Bộ GIáO DụC Và ĐàO TạO ĐạI HọC Đà NẵNG NGUYễN VĂN HOàNG KHÔNG GIAN S-ĐóNG, ĐếM ĐƯợC Và KHÔNG GIAN COMPact YếU Chuyên nghành: Phương pháp toán sơ cấp M· sè: 60 46 0113 LUËN V¡N TH¹C SÜ KHOA HọC Người hướng dẫn khoa học: TS LƯƠNG QUốC TUYểN Đà Nẵng – Năm 2014 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa công bố cơng trình khác Đà Nẵng, tháng 05 năm 2014 Tác giả luận văn Nguyễn Văn Hoàng MỤC LỤC MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài Mục tiêu nghiên cứu đề tài Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Ý nghĩa thực tiễn đề tài Cấu trúc tổng quan luận văn CHƯƠNG KHÔNG GIAN TÔPÔ 1.1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.2 TẬP NỬA MỞ VÀ TẬP NỬA ĐÓNG 18 1.3 TẬP MỞ CHÍNH QUY VÀ TẬP ĐĨNG CHÍNH QUY 29 CHƯƠNG KHƠNG GIAN S-ĐĨNG VÀ COMPẮC YẾU 41 2.1 KHƠNG GIAN S-ĐĨNG 41 2.2 KHÔNG GIAN KHƠNG LIÊN THƠNG CỰC TRỊ, s-ĐĨNG, TỰA H-ĐĨNG VÀ s-COMPẮC 44 CHƯƠNG KHÔNG GIAN S-ĐÓNG ĐẾM ĐƯỢC 50 3.1 CÁC TÍNH CHẤT CỦA KHƠNG GIAN S-ĐĨNG ĐẾM ĐƯỢC 50 3.2 MỐI QUAN HỆ GIỮA KHƠNG GIAN S-ĐĨNG ĐẾM ĐƯỢC VÀ KHÔNG GIAN COMPẮC YẾU 62 KẾT LUẬN 70 DANH MỤC TÀI TIỆU THAM KHẢO 71 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI (bản sao) MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài Năm 1963, N Levine giới thiệu khái niệm tập nửa mở, nửa đóng khơng gian tơpơ Sau đó, năm 1976, T Thompson giới thiệu khái niệm khơng gian S -đóng (S-closed) nhằm mở rộng nhiều tính chất quan trọng khơng gian tơpơ compắc Đến năm 1984, J R Porter R G Woods đề xuất khái niệm không gian compắc yếu (feebly compact) đồng thời đặt câu hỏi có hay khơng lớp không gian “nằm giữa” hai lớp không gian S -đóng compắc yếu Đến năm 1991, báo Countably S-closed spaces K Dlaska, N Ergun M Ganster, tác giả lớp không gian S đóng đếm (countably S-closed) lớp khơng gian nằm lớp khơng gian S-đóng compắc yếu Trong luận văn này, nghiên cứu khơng gian S -đóng S -đóng đếm được, điều kiện để khơng gian tơpơ trở thành S -đóng, S -đóng đếm Từ đó, tìm hiểu tính chất khơng gian S-đóng đếm được, mối quan hệ khơng gian S-đóng đếm khơng gian compắc yếu Trên cở sở đó, chúng tơi nghiên cứu điều kiện đề hai lớp khơng gian S-đóng đếm khơng gian compắc yếu trùng Ngồi ra, luận văn quan tâm đến số không gian khác không gian không liên thông cực trị (extremally disconnected), khơng gian s-đóng (s-closed), khơng gian scompắc (s-compact), khơng gian RC -hồn chỉnh (RC -pecfect) khơng gian km-hồn chỉnh (km-pecfect) Bên cạnh đó, luận văn trình bày lớp không gian P -không gian (P -spaces) lớp khơng gian nằm khơng gian S-đóng đếm không gian compắc yếu Bởi lý nêu trên, chúng tơi chọn đề tài “Khơng gian S-đóng đếm không gian compắc yếu” làm đề tài luận văn thạc sĩ Mục đích nghiên cứu Trong luận văn, nghiên cứu vấn đề Tôpô đại cương, tập hợp suy rộng không gian tơpơ, khơng gian S-đóng khơng gian S-đóng đếm với mục đích sau • Tìm hiểu chứng minh chi tiết tính chất tập nửa mở, tập nửa đóng, tập mở quy, tập đóng quy, tập trù mật địa phương khơng gian tơpơ • Trình bày vấn đề khơng gian S-đóng khái niệm khơng gian khơng liên thơng cực trị; khơng gian s-đóng không gian s-compắc Chứng minh chi tiết mệnh đề mà tài liệu đưa không chứng minh chứng minh vắn tắt • Nghiên cứu điều kiện để khơng gian tơpơ trở thành khơng gian Sđóng đếm Mối quan hệ khơng gian S-đóng đếm khơng gian compắc yếu Điều kiện để khơng gian S-đóng đếm không gian compắc yếu trùng Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Tơpơ đại cương, tập nửa mở, tập nửa đóng, tập mở quy, tập đóng quy, tập trù mật địa phương, khơng gian S-đóng, khơng gian khơng liên thơng cực trị, khơng gian km-hồn chỉnh, khơng gian compắc yếu khơng gian S-đóng đếm Phạm vi nghiên cứu: Trong luận văn này, nghiên cứu tập hợp suy rộng khơng gian tơpơ Bài tốn mối quan hệ khơng gian S-đóng khơng gian S-đóng đếm tốn mối quan hệ khơng gian S-đóng đếm khơng gian compắc yếu Phương pháp nghiên cứu Chúng sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết trình thực đề tài Bằng cách sử dụng tính chất tập nửa mở, tập nửa đóng, tập mở quy, tập đóng quy khơng gian tơpơ, tính chất khơng gian S-đóng khơng gian S-đóng đếm được, chúng tơi nghiên cứu mối quan hệ khơng gian S-đóng khơng gian S-đóng đếm mối quan hệ chúng với khơng gian khác khơng gian tựa H-đóng, khơng gian s-đóng, s-compắc, khơng gian khơng liên thơng cực trị Nghiên cứu điều kiện để khơng gian S-đóng đếm không gian compắc yếu trùng mối quan hệ chúng với không gian không liên thông cực trị, RC-hoàn chỉnh km-hoàn chỉnh Ý nghĩa khoa học thực tiễn 5.1 Luận văn góp phần giải tốn sau khơng gian tơpơ (1) Mối quan hệ khơng gian S-đóng khơng gian s-đóng, khơng gian s-compắc, khơng gian tựa H-đóng không gian không liên thông cực trị (2) Mối quan hệ khơng gian S-đóng với khơng gian S-đóng đếm được, điều kiện để khơng gian S-đóng trở thành khơng gian S-đóng đếm (3) Mối quan hệ khơng gian S-đóng đếm khơng gian compắc yếu, điều kiện để khơng gian S-đóng đếm khơng gian compắc yếu trùng Trình bày lớp khơng gian nằm khơng gian S-đóng đếm khơng gian compắc yếu 5.2 Luận văn làm tài liệu tham khảo cho sinh viên học viên cao học nghiên cứu Tôpô đại cương Cấu trúc tổng quan luận văn 6.1 Cấu trúc luận văn Nội dung luận văn trình bày chương Ngồi ra, luận văn có Lời cam đoan, Mục lục, phần Mở đầu, phần Kết luận, Tài liệu tham khảo Chương 1, trình bày Tơpơ đại cương tập hợp suy rộng không gian tôpô, bao gồm mục Mục 1.1, trình bày kiến thức chuẩn bị; Mục 1.2, trình bày tập nửa mở, tập nửa đóng tập nửa quy; Mục 1.3, trình bày tập mở quy, tập đóng quy, tập trù mật địa phương Chương 2, trình bày khơng gian S-đóng mối quan hệ khơng gian S-đóng với khơng gian khác, bao gồm mục Mục 2.1, trình bày khơng gian S-đóng; Mục 2.2, trình bày khơng gian khơng liên thơng cực trị, khơng gian s-đóng, khơng gian s-compắc, khơng gian tựa H-đóng khơng gian compắc yếu Chương 3, trình bày khơng gian S-đóng đếm mối quan hệ khơng gian S-đóng đếm không gian compắc yếu, bao gồm mục Mục 3.1, trình bày tính chất khơng gian S-đóng đếm được; Mục 3.2, trình bày mối quan hệ khơng gian S-đóng đếm khơng gian compắc yếu 6.2 Tổng quan luận văn Trong luận văn này, nghiên cứu mối quan hệ tập nửa mở, tập nửa đóng, tập nửa quy; mối quan hệ tập mở quy, tập đóng quy, tập trù mật địa phương tính chất tập hợp trên; trình bày khái niệm khơng gian S-đóng, điều kiện để khơng gian tơpơ trở thành khơng gian S-đóng mối quan hệ khơng gian khơng gian S-đóng với khơng gian khác s-đóng, s-compắc, khơng gian khơng liên thơng cực trị, tựa H-đóng; trình bày khái niệm tính chất khơng gian S-đóng đếm được, điều kiện để khơng gian tơpơ trở thành khơng gian S-đóng đếm Chúng tơi nghiên cứu mối quan hệ khơng gian S-đóng đếm không gian compắc yếu Trong chương thứ luận văn, chúng tơi trình bày vấn đề Tôpô đại cương tập hợp suy rộng khơng gian tơpơ Kết chương Mệnh đề 1.2.12, Mệnh đề 1.2.13, Mệnh đề 1.3.4, Mệnh đề 1.3.9, Mệnh đề 1.3.10, nhờ mệnh đề cho mối quan hệ tập mở quy, tập đóng quy mối quan hệ chúng với tập mở, tập đóng, tập nửa mở tập nửa đóng Trong chương thứ hai luận văn, chúng tơi trình bày vấn đề khơng gian S-đóng; khái niệm khơng gian khơng liên thơng cực trị, khơng gian s-compắc, khơng gian tựa H-đóng, khơng gian s-đóng mối quan hệ khơng gian với khơng gian S-đóng Kết chương Mệnh đề 2.1.2, Mệnh đề 2.1.4 Mệnh đề 2.2.6, Mệnh đề 2.2.12, Mệnh đề 1.3.10 Trong chương thứ ba luận văn, chúng tơi trình bày khái niệm tính chất khơng gian S-đóng đếm được, nghiên cứu điều kiện để không gian tôpô trở thành khơng gian S-đóng đếm Chúng tơi, nghiên cứu mối quan hệ khơng gian S-đóng đếm khơng gian compắc yếu Từ đó, trình bày câu trả lời khẳng định cho câu hỏi J R Porter R G Woods đưa vào năm 1984, chứng minh điều kiện để hai lớp không gian không gian S-đóng đếm khơng gian compắc yếu trùng Ngồi ra, chúng tơi quan tâm đến lớp khơng gian P-khơng gian K Dlaska, N Ergun M Ganster đưa vào năm 1991 Nó lớp khơng gian “nằm giữa” khơng gian S-đóng đếm khơng gian compắc yếu Kết chương Định lý 3.1.5, Mệnh đề 3.1.7 Định lý 3.2.8, Hệ 3.2.9, Mệnh đề 3.2.13 Trong luận văn, quy ước N = {1, 2, }; ω = {0, 1, 2, } CHƯƠNG KHÔNG GIAN TÔPÔ Trong chương này, chúng tơi trình bày vấn đề Tôpô đại cương tập hợp suy rộng không gian tôpô Mối quan hệ tập nửa mở, tập nửa đóng, tập nửa quy; mối quan hệ tập mở quy, tập đóng quy, tập trù mật địa phương tính chất tập hợp 1.1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1.1 Định nghĩa ([3]) Giả sử X tập hợp τ họ tập hợp X Ta nói τ tơpơ X thỏa mãn điều kiện sau (i) ∅ ∈ τ X ∈ τ ; (ii) Nếu U1 ∈ τ, U2 ∈ τ , U1 ∩ U2 ∈ τ ; (iii) Nếu {Ui : i ∈ I} ⊂ τ , ∪ Ui ∈ τ i∈I Khi đó, cặp (X, τ ) gọi không gian tôpô Các phần tử X gọi điểm không gian tôpô, phần tử τ gọi tập mở khơng gian X 1.1.2 Ví dụ (i) Giả sử X tập không rỗng τ = {∅, X} Khi đó, τ tơpơ X gọi tôpô thô X (ii) Giả sử X tập khơng rỗng Khi đó, họ τ = P (X) tôpô X gọi tôpô rời rạc X (iii) Giả sử X tập vô hạn, đặt ∪ τ = {U ⊂ X : X \ U hữu hạn } {∅} Khi đó, τ tơpơ X gọi tôpô đối hữu hạn X Chứng minh (iii) Giả sử X tập vô hạn, đặt ∪ τ = {U ⊂ X : X \ U hữu hạn } {∅} Khi đó, τ tơpơ X Thật vậy, theo giả thiết ta suy ∅ ∈ τ , X \ X = ∅ tập hữu hạn nên X ∈ τ Hơn nữa, giả sử {Ui : i ∈ I} họ gồm phần tử thuộc τ đặt ∪ U= Ui Khi đó, U = ∅ ta suy U ∈ τ Giả sử U ̸= ∅ Khi đó, tồn i∈I i ∈ I cho Ui ̸= ∅ Bởi Ui ∈ τ nên X \ Ui hữu hạn Mặt khác, Ui ⊂ U nên X \ U ⊂ X \ Ui ∪ Do đó, X \ U hữu hạn Bởi vậy, {Ui : i ∈ I} ∈ τ Cuối cùng, giả sử U1 , U2 thuộc τ Khi đó, U1 ∩ U2 = ∅ ta suy U1 ∩ U2 ∈ τ Giả sử, U1 ∩ U2 ̸= ∅ Khi đó, U1 ̸= ∅ U2 ̸= ∅ Bởi U1 , U2 thuộc τ nên X \ U1 X \ U2 hữu hạn Mặt khác, X \ (U1 ∩ U2 ) = (X \ U1 ) ∪ (X \ U2 ) nên X \ (U1 ∩ U2 ) hữu hạn Do vậy, U1 ∩ U2 thuộc τ 1.1.3 Định nghĩa ([3]) Giả sử X khơng gian tơpơ x ∈ X Ta nói tập U ⊂ X lân cận x tồn tập mở V cho x ∈ V ⊂ U 1.1.4 Nhận xét U tập mở ⇔ U lân cận điểm thuộc Chứng minh a) Điều kiện cần Giả sử U ⊂ X U tập mở Khi đó, đặt V = U Do đó, với x ∈ U , x ∈ V ⊂ U Bởi vậy, U lân cận điểm thuộc 57 ∪ X= Fm m∈I∪J Do vậy, (X, τ ) khơng gian S -đóng đếm 3.1.7 Mệnh đề Giả sử (X, τ ) khơng gian tơpơ có khơng gian S-đóng đếm trù mật X Khi đó, (X, τ ) S-đóng đếm Chứng minh Giả sử {Fn : n ∈ N} phủ X tập đóng quy A khơng gian S-đóng trù mật X Khi đó, nhờ Bổ đề 2.1.3, ta suy A ∩ Fn tập đóng quy A với n ∈ N Bởi A ⊂ X nên ∪ A ⊂ {Fn : n ∈ N} Do đó, A=A∩ (∪ ) ∪ {Fn : n ∈ N} = {A ∩ Fn : n ∈ N} Bởi vậy, {A ∩ Fn : n ∈ N} phủ A tập đóng quy Mặt khác, A khơng gian S -đóng đếm nên tồn tập hữu hạn I N cho ∪ A = {A ∩ Fn : n ∈ I} Từ suy A⊂ ∪ Fn n∈I Do đó, ∪ (A ∩ Fn ) ⊂ n∈I ∪ Fn , n∈I kéo theo, ∪ n∈I cl(A ∩ Fn ) ⊂ ∪ n∈I cl(Fn ) 58 Bởi tập đóng quy tập đóng nên ta có cl(Fn ) = Fn với n ∈ I Mặt khác, A trù mật X nên ∪ ∪ ∪ cl(A ∩ Fn ) ⊂ cl(Fn ) = Fn X = cl(A) = n∈I n∈I Vì thế, X= n∈I ∪ {Fn : n ∈ I} Do vậy, (X, τ ) khơng gian S -đóng đếm 3.1.8 Mệnh đề ([2]) Giả sử (X, τ ) khơng gian S-đóng đếm Khi đó, tập mở quy đóng quy (X, τ ) khơng gian S-đóng đếm (X, τ ) Chứng minh Giả sử (X, τ ) khơng gian S-đóng đếm được, U tập mở quy (X, τ ) {Gn : n ∈ N} phủ U tập đóng quy U Khi đó, ta phải chứng minh U khơng gian S-đóng đếm Thật vậy, U tập mở quy nên theo Nhận xét 1.3.18(i), U tập trù mật địa phương Do đó, nhờ Bổ đề 2.1.3, với n ∈ N, tồn tập đóng quy Fn X cho Gn = U ∩ Fn với n ∈ N Mặt khác, (∪ ) ( ) Fn ∪ X \ U n∈N phủ X tập đóng quy (X, τ ) khơng gian S-đóng đếm nên tồn tập hữu hạn I N cho (∪ ) ( ) X= Fn ∪ X \ U n∈I Điều kéo theo U= ∪ Fn n∈I Do vậy, U khơng gian S-đóng đếm (X, τ ) Tiếp theo, giả sử F tập đóng quy (X, τ ) Khi đó, theo Mệnh đề 1.3.10, int(F ) tập mở quy (X, τ ) Theo 59 chứng minh ta suy int(F ) không gian S-đóng đếm Mặt khác, F tập đóng quy nên theo Hệ 1.3.11(iii), tồn tập mở U cho F = cl(U ) Thay U = int(F ), ta suy F = cl(int(F )) Do đó, int(F ) trù mật F Bởi vậy, theo Mệnh đề 3.1.7, ta suy F khơng gian S-đóng đếm 3.1.9 Định nghĩa ([3]) Giả sử (X, τ ) không gian tơpơ Khi đó, tập A (X, τ ) gọi Gδ -tập (Gδ -set) A giao họ đếm tập mở 3.1.10 Định nghĩa ([3]) Cho (X, τ ) không gian tơpơ Khi đó, điểm x ∈ X gọi điểm cô lập (isolated point) X tập {x} mở 3.1.11 Định nghĩa ([3]) Giả sử (X, τ ) khơng gian tơpơ Khi đó, (X, τ ) gọi compact địa phương với x ∈ X có lân cận U x mà cl(U ) compắc 3.1.12 Ví dụ Giả sử X tập vô hạn với tôpô rời rạc Khi đó, (X, τ ) compắc địa phương không compắc Chứng minh Giả sử X tập vô hạn với tơpơ rời rạc Khi đó, với x ∈ X tồn lân cận U = {x} x cl(U ) = {x} Do đó, cl(U ) tập compắc Bởi vậy, (X, τ ) compắc địa phương Mặt khác, X tập vơ hạn với tôpô rời rạc nên (X, τ ) không không gian compắc 3.1.13 Mệnh đề Giả sử (Y, τY ) không gian Hausdorff Đặt X = Y ∪ {x} x ∈ / Y Ta xác định họ τ tập X sau: 60 { } τ = τY ∪ G : G = U ∪ {x}, U ∈ τY X \ U compắc Y Khi đó, τ tơpơ X Chứng minh Giả sử (Y, τY ) không gian Hausdorff Đặt X = Y ∪ {x} x ∈ / Y τ họ tập X xác định sau { } τ = τY ∪ G : G = U ∪ {x}, U ∈ τY X \ U compắc Y Khi đó, ta kiểm tra ba điều kiện để τ trở thành tơpơ X (1) Bởi ∅ ∈ τY nên ∅ ∈ τ Lại X = Y ∪ {x} với Y ∈ τY X \ Y = {x} tập compắc nên X ∈ τ (2) Giả sử G1 , G2 ∈ τ ta phải chứng minh G1 ∩ G2 ∈ τ Thật vậy, giả sử G1 , G2 ∈ τY ta suy G1 ∩ G2 ∈ τY , kéo theo G1 ∩ G2 ∈ τ Mặt khác, giả sử G1 = U1 ∪ {x} với U1 ∈ τY X \ U1 tập compắc Y ; G2 = U2 ∪ {x} với U2 ∈ τY X \ U2 tập compắc Y Khi đó, ( )∩( ) G1 ∩ G2 = U1 ∪ {x} U2 ∪ {x} = (U1 ∩ U2 ) ∪ {x} Bởi U1 ∈ τY U2 ∈ τY nên U1 ∩ U2 ∈ τY Lại X \ U1 X \ U2 tập compắc nên theo Mệnh đề 1.1.28(i), ta suy X \ (U1 ∩ U2 ) = (X \ U1 ) tập compắc Do vậy, G1 ∩ G2 ∈ τ ∪ (X \ U2 ) 61 (3) Giả sử {Gi : i ∈ I} ∈ τ ta phải chứng minh ∪ Gi ∈ τY ta suy vậy, giả sử ∪ Gi ∈ τ Thật i∈I i∈I ∪ Gi ∈ τ i∈I Mặt khác, giả sử Gi = Ui ∪ {x} với Ui ∈ τY X \ Ui tập compắc với i ∈ I Khi đó, ta suy ) (∪ ) ∪ ∪( Gi = Ui ∪ {x} = Ui ∪ {x} i∈I i∈I i∈I Bởi Ui ∈ τY với i ∈ I nên ∪ Ui ∈ τY Mặt khác, ta có i∈I X\ ) ∩( ) Ui = X \ Ui (∪ i∈I i∈I Lại X khơng gian Hausdorff X \ Ui tập compắc với i ∈ I nên theo Mệnh đề 1.1.28(ii) ta suy ) ∩( X \ Ui i∈I ∪ tập compắc Bởi thế, Gi ∈ τ i∈I Do vậy, τ tôpô X 3.1.14 Định nghĩa ([3]) Giả sử (Y, τY ) không gian Hausdorff, compắc địa phương không compắc Đặt X = Y ∪ {x} x ∈ / Y Ta xác định họ τ tập X sau { } τ = τY ∪ G : G = U ∪ {x}, U ∈ τY X \ U compắc Y Khi đó, (X, τ ) gọi compắc hóa điểm Y 62 3.2 MỐI QUAN HỆ GIỮA KHƠNG GIAN S-ĐĨNG ĐẾM ĐƯỢC VÀ KHÔNG GIAN COMPẮC YẾU 3.2.1 Mệnh đề Giả sử (X, τ ) khơng gian S-đóng đếm Khi đó, (X, τ ) khơng gian compắc yếu Chứng minh Giả sử {Un : n ∈ N} phủ đếm X tập mở Khi đó, theo Hệ 1.3.11, bao đóng tập mở tập đóng quy nên {cl(Un ) : n ∈ N} phủ đếm X tập đóng quy Mặt khác, (X, τ ) S-đóng đếm nên tồn tập hữu hạn I N cho ∪ X = {cl(Un ) : n ∈ I} Do vậy, (X, τ ) không gian compắc yếu 3.2.2 Mệnh đề ([2]) Giả sử (X, τ ) khơng gian tơpơ Khi đó, tồn không gian compắc yếu khơng gian S-đóng đếm Chứng minh Giả sử Y tập hợp vô hạn với tôpô rời rạc (X, τ ) ∪ compắc hóa điểm Y , X = Y {a} Bởi vì, Y tập hợp vô hạn với tôpô rời rạc nên với x ∈ Y {x} tập mở, kéo theo x điểm cô lập Y Do đó, a ∈ / Y nên a điểm không cô lập (X, τ ) Khi đó, theo Ví dụ 1.1.22, (X, τ ) không gian Hausdorff compắc Theo Nhận xét 2.2.16, ta suy (X, τ ) không gian compắc yếu Giả sử {Yn : n ∈ N} phân hoạch Y , Yn vơ hạn Với n ∈ N, đặt Fn = Yn ∪ a Khi đó, Fn ∈ RC (X, τ ) với n ∈ N Dễ thấy rằng, ∪ ∪ X = {Fn : n ∈ N} = {Yn ∪ a : n ∈ N} 63 Do đó, Fn = Yn ∪ a phủ (X, τ ) tập đóng quy Lại Yn vơ hạn nên Fn = Yn ∪ a khơng có phủ hữu hạn Do vậy, (X, τ ) không khơng gian S-đóng đếm 3.2.3 Mệnh đề Giả sử (X, τ ) khơng gian tơpơ Khi đó, (X, τ ) không gian không liên thông cực trị compắc yếu, (X, τ ) khơng gian S-đóng đếm Chứng minh Giả sử (X, τ ) không gian compắc yếu không liên thông cực trị {Fn : n ∈ N} phủ đếm X tập đóng quy Khi đó, theo Định lí 2.2.5, {Fn : n ∈ N} phủ đếm X tập mở Mặt khác, (X, τ ) không gian compắc yếu nên tồn tập hữu hạn I N cho ∪ X = {cl(Fn ) : n ∈ I} Cuối cùng, Fn đóng quy với n ∈ I nên theo Nhận xét 1.3.8, ta suy Fn tập đóng, kéo theo cl(Fn ) = Fn với n ∈ I Bởi thế, ∪ X = {(Fn : n ∈ I} Do vậy, (X, τ ) S-đóng đếm 3.2.4 Định nghĩa ([2]) Giả sử (X, τ ) khơng gian tơpơ Khi đó, (i) (X, τ ) gọi hoàn chỉnh (perfect) tập mở (X, τ ) hợp môt họ đếm tập đóng (ii) (X, τ ) gọi RC-hồn chỉnh (RC-perfect) tập mở quy (X, τ ) hợp môt họ đếm tập đóng quy 3.2.5 Nhận xét Mọi khơng gian RC -hồn chỉnh khơng gian hồn chỉnh Chứng minh Giả sử (X, τ ) không gian RC -hoàn chỉnh U ∈ RO(X, τ ) Khi đó, 64 U= ∪ {Fn : n ∈ N} với {Fn : n ∈ N} họ đếm tập đóng quy Theo Nhận xét 1.3.2 Nhận xét 1.3.8, ta suy (X, τ ) không gian hoàn chỉnh 3.2.6 Định nghĩa ([2]) Giả sử (X, τ ) khơng gian tơpơ Khi đó, (X, τ ) gọi km-hoàn chỉnh (km-pecfect) với tập đóng quy U x ∈ / U tồn dãy {Gn : n ∈ N} tập mở cho ∪ ∪ {Gn : n ∈ N} ⊂ U ⊂ {cl(Gn ) : n ∈ N} x∈ / ∪ {cl(Gn ) : n ∈ N} 3.2.7 Mệnh đề ([2]) Giả sử (X, τ ) khơng gian tơpơ Khi đó, (X, τ ) thỏa mãn tính chất sau, (X, τ ) km-hồn chỉnh (i) khơng gian khơng liên thơng cực trị; (ii) khơng gian RC-hồn chỉnh Chứng minh (i) Giả sử (X, τ ) không gian không liên thơng cực trị, U tập mở quy (X, τ ) x ∈ / U Khi đó, theo Định lí 2.2.5, U tập đóng Bởi U tập mở quy nên U tập mở Đặt Gn = U với n ∈ N Khi đó, ∪ {Gn : n ∈ N} ⊂ U Mặt khác, U tập đóng nên cl(Gn ) = U với n ∈ N Do đó, ∪ U ⊂ {cl(Gn ) : n ∈ N} Lại x ∈ / U nên x ∈ / cl(Gn ) với n ∈ N Do đó, ∪ x∈ / {cl(Gn ) : n ∈ N} 65 Bởi vậy, (X, τ ) km-hoàn chỉnh (ii) Giả sử (X, τ ) RC -hoàn chỉnh, U tập mở quy (X, τ ) x ∈ / U Khi đó, với {Fn : n ∈ N} họ đếm tập đóng quy ta suy ∪ U = {Fn : n ∈ N} Bởi int(Fn ) ⊂ Fn với n ∈ N nên ∪ ∪ {int(Fn ) : n ∈ N} ⊂ {Fn : n ∈ N} = U Mặt khác, Fn tâp đóng quy với n ∈ N nên theo Mệnh đề 1.3.6, ta suy ( ) Fn = cl int(Fn ) Do đó, U= ( ) ∪ ∪ {Fn : n ∈ N} = {cl int(Fn ) : n ∈ N} Lại x ∈ / U nên x ∈ / Fn với n ∈ N Bởi thế, ( ) ∪ x∈ / {cl int(Fn ) : n ∈ N} Do vậy, (X, τ ) km-hoàn chỉnh 3.2.8 Định lí ([2]) Giả sử (X, τ ) khơng gian S-đóng đếm km-hồn chỉnh Khi đó, (X, τ ) không gian không liên thông cực trị Chứng minh Giả sử U tập mở quy (X, τ ) x ∈ / U Khi đó, (X, τ ) km-hồn chỉnh nên tồn dãy {Gn : n ∈ N} tập mở cho ∪ ∪ Gn ⊂ U ⊂ cl(Gn ) n∈N n∈N x∈ / ∪ n∈N cl(Gn ) 66 Dễ thấy, {U ∩ cl(Gn ) : n ∈ N} phủ U Gn tập mở với n ∈ N nên cl(Gn ) tập đóng quy Lại U tập mở quy nên U tập trù mật địa phương Do đó, theo Bổ đề 2.1.3, ta suy {U ∩ cl(Gn ) : n ∈ N} phủ U tập đóng quy U Bởi (X, τ ) S-đóng đếm U ∈ RO(X, τ ) nên theo Mệnh đề 3.1.8, U khơng gian S-đóng đếm (X, τ ) Suy tồn tập hữu hạn I N cho U= ∪ {U ∩ cl(Gn ) : n ∈ I} Từ ta suy U⊂ ∪ {cl(Gn ) : n ∈ I} Do đó, cl(U ) ⊂ Mặt khác, x ∈ / ∪ ∪ {cl(Gn ) : n ∈ I} cl(Gn ) nên n∈N x∈X\ ∪ n∈N cl(Gn ) ⊂ X \ ∪ cl(Gn ) ⊂ X \ cl(U ) n∈I Suy x ∈ / cl(U ), kéo theo cl(U ) ⊂ U Hơn nữa, U ⊂ cl(U ) nên U tập đóng Do vậy, U tập đóng với U ∈ RC (X, τ ) Theo Định lí 2.2.5, ta suy (X, τ ) không gian không liên thông cực trị 3.2.9 Hệ (i) Giả sử (X, τ ) không gian S-đóng đếm Khi đó, (X, τ ) không gian không liên thông cực trị (X, τ ) km-hoàn chỉnh (ii) Giả sử (X, τ ) khơng gian km-hồn chỉnh Khi đó, (X, τ ) khơng gian S-đóng đếm (X, τ ) compắc yếu không liên thông cực trị 67 Chứng minh (i) Suy từ Mệnh đề 3.2.7 Định lí 3.2.8 (ii) Suy từ Mệnh đề 3.2.1, Mệnh đề 3.2.3 Định lí 3.2.8 3.2.10 Mệnh đề ([6]) Giả sử (X, τ ) khơng gian tơpơ Khi đó, khẳng định sau tương đương (i) (X, τ ) không gian compắc yếu; (ii) Nếu {Un : n ∈ N} dãy giảm tập mở khác rỗng ∩ (X, τ ), {cl(Un ) : n ∈ N} = ̸ ∅; (iii) Nếu {Vn : n ∈ N} dãy giảm tập mở quy khác ∩ rỗng (X, τ ), {cl(Vn ) : n ∈ N} ̸= ∅; (iv) Nếu {Fn : n ∈ N} dãy giảm tập đóng quy khác ∩ rỗng (X, τ ), {Fn : n ∈ N} ̸= ∅ 3.2.11 Định lí Khơng gian tơpơ S-đóng đếm khơng gian compắc yếu thỏa mãn tính chất: Nếu {Fn : n ∈ N} dãy giảm tập đóng quy khác rỗng (X, τ ) với ∩ ∩ {Fn : n ∈ N} ̸= ∅, {int(Fn ) : n ∈ N} = ̸ ∅ Chứng minh a) Điều kiện cần Giả sử (X, τ ) khơng gian S-đóng đếm {Fn : n ∈ N} dãy giảm tập đóng quy khác rỗng Khi đó, theo Mệnh đề 3.2.1, (X, τ ) không gian compắc yếu Do vậy, theo ¯ Định lí 3.1.5, ta có ∩ {int(Fn ) : n ∈ N} ̸= ∅ b) Điều kiện đủ Giả sử (X, τ ) không gian compắc yếu thỏa mãn tính chất: Nếu {Fn : n ∈ N} dãy giảm tập đóng quy khác ∩ rỗng (X, τ ) với {Fn : n ∈ N} ̸= ∅, ∩ {int(Fn ) : n ∈ N} ̸= ∅ Ta chứng minh (X, τ ) S-đóng đếm Thật vậy, giả sử {An : n ∈ N} 68 dãy giảm tập đóng quy khác rỗng (X, τ ) Khi đó, (X, τ ) compắc yếu nên theo Mệnh đề 3.2.10, ta suy ∩ {An : n ∈ N} ̸= ∅ Do đó, theo giả thiết ta suy ∩ {int(An ) : n ∈ N} ̸= ∅ Cuối cùng, theo Định lí 3.1.5, ta suy (X, τ ) khơng gian S-đóng đếm 3.2.12 Định nghĩa ([2]) Giả sử (X, τ ) khơng gian tơpơ Khi đó, (X, τ ) gọi P-không gian (P-spaces) tập Gδ -tập (X, τ ) mở 3.2.13 Mệnh đề ([2]) Một P -khơng gian S-đóng đếm không gian trù mật (X, τ ) compắc yếu Chứng minh a) Điều kiện cần Giả sử (X, τ ) P -khơng gian S-đóng đếm được, Y khơng gian trù mật (X, τ ) {Un : n ∈ N} ∈ τ phủ mở Y Khi đó, } ∩{ X \ cl(Un ) : n ∈ N Gδ -tập (X, τ ) Lại (X, τ ) P -khơng gian nên ∩ {X \ cl(Un ) : n ∈ N} tập mở Suy ∪ {cl(Un ) : n ∈ N} tập đóng Do đó, X = cl(Y ) ⊂ cl (∪ n∈N ) (∪ ) ∪ Un ⊂ cl cl(Un ) = cl(Un ) ⊂ X n∈N n∈N Điều kéo theo {cl(Un ) : n ∈ N} phủ (X, τ ) tập đóng quy Hơn nữa, (X, τ ) S-đóng đếm nên tồn tập hữu hạn I N cho 69 X= ∪ {cl(Un ) : n ∈ I} Suy Y ⊂ ∪ {cl(Un ) : n ∈ I} Do vậy, Y không gian compắc yếu (X, τ ) b) Điều kiện đủ Giả sử không gian trù mật P -không gian compắc yếu Khi đó, ta chứng minh (X, τ ) khơng gian S-đóng đếm Thật vậy, giả sử {Fn : n ∈ N} phủ (X, τ ) tập đóng quy Khi đó, ) (∪ ) ∪ ∪ ( X= Fn = cl int(Fn ) ⊂ cl int(Fn ) ⊂ X n∈N Suy U = ∪ n∈N n∈N int(Fn ) không gian trù mật (X, τ ) Bởi U n∈N không gian compắc yếu nên tồn tập hữu hạn I N cho ) ∪ ( ∪ U= cl int(Fn ) = Fn n∈I n∈I Từ ta suy (∪ ) ∪ ∪ Fn = cl(Fn ) = Fn ⊂ X X = cl(U ) = cl Do đó, X = ∪ n∈I n∈I n∈I n∈I Fn Bởi vậy, (X, τ ) S-đóng đếm 70 KẾT LUẬN Trong luận văn này, nghiên cứu mối quan hệ tập hợp không gian tôpô suy rộng; đặc trưng khơng gian S-đóng; đặc trưng khơng gian S-đóng đếm mối quan hệ chúng với không gian tựa H-đóng, s-compắc, s-đóng, khơng gian khơng liên thơng cực trị, RC-hoàn chỉnh km-hoàn chỉnh; mối quan hệ khơng gian S-đóng đếm khơng gian compắc yếu Các kết luận văn sau (1) Hệ thống lại số khái niệm tính chất Tơpơ đại cương (2) Tìm hiểu chứng minh chi tiết tính chất tập nửa mở, tập nửa đóng, tập mở quy, tập đóng quy, tập trù mật địa phương Tự chứng minh số tính chất mà tài liệu đưa không chứng minh chứng minh vắn tắt, thể Mệnh đề 1.3.4, Mệnh đề 1.3.9, Mệnh đề 1.3.10, Hệ 1.3.11 Hệ 1.3.12 (3) Trình bày vấn đề khơng gian S-đóng khái niệm không gian không liên thông cực trị, không gian tựa H-đóng, khơng gian s-đóng khơng gian s-compắc nói phần mở đầu Chứng minh chi tiết Mệnh đề 2.1.2, Mệnh đề 2.1.4, Mệnh đề 2.2.11 Mệnh đề 2.2.12, mà tài liệu đưa khơng chứng minh chứng minh vắn tắt (4) Trình bày khái niệm tính chất khơng gian S-đóng đếm Mối quan hệ S-đóng đếm khơng gian compắc yếu, điều kiện để khơng gian S-đóng đếm không gian compắc yếu trùng Chứng minh chi tiết Mệnh đề 3.1.8, Định lí 3.2.8 Mệnh đề 3.2.13, mà tài liệu đưa không chứng minh chứng minh vắn tắt 71 TµI LIƯU THAM KH¶O TiÕng Anh [1] Cameron D E (1978), Properties of S-closes spaces, Proc Amer & Math Sci., 19, 67 – 74 [2] Dlaska K., Ergun N and Ganster M (1991), Countably S-closed spaces, Proc Amer Math Soc., 131(8), – 14 [3] Engelking R (1977), General Topology, PWN-Polish Scientific, Publishers, Warszawa [4] Ganster M and Reilly I L (1988), A note on S-closed spaces, Indian J Pure Appl Math., 19(10), 1031 - 1033 [5] Maio G D and Noiri T.(1987), On s-closes spaces, Indian J Pure Appl Math., 18(3), 226 - 233 [6] Porter J R and Woods R G (1984), Feebly compact spaces, Martin’s Axiom and "Diamond", Topology Proc., 9, 105 - 121 [7] Thompson T (1976), S-closed spaces, Proc Amer Math Soc., 60, 335 – 338 ... khơng gian S-đóng đếm được, điều kiện để khơng gian S-đóng trở thành khơng gian S-đóng đếm (3) Mối quan hệ khơng gian S-đóng đếm không gian compắc yếu, điều kiện để không gian S-đóng đếm khơng gian. .. cứu điều kiện để không gian tôpô trở thành khơng gian Sđóng đếm Mối quan hệ khơng gian S-đóng đếm khơng gian compắc yếu Điều kiện để khơng gian S-đóng đếm khơng gian compắc yếu trùng Đối tượng... gian s-đóng, khơng gian s -compắc, khơng gian tựa H-đóng khơng gian compắc yếu 4 Chương 3, trình bày khơng gian S-đóng đếm mối quan hệ khơng gian S-đóng đếm khơng gian compắc yếu, bao gồm mục Mục