Trang MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu CHƯƠNG 1.1 Các ý nghĩa khái niệm giới hạn lịch sử toán học 1.2 Quan niệm học sinh sau học khái niệm giới hạn chương trình chỉnh lý hợp 2000 12 1.3 Phân tích tiết dạy học khái niệm giới hạn chương trình hành lớp học 15 1.3.1 Protocole giới hạn hàm số (tiết 53) 15 1.3.2 Protocole giới hạn hàm số (tiết 54) 19 1.3.3 Protocole giới hạn hàm số (tiết 56) 21 1.4 Kết luận 22 CHƯƠNG 24 2.1 Giả thuyết Rogalski mục đích thực nghiệm 24 2.1.1 Giả thuyết Rogalski 24 2.1.2 Mục đích thực nghiệm 24 2.2 Những lựa chọn cho hoạt động 24 2.2.1 Nghiên cứu toán học 25 2.2.2 Vẽ đồ thị (bằng phần mềm Geogebra) 27 2.2.3 Dự đoán giới hạn thực nghiệm số với máy tính Casio FX570MS 28 2.2.4 Lý lựa chọn hàm số 29 Trang 2.2.5 Giới thiệu sơ lược phần mềm sử dụng kịch thực nghiệm 30 2.2.5.1 Phần mềm giả lập máy tính cầm tay FX570MS 30 2.2.5.2 Phần mềm hình học động Geogebra 31 2.3 Chi tiết kịch thực nghiệm 33 2.3.1 Hoạt động 1: (8 phút) Sử dụng phần mềm giả lập Casio FX 570 MS 33 2.3.2 Hoạt động 2: (12 phút) Thực nghiệm số 35 2.3.3 Hoạt động 3: (24 phút) Sử dụng phần mềm Geogebra quan sát đồ thị 38 2.3.4 Hoạt động 4: (5 phút) Định nghĩa giới hạn điểm 42 2.3.5 Hoạt động 5: (10 phút) Hình thành quan điểm « xấp xỉ f(x) » 42 2.3.6 Phân tích tiên nghiệm 45 2.3.7 Phân tích hậu nghiệm 49 2.4 Kết luận 60 KẾT LUẬN 62 TÀI LIỆU THAM KHẢO 64 PHỤ LỤC Trang DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT HS : Học sinh GV : Giáo viên SGK : Sách giáo khoa THPT : Trung học phổ thông PPGD : Phương pháp giáo dục UDCNTT : Ứng dụng công nghệ thông tin Trang MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài : Ngày nay, việc ứng dụng công nghệ thông tin trở nên quen thuộc với thầy cô công tác ngành giáo dục Với công văn số 12966/BGDDTCNTT (2007) Bộ Giáo Dục & Đào Tạo năm học 2008-2009 chọn Năm học Cơng nghệ thơng tin Như thấy ứng dụng công nghệ thông tin yêu cầu khuyến khích dạy học Phổ thơng Tuy nhiên, dạy học nói chung dạy học Tốn nói riêng, khơng phải kiến thức áp dụng cách dạy Có thể nói CNTT yếu tố giúp làm nảy sinh thúc đẩy xu hướng dạy học thay dần phương pháp dạy học truyền thống, mà người ta thường gọi "Phương pháp dạy học tích cực" Tức người học giữ vai trò trung tâm, chủ động thực tình để giải vấn đề, giáo viên người tổ chức hoạt động tổng kết kiến thức học sinh phát Khi kiến thức khơng truyền thụ trực tiếp từ giáo viên đến học sinh mà xuất khơng hồn chỉnh sản phẩm học sinh, nói giáo viên người thể chế hóa lại kết thành tri thức Dựa theo tiêu chuẩn đó, báo mình, tác giả Lê Thái Bảo Thiên Trung đề nghị phân chia việc UDCNTT thành cấp độ Cấp độ : Giáo viên ứng dụng CNTT để trình chiếu minh họa Cấp độ : Giáo viên ứng dụng CNTT để minh họa hoạt động Cấp độ : Học sinh trực tiếp thao tác phần mềm tình gợi vấn đề1 Ở thấy cấp độ 3, quan điểm lấy người học làm trung tâm thể rõ nét Việc vận dụng cấp độ vào mơn Tốn nhiều hạn chế, có Thuật ngữ tình gợi vấn đề dùng theo nghĩa Lê Văn Tiến (2005) Trang vấn đề cần phải nghiên cứu áp dụng cách cụ thể Trong vấn đề có vấn đề dạy học giới hạn trường THPT Mặt khác, nhiều ý kiến cho chất khái niệm giới hạn khó giảng dạy trường Phổ thơng, quy tắc đại số, kỹ thuật tính giới hạn ưu tiên gần tuyệt đối việc giảng dạy trường THPT Đó âu lẽ tự nhiên thỏa mãn u cầu kỳ thi mà Bộ Giáo Dục đề Vậy việc hiểu chất khái niệm giới hạn học sinh có lợi ích gì? Bản chất giảng dạy chương trình hành hay khơng? Và để giảng dạy khái niệm ứng với PPGD tích cực (lấy người học làm trung tâm) mà giáo dục theo đuổi? Từ lý chọn đề tài nghiên cứu luận văn : "Nghiên cứu tình dạy học khái niệm giới hạn ứng dụng công nghệ thông tin" Mục đích nghiên cứu : Nghiên cứu nhắm vào việc thiết kế, phân tích thực nghiệm tình dạy học khái niệm giới hạn hữu hạn gắn với nghĩa thực khái niệm sau khái niệm giới thiệu trường phổ thơng phương pháp giáo dục tích cực có ứng dụng CNTT Ngồi hàm số chọn lựa tình khơng đơn giản dạng hàm thường xét giới hạn chương trình THPT Vì chúng tơi muốn thơng qua thực nghiệm số đồ thị để xem xét giả thuyết Rogalski dạy học phổ thông Việt Nam Giả thuyết Rogalski (1994) việc dạy học khái niệm hội tụ bậc đại học Để dạy sinh viên hiểu khái niệm hội tụ sử dụng khái niệm giải tốn, khơng giới hạn cho họ giải tập Điều tránh hình thành cho sinh viên mơ hình q đơn giản hay sai tạo thành chướng ngại dạy học Trang Phương pháp nghiên cứu : Với mục đích nghiên cứu tình dạy học khái niệm giới hạn trên, tuân theo quy trình sau : Phân tích tri thưc luận → Phân tích chương trình, sách giáo khoa → Thiết kế tình phân tích tiên nghiệm tình → Thực nghiệm tình phân tích hậu nghiệm → Cải tiến tình huống, bổ sung phân tích tiên nghiệm → … Để đạt mục đích nghiên cứu khoảng thời gian ngắn khóa luận, chúng tơi sử dụng kết có cho hai mắt xích : Phân tích tri thức luận → Phân tích chương trình, sách giáo khoa Cụ thể, chúng tơi tìm hiểu số kết nghiên cứu tri thức luận khái niệm giới hạn lịch sử từ kết Lê Thái Bảo Thiên Trung (2007) Sau đó, chúng tơi dựa vào biên dự Lê Thành Đạt (2010) cho chương trình hành kết hợp với phân tích thực nghiệm liên quan đến chương trình SGK chỉnh lí hợp Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004) Nguyễn Thành Long (2004) Việc hiểu tóm lại điểm cần thiết cho khóa luận từ nghiên cứu có cho phép chúng tơi nhanh chóng tiến hành nghiên cứu thực nghiệm tình dạy học khái niệm giới hạn Với phương pháp nghiên cứu mục đích nghiên cứu đề ra, khóa luận chúng tơi tổ chức thành hai chương : Chương : Tổng hợp nghiên cứu dạy học khái niệm giới hạn Chương : Thực nghiệm Trang CHƯƠNG TỔNG HỢP CÁC NGHIÊN CỨU VỀ DẠY HỌC KHÁI NIỆM GIỚI HẠN Mục tiêu chương Từ việc phân tích tổng hợp báo "DẠY VÀ HỌC KHÁI NIỆM GIỚI HẠN HÀM SỐ Ở TRƯỜNG THPT" tác giả Lê Thái Bảo Thiên Trung (2011) rút số kết luận quan điểm khái niệm giới hạn hàm số lịch sử thể quan điểm trường phổ thông 1.1 Các ý nghĩa khái niệm giới hạn lịch sử toán học : Trước tiên xin điểm qua vài nét bật hình thành nên khái niệm giới hạn lịch sử Ngay từ thời toán học cổ Hy Lạp, nhà toán học Eudoxus (khoảng 408 – 355 TCN) xem người có tư tưởng giới hạn đầu tiên, khái niệm trung tâm phép tính vi phân tích phân, sớm Tuy nhiên, trước Eudoxus, Antiphon có ý tưởng giới hạn sau: Để tìm hình vng có diện tích hình tròn cho trước, Antiphon cho cách liên tiếp nhân đôi số cạnh đa giác nội tiếp đường tròn, cuối hiệu số diện tích hình tròn đa giác bị vét cạn Vì với đa giác dựng hình vng có diện tích diện tích đa giác Do vậy, ta dựng hình vng có diện tích diện tích hình tròn cho trước Lập luận Antiphon bị phê phán mặt cứ, người ta cho vi phạm điều mà cho đại lượng chia vơ hạn, q trình Antiphon sử dụng đa giác có diện tích đường tròn Tuy nhiên cách làm Antiphon giúp cho Eudoxus phát triển Trang phương pháp vét cạn (method of exhaustion) tiếng với mệnh đề sau làm sở: "Nếu từ đại lượng bỏ phần không nhỏ phân nửa nó, v.v cuối lại đại lượng nhỏ đại lượng ấn định trước loại" Nhờ phương pháp vét cạn mà ơng nhà tốn học sau, đặc biệt Archimedes, tìm nhiều cơng thức tính diện tích, thể tích nhiều hình hình học mà đặc trưng việc tính diện tích hình thang cong, cách làm thể quan điểm khái niệm giới hạn [4, tr.2] Phương pháp vét cạn hiểu cách trực quan phương pháp giúp tìm diện tích hình cách nội tiếp chuỗi đa giác mà diện tích dần tới diện tích hình Nếu chuỗi đa giác dựng đúng, hiệu số diện tích đa giác thứ n hình cần tìm diện tích nhỏ tùy ý n đủ lớn Khi hiệu nhỏ cách tùy ý, giá trị có diện tích hình cần tìm bị vét kiệt đa thức nội tiếp Đến ta thấy tư tưởng "biến số kéo hàm số" phương pháp vét cạn cách rõ ràng, tức "biến số đa giác" kéo "hàm diện tích" đa giác đến hình cần tìm Như nói phương pháp vét cạn xem thể tư tưởng quan điểm « xấp xỉ x » Archimedes sử dụng thành thạo, nhờ mà ơng tìm Trang diện tích nhiều hình khác Sau khái niệm giới hạn định nghĩa cách chặt chẽ, phương pháp vét cạn khơng dùng để giải toán Quan điểm định nghĩa chặt chẽ mà chúng tơi muốn nói đến quan điểm « xấp xỉ f(x) », tới thời Cauchy, tức giai đoạn toán học đại, xuất [11, tr.12] Chưa dừng lại đó, 55 năm sau, đến lượt Weierstrass (1815 – 1897) làm cho định nghĩa trở nên súc tích ngơn ngữ ε, δ Định nghĩa Weierstrass có ý nghĩa quan trọng với hình thức hóa quan điểm « xấp xỉ f(x) » này, nhà toán học thao tác dễ dàng chứng minh trình bày giải tích thực 0 : x - a < δ ⇒ f(x) - l < ε) >> [18, tr.2] x→ a Đối với học sinh trường phổ thông, việc hiểu chất khái niệm giới hạn (quan điểm « xấp xỉ f(x) ») khơng dễ dàng, quan điểm « xấp xỉ x » trực quan, dễ khắc sâu vào tâm trí học sinh, thật chướng ngại khoa học luận việc hiểu chất khái niệm giới hạn Vì nhiều nước sách giáo khoa cung cấp cho học sinh khái niệm giới hạn thơng qua quan điểm « xấp xỉ x » Đơn cử trường hợp sách giáo khoa Mỹ: « Precalculus : Graphical, Numberical, Trang 10 Algebraic_year 12 » mà tác giả Lê Thành Đạt (2011) phân tích, định nghĩa sơ sài giới hạn hàm số a sách giáo khoa Mỹ đưa : [tr 813] Sách giáo khoa Mỹ giải thích lý khơng trình bày định nghĩa giới hạn hàm số x = a theo ngôn ngữ (ε, δ ) theo ngôn ngữ giới hạn dãy số sau : [tr 813] Theo tác giả Lê Thành Đạt sách giáo khoa Mỹ tự hạn chế từ đầu không xem xét quan điểm « xấp xỉ f(x) » khái niệm giới hạn, thể giải thích ký hiệu lim f ( x) = L , sách giáo khoa nhấn mạnh quan điểm « xấp xỉ x » x→ a khái niệm giới hạn Như phân tích, khái niệm giới hạn định nghĩa xác dễ dàng tìm thấy đối lập hai quan điểm kể [21, tr 2] Trang 50 góc sin π = π Khi f ( ) = 12 sin π π π π π sin sin( + ) + cos = 12 ≈ 4,678 12 12 = 12 = π π π π 12 12 12 Phiếu học tập 1A nhóm Hai nhóm đổi Radian sang độ để tính lại không lưu ý : với hàm số lượng giác π = 1800 , tính độc lập π ≈ 3,14 , dẫn đến tính sin x + cos x sai x Với việc có nhóm biết chuyển sang tính tốn đơn vị Rad cho thấy dạy học, giáo viên không ý điều cho học sinh Hoạt động 1B : Chỉ có nhóm (nhóm 1,2,9,14) biết cách nhập biểu thức chứa biến tính tốn với biến cụ thể Tuy nhiên hoạt động có đến 12 nhóm hồn thành xong phiếu có tới nhóm hồn thành Ngun nhân em chia nhiệm vụ để tính (1 nhóm có học sinh, học sinh sử dụng máy để tính giá trị, sau ghép kết tính lại với nhau) Đây thiếu xót hoạt động này, Trang 51 máy tính cài đặt phần mềm nên học sinh nhiều không tập trung máy để làm Thao tác nhập biểu thức chức biến nhóm HOẠT ĐỘNG : Thực nghiệm số Kết thực nghiệm cho câu 2 Chuyện xảy x ngày gần ? a) y = x sin : x b) y = sin : x Nhóm Phiếu HT a) x → → y nhỏ dần (nhưng không vượt giới hạn 0) b) x → → y lớn dần (nhưng không vượt giới hạn 1) a) Giá trị f(x) ngày gần b) Giá trị f(x) ngày lớn Trang 52 a) hàm số tiến b) hàm số có tăng có giảm a) kết nhỏ b) kết lớn a) y → b) ր a) f(x) nhỏ b) f(x) tăng a) x tiến tới y tiến tới b) x tiến tới → y tiến tới a) gần không thay đổi b) ngày tăng a) y → x → b) y tăng x → 10 a) f(x) ngày nhỏ tiến dần tới b) f(x) ngày tiến dần tới 11 a) f(x) tiến tới b) f(x) tiến tới (x>0) -1 (x