Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn O Gọi.. Đường thẳng EF cắt đường tròn O tại điểm thứ nhất M M khác phía với O so với đường thẳng AB, đường thẳng BM cắt đường thẳng DF tại
Trang 1TỈNH NGHỆ AN
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2018-2019 Môn thi: TOÁN – BẢNG A
Thời gian: 150 phút
Câu 1 (3,0 điểm)
a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2y2 xy x 2y 5 0
b) Chứng minh rằng: A22n 4n 16chia hết cho 3 với mọi số nguyên dương n
Câu 2 (6,5 điểm)
a) Giải phương trình:
3
x
x
b) Giải hệ phương trình:
x y
x y x y
Câu 3 (2,5 điểm) Cho , ,a b c là các số thực dương Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P
Câu 4 (6,0 điểm)
1 Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn O Gọi D E F lần lượt là chân , , các đường cao kẻ từ 3 đỉnh , ,A B C của tam giác Đường thẳng EF cắt đường
tròn (O) tại điểm thứ nhất M (M khác phía với O so với đường thẳng AB),
đường thẳng BM cắt đường thẳng DF tại N Chứng minh rằng:
a) EF OA
b) AM AN
2 Cho tam giác nhọn ABC D là điểm trong tam giác đó sao cho ,
0
90
ADB ACB và AC BD AD BC .Chứng minh . 2
AB CD
AC BD
Câu 5 (2,0 điểm) Trong hình vuông cạnh bằng 1 có 2019 điểm phân biệt Chứng
minh rằng tồn tại một hình tròn bán kính bằng 1
91nằm trong hình vuông đó mà không chứa điểm nào trong 2019 điểm đã cho
Trang 2ĐÁP ÁN Câu 1
1
y
(y1 không thỏa mãn phương trình )
Vì ,x y là các số nguyên nên y1là ước của 5
TH y y x
TH y y x
TH y y x
TH y y x
Vậy phương trình có các nghiệm nguyên x y là ; 9;2 ; 5;0 ; 13;6 ; 9; 4
b) Ta có: 2 2
2 n 4n 16 2 n 1 4n 1 18
2 n 2 k k * 2 n 1 2 k 1 4k 1 3
Do đó với mọi n nguyên dương, ta có: 2
2 n 1 3;4n 1 3;18 3 2
2 n 4n 16 3
A
Câu 2
a) Điều kiện : 3
2
x
3
3
x
Đặt a 2x 3 0,b2x, ta có:
4
x
x x
4
x
Trang 3
x y
x y x y
Đặt a x 1;b y 3.Ta được hệ phương trình:
2
2 2
Đặt S a b P; ab,điều kiện 2
4
S P Hệ trên trở thành:
2
1 ( ) 0
4
S
tm P
ktm P
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là 0;3 ; 1;2
Câu 3
P
Đặt x b,y c,z a x y z, , 0,xyz 1
4 4 4
P
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có:
2
P
x y z
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có:
Trang 4
2
2
1
1 1
Tương tự:
2
1
1 1
x
xy x y
y
Từ 2 bất đẳng thức trên ta có:
2 2
1
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x y 1
Tương tự:
2 2 2
2 2 2
z
P P x y z a b c
16
MinP a b c
Trang 51
a) Qua điểm A vẽ tiếp tuyến xy với đường tròn (O) suy ra OA xy
Xét tứ giác BCEF có BEC90 ( );0 gt BFC 90 ( )0 gt do đó tứ giác BCEF là tứ giác
nội tiếp suy ra ACBAFE (1)
2
BAx sd AB(góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung)
1
2
ACB sd AB(góc nội tiếp ) do đó BAx ACB (2)
Từ (1) và (2) suy ra AFEBAxở vị trí so le trong nên EF / /xy hay EF OA
b) Đường thẳng EF cắt (O) tại điểm thứ 2 là , P BP cắt DF tại Q
, ,
AD BE CF là các đường cao của tam giác ABC nên BCEF ACDF nội tiếp, do đó ,
ACB AFP
;
ACB sd AB sd BM MA AFP sd BM AP
x
y
P N
M F
E
D
O A
Trang 6Do đó: sd AM sd APsuy ra BA là tia phân giác của MBQ và AM AP 1
Tứ giác BCEF nội tiếp suy ra ACBBFM,tứ giác ACDF nội tiếp nên ACBBFQ
Do đó BFQBFM ACB,suy ra FB là tia phân giác của MFQ
,
Do đó ABN ABPnên AN AP (2)
Từ (1) và (2) suy ra AM AN
2
Dựng tam giác vuông cân BDE tại D sao cho E thuộc nửa mặt phẳng có bờ BD
không chứa C
Ta có: ADE ACBvà DEDB
Từ giả thiết: AC BD AD BC AD BD DE
AC BC BC
AB AC ADE ACB
AE AD
Mặt khác, BACEADCADBAE.Do đó CAD BAE
2
2
AC CD CD AB CD
AB BE BD AC BD
E
A
B
C D
Trang 7Chia hình vuông đã cho thành 2025 hình vuông nhỏ có cạnh bằng nhau và bằng 1
45 Gọi C1 , C2 , ,C2025là các hình tròn nội tiếp các hình vuông nhỏ ở trên, chúng
có bán kính bằng nhau và bằng 1
90 Gọi '
1 , 2' , , 2025'
C C C lần lượt là các hình tròn đồng tâm với các hình tròn ở trên
có bán kính là 1
91 Khi đó, các hình tròn này nằm trong hình vuông và đôi một không
có điểm chung (rời nhau)
Trong hình vuông đã cho có các hình tròn rời nhau '
1 , 2' , , 2025'
điểm nên tồn tại một hình tròn trong các hình tròn này không chứa điểm nào trong
2019 điểm đã cho