TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ——————–o0o——————— NGƠ THÙY LINH TÌM HIỂU VỀ BÀI TỐN ỔN ĐỊNH HÓA HỆ MARKOV DƯƠNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng HÀ NỘI, 2018 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ——————–o0o——————— NGƠ THÙY LINH TÌM HIỂU VỀ BÀI TỐN ỔN ĐỊNH HÓA HỆ MARKOV DƯƠNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Người hướng dẫn khoa học ThS NGUYỄN TRUNG DŨNG HÀ NỘI, 2018 LỜI CAM ĐOAN Khóa luận tốt nghiệp “Tìm hiểu tốn ổn định hóa hệ Markov dương” hồn thành cố gắng, nỗ lực tìm hiểu nghiên cứu thân với giúp đỡ, hướng dẫn tận tình thầy Nguyễn Trung Dũng Tơi xin cam đoan khóa luận tối nghiệp khơng trùng lặp với khóa luận tác giả khác Hà Nội, ngày tháng năm 2018 Sinh viên Ngô Thùy Linh LỜI CẢM ƠN Trước hết cho tơi bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo Nguyễn Trung Dũng tận tình hướng dẫn giúp đỡ tơi suốt thời gian nghiên cứu thực khóa luận Tơi xin chân thành cảm ơn Thầy-Cơ khoa Tốn, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội tận tình giảng dạy, trang bị cho kiến thức chuyên mơn cần thiết q trình học tập trường Tơi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, người thân bạn bè động viên khuyến khích tơi hồn thành tốt khóa luận Trong q trình nghiên cứu đề tài khơng tránh khỏi sai sót Vì vậy, tơi mong nhận ý kiến đóng góp thầy bạn đọc để khóa luận tơi hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày tháng năm 2018 Sinh viên Ngô Thùy Linh MỤC LỤC Trang Lời cam đoan Lời cảm ơn Kí hiệu MỞ ĐẦU KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Xích Markov rời rạc hữu hạn 1.1.1 Các định nghĩa 1.1.2 Phương trình Chapman-Kolmogorov 1.1.3 Phân phối ban đầu 10 1.2 Mơ hình hệ nhảy Markov rời rạc 11 1.3 Tính ổn định hệ nhảy Markov tuyến tính rời rạc 13 1.4 Một số khái niệm kết bổ trợ 17 BÀI TỐN ỔN ĐỊNH HĨA HỆ MARKOV DƯƠNG 18 2.1 Một số định nghĩa 18 2.2 Phân tích tính ổn định 19 2.2.1 Trường hợp thời gian liên tục 20 2.2.2 Trường hợp thời gian rời rạc 21 2.3 Ổn định hóa 21 2.3.1 Trường hợp thời gian liên tục 22 2.3.2 Trường hợp thời gian rời rạc 23 2.4 Ví dụ số 24 Kết luận 29 TÀI LIỆU THAM KHẢO 30 KÍ HIỆU R+ Tập hợp số thực không âm Rn Không gian vectơ Euclide n-chiều Rm×n Tập ma trận thực cấp m × n Sn Tập ma trận thực đối xứng cấp n S+ n Tập ma trận đối xứng xác định dương cấp n A Ma trận chuyển vị ma trận A A⊗B Tích Kronecker hai ma trận A B A Tất phần tử A không âm A Tất phần tử A dương col{A, B} Ma trận khối cột A B diag{A, B} Ma trận khối chéo A 0 B λ(A) Tập giá trị riêng ma trận A λmax (A) max {Reλ : λ ∈ λ(A)} λmin (A) {Reλ : λ ∈ λ(A)} σ(A) Bán kính phổ ma trận A (i.e max{|λ| : λ ∈ λ(A)}) (Ω, F, P) Không gian xác suất đầy đủ E[.] Toán tử kỳ vọng LMIs Bất đẳng thức ma trận tuyến tính MJSs Hệ nhảy Markov (Markov jump systems) MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài nghiên cứu Trong năm gần đây, vấn đề nghiên cứu định tính hệ Markov nhận quan tâm ý nhiều nhà khoa học nước giới Việc nghiên cứu có nhiều ứng dụng kỹ thuật mơ máy tính, hệ thống kĩ thuật, sinh học, y tế Chính vậy, nghiên cứu tính ổn định hệ Markov đóng vai trò vơ quan trọng q trình nghiên cứu lý thuyết hệ động lực Dựa định hướng Thạc sỹ Nguyễn Trung Dũng, chọn đề tài: Tìm hiểu tốn ổn định hóa hệ Markov dương làm đề tài khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu khái niệm ổn định hệ Markov dương trường hợp thời gian rời rạc thời gian liên tục Tìm hiểu tiêu chuẩn ổn định ngẫu nhiên hệ Markov dương trường hợp thời gian rời rạc thời gian liên tục Tìm hiểu toán thiết kế điều khiển phản hồi ổn định hóa hệ Markov dương Nhiệm vụ nghiên cứu Trình bày kiến thức hệ Markov dương Trình bày tiêu chuẩn ổn định ngẫu nhiên hệ Markov dương thiết kế điều khiển ngược để hệ đóng ổn định Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Hệ Markov dương Phạm vi nghiên cứu: Tiêu chuẩn ổn định hóa hệ Markov dương Cấu trúc khóa luận Ngồi phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo khóa luận bao gồm chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Bài tốn ổn định hóa hệ Markov dương Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tơi nhắc lại số khái niệm giải tích ngẫu nhiên, xích Markov rời rạc, mơ hình hệ nhảy Markov số kết bổ trợ có liên quan đến nội dung khóa luận 1.1 Xích Markov rời rạc hữu hạn Trong mục này, nhắc lại số kết liên quan đến xích Markov rời rạc hữu hạn Nội dung mục dựa tài liệu [3] 1.1.1 Các định nghĩa Cho {rk }k∈Z0 dãy biến ngẫu nhiên xác định không gian xác suất (Ω, F, P) nhận giá trị tập M không đếm Định nghĩa 1.1.1 ([3]) Dãy R = {rk }k∈Z0 gọi xích Markov với k ∈ Z0 , P {rk+1 = j|r0 = i0 , , rk−1 = ik−1 , rk = i} = P {rk+1 = j|rk = i} (1.1) với i0 , i1 , , ik−1 , i, j ∈ M • P {rk+1 = j|rk = i} gọi xác suất chuyển xích từ trạng thái i thời điểm k sang trạng thái j thời điểm k + • Tập M gọi khơng gian trạng thái xích R • Nếu tập M có hữu hạn phần tử xích R gọi hữu hạn • Nếu xác suất chuyển πij P {rk+1 = j|rk = i} không phụ thuộc vào thời gian k xích R gọi Nhận xét 1.1.1 Đẳng thức (1.1) diễn tả luật Markov trình {rk }k∈Z0 nghĩa hệ lại mode (mode khơng ổn định) lâu Khi đó, A= 10 144 90 16 , rσ (A) = 1.61 > Theo Định lí 1.3.1, hệ khơng ổn định Ví dụ 1.3.2 ([6]) Xét hệ (1.6) gồm hai mode với ma trận A1 = 0.5 0.5 , A2 = Rõ ràng, mode mode ổn định tiệm cận Giả sử chuyển đổi mode mô tả xích Markov rời rạc với ma trận xác suất chuyển Π= 2 2 Trong trường hợp rσ (A) = 2.125 > hệ khơng ổn định tiệm cận Ví dụ 1.3.3 ([6]) Xét hệ (1.6) gồm hai mode với ma trận A1 = −1 0 , A2 = Trường hợp này, mode mode không ổn định tiệm cận Giả sử chuyển đổi mode mơ tả xích Markov rời rạc với ma trận xác suất chuyển Π= 0.1 0.9 0.9 0.1 Khi rσ (A) = 0.4 < hệ ổn định tiệm cận Nhận xét 1.3.3 Các ví dụ ảnh hưởng xác suất chuyển xích Markov lên tính ổn định hệ Cụ thể hơn, tất mode ổn định tiệm cận, chí ổn định mũ, khơng suy hệ nhảy Markov tương ứng với xích Markov ổn định ngược lại, cho dù tất mode khơng ổn định tồn xích Markov chuyển đổi mode để hệ nhảy Markov tương ứng ổn định theo nghĩa 16 1.4 Một số khái niệm kết bổ trợ Định nghĩa 1.4.1 (Ma trận Metzler) Ma trận A = [aij ] ∈ Rn×n gọi ma trận Metzler aij ≥ với i = j, i, j = 1, 2, , n Ví dụ 1.4.1 Ma trận A = −3 ma trận Metzler Định nghĩa 1.4.2 (Ma trận Hurwitz) Ma trận A ∈ Rn×n gọi ma trận Hurwitz với λ ∈ σ(A) Re(λ) < Định nghĩa 1.4.3 (Ma trận Schur) Ma trận A ∈ Rn×n gọi ma trận Schur với λ ∈ σ(A) |λ| < Các bổ đề sử dụng để chứng minh kết chương sau Bổ đề 1.4.1 ([7]) Cho M ∈ Rn×n ma trận Metzle Khi M ma trận Hurwitz tồn vectơ v cho M v ≺ Bổ đề 1.4.2 ([8]) Cho M tồn vectơ v ∈ Rn×n Khi M ma trận Schur cho (M − I) v ≺ 17 Chương BÀI TỐN ỔN ĐỊNH HĨA HỆ MARKOV DƯƠNG Nội dung chương trình bày kết ổn định ổn định hóa lớp hệ nhảy Markov dương Các kết tham khảo tài liệu [9] 2.1 Một số định nghĩa Cho không gian xác suất đầy đủ (Ω, F, P), Ω không gian mẫu, F σ - đại số biến cố P độ đo xác suất xác định F Xét hệ nhảy Markov (MJS) thời gian liên tục sau: (2.1) x(t) = A(rt )x(t) + B(rt )u(t), Xét hệ nhảy Markov (MJS) thời gian rời rạc sau: (2.2) x(k + 1) = A(rk )x(k) + B(rk )u(k), x(t), x(k) ∈ Rn vectơ trạng thái, u(t), u(k) ∈ Rm điều khiển đầu vào Đối với trường hợp liên tục, {rt , t ≥ 0} trình Markov, trường hợp rời rạc {rk , k ≥ 0} xích Markov nhận giá trị tập hữu hạn S {1, , N } mô tả mode chuyển đổi khác hệ Đối với hệ MJS thời gian liên tục, xác suất chuyển đổi mode trình Markov {rt , t ≥ 0} cho Pr {rt+1 = j|rt = i} =  λij ∆ + o (∆) i = j, 1 + λ ∆ + o (∆) i = j, ij ∆ > 0, lim∆→0 {o (∆)/∆} = 0, λij > (i, j ∈ S, i = j) tốc độ chuyển đổi từ mode i thời điểm t sang mode j vào thời điểm t + ∆ λii = − s j=1,j=i λij ∆ với i ∈ S Ma trận tốc độ chuyển đổi kí hiệu Λ = [λij ] Đối với hệ MJS thời gian rời rạc, xác suất chuyển đổi mode xích Markov {rk , k >≥ 0} cho 18 Pr (rt+1 = j|rt = i) = πij , πij ≥ 0, ∀i, j ∈ S N j πij = Tương tự, ma trận xác suất chuyển ∆ kí hiệu Π = [πij ] Tập S chứa N mode hệ (2.1) (2.2) Với mode thứ i ma trận hệ kí hiệu Ai , B i Tiếp theo, trình bày số khái niệm tính dương tính ổn định lớp hệ (2.1) (2.2) sau Định nghĩa 2.1.1 Hệ (2.1) với u (t) = gọi dương với điều kiện ban đầu x0 ∈ Rn+ r0 ∈ S x(t) ≥ 0, ∀t ≥ Hệ (2.2) với u (k) = gọi dương với điều kiện ban đầu x0 ∈ Rn+ r0 ∈ S x(k) ≥ 0, ∀k ≥ Định nghĩa 2.1.2 Giả sử hệ (2.1) (tương ứng hệ (2.2)) với u (t) = (u(k)=0) dương Khi đó, hệ gọi ổn định trung bình lim E {x (t)} = t→∞ ( lim E {x (k)} = 0) với điều kiện ban đầu x0 ∈ Rn+ r0 ∈ S k→∞ Định nghĩa 2.1.3 Giả sử hệ (2.1) (tương ứng hệ (2.2)) với u (t) = (u (k) = 0) dương Khi đó, hệ gọi ổn định moment cấp lim E { x (t) } = t→∞ ( lim E { x (k) } = 0) với điều kiện ban đầu x0 ∈ Rn+ r0 ∈ S k→∞ 2.2 Phân tích tính ổn định Trong phần này, thiết lập tiêu chuẩn ổn định cho lớp hệ MJSs dương Đầu tiên xây dựng điều kiện tương đương ổn định trung bình ổn định mơmen cấp Định lí 2.2.1 Giả sử hệ (2.1) (tương ứng hệ (2.2)) với u (t) = (u(k) = 0) dương Khi hệ ổn định trung bình hệ ổn định mơmen cấp Chứng minh Điều kiện đủ: Giả sử hệ (2.1) (2.2) ổn định trung bình Theo Định nghĩa 2.1.2, ta có n lim E t→∞ i=1 xi (t) 19 = n × = Từ khơng âm vector x (t), ta có n x (t) = i=1 n |xi (t)| = i=1 xi (t) Do đó, ta có lim E { x (t) } = lim E t→∞ t→∞ n i=1 xi (t) = 0, suy hệ ổn định mômen cấp Điều kiện cần: Giả sử hệ ổn định mômen cấp Từ không âm vector x (t), suy với i = 1, 2, , n, ≤ xi (t) ≤ x (t) Khi đó, theo Định nghĩa 2.1.1, ≤ lim E {xi (t)} ≤ lim E { x (t) } = 0, t→∞ t→∞ điều suy hệ ổn định trung bình 2.2.1 Trường hợp thời gian liên tục Nội dung phần trình bày kết ổn định cho hệ (2.1) với u (t) = Định lí sau cho điều kiện cần đủ để hệ (2.1) với u (t) = ổn định trung bình Định lí 2.2.2 Giả sử hệ (2.1) với u (t) = dương (hoặc tương đương với i = 1, 2, , N , ma trận hệ A(i) Metzler) Khi đó, khẳng định sau tương đương: (i) Hệ (2.1) với u (t) = ổn định trung bình (ii) H ma trận Hurwitz, H = diag A1 , , As + ΛT ⊗I (iii) Tồn tập vectơ v i (2.3) 0, i ∈ S cho N i i πji v (j) ≺ 0, ∀i ∈ S A v + (2.4) j=1 Chứng minh (i)⇔(ii) Theo Định lí [5] ta có (i)⇔(ii) (ii)⇔(iii) Vì A(i) , ∀i ∈ S Λ ma trận Metzler nên suy H ma trận Metzler Khi đó, theo Bổ đề 1.4.1, H ma trận Hurwitz tồn vectơ v cho Hv ≺ Đặt v = vec v (i) , có tương đương (ii) (iii) 20 2.2.2 Trường hợp thời gian rời rạc Định lí sau cho điều kiện cần đủ ổn định trung bình hệ (2.2) với u(k) = Định lí 2.2.3 Giả sử hệ (2.2) với u (k) = dương (hoặc tương đương với i = 1, 2, , N ma trận hệ A(i) 0) Khi đó, khẳng định sau tương đương: (i) Hệ (2.2) với u (k) = ổn định trung bình (ii) F ma trận Schur, F = ΠT ⊗I diag A(1) , , A(N ) (iii) Tồn tập vectơ v i (2.5) 0, i ∈ S cho N πji A(j) v (j) − v (i) ≺ 0, i ∈ S (2.6) j=1 Chứng minh Từ Định lí 2.2.1, ổn định trung bình ổn định mơmen cấp tương đương Do đó, theo Định lí [10], có kết luận định lí Nhận xét 2.2.1 Các Định lý 2.2.2 2.2.3 cho điều kiện cần đủ để hệ MJSs dương với thời gian liên tục rời rạc ổn định trung bình Tất điều kiện kiểm tra Các điều kiện (iii) Định lý 2.2.2 2.2.3 tuyến tính giải tốn quy hoạch tuyến tính Đối với điều kiện (ii) Định lý 2.2.2 2.2.3, từ Bổ đề 1.4.1 1.4.2 kiểm tra tính chất Metzler ma trận H tính chất Schur ma trận F tốn quy hoạch tuyến tính, nghĩa là, tìm vectơ tìm vectơ c d để thỏa mãn Hc ≺ (F − I) d ≺ 0, tương ứng 2.3 Ổn định hóa Trong phần này, xét tốn ổn định hóa hệ (2.1) (2.2) Bộ điều khiển phản hồi trạng thái thiết kế cho hệ đóng ổn định trung bình Các điều khiển phản hồi thiết kế có dạng sau: 21 u (t) = K (rt ) x (t) , (2.7) u (k) = K (rk ) x (k) , (2.8) K (i) ∀ rt = i rk = i ∈ S ma trận đạt cần xác định 2.3.1 Trường hợp thời gian liên tục Với điều khiển phản hồi (2.7), hệ đóng (2.1) có dạng x(t) = [A(rt )x(t) + B(rt )K (t)] x(t) (2.9) Định lí sau cho điều kiện cần đủ tồn điều khiển dạng (2.7) cho hệ đóng (2.9) dương ổn định trung bình Định lí 2.3.1 Các phát biểu sau tương đương (i) Tồn điều khiển dạng (2.7) cho hệ vòng lặp khép kín (2.9) dương ổn định trung bình (ii) Tồn tập vectơ v (i) ma trận K (i) cho với i ∈ S, A(i) + B (i) K (i) ma trận Metzler (i) N + B (i) K (i) v (i) + A j=1 (iii) Tồn tập vectơ v (i) = v1(i) vn(i) T πji v (j) ≺ (2.10) (i) (i) ∈ Rn c1 , , cn ∈ Rm cho với i ∈ S v (j) (i) (i) v A n + B (i) k=1 A = a(i) kl ,B (i) = (i) b1 T N c(i) k + (i) (i) a(i) v (i) c kl l + bk l (i) (2.11) 0, (i) bn j=1 πji v (j) ≺ 0, 0, với k = l, (2.12) (2.13) T T Hơn nữa, (2.11) - (2.13) có nghiệm, ma trận đạt cho K (i) = v1(i) −1 (i) c(i) 22 −1 c(i) n (2.14) Chứng minh Sự tương đương (i) (ii) suy từ tương đương (i) (ii) Định lí 2.2.2 Để hoàn thành chứng minh, tương đương (ii) (iii) Thật vậy, giả sử điều kiện (iii) Khi ý K (i) (2.14), (i) n k=1 ck có B (i) K (i) v (i) = B (i) Điều với (2.14) điều kiện (iii) cho (2.10) điều kiện (ii) Mặt khác, dễ thấy A(i) + B (i) K (i) ma trận Metzler điều kiện (iii) với k = l, (i) a(i) vl(i) kl + bk −1 (i) (i) (i) (i) (i) c(i) a(i) l = kl + bk kl = A + B K kl Bằng lập luận tương tự, (ii) ⇒ (iii) 2.3.2 Trường hợp thời gian rời rạc Sử dụng (2.8), hệ đóng (2.2) có dạng: x(k + 1) = [A(rk )x(k) + B(rk )K (k)] x(k) (2.15) Định lí sau đưa điều kiện cần đủ cho tồn điều khiển dạng (2.8) cho hệ đóng (2.15) dương ổn định trung bình Định lí 2.3.2 Các phát biểu sau tương đương (i) Tồn điều khiển dạng (2.7) cho hệ đóng (2.15) dương ổn định trung bình (ii) Tồn tập vectơ v (i) A(i) + B (i) K (i) ma trận K (i) cho với i ∈ S, N j=1 (j) πji A (j) +B (j) K (j) − v (i) ≺ v T (iii) Tồn tập vectơ v (i) = v1(i) vn(i) (2.16) (i) (i) ∈ Rn c1 , , cn ∈ Rm cho với i ∈ S v (j) N j=1 πji A(j) v (j) + B (j) (i) (i) a(i) v (i) c kl l + bk l với A (i) = a(i) kl B (i) = (i) b1 T 23 (2.17) 0, (i) bn n k=1 c(j) k 0, T T − v (i) ≺ 0, (2.18) (2.19) Ngoài ra, (2.17) - (2.19) có nghiệm, ma trận đạt cho K (i) = v1(i) −1 (i) c(i) −1 c(i) n (2.20) Chứng minh Bằng cách lập luận tương tự chứng minh Định lí 2.3.1 thu kết định lí Các điều kiện Định lí 2.3.1 2.3.2 khơng điều kiện cần đủ để thiết kế điều khiển mà hiệu cho việc tính tốn Thật vậy, giống điều kiện ổn định Định lí 2.2.2 2.2.3 điều kiện (iii) Định lí 2.3.1 2.3.2 tuyến tính Do đó, điều kiện giải toán quy hoạch tuyến tính 2.4 Ví dụ số Nội dung mục trình bày số ví dụ minh họa cho kết trình bày mục trước Ví dụ 2.4.1 Xét hệ nhảy Markov với thời gian liên tục (2.1) gồm ba mode có ma trận hệ sau: A (1) B (2) = = 2.0 −1.2 −2.5 1.0 −0.2 0.1 −0.3 , B (1) = , A(3) = 0.1 , A(2) = −0.2 0.3 2.0 0 2.0 , B (3) = 1.0 2.0 , −2.5 1.5 0.2 0 −0.3 Ma trận chuyển Λ  −1  Λ=  0.6 −0.6 0.8 0.2     −1 Cả hai Định lí [11] Định lí 2.3.1 sử dụng để thiết kế điều khiển cho hệ đóng dương ổn định trung bình (hoặc tương đương ổn định mômen cấp 1) Tuy nhiên, phương pháp [11] thiết kế điều khiển Định lí 2.3.1 Thật vậy, từ Định lí 2.2.2, hệ đóng ổn định trung bình H ma trận Hurwitz, H = diag A(1) + B (1) K (1) , , A(3) + B (3) K (3) + ΛT ⊗I 24  A (1) + B  =  (1) (1) −I  0.6I 0.8I I A(2) + B (2) K (2) −0.6I 0.2I 0 A(3) + B (3) K (3) −I K    Chúng ta thấy tất giá trị riêng A(3) + B (3) K (3) −I thuộc tập giá trị riêng H Do đó, sử dụng Định lí [11], thu lớp ma trận đạt K (i) có dạng (i) (i) K (i) k2 k1 = , ∀i ∈ S a(i) k1(i) a(i) k2(i) Kí hiệu T = (2) 3a Khi đó, có (3) (3) T A (3) +B (3) K (3) −I T −1 + 0.2 k1 − 0.3a(3) k2 = (3) 0.2k Từ phương trình trên, thấy giá trị riêng A(3) + B (3) K (3) −I Điều suy H khơng phải ma trận Hurwitz Vì vậy, phương pháp [11] thiết kế điều khiển mong muốn cho hệ Tuy nhiên, sử dụng kết Định lí 2.3.1, có v (1) = 1.9968 6.3175 , v (2) = −192.7237 4.8247 c(2) = 161.9059 (1) , c2 = 51.8447 −218.6430 (3) , c1 = 216.4061 −158.1931 70.7106 3.2508 , 7.4312 9.4705 9.3566 c(1) = , v (3) = (2) , c1 = (3) , c2 = 212.4419 , −126.0323 −192.7237 , 4.8247 Khi đó, ma trận đạt điều khiển sau: K (1) = −96.5159 17.3040 2.4162 −16.9072 K (3) = , K (2) = −67.2537 33.6276 −19.9498 22.8506 8.9832 −21.7515 29.9713 25 5.4744 , Kết mơ Hình 2.1 minh họa cho tính hiệu kết T thu ví dụ với điều kiện ban đầu x0 = Kết với t ≥ Do đó, điều cho thấy tất trạng thái x (t) hội tụ x (t) khiển thiết kế đảm bảo cho hệ đóng dương ổn định Hình 2.1: Mơ quỹ đạo hệ đóng Ví dụ 2.4.2 Xét hệ nhảy Markov với thời gian rời rạc (2.2) gồm ba mode có ma trận hệ sau B A (1) (2) = = 2.5 0 2.5 0.1 −0.4 0.2 , B (1) = , A(3) = −0.1 0 0.3 −1.5 −2.5 Ma trận xác suất chuyển Π sau:  0.8 0.1 0.1  Π=  0 , A(2) = , B (3) = −2.5 −1 , 1.5 −0.2 0.1 0.5 −0.3   0.4 0.6   0.7 0.3 Cả hai Định lí [11] Định lí 2.3.2 sử dụng để thiết kế điều khiển cho hệ đóng dương ổn định trung bình Tuy nhiên, phương pháp [11] không thiết kế điều khiển cho hệ Lý tương tự ví dụ 2.4.1, từ Định lí 2.2.3, hệ đóng ổn định trung bình F ma trận Schur, F = ΠT ⊗I diag A(1) + B (1) K (1) , , A(3) + B (3) K (3) 26  A(1) 0.8 + B (1) K (1)  (1) (1) (1) =  0.1 A + B K  0.4 A(2) + B (2) K (2) 0.1 A(1) + B (1) K (1)  0.7 A(3) + B (3) K (3)   0.6 A(2) + B (2) K (2) 0.3 A(3) + B (3) K (3) Dễ dàng thấy toàn giá trị riêng 0.8 A(1) + B (1) K (1) thuộc tập hợp giá trị riêng F Nếu sử dụng Định lí 2.3.1 [11], thu ma trận đạt K (i) có dạng (i) (i) K (i) k2 k1 = , ∀i ∈ S a(i) k1(i) a(i) k2(i) Kí hiệu T = 3a(1) Khi đó, có (1) 0.8T A (1) +B (1) K (1) T −1 (1) − 0.8k1 + 0.24a(1) k2 = (1) −0.08k2 Từ phương trình trên, thấy giá trị riêng 0.8T A(1) + B (1) K (1) Suy F ma trận Schur Vì vậy, phương pháp [11] khơng thể thiết kế điều khiển mong muốn cho hệ Tuy nhiên, sử dụng Định lí 2.3.2, thu v (1) = 27.2239 , v (2) = c(2) = 467.0533 35.6616 −123.3584 −175.7902 , v (3) = −60.3109 (1) , c2 = −326.1235 230.6787 (3) , c1 = −269.4226 76.6347 , 13.3917 27.1492 47.5007 c(1) = 42.5171 (2) , c1 = −163.6893 , −396.5705 (3) , c2 = −492.8724 −641.7662 Khi đó, ma trận đạt điều khiển sau: K (1) = 17.1560 −1.2697 1.3099 K −6.8657 (3) = , K (2) = 3.0101 −3.8500 −4.5437 −9.3273 −6.4750 −32.0999 −3.5157 −47.9226 27 , Kết mơ Hình 2.2 mơ tả quỹ đạo hệ đóng với điều kiện T ban đầu x0 = Chúng ta thấy tất trạng thái x (t) hội tụ x (t) với t ≥ Do điều khiển thiết kế đảm bảo cho hệ đóng dương ổn định Hình 2.2: Mơ quỹ đạo hệ đóng 28 KẾT LUẬN Trên nội dung khóa luận “Tìm hiểu tốn ổn định hóa hệ Markov dương” Khóa luận trình bày nội dung sau đây: Đã hệ thống lại số khái niệm xích Markov, hệ Markov, tính ổn định hệ Markov Đã tìm hiểu cách hệ thống tốn ổn định ổn định hóa hệ Markov dương Trên sở đó, nắm bắt tiêu chuẩn ổn định, ổn định hóa cho hệ Markov dương Song song với việc thực khóa luận tốt nghiệp, tơi tìm hiểu phần mềm soạn thảo tốn học Latex Khóa luận tơi soạn thảo Latex Tuy nhiên, q trình thực khơng tránh khỏi sai sót, tơi mong nhận góp ý q thầy bạn đọc để hồn thiện nội dung kỹ soản thảo Latex Tôi xin chân thành cảm ơn 29 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Trung Dũng, Tính ổn định ổn định hóa số lớp hệ nhảy Markov rời rạc, Luận án tiến sĩ toán học, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, 2018 [2] Vũ Ngọc Phát, Nhập Môn Lý Thuyết Điều Khiển Toán Học, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội, 2001 [3] Nguyễn Duy Tiến, Các Mô Hình Xác Suất Ứng Dụng Phần I-Xích Markov Ứng Dụng, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội, 2005 [4] R Akella, P.R Kumar, Optimal control of production rate in a failure prone manufacturing system, IEEE Trans Autom Control 31 (1986) 116–126 [5] P Bolzern, P Colaneri, G De Nicolao, Stochastic stability of positive Markov jump linear systems, Automatica, 50 (2014), 1181–1187 [6] O.L.V Costa, M.D Fragoso, R.P Marques, Discrete-time Markov jump linear systems, Springer, London, 2005 [7] M Fiedler, V Ptak, On matrices with nonpositive off-diagonal elements and positive pricipal minors, Czechoslovak Mathemaitical Journal 12 (1962) 382–400 [8] L Farina, S Rinaldi, Positive Linear Systems: Theory and Applications, Springer, 2000 [9] Y Guo, Stabilization of positive Markov jump systems, J Frankl Inst., DOI: h t tp: / /dx.doi org/10.1016/ j j fran kl in 2016.06.026 [10] J Lian, J Liu, Y Zhuang, Mean stability of positive Markov jump linear systems with Homogeneous and switching transition probabilities, IEEE Transactions on Circuits and Systems–II: Express Briefs, 62(2015), 801– 805 [11] J Zhang, Z Han, F Zhu, Stochastic stability and stabilization of positive systems with Markovian jump parameters, Nonlinear Analysis: Hybrid Systems, 12(2014), 147–155 30 ... dung khóa luận Tìm hiểu tốn ổn định hóa hệ Markov dương Khóa luận trình bày nội dung sau đây: Đã hệ thống lại số khái niệm xích Markov, hệ Markov, tính ổn định hệ Markov Đã tìm hiểu cách hệ thống... cách hệ thống tốn ổn định ổn định hóa hệ Markov dương Trên sở đó, nắm bắt tiêu chuẩn ổn định, ổn định hóa cho hệ Markov dương Song song với việc thực khóa luận tốt nghiệp, tơi tìm hiểu phần mềm soạn... tài: Tìm hiểu tốn ổn định hóa hệ Markov dương làm đề tài khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu khái niệm ổn định hệ Markov dương trường hợp thời gian rời rạc thời gian liên tục Tìm hiểu