B C y x OA C B D y x AO B C D y x AO B C D y x + Độ dài đoạn thẳng. + Khoảng cách từ điểm đến đờng thẳng. + Góc giữa hai đờng thẳng + Diện tích II. Ví dụ minh hoạ Ví dụ 1: Cho ABC vuông tại A, AB = 3, AC = 4. Gọi M là trung điểm của AC. Tính bán kính đờng tròn ngoại tiếp MBC. Giải: Cho hệ trục toạ độ với A 0, b oy và C Ox Khi đó: A(0, 0), B(0, 3), C (4, 0) và M(2, 0) Giả sử đờng tròn (O) ngoại tiếp MBC Có dạng: (O) x 2 + y 2 - 2ax - 2by + C = 0 Với a 2 + b 2 - c 0 Điểm M, B, C (O) nên 4 - 4a + c = 0 a = 3 9 - 6b + c = 0 b = 17 6 thoả mãn điều kiện 16 - 8a + c = 0 c = 8 Vậy đờng trong (O) có bán kính R 2 = a 2 + b 2 - c = 325 36 R = 5 13 6 Ví dụ 2: Cho ABC vuông cân tại A. Tính góc giữa hai trung tuyến BE, CF Giải: Cho hệ trục toạ độ Oxy với A O, B Ox và C Oy Khi đó: A(0, 0), B(a, 0), C(0, a), E(0, 2 a ), F( 2 a , 0) Nên ta có: AE uuur (-a, 2 a ), CF uuur ( 2 a , -a) 5 y B O A M C x y C O A F B x E BE = CF = 5 2 a 2 BE CF ( ) 2 2 a a a a a = + = uuur uuur Cos = 2 2 . 4 5 5 . 4 BE CF a a BE CF = = uuur uuur uuuur uuuur Ví dụ 3: Cho ABC vuông cân tại C. Dựng đoạn CI (với I AB) vuông góc với trung tuyến AM. Tính tỷ số BI AI . Giải: Chọn hệ trục toạ độ Oxy với C O, A Ox và B Oy (Giả sử CA = CB = 1) Khi đó: A(1, 0), B(0, 1), C(0, 0), M(0, 1 2 ). Giả sử I(x, y), Do AI uur cùng hớng với AB uuur Do đó: 1 1 1 x y = (1) Do CI uur AM uuuur nên ta có 0 2 y x + = (2) Từ (1) và (2): 1 1 3 1 1 2 0 2 3 x y x y x y = = + = = Hay 1 2 1 ; 3 3 2 BI I AI = ữ Ví dụ 4: Cho hình thang vuông ABCD, đờng cao AB. Biết rằng: . 4AB AC = uuur uuur , . 9CA CB = uuur uuur và . 6CB CD = uuur uuur a. Tính độ dài các cạnh của hình thang. 6 y B C O A x M I b. Gọi EF là đờng trung bình của hình thang, tính độ dài hình chiếu của EF lên BD. Giải: Chọn hệ trục toạ độ Oxy với B O, A Ox khi đó: A(0, h), B(0, 0), C(b, 0), D(a, h) với a, b, h > 0 a. Ta có: 2 4 . (0, ).( , )AB AC h b h h= = = uuur uuur h = 2 AB = 2 2 9 . ( , ).( , 0)CA CB b h b b= = = uuur uuur b = 3 BC = 3 6 . ( ,0).( , ) 3( 3)CB CD b a b h a= = = uuur uuur a = 1 AD = 1 CD 2 = AB 2 + NC 2 = (b - a) 2 + h 2 = 4 + 4 = 8 CD = 2 2 b. Ta có: Hình chiếu của EF lên BD là E 1 F 1 ( ) 1 1 . 2 . , 5 . BD EF E F EF Cos BD EF EF BD EF = = = uuur uuur uuur uuur uuur uuur Bài toán 2: Giải các bài toán định tính I. Phơng pháp Ta thực hiện các bớc sau: Bớc 1: Thiết lập hệ trục toạ độ thiết hợp, từ đó suy ra toạ độ các điểm cần thiết. Bớc 2: Thiết lập biểu thức giải tích cho điều kiện, từ đó suy ra kết quả cần chứng minh. Cụ thể. 1. Để chứng minh một biểu thức vectơ, ta cần xác định toạ độ của các vectơ trong biểu thức đó, từ đó thay vào biểu thức để đa ra kết luận. 7 y A O B N C x D F E F 1 E 1 h a b 2. Chứng minh mối liên hệ đại số. 3. Với 1 2 ,a a ur uur là vectơ chỉ phơng của (d 1 ) và (d 2 ) thì: a. (d 1 ) // (d 2 ) 1 . 1 . 2 2 2 2 c c c c x x y y AE BF + = + ữ uuur uuur // 2 a uur b. (d 1 ) (d 2 ) 1 a ur 2 a uur 1 a ur . 2 a uur = 0 II. Ví dụ minh hoạ Ví dụ 1: Cho ABC đều cạnh a. M là điểm bất kỳ nằm trên đờng tròn ngoại tiếp ABC. Chứng minh rằng: MA 2 + MB 2 + MC 2 = 2a 2 Giải: Chọn hệ trục toạ độ Oxy với trọng tâm G O, A Oy và BC // Ox Khi đó: A(0, 3 3 a ), B( 3 . 2 6 a a ), C ( 3 . 2 6 a a ) Ta có: Đờng tròn ngoại tiếp ABC có phơng trình: (C): x 2 y 2 = 2 3 a ; Điểm M(x 0 ,y 0 ) C 2 2 2 0 0 3 a x y+ = (1) 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 3 3 3 2 6 a a a MA MB MC x y x y + + = + + + + + ữ ữ ữ ữ ữ ( ) 2 2 2 2 2 0 0 0 0 3 3 2 2 6 a a x y x y a + + + = + = ữ ữ ữ (1) Ví dụ 2: Cho ABC vuông tại C. Trên các cạnh AC, CA, AB lấy các điểm M, N, P sao cho: MB NC PA MC NA PB = = 8 y A B C O G x Chứng minh rằng CP MN và CP = MN Giải: Chọn hệ trục toạ độ Oxy với C O, A Ox và B Oy Khi đó: A(1, 0), B(0, 1), C(0, 0) Khi đặt: MB NC PA K MC NA PB = = = thì các điểm M, N, P lần lợt chia các đoạn AC, CA, AB theo tỷ số K tức là: 1 , 1 M C K ữ + , , 1 K N O K ữ + , 1 , 1 1 K P K K ữ + + Từ đó ta có: 1 , 1 1 K MN K K = ữ + + uuuur 2 2 . 0 (1 ) (1 ) K K CP MN K K = = + + uuur uuuur CP MN 2 2 2 2 2 2 1 1 (1 ) (1 ) (1 ) K K CP MN CP MN K K K + = + = = = + + + uuur uuuur Ví dụ 3: Cho ABC cân tại A. Gọi H là trung điểm BC, D là hình chiếu của H trên AC, M là trung điểm HD. Chứng minh rằng AM BD. Giải: Chọn hệ trục toạ độ Oxy, giả sử H O(0, 0), A(0, a), B(-b, 0), C(b, 0) Giả sử D(x, y) từ giả thiết ta có: 2 2 2 2 2 2 / / , AD AC a b ab D a b a b BD AC ữ + + uuur uuur uuur uuur Toạ độ điểm 2 2 2 2 2 2 , 2( ) 2( ) a b ab M a b a b ữ + + Xét tính vô hớng: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . 0 2( ) 2( ) a b a b ab ab AM BD b a a b a b a b a b = + + = ữ + + + + uuuur uuur 9 y B O C N A x M P A y B O H C x M AM BD AM BD uuuur uuur Ví dụ 4: Cho ABC, biết BC 2 + AC 2 = 5AB 2 Chứng minh rằng AE và BF vuông góc với nhau. Giải: Chọn hệ trục toạ độ Oxy sao cho: A(0, 0), B(1, 0), C(x 0 , y 0 ). 0 0 1 , 2 2 x y E + ữ , 0 0 , 2 2 x y F ữ BC 2 + AC 2 = 5AB 2 2 2 2 2 0 0 0 0 ( 1) 5x y x y + + + = 2 2 0 c c c x y x z + + = (*) Xét 1 . 1 . 2 2 2 2 c c c c x x y y AE BF + = + ữ uuur uuur = ( ) 2 2 1 2 0 4 c c c x y x+ = (*) AE BF Bài toán 3: Giải bài toán điểm và quỹ tích điểm I. Phơng pháp Ta thực hiện các bớc sau: Bớc 1: Thiết lập hệ trục toạ độ thích hợp, từ đó suy ra toạ độ các điểm cần thiết. Bớc 2: Thiết lập biẻu thức cho đối tợng cần tìm quỹ tích, từ đó suy ra quỹ tích của nó. II. Ví dụ minh hoạ Ví dụ 1: Cho đoạn AB = a cố định. Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn: 2 2 2 5 2 a MA MB+ = (1) Giải 10 y C O A B x F E . trong giải toán hình học phổ thông". Hình học phổ thông khá là đa dạng và phong phú. ở đây chúng tôi nghiên cứu một khía cạnh cách giải các bài toán hình