BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Thạch Thị Quỳnh Anh MỘT SỐ THUẬT TỐN TÌM ĐƯỜNG ĐI DÀI NHẤT TRÊN ĐỒ THỊ LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn Ứng dụng HÀ NỘI, 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI THẠCH THỊ QUỲNH ANH MỘT SỐ THUẬT TỐN TÌM ĐƯỜNG ĐI DÀI NHẤT TRÊN ĐỒ THỊ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán Ứng dụng Mã số: 46 01 12 Người hướng dẫn khoa học: TS TRẦN VĨNH ĐỨC HÀ NỘI, 2018 LỜI CẢM ƠN Lời luận văn tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn TS Trần Vĩnh Đức, người thầy định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tơi suốt q trình làm hồn thiện luận văn Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, thầy giáo giảng dạy chuyên ngành Toán Ứng dụng, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ suốt trình học tập trường Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè ln cổ vũ, động viên, giúp đỡ tơi suốt q trình học tập hồn thiện luận văn Hà Nội, ngày 16 tháng 10 năm 2018 Tác giả luận văn THẠCH THỊ QUỲNH ANH LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan, hướng dẫn thầy giáo TS Trần Vĩnh Đức, luận văn chuyên ngành Toán Ứng dụng với đề tài: "Một số thuật tốn tìm đường dài đồ thị" hồn thành nhận thức tìm hiểu thân tác giả Trong trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa kết nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, ngày 16 tháng 10 năm 2018 Tác giả luận văn THẠCH THỊ QUỲNH ANH Mục lục LỜI CẢM ƠN LỜI CAM ĐOAN MỞ ĐẦU Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số khái niệm cần thiết đồ thị 1.2 Độ phức tạp thuật toán 11 1.3 Bài toán đường dài đồ thị 14 Chương Một số kết thu việc xấp xỉ toán đường dài đồ thị 16 2.1 Đặt vấn đề 16 2.2 Thuật tốn tìm đường dài đồ thị 18 2.3 Đồ thị bền với đường ngắn 20 2.4 Tìm đường dài đồ thị ngẫu nhiên thưa thớt 24 2.5 Kết luận độ khó 28 2.5.1 Kết độ khó đồ thị Hamilton 28 2.5.2 Tính chất hệ cải thiện kết độ khó tốn đường dài 29 Chương Thuật toán thời gian đa thức cho toán đường dài số lớp đồ thị đặc biệt 38 3.1 Bài toán đường dài đồ thị khoảng 38 3.1.1 Đồ thị khoảng 38 3.1.2 Tính có cấu trúc đồ thị khoảng 39 3.1.3 Đường dài đồ thị khoảng 42 3.2 Bài toán đường dài đồ thị hoán vị 47 3.2.1 Đồ thị hoán vị 47 3.2.2 Bài toán đường dài đồ thị hoán vị 48 KẾT LUẬN 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO 52 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Do phát triển với tốc độ nhanh công nghệ thông tin, lý thuyết đồ thị trở thành lĩnh vực toán học quan trọng cần thiết Trên thực tế, lý thuyết đồ thị tỏ mơ hình hữu hiệu cho mơ hình hóa tốn tính tốn tối ưu tổ hợp Bài toán đường dài tốn lí thuyết đồ thị Nó có nhiều ứng dụng thực tế lập kế hoạch, tự động hóa thiết kế điện tử, việc tìm kiếm đường quan trọng mạch IC hệ thống VLSI Khác với toán đường ngắn nhất, toán giải thời gian đa thức, toán đường dài NP-khó chứa tốn đường Hamilton trường hợp riêng, khơng thể giải thời gian đa thức P= NP Để vượt qua khó khăn này, số hướng nghiên cứu đề xuất: Dùng thuật toán xấp xỉ thời gian đa thức Giải toán cho vài lớp đồ thị cụ thể Với mong muốn tìm hiểu sâu tốn đường dài phương pháp giải nó, hướng dẫn TS Trần Vĩnh Đức, chọn đề tài “ Một số thuật tốn tìm đường dài đồ thị“ Mục đích nghiên cứu a Hướng giải xấp xỉ cho toán đường dài b.Thuật toán giải toán đường dài số lớp đồ thị đặc biệt Nhiệm vụ nghiên cứu Một số kết xấp xỉ thu cho toán đường dài đồ thị, thuật toán giải toán đường dài số lớp đồ thị đặc biệt Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Bài toán đường dài đồ thị - Phạm vi nghiên cứu: + Giải xấp xỉ toán đường dài + Thuật toán thời gian đa thức để giải toán đường dài đồ thị khoảng đồ thị hoán vị Phương pháp nghiên cứu Sử dụng kết gần việc giải xấp xỉ toán đường dài Hà Nội, ngày 16 tháng 10 năm 2018 Tác giả luận văn THẠCH THỊ QUỲNH ANH Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương nhắc lại số khái niệm số kết cần thiết để bổ trợ cho chương sau 1.1 Một số khái niệm cần thiết đồ thị Trước hết, nhắc lại số khái niệm sở lí thuyết đồ thị Định nghĩa 1.1 Một đồ thị vơ hướng G cặp có thứ tự G = (V, E), V tập E đa tập gồm tập lực lượng V Các phần tử V gọi đỉnh, phần tử E gọi cạnh đồ thị vô hướng G Nếu e = {u, v} ∈ E đỉnh u, v gọi đầu mút cạnh e hay đỉnh liên thuộc với e Khi đó, hai đỉnh u, v gọi kề hay láng giềng Ta thường kí hiệu cạnh {u, v} ngắn gọn uv Định nghĩa 1.2 Cho v đỉnh đồ thị G Bậc đỉnh v G, kí hiệu degG (v), định nghĩa số cạnh G liên thuộc v , tức số tất láng giềng v G Hình 1.1: Đồ thị G Đồ thị vẽ mặt phẳng với đỉnh điểm cạnh nối đường thẳng đường cong nối điểm Đây ưu điểm lý thuyết đồ thị Nó cho phép mơ tả lập luận chứng minh theo cách trực quan sáng sủa Ví dụ 1.1 Cho đồ thị G = (V, E) với V = {u1 , u2 , u3 , u4 , u5 } E = {(u1 , u3 ), (u1 , u4 ), (u1 , u5 ), (u2 , u4 ), (u3 , u5 )} Đồ thị vẽ hình 1.1 Trong đồ thị này, cạnh a có hai đỉnh liên thuộc u1 u3 Đỉnh u1 có láng giềng u3 , u4 , u5 nên degG (u1 ) = Định nghĩa 1.3 Đồ thị G = (V , E ) gọi đồ thị đồ thị G = (V, E) V ⊆ V E ⊆ E Khi E chứa tất cạnh G mà hai đỉnh liên thuộc với thuộc V G gọi đồ thị cảm sinh G tập đỉnh V , kí hiệu G = G[V ] Hình 1.2: Một đồ thị G 38 Chương Thuật toán thời gian đa thức cho toán đường dài số lớp đồ thị đặc biệt 3.1 Bài toán đường dài đồ thị khoảng Trong phần ta thuật toán thời gian đa thức cho toán đường dài đồ thị khoảng Kết lấy từ tài liệu tham khảo [4] 3.1.1 Đồ thị khoảng Định nghĩa 3.1 Đồ thị khoảng G(V, E) đồ thị vô hướng hình thành từ họ khoảng Fi , i = 0, 1, 2, đường thẳng thực, cách tạo đỉnh vi tương ứng khoảng Fi nối đỉnh vi với vj cạnh hai khoảng tương ứng Si Sj giao khác rỗng 39 Họ Fi gọi mơ hình giao G Hình 3.1: Đồ thị khoảng G Hình 3.2: Mơ hình giao G Ví dụ 3.1 Một đồ thị khoảng mơ hình giao cho hình 3.1, 3.2 3.1.2 Tính có cấu trúc đồ thị khoảng Đồ thị khoảng lớp đồ thị tiếng nghiên cứu rộng rãi Chúng có tính chất quan trọng giải 40 thời gian đa thức dù tốn NP-đầy đủ đồ thị thông thường Hơn nữa, đồ thị khoảng thu hút nhiều ý ứng dụng vào việc xác định sơ đồ vật lý DNA, tìm nhiều ứng dụng nhiều lĩnh vực khác gen, sinh học di truyền Ramalingam Rangan đưa việc đánh số đỉnh đồ thị khoảng phát biểu bổ đề sau: Bổ đề 3.1 Các đỉnh đồ thị khoảng G đánh số với số nguyên 1, 2, , |V (G)| cho i < j < k ik ∈ E jk ∈ E Việc đánh số rút từ khoảng mơ hình giao F cuối chúng, thu thời gian O(|V | + |E|) Một thứ tự đỉnh theo cách đánh số dùng việc giải số toán liên quan đến lý thuyết đồ thị đồ thị khoảng Trong phần này, thứ tự gọi xếp đến tận (right-end ordering) G Cho u v hai đỉnh G, cho π xếp đến tận G; kí hiệu u