BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN TRỌNG HIỆP PHƯƠNG PHÁP NEWTON GIẢI BÀI TOÁN RẼ NHÁNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC CHUN NGÀNH TỐN GIẢI TÍCH BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN TRỌNG HIỆP PHƯƠNG PHÁP NEWTON GIẢI BÀI TOÁN RẼ NHÁNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 846 01 02 Người hướng dẫn khoa học: PGS TSKH Nguyễn Văn Lợi HÀ NỘI, 2018 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu riêng tơi Các kết sử dụng luận văn trích dẫn đầy đủ rõ ràng Hà Nội, ngày tháng Học viên Nguyễn Trọng Hiệp năm 2018 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành định hướng chọn đề tài nhiệt tình hướng dẫn PGS TSKH Nguyễn Văn Lợi Trong suốt q trình học tập, Thầy khơng cho tơi kiến thức khoa học mà học sống Tôi xin gửi đến Thầy lòng kính trọng lòng biết ơn sâu sắc Tôi xin gửi lời cảm ơn đến quý Thầy Cô giáo giảng dạy lớp Cao học Tốn giải tích khóa 20 trường Đại học Sư phạm Hà Nội tận tình truyền đạt kiến thức suốt q trình học tập vừa qua Tơi xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu, Phòng Đào tạo sau Đại học trường Đại học Sư phạm Hà Nội tạo điều kiện để tơi hồn thành cơng việc học tập Cuối cùng, tơi xin gửi trân trọng lòng biết ơn đến tất đồng nghiệp, người thân, bạn bè quan tâm, động viên, giúp đỡ trình học tập vừa qua Hà Nội, ngày tháng năm 2018 Học viên Nguyễn Trọng Hiệp MỤC LỤC MỞ ĐẦU MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số kiến thức giải tích 1.1.1 Định lý ánh xạ co 1.1.2 Định lý giải tích 1.1.3 Định lý hàm ẩn 1.1.4 Phương pháp giải số Newton 1.2 Lý thuyết rẽ nhánh 12 1.2.1 Phương pháp tiếp tục Euler-Newton 12 1.2.2 Rẽ nhánh gập phương pháp tiếp tục Keller 16 GIẢI SỐ BÀI TỐN RẼ NHÁNH CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 19 2.1 Đặt toán sơ đồ sai phân 19 2.2 Ví dụ: tốn Gelfand-Bratu 24 KẾT LUẬN 27 TÀI LIỆU THAM KHẢO 28 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Bài toán rẽ nhánh nghiên cứu Euler với toán tiếng toán uốn cong cần Euler Đây toán có nhiều ứng dụng thực tế ví dụ như: Bài tốn tính tốn tải trọng tới hạn cho dầm, trụ, cột xây dựng cơng trình; xây dựng cầu đường … Ngồi tốn rẽ nhánh ứng dụng sinh thái học toán tăng trưởng dân số; kinh tế học tốn khủng hoảng tài chính, hay xã hội học… Rẽ nhánh hiểu tượng chuyển trạng thái đột ngột mà tham số thay đổi qua giá trị tới hạn Cụ thể ta xét phương trình G (u, λ ) = (1),G : ℝ N × ℝ → ℝ N , với λ tham số Giả sử phương trình (1) có nghiệm u = λ ≤ λ0 , λ > λ0 phương trình (1) có nghiệm u = 0, u = h (λ ) ≠ (xem hình H.1) Khi giá trị λ0 gọi giá trị rẽ nhánh u = h (λ ) gọi nhánh rẽ Hình H.1 Minh họa nghiệm phương trình (1) LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các kết sử dụng luận văn trích dẫn đầy đủ rõ ràng Hà Nội, ngày tháng Học viên Nguyễn Trọng Hiệp năm 2018 Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số kiến thức giải tích Trong mục này, chúng tơi trình bày số kiến thức tảng giải tích để chuẩn bị cho việc trình bày phương pháp giải số toán rẽ nhánh mục sau Các kiến thức trình bày mục tham khảo từ tài liệu [7] 1.1.1 Định lý ánh xạ co Định lý ánh xạ co Định lý Cho B không gian Banach, Ω ⊂ B tập đóng, F : B → B thỏa mãn: (a) (b) F (Ω) ⊂ Ω (1.1) F (u ) − F (v ) ≤ θ u − v với θ ∈ (0,1) với u, v ∈ Ω Khi đó, phương trình u = F (u) có nghiệm u * ∈ Ω Nghiệm giới hạn chuỗi {u }, n = 0,1, 2, tạo n (a) u ∈ Ω tùy ý; (b) un +1 = F (un ), n = 0,1, 2, (1.2) Điểm hội tụ suy từ bất đẳng thức: (c) u − un * θn θn ≤ u − F (u ) = u − u1 1−θ 1− θ (1.2) Hệ Cho ρ > 0, θ ∈ (0,1) cho tồn u0 ∈ B thỏa mãn: (a) u − F (u ) ≤ (1 − θ)ρ (1.3) (b) F(u) − F (v) ≤ θ u − v với u, v ∈ B ρ (u ) , { } B ρ (u ) = u ∈ B : u − u ≤ ρ Khi điều kiện (1.1) định lý thỏa mãn với Ω = B ρ (u ) Chứng minh Với u ∈ B p (u ) ta có: F (u ) − u ≤ F (u ) − F (u ) + F (u ) − u ≤ θρ + (1 − θ ) ρ = ρ Điều chứng minh phần (a) (1.1) Phần (b) (1.1) suy từ (1.3b) 1.1.2 Định lý giải tích Định lý Cho F toán tử khả vi định nghĩa khơng gian Banach B Khi với u, v ∈ B : F (u ) − F (v ) = d ∫ dt F (tu + (1 − t )v)dt Từ tính chất đạo hàm: d F (tu + (1 − t )v ) = Fu (tu + (1 − t )v )(u − v ) , dt (1.4) F u (u, v ) ≡ ∫ F (tu + (1 − t )v)dt u Suy ra: F (u ) − F (v ) = F u (u, v )(u − v ) (1.5) 1.1.3 Định lý hàm ẩn Định lý Cho B1 không gian Banach, B2 không gian tham số, G : B1 × B2 → B1 ánh xạ cho tồn ρ1 > 0, ρ2 > , để: (a) G (u , λ ) = với u ∈ B1, λ ∈ B2 (b) Gu0 ≡ G u (u , λ ) ánh xạ tuyến tính khả nghịch (Gu0 ) −1 với số M không đổi ≤ M0 (1.6) (c) G (u, λ),Gu (u, λ) liên tục Bρ (u ) × Bρ (λ ) () Khi với λ ∈ B ρ (λ ) , tồn u (λ ) ∈ Bρ u cho: (d) u (λ ) = u (e) G (u (λ ), λ ) = (f) Phương trình G (u, λ ) = khơng có nghiệm khác u (λ ) ( ) Bρ u (1.6) (g) u (λ ) liên tục theo λ B ρ (λ ) ( ) ∆Y F Y j  Y   ek    j ( ) j    = F Y       (1.21) Lặp lại trình đạt độ xác cho trước, tức đến max{| ∆x |,| ∆λ |} < ε Để minh cho phần lý thuyết phương pháp tiếp tục trình bày xem xét ví dụ đơn giản sau với x biến số F (x , λ ) = x − 3x + λ = Jacobian hàm (1.22) :  ∂F   ∂x  ∂F   = (2x − 3) 1  ∂λ   Chọn nghiệm gốc (x 0, λ0 ) (3, 0) Khi đó, nghiệm (x 1, λ1 ), (x , λ2 ) , tìm thấy cách sử dụng phương pháp tiếp tục sau Bước (Dự đoán) Để bắt đầu, chọn λ tham số tiếp tục (continuation parameter); σ = 0.5 ; ε = 0.0001 Véc – tơ tiếp tuyến tính sau (ở số k 2): (2x − 3)  dx  0    =     1 dλ  1       3 1 dx  0   =  ⇒   dλ  1        ⇒ dx = − , dλ = Dự đốn nghiệm cơng thức: 14 x  x  dx     0   = + σ     d λ  λ1  λ0      ( ) Từ đó, ta thu nghiệm dự đoán x 1, λ1 = (2.8333, 0.5) Bước (hiệu chỉnh): Hiệu chỉnh nghiệm dự đoán cách giải: ( ) ( )      2x −  ∆x  F x 1, λ1  −   =    1 ∆λ       2.6666  ∆x  0.0277768   =   ⇒ −   ∆λ          ⇒ ∆x = −0.0104165, ∆λ = Do max {| ∆x |,| ∆λ |} > ε , nên cập nhật x1 λ1 x 1,new = x + ∆x = 2, 8229164 λ1,new = λ1 + ∆λ = 0, Bước (Lặp lại việc hiệu chỉnh) ( ) (     2x 1,new −  ∆x  F x 1,new , λ1,new −   =   1 ∆λ      ⇒ ∆x = −0.00004075, ∆λ = )   Bây giờ, max {∆x, ∆λ } < ε Vì vậy, dừng việc hiệu chỉnh thu nghiệm (x 1, λ1 ) (2.8228757, 0.5) Tương tự, tính nghiệm xấp xỉ (x 2, λ2 ) nghiệm xấp xỉ khác 15 MỤC LỤC MỞ ĐẦU MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số kiến thức giải tích 1.1.1 Định lý ánh xạ co 1.1.2 Định lý giải tích 1.1.3 Định lý hàm ẩn 1.1.4 Phương pháp giải số Newton 1.2 Lý thuyết rẽ nhánh 12 1.2.1 Phương pháp tiếp tục Euler-Newton 12 1.2.2 Rẽ nhánh gập phương pháp tiếp tục Keller 16 GIẢI SỐ BÀI TOÁN RẼ NHÁNH CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 19 2.1 Đặt toán sơ đồ sai phân 19 2.2 Ví dụ: toán Gelfand-Bratu 24 KẾT LUẬN 27 TÀI LIỆU THAM KHẢO 28 dF (x (s ), λ(s )) = Fx xɺ + Fλλɺ = , ds đó, xɺ kí hiệu đạo hàm x theo s Mặt khác, chọn véc-tơ tiếp tuyến đơn vị nên xɺ + λɺ =1 (1.24) Khi đó, chuyển tốn ban đầu dạng:  F (u )  0  =   G(u, s ) =  N (u, s ) 0 (1.25) N (u, s ) = uɺ T0 (u − u ) − (s − s ) = (1.26) đó, u = (x, λ) Phương trình (1.25) giải phương pháp Newton với giá trị ban đầu u = (x , λ0 ) , s = véc-tơ tuyến tiếp đơn vị ban đầu uɺ = (xɺ , λɺ0 ) (véc-tơ cho biết hướng nhánh nghiệm cần tìm) Một vòng hồn chỉnh phương pháp tiếp tục Keller tóm tắt sau: Giải thuật (một vòng hồn chỉnh phương pháp tiếp tục Keller) Đầu vào: u = (x , λ0 ) , s = , uɺ = (xɺ , λɺ0 ) , bước lặp ∆s giá trị sai số ε Đầu ra: nghiệm xấp xỉ u1 = (x 1, λ1 ) uɺ1 = (xɺ1, λɺ1 ) Các bước tính: - Bước 1: Giải hệ Newton bước lặp thứ k để tính δx 1(k ) δλ1(k ) : ( )  (F )(k ) (F )(k ) δx (k )  F x 1(k ), λ1(k )   x λ    = −   ,  T (k ) T (k ) T λɺ0 δλ1(k )   xɺ (x − x ) xɺ + (λ1 − λ0 ) λɺ0 − ∆s  17 đó, x 1(1) = x ; λ1(1) = λ0 - Bước 2: Kiểm tra điều kiện sai số max{| δx1(k ) |,| δλ1(k ) |} < ε o Nếu thỏa mãn chuyển sang Bước o Nếu khơng thỏa mãn cập nhật x 1(k +1) = x 1(k ) + δx 1(k ) λ1(k +1) = λ1(k ) + δλ1(k ) Sau quay trở lại Bước - Bước 3: Nghiệm cần tìm u1 = (x 1, λ1 ) , x = x 1(k ) , λ1 = λ1(k ) với * * k* bước lặp cuối (bước lặp thỏa mãn điều kiện sai số Bước 2) - Bước 4: Véc-tơ tiếp tuyến uɺ1 = (xɺ1, λɺ1 ) tính dựa hệ: F F  xɺ  0  x   λ   xɺT λɺ  λɺ  = 1      0 Xác định điểm rẽ nhánh gập Sau tính dãy nghiệm xấp xỉ {(xi , λi )} toán (1.17) Việc xác định có điểm rẽ nhánh gập dựa tính chất đổi dấu giá trị dλ Cụ thể, điểm rẽ nhánh gập xác định theo giải thuật sau Giải thuật tìm điểm rẽ nhánh gập - Bước Từ dãy nghiệm {(xi , λi )} tính biến thiên λi , tức tính dλi = λi +1 − λi , i = 1, 2,⋯ - Bước Xác định i* cho: dλi × dλi +1 < Khi điểm rẽ nhánh gập * (xấp xỉ) là: (xi , λi ) * * 18 * Chương GIẢI SỐ BÀI TỐN RẼ NHÁNH CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP Chương trình bày kết luận văn Đó phương pháp giải số tốn rẽ nhánh cho phương trình vi phân cấp Đầu tiên đặt toán dạng sai phân tốn, sau giải thuật tổng thể để giải số tốn rẽ nhánh Cuối ví dụ minh họa cho lý thuyết trình bày Các kết trình bày chương tham khảo từ tài liệu [5,7] 2.1 Đặt toán sơ đồ sai phân Xét phương trình vi phân cấp có dạng: d 2u du + p(x ) = f (u, x , λ), x ∈ (0, L) dx dx (2.1) với hai điều kiện biên là: (a) B0u ≡ q 0u(0) + r0 du (0) = s , dx (b) BLu ≡ qLu(L) + rL du (L) = sL , dx (2.2) đó, p ( x), f (u , x, λ ) hàm cho trước; λ tham số Mục tiêu xây dựng lưu đồ giải số cho tốn (2.1) từ tìm điểm rẽ nhánh Ở giả sử tốn (2.1) có điểm rẽ nhánh gập (xem định nghĩa mục 1.2) Để tìm điểm rẽ nhánh này, trước tiên chúng 19 ta chuyển toán (2.1) dạng sai phân việc sử dụng lưới đồng với khoảng cách h= L , N (2.3) Các điểm chia {x j } có dạng: N x = 0, x j +1 = x j + h, j = 0,1, N − (2.3a) Nếu r0 ≠ rL ≠ , ta đưa vào điểm bên tương ứng x −1 = −h x N +1 = L + h Kí hiệu u(x j ) u j và: D+u j ≡ u j +1 − u j h ; D−u ≡ u j − u j −1 h j ; D0u j ≡ u j +1 − u j −1 h Dạng rời rạc Bài toán (2.1) x j viết dạng: Lh u j ≡ D+D−u j + p(x )D0u j = f (u j , x j , λ); j = 0,1, N (2.4) Các điều kiện biên (2.2) thay bằng: (a) B0h uL ≡ q 0u + r D0u = s , (2.5) (b) BLh uL ≡ q LuN + r L D0uN = sL , Sơ đồ (2.4) với j = (2.5a) liên quan đến u−1 Đại lượng sau loại bỏ cách sử dụng hai phương trình để có mối quan hệ u u1 Tương tự, sử dụng (2.4) j = N (2.5b) để loại bỏ uN +1 thu phương trình chứa uN uN −1 Do đó, ta thu hệ gồm N + phương trình N + ẩn u j , j = 0, N Nếu r0 = (hoặc) 20 rL = , không áp dụng (2.4) cho j = (hoặc) j = N Trong trường hợp có N + phương trình với N + ẩn Sơ đồ sai phân (2.4), (2.5) có độ xác bậc hai Nếu tốn (2.1), (2.2) có nghiệm lập U (đối với λ cố định) p(x ) f hàm trơn, h đủ nhỏ, toán rời rạc (2.4), (2.5) có nghiệm {u } hình cầu R N +1 j gần điểm {u (x j )} thỏa mãn: u (x j ) − u j = 0(h ) Nếu p(x ) ≡ , dễ dàng có độ xác bậc bốn Thật vậy, từ khai triển Taylor ta có: d 2u h d 4u D+D−u(x j ) = (x j ) + (x j ) + 0(h ) 12 dx dx Do u(x ) thỏa mãn: d 2u = f (u(x ), x , λ) , dx Chúng ta có: D+D− f (u(x j ), x j λ) = d 4u (x j ) + 0(h ) , dx Và đó: D+D−u(x j ) − h2 d 2u D+D− f (u(x j ), x j , λ) = (x j ) + 0(h ) 12 dx Như vậy, khi p(x ) ≡ : Lh u j ≡ D+D−u j − (f + 10 f j + f j −1 ), j = 0,1, N , 12 j +1 21 (2.6) f j ≡ f (u j , x j , λ) Chúng ta sử dụng phương thức có điều kiện biên dạng kết hợp (2.2) Đó trường hợp r0 ≠ (hoặc) rL ≠ Thật vậy, từ khai triển Taylor ta có: D0u(x j ) = du h d 3u (x j ) + (x j ) + 0(h ) dx 12 dx Ở đại lượng h /12 xuất sử dụng D0 để xấp xỉ d / dx 2.3! = 12 Ngoài ra, d 3u(x j ) d 2u D0 (x j ) = + 0(h ) dx dx Sử dụng (2.1) với p(x ) ≡ x = x j trên, ta được: D0u(x j ) − h2 du D f (u(x j ), x j , λ) = (x j ) + 0(h ) 12 dx Với x j = x , x j = x N , thay (2.5) : h2 (a) B 0u ≡ q 0u + r0D0 (u − f0 ) = s0 , 12 h h (b) B LuN ≡ q LuN + qLuN + rLD0 (uN − (2.7) h2 f ) = sL 12 N Bây (2.7a) (2.6), cho j = , hai chứa bội số khác không (u−1 − h2 f ) mà loại bỏ từ hai phương trình 12 −1 Tương tự với (2.7b) (2.6) cho j = N ta loại trừ 22 (uN +1 − h2 f ) Kết ta thu hệ gồm N + phương trình với 12 N +1 biến u j , j = 0,1, N Tất nhiên, r0 = (hoặc) rL = , không cần phải quan tâm đến trường hợp j = (hoặc) j = n Vì hai trường hợp này, không cần áp dụng (2.6) cho j = (hoặc) j = N tương ứng Trong trường hợp hệ số suy biến, (tức là: p(x ) = m , < α ≤ 1) ) xα không đề cập luận văn Tất sơ đồ khác mà mơ tả kết hợp vào dạng chung: g j (u j −1, u j , u j +1, λ) ≡ αj u j −1 + β j u j + γ j u j +1 − αˆj fj −1 − βˆj f j − γˆj f j +1 − δj = 0, ≤ j ≤ N (2.8a) đó: α0 = αˆ0 = γN = γˆN = , (2.8b) g ≡ g (u 0, u1, λ); g N ≡ gN (uN −1, uN , λ) (2.8c) đó: Hệ (2.8) tốn khơng gian hữu hạn chiều viết dạng véc-tơ: g   0 g  G (u, λ ) =   = , ⋮  g   N  23 (2.8d) ánh xạ G từ RN +2 đến RN +1 Tiếp theo ta tính đạo hàm G u λ Hàng thứ j th ma trận Jacobian Gu đưa vec tơ N + : ∂g i = (0, 0, a j , bj , c j , 0, 0), j = 0, N ∂u Như Gu ma trận ba đường chéo với bj đường chéo, a j c j tương ứng nằm phía phía đường chéo Chúng ta kí hiệu: Gu (u, λ) ≡ a j , bj , c j   0 N (2.9) Lấy đạo hàm (2.8a) thu được: aj ≡ ∂g j = αj − αˆj ( fu )j −1, ∂u j −1 ∂g bj ≡ j = β j − βˆj ( fu )j , ∂u j ∂g j = γ j − γˆj ( fu )j +1, ≤ j ≤ N cj ≡ ∂u j +1 (2.10) Kết hợp với (2.8b) ta thu dạng tường minh ma trận (2.9) Tương tự ta tính đạo hàm lại Áp dụng phương pháp tiếp tuyến trình bày chương trước tính xấp xỉ nghiệm phương trình (2.8d) Từ ta tìm giá trị rẽ nhánh gập tồn 2.2 Ví dụ: tốn Gelfand-Bratu Xét tốn biên Gelfan-Bratu có dạng 24 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Bài toán rẽ nhánh nghiên cứu Euler với toán tiếng toán uốn cong cần Euler Đây tốn có nhiều ứng dụng thực tế ví dụ như: Bài tốn tính tốn tải trọng tới hạn cho dầm, trụ, cột xây dựng cơng trình; xây dựng cầu đường … Ngồi tốn rẽ nhánh ứng dụng sinh thái học toán tăng trưởng dân số; kinh tế học toán khủng hoảng tài chính, hay xã hội học… Rẽ nhánh hiểu tượng chuyển trạng thái đột ngột mà tham số thay đổi qua giá trị tới hạn Cụ thể ta xét phương trình G (u, λ ) = (1),G : ℝ N × ℝ → ℝ N , với λ tham số Giả sử phương trình (1) có nghiệm u = λ ≤ λ0 , λ > λ0 phương trình (1) có nghiệm u = 0, u = h (λ ) ≠ (xem hình H.1) Khi giá trị λ0 gọi giá trị rẽ nhánh u = h (λ ) gọi nhánh rẽ Hình H.1 Minh họa nghiệm phương trình (1)  − + λe u1  h2    GU (U , λ ) =  h2  ⋯    ⋯  h2 − u + λe 2 h ⋯ ⋯       h   ⋯ ⋯   uN −1  − + λ e  h2 h2 Áp dụng phương pháp tiếp tuyến Keller với hỗ trợ phần mềm AUTO tính tốn nghiệm xấp xỉ toán (2.12) từ nghiệm ban đầu (0,0) Các nghiệm biểu diễn đồ thị Hình H Giản đồ rẽ nhánh toán Gelfan-Bratu (2.11) Từ giản đồ dễ dàng nhận thấy, tốn Gelfan-Bratu (2.11) có rẽ nhánh gập λ ≈ 3.51 26 KẾT LUẬN Sau trình tìm hiểu nghiên cứu, luận văn với đề tài “Phương pháp Newton giải toán rẽ nhánh” hồn thành nhằm mục đích làm rõ kết lý thuyết ứng dụng phương pháp Newton để nghiên cứu toán rẽ nhánh Luận văn trình bày số kiến thức giải tích, phương pháp Newton, giải số rẽ nhánh cho phương trình vi phân cấp : - Hệ thống số kết lý thuyết quan trọng : định lý ánh xạ co, định lý giải tích, định lý hàm ẩn, phương pháp giải số Newton; phương pháp tiếp tục Euller – Newton, rẽ nhánh gập phương pháp tiếp tục Keller - Giải số rẽ nhánh cho phương trình vi phân cấp - Ví dụ: tốn Gelfand-Bratu Những tìm tòi, nghiên cứu người viết tồn thiếu sót, tơi mong nhận góp ý để cơng trình hồn thiện có ý nghĩa thực tiễn Tôi xin chân thành cảm ơn ! 27 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Ajjarapu V (eds) (2006), “Numerical bifurcation technique” In: Computation techniques for valtage stability assessment and control Power electronics and Power systems Springer, Boston [2] Allgower E.L., Georg K (1990), Introduction to numerical continuation methods Colorado State University, 397 pages [3] Brachtendorf H.G., Melville R., Feldmann P., Lampe S., Laur R (2014), “Homotopy method for finding the steady states of oscillators”, IEEE Trans on Computer-Aided Design of Integrated Circuits and Systems, Vol 33, No 6, 867-879 [4] Davidenko D (1953), “On a new method of numerically integrating a system of nonlinear equations”, Dokl Akad Nauk, USSR 88, 601-604 [5] Deodel E.J (2007), “Lecture notes on numerical analysis of nonlinear equations” In: Krauskopf B., Osinga H.M., Galan-Vioque J (eds) Numerical continuation methods for dynamical systems Springer, Dordrecht [6] Dickson K.I., Kelley C.T., Ipsen I.C.F., Kevrekidis I.G (2007), “Condition estimates for pseudo-arclength continuation”, SIAM Journal on Numerical Analysis, vol 45(1), 263-276 [7] Keller H.B (1986), Numerical methods in bifurcation problems, SpringerVelag, Berlin – Heidenberg - New York – Tokyo, 140 pages 28 ... GIẢI SỐ BÀI TỐN RẼ NHÁNH CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP Chương trình bày kết luận văn Đó phương pháp giải số tốn rẽ nhánh cho phương trình vi phân cấp Đầu tiên đặt toán dạng sai phân tốn, sau giải. .. 12 1.2.1 Phương pháp tiếp tục Euler -Newton 12 1.2.2 Rẽ nhánh gập phương pháp tiếp tục Keller 16 GIẢI SỐ BÀI TOÁN RẼ NHÁNH CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 19 2.1 Đặt toán sơ đồ sai... 12 1.2.1 Phương pháp tiếp tục Euler -Newton 12 1.2.2 Rẽ nhánh gập phương pháp tiếp tục Keller 16 GIẢI SỐ BÀI TOÁN RẼ NHÁNH CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 19 2.1 Đặt toán sơ đồ sai