BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN THẾ VIỆT MÔĐUN BAER VÀ MÔĐUN TỰA-BAER LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng - Năm 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN THẾ VIỆT MÔĐUN BAER VÀ MÔĐUN TỰA-BAER Chuyên ngành : Phương pháp Toán sơ cấp Mã số : 60.46.0113 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Trương Công Quỳnh Đà Nẵng - Năm 2014 LỜI CAM ĐOAN Tơi cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các số liệu kết nêu luận văn trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Đà Nẵng, ngày 20 tháng 06 năm 2014 Học viên Nguyễn Thế Việt MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lí chọn đề tài Mục tiêu nghiên cứu đề tài Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Tổng quan tài liệu nghiên cứu MỘT SỐ KÍ HIỆU CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 MỘT SỐ KẾT QUẢ ĐÃ BIẾT 1.2 MỘT SỐ KẾT QUẢ LIÊN QUAN 11 CHƯƠNG MÔĐUN BAER 14 2.1 ĐỊNH NGHĨA 14 2.2 MÔĐUN BAER VÀ MỞ RỘNG CỦA MÔĐUN BAER 17 2.3 HẠNG TỬ TRỰC TIẾP CỦA MÔĐUN BAER 20 2.4 TỔNG TRỰC TIẾP CỦA MÔĐUN BAER 24 CHƯƠNG MÔĐUN TỰA-BAER 32 3.1 ĐỊNH NGHĨA 32 3.2 MÔĐUN TỰA-BAER VÀ FI MỞ RỘNG CỦA MÔĐUN TỰA-BAER 35 3.3 HẠNG TỬ TRỰC TIẾP VÀ TỔNG TRỰC TIẾP CỦA MÔĐUN TỰA-BAER KẾT LUẬN 36 43 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI (Bản sao) 44 MỘT SỐ KÝ HIỆU Kí hiệu Tên gọi N Tập hợp số nguyên dương Z Tập hợp số nguyên Q Tập hợp số hữu tỷ R Tập hợp số thực R [x] Các đa thức ẩn x lấy hệ tử R |G| Cấp nhóm G Kerf Hạt nhân đồng cấu f Imf N∼ =M Ảnh đồng cấu f N ≤e M N môđun cốt yếu M N ≤c M N mơđun đóng M N ≤⊕ M N hạng tử trực tiếp M N N mơđun bất biến hồn toàn M M N đẳng cấu với M (tức là: ∀ϕ ∈ End(M ), ϕ(N ) ⊆ M ) N e M N mơđun bất biến hồn toàn cốt yếu M N c M N mơđun bất biến hồn tồn đóng trongM N ⊕ M N hạng tử trực tiếp mơđun bất biến hồn tồn M MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Lý thuyết vành Baer vành tựa-Baer Kaplansky nghiên cứu phát triển từ năm 1951, nhờ nghiên cứu trước Reinhold Baer Kế tiếp sau đóng góp nhà nghiên cứu A.W Chatter, S.M Khuri, F Birkenmeier, S.K Berberian, Kể từ năm 1980, phát triển lớp mơđun mở rộng (hay gọi môđun CS) phần quan trọng lý thuyết vành Những nghiên cứu, đóng góp M Harada, B Mă uller, B Osofsky, P.F Smith, D.V Huynh, N.V Dung, R Wisbauer , có nhiều báo công bố giới liên quan tới lý thuyết Nhiều công việc thực việc tìm kiếm điều kiện cần đủ để chứng tỏ tổng trực tiếp môđun mở rộng mở rộng, kết hạn chế Nghiên cứu tính chất vành Baer vành tựa-Baer cung cấp cách tiếp cận kiểm tra tính chất mở rộng, hay mối quan hệ lớp môđun khác với lớp môđun mở rộng Vì vậy, đề tài chúng tơi tổng quan tính chất lớp mơđun Baer mơđun tựa-Baer Được định hướng TS Trương Công Quỳnh, chọn đề tài : "MÔĐUN BAER VÀ MÔĐUN TỰA-BAER" làm đề tài luận văn thạc sĩ Mục tiêu nghiên cứu đề tài Thông qua luận văn, tổng quan số đặc trưng mơđun Baer mơđun tựa-Baer, qua làm rõ nghiên cứu có trước Chỉ mối quan hệ môđun Baer mở rộng môđun Bear, mối quan hệ môđun tựa-Baer mở rộng môđun tựa-Baer Đối tượng phạm vi nghiên cứu Giới thiệu khái niệm môđun Baer mơđun tựa-Baer Với kiến thức mình, tơi trình bày số lý thuyết cho phép chứng minh lý thuyết môđun Baer phần mở rộng Phương pháp nghiên cứu • Đọc sách tài liệu tham khảo Bố cục đề tài Trong luận văn này, • Chương : Giới thiệu kiến thức chuẩn bị môđun Baer mơđun tựa-Baer • Chương : Mơđun Baer • Chương : Mơđun tựa-Baer mở rộng Tổng quan tài liệu nghiên cứu • Chứng minh khái niệm hữu ích việc cung cấp câu trả lời cho vấn đề lý thuyết lớp môđun mở rộng hay cho kết chứng minh cách tổng quát • Đề tài mang ý nghĩa mặt lý thuyết, tài liệu tham khảo cho sinh viên • Ngồi đề tài ứng dụng vành số nguyên Z, vành ví dụ quan trọng vành Baer CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 MỘT SỐ KẾT QUẢ ĐÃ BIẾT Trong toàn luận văn R ln kí hiệu vành (khơng thiết vành giao hốn) có đơn vị = Trước hết nhắc lại số khái niệm môđun: Định nghĩa 1.1.1 Cho R vành Một R-mơđun phải M là: (1) Nhóm cộng aben M với (2) Ánh xạ M × R −→ M (m, r) −→ mr gọi phép nhân môđun thoả mãn điều kiện sau: (i) Qui tắc kết hợp: (mr1 )r2 = m(r1 r2 ) (ii) Qui tắc phân phối: (m1 + m2 )r = m1 r + m2 r m(r1 + r2 ) = mr1 + mr2 (iii) Qui tắc unita: m1 = m m, m1 , m2 phần tử tuỳ ý M, r1 , r2 ∈ R Trong R gọi vành sở Nếu M R-mơđun phải ta thường kí hiệu M = MR Tương tự ta định nghĩa khái niệm R-môđun trái Ví dụ 1.1.1 (1) Khơng gian véctơ trường R mơđun trường R (2) Mọi nhóm aben cộng xem Z-mơđun Ngược lại, Z-mơđun thu từ nhóm aben cộng (3) Vành R xem vành mơđun phải (trái) Nhờ trường hợp người ta nghiên cứu nhiều tính chất vành thơng qua mơđun vành (4) Xét R vành giao hốn có đơn vị Lúc vành R [x] đa thức ẩn x lấy hệ tử R Xét R [x] với phép cộng thông thường với phép nhân môđun xác định sau: R(a0 +a1 x+ .+an xn ) = ra0 +ra1 x+ .+ran xn với r ∈ R, a0 , a1 , , an ∈ R Thì dễ dàng chứng minh R [x] Định nghĩa 1.1.2 Cho M R-môđun phải Tập A khác rỗng M gọi môđun M (ký hiệu A M hay AR MR ) A R-mơđun phải với phép tốn cộng nhân môđun hạn chế A Định nghĩa 1.1.3 (1) Môđun MR gọi đơn M = M có hai mơđun M (2) Môđun A M gọi đơn R = R có iđêan hai phía M (3) Mơđun A M gọi môđun cực tiểu môđun M A = B A ⇒ B = 0] M [B (4) Tương tự, môđun A M gọi môđun cực đại môđun M A = M B M [A B ⇒ B = M] Bổ đề 1.1.1 Môđun MR đơn M = với m ∈ M, m = 0, M = mR Chứng minh Môđun MR đơn m = Lúc mR = suy mR = M Đảo lại, cho A = 0, A M = aR A M a ∈ A, a = Ta có aR = M Từ M ⇒ A = M Định nghĩa 1.1.4 (a) Cho (Tα )α∈A tập môđun nửa đơn M Nếu M tổng trực tiếp môđun này, nghĩa M= A Tα (∗) 30 giản M1 Baer tất đồng cấu từ M1 vào M2 hạng tử hạt nhân Mệnh đề 2.4.5 Cho M vành Những khẳng định sau tương đương: Mọi R-môđun(phải) Baer Mọi R môđun phải nội xạ Baer R Artin nửa đơn Chứng minh Chúng chứng minh môđun M nội xạ Lấy môđun E(M ) ⊕ (E(M )/M ) Baer Do m ∈ E(M ) tới m ˆ ∈ E(M )/M , hạng tử thứ 0, phải hạt nhân tương tự hạng tử Vậy M ≤⊕ E(M ) ⇒ M = E(M ) 31 CHƯƠNG MÔĐUN TỰA-BAER 3.1 ĐỊNH NGHĨA Định nghĩa 3.1.1 Một R-môđun phải M gọi môđun tựa-Baer cho tất N ✂ M , lS (N ) = Se với e2 = e ∈ S Tương đương, môđun tựa-Baer ∀J ✂S , rM (J) = f M với f = f ∈ S Ví dụ 3.1.1 Tất mơđun nửa đơn mơđun tựa-Baer Nhóm aben hữu hạn sinh khơng nửa đơn ví dụ mơđun tựa-Baer khơng mơđun Baer Bổ đề 3.1.1 Cho Ni ✂⊕ M i = n, n ∈ N Khi ⊕ i≤n Ni ✂ M Chứng minh Dễ dàng chứng minh điều Giao họ mơđun hồn tồn bất biến mơđun hồn tồn bất biến Theo Bổ đề 1.2.2, ta có N1 ∩ N2 ≤⊕ N1 ⇒ N1 ∩ N2 ≤⊕ M Tiếp tục trình cách giao với N3 , , Nn ta có i≤n Ni ✂⊕ M hạng tử trực tiếp Mệnh đề 3.1.1 Cho M môđun thoả mãn tính chất tất iđêan S sinh tập hữu hạn phần tử luỹ đẳng nửa tâm phải iđêan trái Khi M tựa-Baer cho phần tử luỹ đẳng nửa tâm phải ϕ ∈ S Kerϕ ≤⊕ M Chứng minh Điều kiện cần rõ ràng Vì tập iđêan S tập tập iđêan S Điều kiện đủ, lấy iđêan I ✂S Khi đó, theo giả thiết ta có I = Sϕ1 +Sϕ2 + + Sϕk {ϕ1 + ϕ2 + + ϕk tập phần tử luỹ đẳng nửa tâm phải Khi đó, Kerϕk mơđun bất biến M ϕk 32 phần tử luỹ đẳng nửa tâm Trong trường hợp rM (I) = Theo Bổ đề 3.1.1, k∈K k∈K Kerϕk Kerϕk ≤⊕ M Tương tự trường hợp mơđun Baer, mơđun tựa-Baer có mối quan hệ với tính chất khơng suy biến, tính chất đối khơng suy biến, tính chất Mi Mj -Baer ∀i, j = 1, Bây sử dụng mơđun hồn tồn bất biến M iđêan S Định nghĩa 3.1.2 Môđun M gọi FI-K-không suy biến cho I ✂ S cho rM (I) ≤e eM với e2 = e ∈ S đó, rM (I) = eM Định nghĩa 3.1.3 Môđun M gọi FI-K-đối không suy biến cho N ✂⊕ M N ✂ N cho ϕ(N ) = 0, ∀ϕ ∈ End(N ), ta có N ≤e N Chúng ta chứng minh tính chất FI-K-khơng suy biến FI-K-đối không suy biến, mối quan hệ FI-K-không suy biến FI-K-đối không suy biến biết Chương Mệnh đề 3.1.2 Cho M R-môđun (i) M FI-K-không suy biến với I ✂ S ta có rM (I) ≤e eM , với e2 = e ∈ S đó, suy I ∩ Se = 0; (ii) M FI-K-đối không suy biến với N ✂ M ta có rM (lS (N )) ≤⊕ M , suy N ≤e rM (lS (N )) Chứng minh (i) Cho I ✂ S cho rM (I) ≤e eM ⇒ S(1 − e) ⊆ I ⇒ I = S(1 − e) ⊕ Ie = S(1 − e) ⊕ I ∩ Se (vì I iđêan S ) Giả sử I ∩ Se = ⇒ ∃0 = s ∈ I cho se = s, s ∈ I ∩ Se, mặt khác theo tính chất FI-K-khơng suy biến, rM (I) = eM ⇒ sM = seM = ⇒ s = 0, vơ lý Do I ∩ Se = Ngược lại, chứng minh thoả mãn tính chất FI-K-khơng suy biến M, cho I ≤ S S cho rM (I) ≤e eM Khi đó, theo giả thuyết, ta có I ∩ Se = ⇒ I ⊆ S(1 − e) I ✂ S Suy eM ⊆ rM (I) (theo Bổ đề 1.2.1), 33 eM = rM (I) (ii) rM (lS (N )) = eM với e2 = e ∈ S đó, suy lS (N ) ⊆ S(1 − e) N ✂ M ⇒ eM ✂ M ⇒ S(1 − e) ✂ S Tóm lại N ⊆ rM (ls (N )) ls (N ) ⊆ S(1 − e) ⇒ leSe N = ⇒ N ≤e eM = rM (ls (N )) (theo tính chất FI-K-đối khơng suy biến) Ngược lại, chứng minh thoả mãn tính FI-K-đối khơng suy biến, cho N = eM ✂ M e2 = e ∈ S N ✂ eM cho leSe (N ) = Chú ý eM ✂ M ⇒ S(1 − e) ✂ S ⇒ eS ✂ S ⇒ se = ese Khi ls (N ) = S(1 − e) (vì (1 − e)N ⊆ (1 − e)N = (1 − e)eM = 0) Lấy s = se ∈ Se cho sN = ⇒ ese = se = 0) Vậy rM (lS (N ) = eM ⇒ N ≤e rM (lS (N )) = eM = N Định nghĩa tổng qt khái niệm tính K-khơng suy biến tính K-đối suy biến Hệ 3.1.1 Chúng ta có khẳng định sau tương đương: a) Nếu M K-khơng suy biến M FI-K-khơng suy biến b) Nếu M K-đối không suy biến M FI-K-đối khơng suy biến Chứng minh Dễ dàng ta có từ Mệnh đề 3.1.2 Mệnh đề 2.1.3 Ví dụ vành nửa ngun tố mà khơng phải vành khơng suy biến phải có tính chất RR FI-K-đối khơng suy biến mà khơng phải K-khơng suy biến (ví dụ Osofsky Lawrence) Bất kì mơđun Baer, FI-mở rộng khơng phải mở rộng có tính chất FI–đối không suy biến không K-đối không suy biến Ví dụ 2.2.1 (miền khơng phải miền Ore) Baer không mở rộng FI-mở rộng iđêan khác iđêan phải khác giao khác 34 3.2 MÔĐUN TỰA-BAER VÀ FI MỞ RỘNG CỦA MÔĐUN TỰA-BAER Bây mối quan hệ môđun tựa-Baer môđun FI -mở rộng Định lý 3.2.1 Một môđun M FI-mở rộng FI-K không suy biến M tựa-Baer FI-K-đối không suy biến Bổ đề 3.2.1 Cho M FI-mở rộng Khi đó, M FI-K-đối không suy biến Chứng minh Cho N ✂⊕ M Khi N FI -mở rộng theo [2, Bổ đề 1.2] Lấy N ✂ N cho ϕ(N ) = 0, ∀ϕ ∈ End(N ) Theo tính chất FI -mở rộng, ta có N ≤e N ≤⊕ N Giả sử N¯ ⊕ N2 = N N2 = Khi đó, π2 phép chiếu tắc N lên N2 ta có tính chất π2 (N ) = 0, mâu thuẫn Do đó, N2 = Vậy N ≤e N Bổ đề 3.2.2 Cho M môđun FI-mở rộng FI-K-không suy biến Khi đó, M mơđun tựa-Baer Chứng minh Lấy I ✂ S Ta cần chứng minh rM (I) ≤⊕ M Ta có rM (I) ✂ M , theo tính chất FI -mở rộng, ta có rM (I) ≤e eM với e2 = e ∈ S Theo tính chất FI -K-khơng suy biến rM (I) = eM Bổ đề 3.2.3 Cho M mơđun tựa-Baer Khi đó, M FI-K không suy biến Chứng minh Lấy I ✂ S với rM (I) ≤e eM, e2 = e ∈ S Khi đó, theo tính chất mơđun tựa-Baer, ta có rM (I) ≤⊕ M Vì rM (I) ⊆ eM suy rM (I) ≤⊕ eM Vì cốt yếu, nên rM (I) = eM Bổ đề 3.2.4 Cho M môđun tựa-Baer FI-K-đối không suy biến Khi M FI-mở rộng 35 Chứng minh Lấy N ✂ M lS (N ) = Se (theo tính chất tựa-Baer) Ta có N ⊆ (1 − e)M Ngoài ra, N ✂ M, Se ✂ S suy (1 − e)M ✂⊕ M Lấy ϕ ∈ (End(1 − e)M ) suy ϕ = (1 − e)ϕ(1 − e) ∈ S Giả sử ϕ(N ) = ⇒ (1 − e)ϕ(1 − e) ∈ lS (N ) = Se Mặt khác, (1 − e)ϕ(1 − e) ∈ [(1 − e)S](1 − e) ∩ Se = Theo tính chất FI-K-đối khơng suy biến M, ta có N ≤e (1 − e)M Vậy M FI -mở rộng Nhận xét 3.2.1 Trong chứng minh ta có (1 − e)M ✂ M (N ✂ M ⇒ Se = lS (N ) ✂ S ⇒ (1 − e)M = rM (lS (N )) ✂ M ) ta có M FI-mở rộng mạnh Chứng minh Dựa vào chứng minh Định lý 3.2.1 Bổ đề 3.2.1, Bổ đề 3.2.4 Chúng ta mối quan hệ vành tựa Baer vành FI -mở rộng, có kết tổng quát [2] 3.3 HẠNG TỬ TRỰC TIẾP VÀ TỔNG TRỰC TIẾP CỦA MÔĐUN TỰA-BAER Trong mối quan hệ với môđun FI-mở rộng, chứng minh hạng tử trực tiếp có tính chất kế thừa Định lý 3.3.1 Cho M mơđun tựa-Baer Khi với N ≤⊕ M N mơđun tựa-Baer Chứng minh Vì N ≤⊕ M , tồn e2 = e ∈ S cho N = eM lấy F ✂ N Sử dụng Bổ đề 1.2.3 tồn G ✂ (1 − e)M cho F ⊕ G ✂ M Vì M mơđun tựa-Baer, ta có I = lS (F ⊕ G) ✂⊕ S Vành tự đồng cấu N = eM eSe I ✂S , ta có eIe = eSe∩I (rõ ràng đơn cấu, ta chứng minh sau: i ∈ I ∩ eSe ⇒ i = ese = e2 se2 = eie ∈ eIe) Khi I = Sf với f = f ∈ S , suy eIe = eSf e Mặt khác Sf ✂ S, f e ∈ Sf ⇒ f e = f ef ; ta có eIe = eSf e = eSf ef = 36 eSf ef = (eSf e)(ef e) ⊆ (eSe)(ef e) Chú ý (ef e)2 = ef eef e = ef ef e = ef ee = ef e ta có (eSf e)(ef e) ⊆ (eSe)(ef e) Ngược lại: (ese)(ef e) ∈ (eSe)(ef e); eseef e = esef e = esef ef = esef ef = e((se)f )ef e = e((se)f )eef e = (e((se)f )e)(ef e) ∈ (eSf e)(ef e) Do ta có eIe ≤⊕ eSe (nó hạng tử trực tiếp bất biến hồn tồn efe phần tử nửa tâm eSe: (ef e)(ese) = ef ese = ef esef = ef esef e = (ef e)(ese)(ef e)) Bây ta chứng minh eIe = leSe (F ) Rõ ràng (eIe)(F ) = 0: eie(F ) = ei(F ) = e(0) = Giả sử tồn = eje ∈ eSe, eje ∈ / eIe cho eje(F ) = Mặt khác ejeG ⊆ eje(1 − e)M = eje ∈ lS (F ⊕ G) = I eje = eejee = e(eje)e ∈ eIe mâu thuẫn Do leSe (F ) = eIe ≤⊕ eSe; với F chọn tuỳ ý Vậy N môđun tựa-Baer Định lý 3.3.2 Cho M1 M2 môđun tựa-Baer Nếu ta có tính chất ψ(x) = ∀ψ ∈ Hom(Mi , Mj ) nghĩa x = (i = j, i, j = 1, 2) M1 ⊕ M2 môđun tựa-Baer Chứng minh Lấy S = End(M1 ⊕ M2 I ✂ S Khi đó, rM1 ⊕M2 (I) ✂ M1 ⊕ M2 Áp dụng Bổ đề 1.2.2, ta có rM1 ⊕M2 (I) = N1 ⊕ N2 Ni ✂ Mi , i = 1, Ta có: S= S1 Hom(M2 , M1 ) Hom(M1 , M2 ) S2 Vì I ✂ S ta có tính chất sau: I1 = {ϕ ∈ S1 |ϕ = ξ11 với (ξij )i,j=1,2 ∈ I} ✂ S1 I2 = {ϕ ∈ S2 |ϕ = ξ22 với (ξij )i,j=1,2 ∈ I} ✂ S1 Chúng ta có định nghĩa I12 = {ψ ∈ Hom(M1 , M2 )|ψ = ξ21 với (ξij )i,j=1,2 ∈ I} 37 I21 = {ψ ∈ Hom(N, M )|ψ = ξ21 với (ξij )i,j=1,2 ∈ I} Lấy N1 = rM (I1 ) Ta có N1 = N1 ∩ ( ψ∈I12 Kerψ) Vì M1 mơđun tựa- Baer, ta có rM1 (I1 ) ≤⊕ M1 Ta có ψ(Ni ) thoả mãn χ(ψ(N1 )) = 0, ∀χ ∈ Hom(M2 , M1 ) χ(ψ) ∈ I1 ( với ψ ∈ I12 ) Vì ta có tính chất χ(x) = 0, ∀χ ∈ Hom(M2 , M1 ) nghĩa x = ψ(N1 ) = 0, ∀ψ ∈ I12 N1 = N1 ≤⊕ M1 Kết cho ta ví dụ mơđun tựa-Baer Mệnh đề 3.3.1 M = i∈I Mi môđun tựa-Baer Mi tựa-Baer đẳng cấu Mj , ∀i = j; i, j ∈ I (tức đẳng cấu với mơđun Mj , ∀i = j; i, j ∈ I ) I tập số Chứng minh Cho Si vành tự đồng cấu Mi , ∀i ∈ I Vành tự đồng cấu M kí hiệu S xem vành ma trận phần tử Si vị trí ii vị trí ij ∀i, j ∈ I, i = j đồng cấu Mj → Mi Chúng ta cần chứng minh ∀I ✂ S, rM (I) ≤⊕ M Nhưng rM (I) ✂ M nên rM (I) = i∈I rM (I) ∩ Mi Do cần phân tích đồng cấu cột mà đồng cấu từ Mi tới M, với i ∈ I Tương tự chứng minh Định lý 3.3.2, có phần tử lấy từ I ✂ Si vị trí i hiển nhiên phần tử từ Hom(Mi , Mj ) vị trí lại (gọi kết hợp tất tập A) Ta có rM (I) ∩ Mi = rMi (Ii ) ∩ ( ϕ∈A (Ker(ϕ))) Mặt khác, Mi = rMi (Ii ) ≤⊕ Mi , Mi mơđun tựa-Baer Nếu lấy ϕ ∈ A, ϕ : Mi → Mj , i, j ∈ I, i = j , ψijϕ ∈ Ii với ψji : Mj → Mi đơn cấu từ Mj tới Mi Ta có theo ý này, nhân phần tử I, chẳng hạn ϕ ví trí ij, với đồng cấu (χkl )kl∈I χkl = cho (k, l) = ψji đồng cấu I với ψji ϕ : Mi → Mi ví trí ii Điều có nghĩa ψji ϕ(Mi ) = ψji đơn cấu, ϕ(Mi ) = 38 Thật (Mi ) ⊆ Ker(ϕ) Vì ϕ ∈ A chọn tuỳ ý, nên rM (I) ∩ Mi = rMi (Ii ) ∩ ( ϕ∈A (Ker(ϕ))) = Mi ≤⊕ Mi Tương tự cho tất i ∈ I ta có: rM (I) = i∈I Mi ≤ i∈I Mi = M Hệ 3.3.1 Một môđun xạ ảnh vành tựa-Baer môđun tựa-Baer Chứng minh Một môđun tự vành tựa-Baer môđun tựa-Baer, theo Mệnh đề 3.3.1 Một hạng tử môđun tựa-Baer môđun tựa-Baer Điều phải chứng minh Ví dụ 3.3.1 Z(N) khơng phải Z-mơđun Baer, đưa Chương Mặt khác, ln Z-mơđun tự Z(N) mơđun tựa-Baer Trong phần mô tả đặc trưng tính chất khơng phân tích mơđun tựa-Baer Chỉ phân tích mơđun tựa-Baer thành tổng tựa-Baer Ví dụ 3.3.2 Mơđun M = Z ⊕ Z2 mở rộng, FI-mở rộng (suy K-đối không suy biến, F I − K-đối không suy biến), Baer tựa-Baer (suy K-không suy biến, FI-K không suy biến) Chứng minh Như biết M mở rộng Nó FI-mở rộng Theo kết (Bổ đề 2.2.1) có tính chất đối khơng suy biến K-đối không suy biến, F I − K-đối khơng suy biến M khơng phải Baer hạt nhân tự đồng cấu ϕ(m, n ˆ) = m ˆ 2Z ⊕ Z2 mà hạng tử M Do đó, theo Định lý 2.2.1 K-không suy biến Chúng ta chứng minh M tựa-Baer, điều chứng minh M F I − K-không suy biến 39 Lấy mơđun 2Z ⊕ Nó mơđun bất biến hồn tồn, 2Z ✂ Z không tồn đồng cấu từ Z2 → Z, đồng cấu từ Z vào Z2 biến 2Z 0, ✂ Z2 Giả sử lS (2Z ⊕0) ≤⊕ S Khi đó, rM (lS (2Z ⊕0))✂⊕ M Hơn nữa, (2Z ⊕0 ≤ rM (lS (2Z ⊕ 0)) Chỉ có hạng tử hồn toàn bất biến M thoả mãn điều kiện M mà thơi (hạng tử hồn tồn bất biến phân tích thành thành phần; có bốn lựa chọn: ⊕ 0, Z ⊕ 0, ⊕ Z2 M Mặc dù Z ⊕ không hồn tồn bất biến) Ta có idZ2 , thuộc lS (2Z ⊕ 0) rM (lS (2Z ⊕ 0)) = M Điều kiện cần cho tổng tựa-Baer tựa-Baer ví dụ chưa đủ Định nghĩa 3.3.1 Cho M1 M2 môđun tựa-Baer, Ta gọi chúng tựa Baer lẫn ϕ∈Hom(Mi ,Mj ) Kerϕ ≤ Mi , với i, j ∈ {1, 2}, i = j Định lý 3.3.3 Cho {Mi }i∈I họ mơđun Khi đó, M = i∈I Mi tựa-Baer suy Mi tựa-Baer Mi Mj tựa-Baer lẫn nhau, ∀i, j ∈ I, i = j (I tập số) Chứng minh Chúng ta biết hạng tử trực tiếp môđun tựaBaer tựa-Baer (Định lý 3.3.1) Chúng ta chứng minh Mi , Mj thành phần phép phân tích trên, chúng tựa-Baer lẫn Giả sử có M1 M2 Chúng ta tập trung Mi ⊕Mi , tựa-Baer Lấy Ki = Kerϕ, ϕ ∈ Hom(Mi , Mi ), i, j ∈ {1, 2}, i = j Đầu tiên, chứng minh K1 ⊕K2 ✂M1 ⊕M2 Lấy α ∈ End(M1 ⊕M2 ); tức là: α= ϕ11 ϕ12 ϕ21 ϕ22 40 Trong ϕij : Mj → Mj , với i, j ∈ {1, 2} Rõ ràng ϕ12 (K2 ) = ϕ21 (K1 ) = (theo định nghĩa K1 , K2 ) Xét ϕ11 (K1 ) Lấy ψ ∈ Hom(M1 , M2 ), ψ(ϕ11 (K1 )) = (ψ(ϕ11 ))(K1 ) = (ψ(ϕ11 )) ∈ Hom(M1 , M2 ) theo định nghĩa K1 Do ϕ11 (K1 ) ⊆ K1 Tương tự ϕ22 (K2 ) ⊆ K2 , ta có α(K1 ⊕ K2 ) ⊆ K1 ⊕ K2 Khi α chọn tùy ý, lấy K1 ⊕ K2 ✂ M1 ⊕ M2 Chú ý, điều có nghĩa K1 ✂ M1 , K2 ✂ M2 Bây chứng minh K1 ⊕ K2 ≤⊕ M1 ⊕ M2 Lấy lS12 (K1 ⊕ K2 ) S12 = End(M1 ⊕ M2 ) Xét α ∈ lS12 (K1 ⊕ K2 ), α ma trận trên, có: ϕ11 (k1 ) + ϕ12 (k2 ) = ϕ11 (k1 ) = ⇒ ϕ11 ∈ lS1 (K1 ) ϕ21 (k1 ) + ϕ22 (k2 ) = ϕ22 (k2 ) = ⇒ ϕ22 ∈ lS2 (K2 ) k1 ∈ K1 , k2 ∈ K2 , S1 = End(M1 ), S2 = End(M2 ) Trong trường hợp với α ∈ End(M1 ⊕ M2 ) ϕ11 ∈ lS1 (K1 ), ϕ22 ∈ lS2 (K2 ) ϕ12 , ϕ21 tuỳ ý Hom tương ứng với tính chất α ∈ lS12 (K1 ⊕ K2 ) Ta có: lS12 K1 ⊕ K2 = lS1 (K1 Hom(M2 , M1 ) Hom(M1 , M2 lS2 (K2 ) Bây lấy rM1 ⊕M2 (lS12 (K1 ⊕K2 )) Khi lS12 (K1 ⊕K2 )✂S12 , rM1 ⊕M2 (lS12 (K1 ⊕ K2 ))✂M1 ⊕M2 Do phân tích thành thành phần rM1 ⊕M2 (lS12 (K1 ⊕ K2 )) = K1 ⊕ K2 K1 = rM1 ⊕M2 (lS12 (K1 ⊕ K2 )) ∩ M1 , K2 = rM1 ⊕M2 (lS12 (K1 ⊕ K2 )) ∩ M2 Vậy phân tích thành hai thành phần riêng biệt Lấy α ∈ lS12 (K1 ⊕ K2 ) (là ma trận trên); α(k1 ) = ⇒ ϕ11 (k1 ) = ϕ21 (k1 ) = với k1 ∈ K1 ⇒ K1 = rM1 (lS1 (K1 ) ∩ ( rM1 (lS1 (K1 ) ⊇ K1 ψ∈Hom(M1 ,M2 ) Kerψ ψ∈Hom(M1 ,M2 Kerψ) Vì = K1 , ta có K1 = K1 Tương tự, ta có K2 = K2 Như kết trên, có rM1 M2 (lS12 (K1 ⊕ K2 )) = K1 ⊕ K2 Mặt khác, M1 ⊕M2 tựa-Baer, lS1 (K1 ⊕K2 ) ≤⊕ S12 S12 ⇒ rM1 ⊕M2 (lS12 (K1 ⊕ 41 K2 )) ≤⊕ M1 ⊕ M2 Do K1 ⊕ K2 ≤⊕ M1 ⊕ M2 Trong kết luận (khi số chọn tuỳ ý), M tựa-Baer Mi tựa-Baer Mi Mj tựa-Baer lẫn nhau, i = j Quan sát vành ma trận môđun Baer mà tựa-Baer bất biến Morita Điều kiện cho vành để tất Baer tất mơđun hữu hạn sinh tựa-Baer 42 KẾT LUẬN Trong luận văn này, tổng quan chứng minh số kết sau: • Giới thiệu khái niệm môđun Baer môđun tựa-Baer lý thuyết tổng qt mơđun • Chứng minh hạng tử trực tiếp mơđun (tựa-) Baer có tính chất kế thừa hữu hạn sinh nhóm aben Baer mơđun nửa đơn khơng xoắn • Trình bày mối quan hệ tính chất mở rộng tính chất FI-mở rộng Mơđun M Baer K-đối không suy biến M mở rộng K-không suy biến Môđun M tựa-Baer K-đối không suy biến M FI-mở rộng FI-K-khơng suy biến • Tổng trực tiếp môđun Baer không Baer Tổng trực tiếp môđun tựa-Baer không tựa-Baer Chứng minh tổng trực tiếp đẳng cấu môđun tựa-Baer tựa-Baer Một lần nữa, xin chân thành cảm ơn bảo tận tâm TS.Trương Cơng Quỳnh để tơi hồn thành luận văn Ngồi ra, tơi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến tác giả tài liệu tham khảo Học viên : Nguyễn Thế Việt 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] F.W Anderson, K R Fuller, Ring and categories of modules, Springer-Verlag, New York,1992 [2] G.F Birkenmeier, B.J Mă uller, S.T Rizvi, Modules In which Every Fully Invariant Submodule Is Essential In A Direct Summand, Comm Alg., 30(3):1395-1415, 2002 [3] A.W Chatters, S.M Khuri, Endomorphism rings of modules over nonsingular CS rings, J London Math Soc., 21(2):434-444, 1980 [4] W.E Clark, Twisted matrix units semigroup algebras, Duke Math J., 34:417-424, 1967 [5] N.V Dung, D V Huynh, P F Smith, R Wisbauer, Extending modules, Longman Scientific & Technical, 1994 [6] L Fuchs, Infinite Abelian Groups Vol I., Academic Press, 1970 [7] I Kaplansky, Projections in Banach algebras, Ann of Math, 53(2):235-249, 1951 [8] I Kaplansky, Any orthocomplemented complete modular lattice is a continuous geometry , Ann of Math, 61(2):524-541, 1955 [9] I Kaplansky, Rings of operators, W A Benjamin, 1968 [10] T.Y Lam, Lectures On Modules And Rings, Springer Verlag, 1999 [11] J von Neumann, Continuous geometry, Princeton University Press, 1960 [12] S.T Rizvi, C S Roman, Baer and quasi-Baer modules, Comm Alg.32(1):103–123, 2004 44 [13] Y Utumi, On continuous rings and selfinjective rings, Trans Amer Math.,Soc., 118:158-173, 1965 [14] G.V Wilson, Modules with the summand intersection property, Comm Alg.,14(1):21-38, 1986 ... mơđun Baer Chúng ta thấy hạng tử trực tiếp vành Baer mơđun Baer giống R -môđun phải Hệ 2.3.1 Cho R vành Baer với e2 = e ∈ R luỹ đẳng R Khi M = eR môđun Baer Từ cho nhiều ví dụ mơđun Baer Dựa vào... quan số đặc trưng mơđun Baer mơđun tựa -Baer, qua làm rõ nghiên cứu có trước Chỉ mối quan hệ môđun Baer mở rộng môđun Bear, mối quan hệ môđun tựa -Baer mở rộng môđun tựa -Baer 2 Đối tượng phạm vi... trực tiếp vô hạn môđun Baer không thiết mơđun Baer Thật vậy, mơđun có hạng vơ hạn vành Baer khơng Baer 24 Ví dụ 2.4.1 Z(N) khơng phải Z-mơđun Baer, Z mơđun Baer Vì Z mở rộng Baer, ta có Z K-khơng