1 LỜI CẢM ƠN Trước hết, xin chân thành gửi lời cảm ơn đến tất quý thầy cô cán trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh giảng dạy, giúp đỡ tơi nhiều suốt năm học Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy Lê Anh Vũ, người trực tiếp đề tài hướng dẫn suốt thời gian làm luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn đến bạn ý kiến đóng góp q báu giúp tơi hồn thành luận văn Thành phố Hồ Chí Minh, tháng năm 2011 Mục lục Mục lục Danh mục kí hiệu MỞ ĐẦU NỘI DUNG Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Đồng luân 1.2 Bổ đề Lebesgue 1.3 Điểm bất động phép co rút Chương SỐ VÒNG QUAY CỦA ÁNH XẠ LIÊN TỤC 2.1 Định nghĩa nhận xét 2.2 Đồng luân tham số hóa 12 2.3 Biến thiên điểm đỉnh góc 16 2.4 Bậc bậc địa phương .18 Chương CÁC ÁP DỤNG CỦA SỐ VÒNG QUAY 24 3.1 Định lí đại số 24 3.2 Điểm bất động phép co rút 25 3.3 Điểm đối cực ánh xạ đối cực .28 3.4 Xăng-quích 30 KẾT LUẬN 33 Tài liệu tham khảo: 34 Danh mục kí hiệu W (γ , P ) Số vòng quay γ xung quanh P γɶ Cái nâng γ Supp (γ ) Ảnh γ deg ( F ) Bậc ánh xạ F Dr ( P ) Đĩa tròn tâm P , bán kính r Cr ( P ) Đường tròn tâm P , bán kính r S1 Đường tròn đơn vị S2 Mặt cầu đơn vị D2 Đĩa tròn đơn vị MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Trong giải tích, khảo sát tích phân đường, ta gặp phải câu hỏi: “Khi tích phân đường khơng phụ thuộc vào đường lấy tích phân?”, “Khi dạng vi phân vi phân hàm đó?” Để trả lời cho câu hỏi này, khái niệm “số vòng quay”, tức số lần mà đường cong đóng “đi vòng quanh” gốc tọa độ ánh xạ khả vi xuất hiện, với tính chất chứng minh cơng cụ giải tích Sau đó, khái niệm mở rộng cho ánh xạ liên tục, mà khẳng định lúc có dựa vào lập luận tôpô túy Đây khái niệm kết nối hình vi phân với tôpô đại số mà người bước đầu làm quen với tơpơ đại số cần phải nắm vững Do đó, để hiểu rõ khái niệm này, chọn đề tài “Số vòng quay vài ứng dụng số vòng quay” làm đề tài luận văn tốt nghiệp Mục đích đề tài Làm rõ khái niệm số vòng quay ánh xạ liên tục ứng dụng vào số lĩnh vực Cung cấp thêm tài liệu tham khảo vấn đề cho bạn sinh viên Phương pháp nghiên cứu Phương pháp phân tích, tổng hợp Bố cục đề tài Đề tài chia làm phần: phần mở đầu, phần nội dung phần kết luận Phần nội dung đề tài chia làm chương, chương trình bày số kiến thức chuẩn bị, chương trình bày định nghĩa số tính chất số vòng quay chương trình bày số ứng dụng số vòng quay NỘI DUNG Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Đồng luân Định nghĩa 1.1.1( Đồng luân với điểm đầu mút cố định) Cho γ : [ a, b ] → U , δ : [ a, b ] → U đường có điểm đầu điểm cuối Một đồng luân từ γ đến δ với điểm đầu mút cố định ánh xạ liên tục H : [ a, b ] × [0,1] → U cho H ( t ,0 ) = γ ( t ) H ( t ,1) = δ ( t ) với a ≤ t ≤ b ; H ( a, s ) = γ ( a ) = δ ( a ) H ( b, s ) = γ ( b ) = δ ( b ) với ≤ s ≤ Các đường γ δ gọi đồng luân với điểm đầu mút cố định tồn đồng luân H Định nghĩa 1.1.2( Đồng luân qua đường đóng) Một đồng luân từ γ đến δ qua đường đóng ánh xạ liên tục H : [ a, b ] × [0,1] → U cho: H ( t ,0 ) = γ ( t ) H ( t ,1) = δ ( t ) với a ≤ t ≤ b ; H ( 0, s ) = H (1, s ) với ≤ s ≤ Các đường γ δ gọi đồng luân qua đường đóng tồn đồng luân H Mệnh đề 1.1.3: Quan hệ đồng luân với điểm đầu mút cố định quan hệ đồng luân qua đường đóng quan hệ tương đương Chứng minh: Ta phác thảo sơ lược chứng minh cho trường hợp quan hệ đồng luân với điểm đầu mút cố định, trường hợp lại chứng minh tương tự Tính phản xạ: γ đồng ln với với ánh xạ đồng luân H : [ a, b ] × [0,1] → U cho H ( t , s ) = γ ( t ) , a ≤ t ≤ b, ≤ s ≤ Tính đối xứng: γ đồng luân với δ với ánh xạ đồng luân H δ đồng luân với γ ánh xạ đồng luân H − : [ a, b ] × [0,1] → U xác định H ( t , s ) = H ( t ,1 − s ) với a ≤ t ≤ b, ≤ s ≤ Tính bắc cầu: γ đồng luân với δ với ánh xạ đồng luân H , δ đồng luân với σ với ánh xạ đồng luân K γ đồng luân với σ ánh xạ đồng luân L = (1 − s ) H + sK Mệnh đề 1.1.4: Nếu U tập mở lồi ℝ , hai đường U có điểm đầu điểm cuối, hai đường đóng U đồng ln với Chứng minh: Hai đường γ : [ a, b ] → U δ : [ a, b ] → U có điểm đầu mút, đóng U đồng luân với ánh xạ đồng luân H = (1 − s ) γ ( t ) + sδ ( t ) , với a ≤ t ≤ b , ≤ s ≤ 1.2 Bổ đề Lebesgue Mệnh đề 1.2.1: Cho K com-pắc, { An }n∈ℕ* dãy tập khác rỗng K Khi đó, tồn điểm P thuộc K cho lân cận U P có giao khác rỗng với vơ hạn An , điểm gọi điểm giới hạn dãy { An }n∈ℕ* K Chứng minh: Giả sử với P thuộc K , tồn lân cận mở U P P mà có giao khác rỗng với hữu hạn An Khi đó, {U P }P∈K phủ mở K mà khơng có hữu hữu hạn, mâu thuẫn với K com-pắc Bổ đề 1.2.2.( Bổ đề Lebesgue): Cho phủ mở khơng gian metric com-pắc K , tồn ε > cho tập K có đường kính nhỏ ε chứa tập mở phủ Chứng minh: Giả sử không tồn ε Khi đó, với số tự nhiên n khác , tồn tập An K có bán kính nhỏ / n khơng chứa tập mở phủ Do K com-pắc, theo mệnh đề 1.2.1, K chứa điểm giới hạn P dãy { An }n∈ℕ* Lấy U tập mở phủ chứa P , lấy r > cho cầu tâm P , bán kính r chứa U Lúc này, cầu mở tâm P , bán kính r / có giao khác rỗng với số vơ hạn An với / n < r / Những tập An chắn chứa U , mâu thuẫn 1.3 Điểm bất động phép co rút Giả sử X , Y hai không gian tôpô Z không gian X Định nghĩa 1.3.1 (Điểm bất động ánh xạ): Cho ánh xạ f : X → Y Điểm P thuộc X gọi điểm bất động f f ( P ) = P Định nghĩa 1.3.2 (Cái co rút phép co rút): Một phép co rút X Z ánh xạ liên tục f : X → Z thỏa thu hẹp lên Z đồng Khi đó, Z gọi co rút X Định nghĩa 1.3.3 ( Không gian có tính chất điểm bất động): Khơng gian X gọi có tính chất điểm bất động ánh xạ liên tục f : X → X từ X vào có điểm bất động Mệnh đề 1.3.4:Nếu X đồng phơi với Y X có tính chất điểm bất động Y có tính chất điểm bất động Chứng minh: Giả sử X , Y đồng phôi với với u ánh xạ đồng phơi X có tính chất điểm bất động Ta cần chứng minh Y có tính chất điểm bất động Lấy ánh xạ liên tục f : Y → Y Xét f : X → X xác định công thức ( ) x ֏ f ( x ) = u −1 f ( u ( x ) ) Do hợp thành ánh xạ liên tục liên tục nên f liên tục Do X có tính chất điểm bất động, tồn x0 thuộc X điểm bất động f , tức là: ( ) f ( x0 ) = u −1 f ( u ( x0 ) ) = x0 , suy f ( u ( x0 ) ) = u ( x0 ) hay u ( x0 ) thuộc Y điểm bất động f Chương SỐ VÒNG QUAY CỦA ÁNH XẠ LIÊN TỤC 2.1 Định nghĩa nhận xét Với điểm P mặt phẳng, hình quạt đỉnh P , định nghĩa hình quạt hàm góc liên tục ( chí trơn), biến điểm ( x, y ) thuộc hình quạt thành góc ϑ góc trục cực (tia hồnh xuất phát từ gốc P phía đông P ) tia nối từ gốc P đến điểm ( x, y ) Hàm góc (sai khác số nguyên lần 2π ) Ở đây, góc đo ngược chiều kim đồng hồ Hình 2.1 Xét ánh xạ tọa độ cực p = pP , đặt tương ứng điểm nửa mặt phẳng {( r ,ϑ ) / r > 0} với điểm p ( r ,ϑ ) := P + ( rcosϑ , rsinϑ ) Mỗi hình quạt đỉnh ảnh dải {( r ,ϑ ) / r > 0;ϑ P < ϑ < ϑ2 } , với ϑ1 , ϑ2 hai số thực thỏa mãn < ϑ2 − ϑ1 ≤ 2π qua ánh xạ Về mặt tôpô, liên tục hàm góc giải thích sau: p song ánh liên tục từ dải vào hình quạt, biến hình chữ nhật mở {( r ,ϑ ) / a < r < b, α < ϑ < β } thành hình quạt mở (bị chặn hai đường thẳng cung hai đường tròn), p mở liên tục Theo đó, p đồng phơi Điều có nghĩa r , ϑ hàm liên tục x y Định nghĩa 2.1.1: Với đường liên tục γ : [ a, b ] → ℝ \ {P} , ta định nghĩa số vòng quay γ quanh P , kí hiệu W (γ , P ) sau: Bước 1: Chia nhỏ đoạn [ a, b ] thành a = t0 ≤ t1 ≤ ≤ tn = b cho đoạn nhỏ [ti−1 , ti ] có ảnh qua ánh xạ γ nằm hình quạt đỉnh P Bước Chọn hình quạt U i chứa γ ([ti −1 , ti ]) hàm góc tương ứng ϑi U i , với ≤ i ≤ n Đặt Pi = γ ( ti ) , ≤ i ≤ n Định nghĩa W (γ , P ) = = (ϑ1 ( P1 ) − ϑ1 ( P0 ) ) + (ϑ2 ( P2 ) − ϑ2 ( P1 ) ) + + (ϑn ( Pn ) − ϑn ( Pn−1 ) )  2π  2π n ∑ (ϑ ( P ) − ϑ ( P ) ) i i i i −1 i =1 Nhận xét 2.1.2: Vì điểm ảnh γ nằm hình quạt đỉnh P , theo bổ đề Lebesgue, chia nhỏ bước tồn Định đề 2.1.3 a) Định nghĩa số vòng quay độc lập với lựa chọn bước bước b) Nếu γ đường cong đóng, có nghĩa γ ( a ) = γ ( b ) , W ( γ , P ) số nguyên Chứng minh: a) Giả sử U i' ϑi' lựa chọn khác Khi ϑi ϑi' sai khác số ( số nguyên lần 2π ) phần giao U i U i' mà chứa γ ([ti −1 , ti ]) Vì hiệu giá trị ϑi hai điểm Pi −1 Pi với hiệu giá trị ϑi' hai điểm này, với i = 1, 2, , n Số vòng quay khơng thay đổi Như vậy, số vòng quay độc lập với lựa chọn U i , ϑi Giả sử thêm điểm vào phân chia cho trước thỏa mãn điều kiện bước 1, việc chèn thêm điểm t * vào ti −1 ti Nếu U i 10 ϑi chọn cho [ti −1 , ti ] , chúng chọn cho khoảng ti −1 , t *  t * , ti  Và P* = γ ( t * ) , thì: (ϑ ( P ) − ϑ ( P )) + (ϑ ( P ) − ϑ ( P )) = ϑ ( P ) − ϑ ( P ) , * i i * i i i i −1 i i i i −1 tổng lại khơng thay đổi Điều kéo theo chèn số hữu hạn điểm vào phân chia cho trước thỏa mãn điều kiện bước 1, số vòng quay khơng thay đổi Và đó, hai phân chia thỏa mãn điều kiện bước phân chia mịn bao gồm tất điểm chia hai phân chia xác định số vòng quay số chúng Số vòng quay độc lập với việc chọn lựa phân chia b) Với đường liên tục γ : [ a, b ] → ℝ \ {P} bất kì, W (γ , P ) = = 2π 2π ((ϑ ( P ) − ϑ ( P )) + (ϑ ( P ) − ϑ ( P )) + + (ϑ ( P ) − ϑ ( P ))) 2 n n n n −1 n −1  ϑ P − ϑ P + ( ) ( ) (ϑi ( Pi ) − ϑi +1 ( Pi ) )  ∑  n n i =1   Do giá trị hàm góc khác điểm sai khác số nguyên lần 2π , ϑa góc cho điểm đầu γ ( a ) , ϑa + 2π W (γ , P ) góc cho điểm cuối γ ( b ) Khi đường γ đóng, điều kéo theo W (γ , P ) số nguyên Mệnh đề 2.1.4 Nếu γ : [ a, b ] → U đường đóng, U tập mở ℝ \ {P} có hàm góc liên tục ( ví dụ hình quạt đỉnh P ), W ( γ , P ) = Chứng minh: Do U mở ℝ \ {P} nên tồn phân chia a = t0 ≤ t1 ≤ ≤ tn = b cho γ ([ti , ti −1 ]) chứa hình quạt mở U i ⊂ U , i = 1, 2, , n Trên U i , chọn hàm góc f i thu hẹp hàm góc liên tục U lên U i f i liên tục và: 20 Định đề 2.4.4:Giả sử C biên đĩa đóng D , F : C → ℝ \ {P} Khi đó, F mở rộng thành hàm liên tục từ D đến ℝ \ {P} W ( F, P) = Chứng minh: Giả sử C biên đĩa đóng D , F : C → ℝ \ {P} mở rộng thành hàm liên tục từ D đến ℝ \ {P} Gọi ( x0 , y0 ) tâm, r bán kính đĩa đóng D γ = F ϕ : [0,1] → ℝ \ {P} ánh xạ tương ứng F Gọi F : D → ℝ \ {P} mở rộng liên tục F thì: H (t, s ) = F (( x , y ) + s ( rcos ( 2π t ) , rsin ( 2π t ))) ,0 ≤ t ≤ 1, ≤ s ≤ 0 đồng luân từ γ đến đường điểm F ( ( x0 , y0 ) ) Đồng luân nằm bên ℝ \ {P} , số vòng quay đường 0, theo hệ 2.2.2, W ( F , P ) = Chiều thuận định đề chứng minh Ngược lại, giả sử F : C → ℝ \ {P} thỏa W ( F , P ) = Lấy P ' ∈ ℝ \ {P} đặt F : C → U ánh xạ biến C thành P ' Khi đó, γɶ = F ϕ ánh xạ ( ) nên W γɶ , P = = W ( γ , P ) Cả γ γɶ đường đóng, theo mệnh đề 2.2.7, γ đồng luân với γɶ qua đường đóng, nghĩa tồn ánh xạ liên tục H : [0,1] × [0,1] → U cho H ( t ,1) = γ ; H ( t ,0 ) = γɶ , ≤ t ≤ ; H ( 0, s ) = H (1, s ) , ≤ s ≤ (1) Với Q ∈ D , Q biểu diễn dạng ( x , y ) + s ( rcos 2π t , rsin2π t ) ,0 ≤ s ≤ 0 Đặt f : D → U xác định f ( Q ) = H ( t , s ) Nhờ vào (1), f ánh xạ Mặt ( khác, với V mở U , H −1 (V ) = f ϕ [0,1] × [0,1] , ) −1 (V ) = ϕ ( f (V ) ) −1 −1 mở f −1 (V ) mở D Ở ϕ : [0,1] × [0,1] → D cho ϕ ( s, t ) = ( x0 , y0 ) + s ( rcos 2π t , rsin 2π t ) 21 Định nghĩa 2.4.5: Cho F ánh xạ liên tục từ đường tròn C đến đường tròn C ' P ' tâm C ' Ta định nghĩa bậc ánh xạ F , kí hiệu deg ( F ) công thức: deg ( F ) = W ( F , P ' ) Nhận xét 2.4.6: Ta thay điểm P ' định nghĩa điểm Q nằm C ' Chứng minh: Lấy điểm Q nằm C ' Do phần đường tròn tập liên thơng nên theo định đề 2.3.2, W ( F , Q ) = W ( F , P ') Ví dụ 2.4.7 a) Nếu F khơng tồn ánh bậc Thật vậy, F khơng tồn ánh nên F (C ) C ' , ta có ℝ \ {F ( C )} liên thơng, thành phần liên thông vô tận, deg ( F ) = W ( F , P ') = b) Ngược lại, F tồn ánh bậc Ví dụ ánh xạ F từ đường tròn C đến đường tròn C ' xác định  x , y + rcos π t , rsin π t , ≤ t ≤ ( ) ( ) 0   F ( x, y ) =    ( x0 , y0 ) +  rcos  −4π  t −   , rsin  −4π  t −    , ≤ t ≤              với ( x0 , y0 ) , r tâm bán kính C ' tồn ánh liên tục có bậc Mệnh đề 2.4.8 a) F G ánh xạ đồng luân chúng có bậc b) Nếu C biên đĩa D F mở rộng thành ánh xạ liên tục từ C vào C ' F đồng luân với đường từ C đến C ' , deg ( F ) = c) Nếu S đường tròn đơn vị tâm gốc toạ độ, F : S → S ánh xạ liên tục bậc n đồng luân với ánh xạ biến ( cos (ϑ ) , sin (ϑ ) ) thành ( cos ( nϑ ) , sin ( nϑ ) ) Chứng minh: 22 a) F đồng luân với G γ F đồng luân γ G , W (γ F , P ') = W (γ G , P ') , hay deg ( F ) = deg ( G ) b) Kết suy trực tiếp từ chứng minh định đề 2.4.4 định nghĩa 2.4.5 c) Vì ánh xạ biến ( cos (ϑ ) , sin (ϑ ) ) thành ( cos ( nϑ ) , sin ( nϑ ) ) có bậc n , kết thu trực tiếp từ khẳng định câu a Mệnh đề 2.4.9: Nếu F : C → C ' , G : C ' → C '' ánh xạ liên tục deg ( F ) = m , deg ( G ) = n deg ( G F ) = n.m Chứng minh: Giả sử F : C → C ' , G : C ' → C '' ánh xạ liên tục deg ( F ) = m , deg ( G ) = n Gọi r , r ', r '' bán kính C , C ', C '' Đặt F1 : C → C ' cho ( rcosϑ , rsinϑ ) ֏ ( r ' cos ( mϑ ) , r ' sin ( mϑ ) ) , G1 : C ' → C '' cho ( r ' cosϑ , r ' sinϑ ) ֏ ( r '' cos ( nϑ ) , r '' sin ( nϑ ) ) deg ( F1 ) = m , deg ( G1 ) = n Do F bậc với F1 nên chúng đồng luân, tương tự ta có G đồng luân với G1 Vì vậy, G F đồng luân với G1 F1 , theo mệnh đề 2.4.8, deg ( F G ) = deg ( F1 G1 ) = n.m Định nghĩa 2.4.10: Giả sử U V tập mở ℝ , F : U → V ánh xạ liên tục, P điểm thuộc U Giả sử tồn lân cận P cho F ( Q ) ≠ F ( P ) với Q ≠ P thuộc lân cận Chọn số nguyên dương r cho đĩa mở Dr ( P ) nằm lân cận gọi Cr ( P ) đường tròn tâm P , bán kính r Khi đó, thu hẹp F lên Cr ( P ) ánh xạ liên tục từ Cr ( P ) đến ℝ \ {P} Ta định nghĩa bậc địa phương F P , kí hiệu deg P ( F ) , số vòng quay ánh xạ xung quanh điểm F ( P ) Nói cách khác, deg P ( F ) = W (γ r , F ( P ) ) , ( ) đó: γ r ( t ) = F P + r ( cos ( 2π t ) , sin ( 2π t ) ) , ≤ t ≤ Bổ đề 2.4.11: Số vòng quay xác định không phụ thuộc vào chọn lựa r Chứng minh: Lấy r ' ≠ r thỏa giả thiết Khi đó, ( H ( t , s ) = F P + ( (1 − s ) r + sr ') ( cos ( 2π t ) , sin ( 2π t ) ) ) 23 đồng luân từ γ r đến γ r ' Theo mệnh đề 2.2.7, W (γ r , F ( P ) ) = W (γ r ' , F ( P ) ) Một cách tương tự, bậc địa phương F P số vòng quay ánh xạ từ đường tròn đơn vị đến cho cơng thức Q֏ F ( P + rQ ) − F ( P ) F ( P + rQ ) − F ( P ) Nhận xét 2.4.12 Nếu F : ℝ → ℝ ánh xạ tuyến tính, cho ma trận cấp ( × ) có định thức khác bậc địa phương F gốc tọa độ +1 định thức dương, −1 định thức âm Nếu F : U → V ánh xạ trơn, định thức Jacobian F P khác , bậc địa phương F P xác định +1 −1 tùy thuộc vào dấu định thức 24 Chương CÁC ÁP DỤNG CỦA SỐ VỊNG QUAY 3.1 Định lí đại số Đồng tập hợp số phức ℂ với mặt phẳng thực ℝ , số thực z = x + iy đồng với điểm ( x, y ) Với đa thức phức, g (T ) = a0T n + a1T n−1 + + an−1T + an , hệ số số phức, xét ánh xạ z ֏ g ( z ) Vì phép cộng phép nhân số phức liên tục nên ánh xạ liên tục Định đề 3.1.1( Định lí đại số) Mọi đa thức phức có bậc lớn có nghiệm Chứng minh: Lấy đa thức phức g (T ) có bậc lớn khơng Khơng tính tổng qt, ta giả sử hệ số đầu đa thức a0 = Giả sử g (T ) khơng có nghiệm, tức g ánh xạ từ ℂ vào ℝ \ {0} Lúc này, hạn chế g lên Cr ( ) ( r > ) ánh xạ liên tục từ Cr ( ) đến ℂ \ {0} , kí hiệu g r Vì g r mở rộng thành ánh xạ liên tục từ đĩa Dr ( ) đến ℝ \ {P} , theo định đề 2.4.4, số vòng quay W ( g r ,0 ) Ta so sánh g r với ánh xạ f r cho đa thức f (T ) = T n Hạn chế ánh xạ lên Cr ( ) ánh xạ f r ( z ) = z n , theo ví dụ 2.4.3, W ( f r ,0 ) = n Mặt khác, với r đủ lớn, f r ( z ) − g r ( z ) < f r ( z ) − với z ∈ Cr ( ) Thật vậy: f r ( z ) − = z n = r n f r ( z ) − g r ( z ) = a1 z n −1 + + an −1 z + an ≤ a1 r n −1 + + an −1 r + an bé r n r lớn ( cụ thể r thỏa < ri với i ) n 25 Do đó, áp dụng hệ 2.2.5 định lí 2.2.4 (Dog- on- a- Leash) cho hai ánh xạ tương ứng f r , g r , ta suy số vòng quay hai ánh xạ (mâu thuẫn) Nếu z1 nghiệm g (T ) , g (T ) = (T − z1 ) h (T ) , h (T ) đa thức bậc n − Bằng quy nạp, có g (T ) phân tích thành tích nhân tử tuyến tính: g (T ) = a0 ∏ i =1 (T − zi ) n với zi nghiệm phương trình g (T ) = Mệnh đề 3.1.2: Giả sử f : ℂ → ℂ hàm liên tục cho với R > đó, f ( z ) < z n với z = R Khi đó, phương trình z n + f ( z ) = có nghiệm z với z < R Chứng minh: Giả sử phương trình z n + f ( z ) = khơng có nghiệm z với z < R Từ giả thiết suy phương trình khơng có nghiệm z với z = R Như phương trình khơng có nghiệm Dr ( ) Đặt g ( z ) = z n + f ( z ) , ta có g ánh xạ liên tục từ Dr ( ) vào ℝ \ {0} Gọi g r thu hẹp g lên đường tròn biên Cr ( ) , g r có mở rộng liên tục lên Dr ( ) nên W ( g r ,0 ) = Ta so sánh g r với ánh xạ hr cho hạn chế đa thức h ( z ) = z n lên Cr ( ) Theo ví dụ 2.4.3, W ( hr ,0 ) = n Theo giả thiết, hr − = z n − = z n = R n , g r ( z ) − hr ( z ) = f r ( z ) < z = R n n Áp dụng hệ 2.2.5, W ( g r ,0 ) = W ( hr ,0 ) , mâu thuẫn 3.2 Điểm bất động phép co rút Một ứng dụng quan trọng khái niệm tơpơ ngành khác tốn học hay khoa học nói chung đưa điều kiện đủ để ánh xạ liên tục từ khơng gian vào có điểm bất động Chúng ta bắt đầu với trường hợp khoảng đóng [ a, b ] Chúng ta khẳng định hàm liên tục f : [ a, b ] → [ a, b ] phải có điểm bất động Quan sát sơ đồ ánh xạ, ta thấy điều 26 Hình 3.1 Để chứng minh cách rõ ràng, ta xét hàm g ( x ) = f ( x ) − x Đây hàm liên tục [ a, b ] với g ( a ) ≥ g ( b ) ≤ Vì ảnh g ([ a, b ]) đoạn [ a, b ] qua g liên thơng, phải chứa đoạn  g ( a ) , g ( b )  , phải chứa Điều có nghĩa g ( x ) = có nghiệm Khẳng định có liên hệ mật thiết với tính chất khác khoảng đóng, khơng tồn ánh xạ liên tục từ khoảng đóng [ a, b ] lên điểm mút mà biến a thành a biến b thành b Khẳng định hiển nhiên ảnh tập liên thơng liên thơng Nói cách khác , khơng tồn phép co rút liên tục khoảng đóng biên Một lần nữa, điều lại chứng minh hàm liên tục f từ khoảng đóng [ −1,1] vào phải có điểm bất động, khơng ánh xạ x ֏ ( x − f ( x ) ) / x − f ( x ) phép co rút liên tục [ −1,1] {−1,1} Kế tiếp, chuyển sang trường hợp đĩa đóng D Trước tiên, chứng minh không tồn phép co rút D biên C nó, sau trên, vận dụng kết để chứng minh ánh xạ liên tục từ đĩa D vào phải có điểm bất động Định đề 3.2.1: Không tồn phép co rút đĩa đóng đường tròn biên 27 Chứng minh: Lấy đĩa đóng D ⊂ ℝ gọi C biên D Giả sử tồn f : D → C cho f ( P ) = P với P thuộc C Khi đó, thu hẹp f lên C ánh xạ đồng từ C vào nên có bậc Thay đổi vị trí nhìn, ta thấy f mở rộng ánh xạ lên D nên theo mệnh đề 2.4.4, bậc ánh xạ , mâu thuẫn Định đề 3.2.2 (Brouwer): Một ánh xạ liên tục từ đĩa đóng vào phải có điểm bất động Chứng minh: Chúng ta giả sử đĩa D đĩa tròn đơn vị tâm gốc tọa độ, với biên C đường tròn đơn vị Giả sử tồn f : D → D ánh xạ liên tục mà khơng có điểm bất động Gọi h : D → C ánh xạ biến điểm P thành giao điểm C tia nối từ f ( P ) đến P Thu hẹp h lên C ánh xạ đồng Hình 3.2 Mặt khác, biết h ( P ) = P + t.U với U = P − f ( P) t số P − f ( P) nguyên dương xác định tính chất h ( P ) = Bằng tính tốn, ta xác định t = − P.U + − P.P + ( P.U ) số nguyên dương Với t này, ánh xạ h xác định công thức liên tục 28 Vậy tồn h phép co rút D lên C biên nó, mâu thuẫn với định đề 3.2.1 3.3 Điểm đối cực ánh xạ đối cực Điểm đối cực điểm đường tròn C hay mặt cầu S điểm đối diện, có nghĩa giao điểm C hay S tia xuất phát từ điểm qua tâm chứng Chúng ta kí hiệu điểm đối cực P P* Nếu C hay S có tâm gốc tọa độ, ta có P* = − P Ánh xạ đối cực ánh xạ mà biến điểm thành điểm đối cực Hình 3.3 Nhận xét: Bậc ánh xạ đối cực từ đường tròn vào Bổ đề 3.3.2 (Bosuk): Nếu C C ' đường tròn f : C → C ' ánh xạ liên tục cho f ( P* ) = f ( P ) với P , bậc ánh xạ lẻ * Chứng minh: Khơng tính tổng qt, ta giả sử C = C ' = S Đặt γ ( t ) = f ( cost , sint ) , ≤ t ≤ π , γ (π ) = −γ ( ) , thay đổi góc dọc theo γ phải 2π n + π với n số ngun Vì vậy, W (γ ,0 ) = n + Bây đặt: σ ( t ) = f ( cos( t + π ) , sin ( t + π ) ) = −γ ( t ) ,0 ≤ t ≤ π Từ định nghĩa số vòng quay, ta suy W (σ ,0 ) = W (γ ,0 ) , nên deg ( f ) = W ( γ ,0 ) + W (σ ,0 ) = 2n + 29 Nhận xét 3.3.3: Nếu F : C → C ' ánh xạ đường tròn cho f ( P* ) = f ( P ) với P bậc f chẵn Bổ đề 3.3.3: Không tồn ánh xạ liên tục f từ mặt cầu S đến đường tròn C cho f ( P* ) = f ( P ) với P nằm S * Chứng minh: Chúng ta cần chứng minh bổ đề với S = S Giả sử tồn ánh xạ liên tục f từ S đến đường tròn C cho f ( P* ) = f ( P ) với P * nằm g ( x, y ) = f S ( ( x, y , Ta xét − x2 − y ánh xạ g : D2 → C cho cơng thức )) Vì ánh xạ chiếu từ nửa mặt cầu S2 xuống đĩa D đồng phôi g hợp thành f nghịch đảo ánh xạ nên g liên tục Mặt khác, với P thuộc S , g ( P* ) = f ( P* ) = f ( P ) = g ( P ) * * nên theo bổ đề 3.3.2, bậc hạn chế g lên S lẻ Nhưng ánh xạ mở rộng đĩa D , bậc phải 0, mâu thuẫn Định đề 3.3.4 (Bousuk- Ulam): Với ánh xạ liên tục f : S → ℝ từ mặt cầu S đến mặt phẳng, tồn điểm P thuộc S cho f ( P ) = f ( P* ) Chứng minh: Chúng ta lấy S = S Giả sử khơng tồn P Khi đó, hàm g : S → S xác định g ( P ) = f ( P ) − f ( −P ) thỏa g ( − P ) = − g ( P ) , mâu f ( P ) − f ( −P ) thuẫn với bổ đề 3.3.3 Theo định đề này, ln có hai điểm đối cực trái Đất có nhiệt độ độ ẩm, hay cặp giá trị thực khác, miễn chúng biến đổi liên tục trái Đất Tiếp theo, xem xét, chứng minh số trường hợp đặc biệt khẳng định mà nghe hiển nhiên, hai tập mở hai khơng gian có số chiều khác đồng phôi với 30 Trường hợp xét đến khoảng mở đồng phôi với tập mở ℝ n , n ≥ Vì việc bỏ điểm làm cho khoảng trở thành không liên thông, không làm tập mở ℝ n , n ≥ trở thành không liên thông, ta suy khẳng định Trường hợp hiển nhiên hơn: Hệ 3.3.5 (Bất biến số chiều): Một tập mở ℝ đồng phôi với tập mở ℝ n với n ≥ Chứng minh: Giả sử tồn U mở ℝ đồng phôi với tập mở V ℝ n với n ≥ Do V mở ℝ n nên tồn cầu D n (với bán kính r đó) chứa V Lúc này, thu hẹp đồng phôi lên D n đơn ánh từ cầu vào mặt phẳng, nhúng mặt cầu hai chiều S ⊂ D ⊂ D n vào mặt phẳng, mâu thuẫn với định đề 3.3.4 3.4 Xăng-quích Một áp dụng hay định lí Borsuk- Ulam tốn xăng- qch thịt xơng khói: làm để cắt miếng bánh mì xăng- qch thịt xơng khói kẹp thành hai phần với nhát dao? Giả sử có vật thể bị chặn A, B, C không gian Vấn đề chứng minh tồn mặt phẳng cắt vật thành hai phần thể tích Trước giải vấn đề này, làm quen với số tính chất thể tích vật thể X = A, B, C Tính chất Với đường thẳng cố định l , tồn điểm l cho mặt phẳng vng góc với l qua điểm cắt X thành hai phần Chúng ta gọi điểm Pl , x Tính chất suy từ khẳng định: thể tích bên vật gia tăng liên tục điểm di chuyển dọc đường thẳng Tính chất Điểm tính chất biến đổi liên tục đường thẳng biến đổi liên tục Chính xác hơn, lấy mặt cầu lớn S với X phía trong, xét với Q thuộc 31 S đường thẳng l ( Q ) từ Q đến đối cực Khi đó, ánh xạ từ Q đến Pl (Q ), X liên tục Chúng ta sử dụng tính chất để chứng minh Định đề 3.4.1: Cho vật thể đo được, bị chặn A , B C không gian, tồn mặt phẳng chia số chúng thành hai phần thể tích Chứng minh: Lấy mặt cầu S chứa vật thể A , B C Đặt f A : S → ℝ quy tắc biến điểm Q thuộc S thành f A ( Q ) khoảng cách từ Q đến điểm Pl (Q ), X Khi đó, f A hàm giá trị thực liên tục thỏa f A ( Q* ) = d − f A ( Q ) với d đường kính mặt cầu, Q* điểm đối cực Q Ta xây dựng hàm f B , f C với tính chất tương tự f A Xét ánh xạ g : S → ℝ cho công thức: g ( Q ) = ( f A ( Q ) − fC ( Q ) , f B ( Q ) − fC ( Q ) ) g ( Q* ) = − g ( Q ) với Q thuộc S , theo định đề 3.3.4 (Bousuk- Ulam), điểm Q phải biến thành 0, có nghĩa Pl (Q ), A = Pl (Q ), B = Pl (Q ),C Ý tưởng giống sử dụng định đề phát biểu trơng khác: Định đề 3.4.2 (Lusternik- Schnirelman- Borsuk): Không thể phủ mặt cầu tập đóng mà khơng có tập chứa cặp điểm đối cực Chứng minh: Giả sử mặt cầu S phủ tập đóng K1 , K K khơng có tập chứa cặp điểm đối cực Với i = 1, 2,3 , ta định nghĩa hàm liên tục f i S , đặt tương ứng điểm P với khoảng cách ngắn từ đến K i Xét ánh xạ g : S → ℝ cho công thức: g ( P ) = ( f1 ( P ) − f ( P ) , f ( P ) − f ( P ) ) Theo định đề 3.3.4, tồn điểm P với g ( P ) = g ( P* ) Với P vây, f i ( P ) − f j ( P ) = f i ( P* ) − f j ( P* ) với i j Nhưng P phải trong 32 tập hợp K i , P* nằm K j khác Vì P khơng thuộc K j P* không thuộc K i , > − f j ( P ) = fi ( P ) − f j ( P ) = f i ( P* ) − f j ( P* ) = f i ( P* ) > , mâu thuẫn 33 KẾT LUẬN Trong viết này, cố gắng trình bày cách có hệ thống số vòng quay số ứng dụng Để viết khơng q dài cồng kềnh, số chứng minh trình bày ngắn gọn Do khơng có đủ thời gian, nên tơi khơng trình bày nhiều áp dụng khác số vòng quay Nếu có nhiều thời gian có điều kiện tiếp tục làm việc với đề tài này, cố gắng tìm thêm áp dụng khác số vòng quay phát triển áp dụng lên khơng gian có bậc cao Cuối cùng, cố gắng chắn viết không tránh khỏi thiếu sót Tơi mong q độc giả lượng thứ mong nhận ý kiến đóng góp quý báu quý vị 34 Tài liệu tham khảo: William Fulton, Algebraic Topology A First Course, Springer, 1995 G.E Bredon, Topology and Geometry, Springer-Verlag, 1983 J Dieudonné, A History of Algebraic and Differential Topology, 1990-1960, Birkhãuser, 1989 P.J Hilton, An Introduction to Homotopy Theory, Cambridge University Press, 1961 W.S Massey, A Basic Course in Algebraic Topology, Springer-Verlag, 1991 ... đại số cần phải nắm vững Do đó, để hiểu rõ khái niệm này, tơi chọn đề tài Số vòng quay vài ứng dụng số vòng quay làm đề tài luận văn tốt nghiệp Mục đích đề tài Làm rõ khái niệm số vòng quay. .. phần kết luận Phần nội dung đề tài chia làm chương, chương trình bày số kiến thức chuẩn bị, chương trình bày định nghĩa số tính chất số vòng quay chương trình bày số ứng dụng số vòng quay 5 NỘI... điều kiện bước 1, số vòng quay khơng thay đổi Và đó, hai phân chia thỏa mãn điều kiện bước phân chia mịn bao gồm tất điểm chia hai phân chia xác định số vòng quay số chúng Số vòng quay độc lập với