BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ====== VŨ ANH TỒN BÀI TỐN ĐIỀU KHIỂN ĐẢM BẢO GIÁ TRỊ CHO LỚP HỆ 2-D RỜI RẠC TRONG MƠ HÌNH ROESSER LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ====== VŨ ANH TỒN BÀI TỐN ĐIỀU KHIỂN ĐẢM BẢO GIÁ TRỊ CHO LỚP HỆ 2-D RỜI RẠC TRONG MÔ HÌNH ROESSER Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS LÊ VĂN HIỆN HÀ NỘI - 2018 MỤC LỤC Mở đầu Một số ký hiệu Chương Một số kết sơ 1.1 Ví dụ mơ hình hệ 2-D 1.2 Một số mô hình hệ 2-D 1.3 Một số kiến thức bổ trợ 12 Chương Tính ổn định ổn định hóa hệ Roesser rời rạc 14 2.1 Tính ổn định số lớp hệ 2-D 14 2.2 Bài tốn ổn định hóa 19 2.3 Ví dụ minh họa 21 Kết luận chương 22 Chương Bài toán điều khiển đảm bảo giá trị hệ 2-D rời rạc dạng Roesser 25 3.1 Phát biểu toán 25 3.2 Ước lượng hàm giá hệ đóng 27 3.3 Thiết kế điều khiển 28 3.4 Vấn đề tối ưu 31 3.5 Ví dụ minh họa 32 Kết luận chương 35 Kết luận chung 36 Tài liệu tham khảo 37 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Hệ hai chiều (Two-dimensional systems) nảy sinh nhiều mơ hình vật lí kỹ thuật, lan truyền thông tin trạng thái xảy theo hai hướng độc lập Các hệ hai chiều ứng dụng mơ tả phân tích tính chất nhiều mơ hình hệ động lực thực tiễn kỹ thuật hệ viễn thơng, xử lí ảnh, xử lí truyền tín hiệu hay lọc tín hiệu số đa chiều [2,10] Trong việc mơ tả mơ hình thực tiễn đó, hệ hai chiều thường biễu diễn thơng qua phương trình trạng thái (state-space model) Một số lớp mơ hình trạng thái thường sử dụng mơ hình Roesser, mơ hình Fornasini-Marchesini (FM) thứ thứ hai, mơ hình Attasi hay mơ hình Kurek [10] Do cấu trúc đặc biệt, mơ hình Roesser sử dụng nhiều việc mơ tả động lực hệ thực tiễn kĩ thuật [1, 7–9] Mặt khác, lí thuyết điều khiển, toán điều khiển đảm bảo giá trị (guaranteed cost control, viết tắt GCC) toán quan trọng Mục tiêu tốn điều khiển GCC thiết kế điều khiển phản hồi theo trạng thái (state feedback controller) cho hệ đóng (tích hợp điều khiển) tương ứng ổn định tiệm cận hàm giá hệ đóng khơng vượt q ngưỡng xác định [3] Gần đây, tốn nhận nhiều quan tâm nghiên cứu tác giả hệ 2-D rời rạc Nói riêng, báo [4] tác giả nghiên cứu toán điều khiển GCC cho lớp hệ 2-D rời rạc mơ hình Roesser chứa tham số khơng chắn với điều kiện chặn chuẩn Dựa lược đồ phương pháp hàm Lyapunov hệ 2-D, điều kiện thiết kế điều khiển thiết lập dạng bất đẳng thức ma trận tuyến tính (linear matrix inequalities LMIs) Với mong muốn tìm hiểu sâu chủ đề này, chọn đề tài nghiên cứu “Bài toán điều khiển đảm bảo giá trị cho lớp hệ 2-D rời rạc mơ hình Roesser” dựa báo [4] Mục đích nghiên cứu Mục đích luận văn trình bày số kết nghiên cứu tính ổn định, ổn định hóa tốn điều khiển GCC cho lớp hệ 2-D rời rạc mơ hình Roesser dựa tài liệu [4] Nội dung nghiên cứu Các nội dung nghiên cứu luận văn bao gồm: a) Giới thiệu số mơ hình hệ 2-D rời rạc, đặc biệt hệ mơ hình thực tiễn b) Bài tốn ổn định hóa điều khiển GCC hệ 2-D rời rạc dạng Roesser c) Nghiên cứu trình bày kết [4] toán điều khiển GCC lớp 2-D dạng Roesser chứa tham số không chắn Đối tượng phạm vi nghiên cứu Xét lớp hệ 2-D dạng Roesser sau    xh (i + 1, j)  xv (i, j + 1) xh (i, j)  = (A + ∆A)  xv (i, j)   + (B + ∆B)u(i, j), (0.1) xh ∈ Rnh , xv ∈ Rnv u ∈ Rnu tương ứng vectơ trạng thái ngang, vectơ trạng thái dọc điều khiển đầu vào hệ, A ∈ Rn×n (n = nh + nv ), B ∈ Rn×nu ma trận thực cho trước, ∆A, ∆B biểu thị tham số không chắn hệ với cấu trúc ∆A ∆B = LF (i, j) M1 M2 , L, M1 , M2 ma trận biết trước F (i, j) ma trận với điều kiện chặn chuẩn F (i, j) ≤ Cùng với hệ (0.1), ta xét hàm giá điều khiển ∞ ∞ J= u (i, j)Ru(i, j) + x (i, j)W1 x(i, j) , i=0 j=0 (0.2) + x (i, j) = xh (i, j) xv (i, j) , R ∈ S+ nu W1 ∈ Sn ma trận cho trước a) Đối tượng nghiên cứu lớp hệ 2-D dạng (0.1) dạng đặc biệt nó, chẳng hạn lớp hệ 2-D dạng Roesser khơng có nhiễu b) Phạm vi nghiên cứu bao gồm: • Phân tích tính ổn định ổn định hóa theo điều khiển phản hồi cho lớp hệ dương dạng (0.1) • Tìm điều kiện để thiết kế điều khiển phản hồi cho hệ đóng tương ứng ổn định đảm bảo hàm giá khơng vượt q ngưỡng J∗ đó, tức J ≤ J∗ Phương pháp nghiên cứu Luận văn sử dụng phương pháp hàm Lyapunov, giải tích ma trận phương pháp thiết kế điều khiển phản hồi tuyến tính để tìm điều kiện ổn định ổn định hóa với giá trị hàm giá đảm bảo ngưỡng thơng quan nghiệm bất đẳng thức ma trận tuyến tính Bố cục luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận danh mục tài liệu tham khảo, luận văn chia thành ba chương Chương giới thiệu sơ mơ hình Roesser số kiến bổ trợ Chương phân tích tính ổn định ổn định hóa theo điều khiển phản hồi cho lớp hệ 2-D dạng Roesser không chứa đại lượng không chắc Chương trình bày tốn điều khiển đảm bảo giá trị GCC cho lớp hệ 2-D rời rạc dạng Roesser chứa tham số dạng nhiễu có cấu trúc MỘT SỐ KÝ HIỆU R+ Tập tất số thực không âm Rn Không gian Euclide n−chiều với tích vơ hướng x, y = x y chuẩn vectơ x = n i=1 xi Rm×n Tập ma trận cỡ m × n A Ma trận chuyển vị ma trận A In Ma trận đơn vị Rn×n λ(A) Tập hợp giá trị riêng A λmax (A) = max{Reλj (A) : λj (A) ∈ λ(A)} λmin (A) = min{Reλj (A) : λj (A) ∈ λ(A)} A>0 Ma trận A đối xứng xác định dương, tức A = A , x Ax > với x ∈ Rn , x = A≥0 Ma trận A đối xứng nửa xác định dương, tức A = A , x Ax ≥ 0, ∀x ∈ Rn A>B Ma trận A − B đối xứng xác định dương S+ n Tập ma trận đối xứng xác định dương n × n chiều LMIs Bất đẳng thức ma trận tuyến tính Chương MỘT SỐ KẾT QUẢ BỔ TRỢ Trong chương này, giới thiệu sơ lược lớp hệ 2-D mơ hình Roesser số kết bổ trợ cho việc trình bày nội dung chương sau 1.1 Ví dụ mơ hình hệ 2-D Xét hệ điều khiển mơ tả phương trình đạo hàm riêng cấp sau đây:    ∂T (x,t) = − ∂T (x,t) − aT (x, t) + bu(x, t), ∂x ∂t (1.1)  y(x, t) = cT (x, t), T (x, t) hàm ẩn (chẳng hạn hàm nhiệt độ) tọa độ x ∈ [0, xf ] thời t ∈ [0, ∞), u(x, t) hàm điều khiển y(x, t) tín hiệu đầu a, b, c số Pipe ‫ݔ(ݑ‬, ‫)ݐ‬ ܶ(‫ݔ‬, ‫)ݐ‬ ‫ݔ(ݕ‬, ‫)ݐ‬ ‫ݔ‬ Steam (or water) Hình 1.1: Hệ điều khiển q trình nhiệt Mơ hình (1.1) sử dụng số trình nhiệt phản ứng hóa học hay ống nhiệt lò hấp [10] Trong thực tế, tín hiệu điều khiển thường tổng hợp thơng qua q trình rời rạc hóa Đặt T (i, j) = T (i∆x, j∆t), u(i, j) = u(i∆x, j∆t) T (i, j) − T (i − 1, j) ∂T (x, t) ≈ , ∂x ∆x ∂T (x, t) T (i, j + 1) − T (i, j) ≈ ∂t ∆t Khi phương trình (1.1) viết dạng: T (i, j + 1) = 1− ∆t ∆t − a∆t T (i, j) + T (i − 1, j) + b∆tu(i, j) ∆x ∆x (1.2) Hàm điều khiển theo tín hiệu đầu (output feedback control) thiết kế dạng u(i, j) = ky(i, j) = kcT (i, j) Đặt xh (i, j) = T (i − 1, j) xv (i, j) = T (i, j) Khi hệ đóng tương ứng (1.1) có dạng    xh (i + 1, j)  xv (i, j + 1) = ∆t ∆x 1− ∆t ∆x   xh (i, j)  − a∆t + bkc∆t xv (i, j) , i, j ∈ N (1.3) A0 Hệ (1.3) diễn tả mơ hình hệ 2-D dạng Roesser   T (i − 1, j) Mặt khác, từ (1.2) ta đặt x(i, j) =  T (i, j) , (1.2) trở thành (1.4) x(i + 1, j + 1) = A1 x(i, j + 1) + A2 x(i + 1, j),  A1 =   ,  A2 =  ∆t ∆x 1− ∆t ∆x   − a∆t + bkc∆t Hệ (1.4) mô tả hệ 2-D mơ hình Fornasini-Marchesini thứ hai (FM-II)   xh (i, j) Trong hệ (1.3), vectơ trạng thái hệ xác định x(i, j) =  xv (i, j)  Sự lan truyền thông tin vectơ xh theo trục i (phương ngang) lan truyền vectơ xv theo trục j (phương đứng) Các hệ động lực mà lan truyền thông tin theo hai phương độc lập gọi chung hệ 2-D Việc nghiên cứu định tính hệ 2-D nói chung khó khăn nhiều so với hệ 1-D tương ứng dạng x(k + 1) = A0 x(k) Lí nhiều phương pháp công cụ nghiên cứu phát triển hệ 1-D khơng phù hợp với hệ 2-D, chẳng hạn công thức nghiệm hay ước lượng dựa quy nạp thang theo thời gian k 1.2 Một số mơ hình hệ 2-D 1.2.1 Mơ hình Roesser Trong mơ hình hệ hai chiều, mơ hình Roesser (RM) sử dụng cách rộng rãi cấu trúc tự nhiên đơn giản Mơ hình 2-D Roesser mơ tả hệ phương trình  xh (i + 1, j)  xv (i, j + 1)   = A11 A12 A21 A22    + xh (i, j) xv (i, j)  B1 B2   u(i, j), (1.5) A0   y(i, j) = C1 C2 xh (i, j)  xv (i, j)  + Du(i, j), i, j ∈ Z+ biến thời gian rời rạc theo tọa độ ngang dọc, xh (i, j) ∈ Rn1 vectơ trạng thái ngang, xv (i, j) ∈ Rn2 vectơ trạng thái dọc, u(i, j) ∈ Rm điều khiển đầu vào, y(i, j) ∈ Rp vectơ đầu A0 , B1 , B2 , C1 , C2 , D ma trận với số chiều thích hợp Điều kiện đầu (1.5) xác định dãy φh (j) φv (i) xh (0, j) = φh (j), j ∈ N; xv (i, 0) = φv (i), i ∈ N (1.6) Thông thường φh (.), φv (.) giả thiết có giá hữu hạn, tức tồn số nguyên dương T1 , T2 cho φh (j) = 0, j ≥ T1 , φv (i) = 0, i ≥ T2 , tổng quát dãy φh , φv thuộc lớp c0 , tức φh (k) → 0, φv (k) → k → ∞ đủ để thiết kế điều khiển phản hồi ổn định hóa hệ 2-D dạng Roesser chúng tơi trình bày Định lí 2.2.1 Một ví dụ số chúng tơi trình bày để minh họa cho tính hiệu điều kiện thiết kế điều khiển trình bày chương 24 Chương BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN ĐẢM BẢO GIÁ TRỊ ĐỐI VỚI HỆ 2-D RỜI RẠC DẠNG ROESSER Trong chương nghiên cứu toán điều khiển đảm bảo giá trị (GCC) lớp hệ 2-D dạng Roesser tuyến tính chứa tham số không chắn dựa nội dung báo [4] Cụ thể hơn, mục tiêu toán GCC thiết kế điều khiển phản hồi thê trạng thái (state-feedback controller) giải đồng thời hai điều kiện: (1) Hệ đóng tương ứng ổn định vững (ổn định với nhiễu thuộc lớp định); (2) hàm giá hệ đóng khơng vượt q ngưỡng (giá trị đảm bảo) 3.1 Phát biểu toán Xét hệ 2-D dạng Roesser chứa tham số không chắn sau đây:     xh (i, j) xh (i + 1, j)  xv (i, j + 1)  = (A + ∆A)  xv (i, j)  + (B + ∆B)u(i, j), (3.1) xh ∈ Rnh , xv ∈ Rnv u ∈ Rnu tương ứng vectơ trạng thái theo phương ngang, vectơ trạng thái theo phương đứng vectơ điều khiển đầu vào hệ, A ∈ Rn×n (n = nh + nv ), B ∈ Rn×nu ma trận thực cho trước, ∆A, ∆B biểu thị tham số không chắn hệ với cấu trúc ∆A ∆B = LF (i, j) M1 M2 L, M1 , M2 ma trận biết trước F (i, j) ma trận với điều kiện chặn chuẩn F (i, j) ≤ Điều kiện đầu (3.1) xét có giá hữu hạn, tức tồn số nguyên dương k, l cho xv (i, 0) = 0, i ≥ k, xh (0, j) = 0, j ≥ l 25 Hơn nữa, dãy điều kiện đầu thuộc tập chấp nhận sau S = {xv (i, 0) = ZN1 , xh (0, j) = ZN2 , Np Np < 1, p = 1, 2} (3.2) Z ma trận cho trước (ma trận trọng số) N1 , N2 dãy chuẩn hóa N1 < 1, N2 < Ta xét hàm giá điều khiển dạng toàn phương sau hệ (3.1): ∞ ∞ u (i, j)Ru(i, j) + x (i, j)W1 x(i, j) , J(u) = (3.3) i=0 j=0 + x (i, j) = xh (i, j) xv (i, j) ∈ Rn , R ∈ S+ nu W1 ∈ Sn ma trận cho trước Đối với hệ (3.1), tương tự Chương 2, thiết kế điều khiển phản hồi theo trạng thái dạng (3.4) u(i, j) = Kx(i, j), K ∈ Rnu ×n ma trận đạt điều khiển thiết kế Khi đó, hệ đóng (3.1) với điều khiển (3.4) cho   xh (i + 1, j)  xv (i, j + 1)   xh (i, j)  = (A + ∆A + BK + ∆BK)  xv (i, j)  (3.5) hàm giá (3.3) trở thành ∞ ∞ J(u) = x (i, j)W2 x(i, j), (3.6) i=0 j=0 W2 = W1 + K RK Định nghĩa 3.1.1 Xét hệ điều khiển (3.1) hàm giá (3.3) Nếu tồn điều khiển u∗ (i, j) dạng (3.4) số J ∗ cho, với nhiễu chấp nhận được, hệ đóng (3.5) ổn định tiệm cận hàm giá hệ đóng thỏa mãn J(u∗ ) ≤ J ∗ J ∗ gọi giá trị đảm bảo (guaranteed cost value, GCV) u∗ (i, j) điều khiển đảm bảo giá trị hệ (3.1) 26 Bài toán GGC chúng tơi nghiên cứu chương phát biểu sau: Tìm điều kiện khả dụng dạng LMIs để thiết kế điều khiển đảm bảo giá trị u∗ (i, j) cho hệ đóng (3.5) ổn định vững (ổn định với nhiễu chấp nhận được) xác định GCV J ∗ nhỏ 3.2 Ước lượng hàm giá hệ đóng Trong mục chúng tơi phân tích tính ổn định ước lượng giá trị hàm giá hệ đóng (3.5) Bằng chứng minh tương tự Định lí 2.1.3, ta có kết sau Định lí 3.2.1 Cho trước ma trận K Hệ đóng (3.5) ổn định với nhiễu chấp nhận ∆A, ∆B tồn ma trận P = diag(P h , P v ) ∈ S+ n cho điều kiện LMI sau với F (i, j) ≤ 1: A + BK + ∆A + ∆BK P A + BK + ∆A + ∆BK − P < (3.7) Định lí sau cho điều kiện ổn định hệ đóng (3.5) cho hàm giá hệ đóng (3.6) khơng vượt q ngưỡng J ∗ Định lí 3.2.2 Cho trước ma trận K xét hệ đóng (3.5) với điều kiện đầu (3.2) hàm giá (3.6) Giả sử tồn ma trận P = diag(P h , P v ) ∈ S+ n thỏa mãn điều kiện LMI sau với F (i, j) ≤ 1: A + BK + ∆A + ∆BK P A + BK + ∆A + ∆BK − P + W2 < (3.8) Khi đó, khẳng định sau đúng: (i) Hệ đóng (3.5) ổn định tiệm cận vững; (ii) Hàm giá J(u) hệ đóng thỏa mãn đánh giá J(u) ≤ J ∗ l λmax Z P h Z + k λmax Z P v Z với nhiễu chấp nhận 27 (3.9) Chứng minh Rõ ràng (3.8) suy (3.7) nên khẳng định (i) suy trực tiếp từ Định lí 3.2.1 Bây ta chứng minh khẳng định (ii) Xét hàm Lyapunov 2-D sau V (x(i, j)) = x (i, j)P x(i, j) = xh (i, j)P h xh (i, j) + xv (i, j)P v xv (i, j) Vh (i,j) (3.10) Vv (i,j) Tương tự Định lí 2.1.3, sai phân V (x(i, j)) dọc quỹ đạo nghiệm hệ đóng (3.5) cho ∆V (x(i, j)) = Vh (i + 1, j) − Vh (i, j) + Vv (i, j + 1) − Vv (i, j) (3.11) = x (i, j)M1 x(i, j), M1 = A + BK + ∆A + ∆BK P A + BK + ∆A + ∆BK − P Từ điều kiện (3.8), M1 + W2 < Kết hợp với (3.11) ta x (i, j)W2 x(i, j) ≤ −∆V (x(i, j)) (3.12) Lấy tổng hai vế (3.12) cho qua giới hạn ta ∞ ∞ J(u) ≤ − = ∆V (x(i, j)) i=0 j=0 ∞ h x ∞ h h j=0 i=0 l−1 = xv (i, 0)P v xv (i, 0) (0, j)P x (0, j) + k−1 x h h h xv (i, 0)P v xv (i, 0) (0, j)P x (0, j) + j=0 i=0 ≤ l λmax Z P h Z + k λmax Z P v Z Định lí chứng minh 3.3 Thiết kế điều khiển Điều kiện ổn định đảm bảo giá trị phát biểu Định lí 3.2.2 chưa khả dụng cho tốn thiết kế điều khiển Ngồi lí trình bày Chương 2, điều kiện (3.8) chứa tham số khơng chắn ∆A, ∆B số hạng 28 phi tuyến chứa ma trận thiết kế K Trong mục chúng tơi tìm biến đổi để khử biểu thức bất định phân rã số hạng phi tuyến (tương tự Chương 2) để đưa điều kiện thiết kế dạng LMIs Để thực việc khử số hạng bất định đó, chúng tơi cần bổ đề kĩ thuật sau Bổ đề 3.3.1 (xem [6]) Cho ma trận A, E, H, Q với số chiều thích hợp, Q = Q Khi đó, tồn ma trận đối xứng xác định dương P cho điều kiện (3.13) (A + HF E) P (A + HF E) + Q < với F ≤ tồn số > cho   −P −1 + HH  A −1 E A  < (3.14) E+Q Chứng minh Bổ đề trình bày [6, Lemma 2.1], xin không nhắc lại chi tiết Dựa Bổ đề 3.3.1 Định lí 3.2.2, điều kiện thiết kế điều khiển phản hồi đảm bảo giá trị hệ (3.1) trình bày định lí sau Định lí 3.3.1 Xét hệ điều khiển (3.1) với điều kiện đầu xác định (3.2) hàm giá (3.3) Giả sử tồn số > ma trận X = diag(Xh , Xv ) ∈ S+ n, Y ∈ Rnu ×n thỏa mãn điều kiện LMI sau đây:      −Φ1 Φ2 ∗ −X ∗ ∗    Φ3  < 0,  (3.15) −Ψ kí hiệu ∗ để khối đối xứng Φ1 = X − LL , Φ2 = AX + BY, Φ3 = XW1 Y R M1 X + M2 Y Ψ = diag(W1 , R, I) 29 , Khi đó, u∗ (i, j) = K∗ x(i, j) điều khiển đảm bảo giá trị hệ (3.1)(3.3), K∗ = Y X −1 Hơn nữa, giá trị GCV cho J ∗ = l λmax Z Xh−1 Z + k λmax Z Xv−1 Z Chứng minh Để đơn giản ta viết F thay cho F (i, j) Khi đó, từ (3.1) ta có ∆A + ∆BK = LF (M1 + M2 K) Do đó, điều kiện (3.8) viết dạng sau P (A + BK) + LF (M1 + M2 K) + Q < 0, (3.16) (A + BK) + LF (M1 + M2 K) Q = W2 − P Áp dụng Bổ đề 3.3.1, điều kiện (3.16) tương đương với   −P −1 + LL  A + BK −1 E (A + BK)  < 0, (3.17) E+Q E = M1 + M2 K Nhân bên trái bên phải (3.17) với diag(I, P −1 ) đổi biến X = P −1 , KX = Y ta  −Φ1 AX + BY  XA + Y B Ta viết lại (3.18) dạng sau  −Φ1  ∗ −1 E X  Φ2 −X E+Q X  0 + Ω   < (3.18)   < 0, Ω = XW1 X + Y RY + −1 (M1 X + M2 Y ) (M1 X + M2 Y ) Chú ý thêm Ω = Φ3 Ψ−1 Φ3 Do ta có     −Φ1  ∗ Φ2 −X +  Ψ−1 Φ3 Φ3 < (3.19) Áp dụng Bổ đề Schur 1.3.2, điều kiện (3.19) tương đương với điều kiện cho (3.15) Kết hợp với Định lí 3.2.2 ta điều phải chứng minh 30 3.4 Vấn đề tối ưu Với điều kiện đưa Định lí 3.3.1, tốn điều khiển GCC hệ (3.1) có nghiệm u∗ (i, j) = Y X −1 x(i, j) Hơn nữa, hàm giá hệ đóng thỏa mãn đánh giá J(u∗ ) ≤ J ∗ = l λmax Z Xh−1 Z + k λmax Z Xv−1 Z với nhiễu chấp nhận điều kiện đầu xác định (3.2) Vấn đề đặt tìm điều khiển u∗ (i, j) giá trị GCV J ∗ bé Vấn đề phân tích [8], gọi toán tối ưu Cụ thể, ta đưa vào hai tham số hiệu chỉnh α, β cho λmax Z Xh−1 Z < α, λmax Z Xv−1 Z < β Khi đó, J ∗ = lα + kβ Điều kiện λmax Z Xh−1 Z < α thỏa mãn −αInh + Z Xh−1 Z < Theo Bổ đề Schur 1.3.2, điều kiện tương đương với   −αInh  Z Z −Xh  < Lập luận tương tự, điều kiện λmax Z Xv−1 Z < β tương đương với  −βInv  Z Z −Xv   < Bài tốn cực tiểu hóa giá trị GCV J ∗ đưa toán tối ưu sau minimize (lα + kβ) 31 (3.20)     (i) LMI (3.15)           −αInh Z    (ii)  0, β > (3.21) Hàm điều khiển đảm bảo giá trị tối ưu xác định công thức: u∗ (i, j) = Y X −1 x(i, j), X, Y ma trận ứng với nghiệm tốn tối ưu 3.5 Ví dụ minh họa Trong mục chúng tơi trình bày hai ví dụ từ báo [4] để minh họa cho điều kiện thiết kế điều khiển trình bày chương Ví dụ 3.5.1 Xét hệ điều khiển 2-D dạng (3.1) với ma trận sau     1.02 −2.5 , A= 0.1 B= 0.1 , M1 = 0.005 −0.005 , 0.2  M2 = 0.01, 0.0025 , W1 =  0.0025 L= , R = 0.25,  Z = 0.1, k = l = Khi khơng có nhiễu (∆A = 0), hệ mở tương ứng không ổn định đa thức đặc trưng C(z1 , z2 ) = − 1.02z1 2.5z1 −0.1z2 = − 1.02z1 + 0.25z1 z2 có nghiệm U = {(z1 , z2 ) ∈ C2 : |z1 | ≤ 1, |z2 | ≤ 1} 32 Giải lặp toán (3.20)-(3.21) gói LMI Toolbox ta nghiệm tối ưu   0.6343 , X= 1.1025 = 9.560510−4 , Y = −0.2487 −1.0264 , α = 0.0158, β = 0.0091 Từ ta điều khiển đảm bảo giá trị u∗ (i, j) = −0.3907 −0.9310 x(i, j) giá trị tối ưu GCV tương ứng J ∗ = 0.0497 Ví dụ 3.5.2 Xét hệ điều khiển mơ tả phương trình đạo hàm riêng dạng Darboux sau ∂s(x, t) ∂s(x, t) ∂ s(x, t) = a1 + a2 + a0 s(x, t) + bf (x, t) ∂x∂t ∂t ∂x (3.22) với điều kiện đầu s(x, 0) = p(x), s(0, t) = q(t), s(x, t) hàm ẩn (chẳng hạn hàm nhiệt độ) biến x ∈ [0, xf ] t ∈ [0, ∞), a0 , a1 , a2 b số, f (x, t) hàm đầu vào Ta định nghĩa hàm r(x, t) = ∂s(x, t) − a2 s(x, t) ∂t (3.22) viết dạng    ∂r(x,t)  ∂x  ∂s(x,t) ∂t a1 a0 + a1 a2 = a2     +   f (x, t) r(x, t) s(x, t)   b với điều kiện đầu r(0, t) = q(t) ˙ − a2 q(t) z(t) Cho trước số gia ∆x, ∆t Rời rạc hóa hệ (3.23) r(i, j) = r(i∆x, j∆t), s(i, j) = s(i∆x, j∆t), 33 u(i, j) = f (i∆x, j∆t) (3.23) xấp xỉ đạo hàm r(i + 1, j) − r(i, j) , ∆x ∂r(x, t) ∂x Từ hệ (3.23) ta thu    xh (i + 1, j)  xv (i, j + 1) + a1 ∆x (a0 + a1 a2 )∆x = ∆t s(i, j + 1) − s(i, j) ∆t ∂s(x, t) ∂t + a2 ∆t    + xh (i, j) xv (i, j)  b∆x   u(i, j), (3.24) với điều kiện đầu xh (0, j) = z(j∆t), xv (i, 0) = p(i∆x), xh (i, j) = r(i, j), xv (i, j) = s(i, j) Bây ta xét toán điều khiển GCC hệ (3.24) với tham số a0 = −5, a1 = 1, a2 = −10, b = 1, ∆x = 0.2, ∆t = 0.1 điều kiện đầu thỏa mãn (3.2) với k = l = Z = 0.12 Do sai số xấp xỉ số, ta giả sử hệ (3.24) có sai số xác định dạng cấu trúc với   L =  , M1 = 0.009 −0.009 , M2 = 0.04 Liên kết với hệ (3.24) ta xét hàm giá dạng (3.3) với   0.0044 , W1 =  0.0044 R = 0.24 Tương tự Ví dụ 3.5.1, giải toán tối ưu (3.20)-(3.21) ta nghiệm tối ưu   0.1485 , X= 3.2068 Y = −0.2693 −2.6715 , = 0.0275, α = 0.097, β = 0.0045 Điều khiển đảm bảo giá trị tối ưu cho u∗ (i, j) = −1.8135 −0.8331 x(i, j) giá trị GCV tối ưu tương ứng J ∗ = 0.2029 34 KẾT LUẬN CHƯƠNG Chương trình bày số kết nghiên cứu tốn điều khiển đảm bảo giá trị lớp hệ 2-D dạng Roesser tuyến tính chứa tham số khơng chắn Dựa cách tiếp cận hàm Lyapunov dạng 2-D, tác giả [4] đưa điều kiện dạng LMI chứa tham số đảm bảo tính ổn định vững hệ đóng giá trị hàm giá không vượt ngưỡng J ∗ xác định (Định lí 3.2.2) Các điều kiện ổn định Định lí 3.2.2 sau ước lượng khử đại lượng không chắn (elimination of uncertainties), đưa dạng LMI khả dụng để thiết kế điều khiển đảm bảo giá trị (Định lí 3.3.1) Một lược đồ dạng thuật tốn lặp hình thức chúng tơi trình bày Mục 3.4 để tìm điều khiển đảm bảo giá trị tối ưu hàm giá (giá trị nhỏ GCV J ∗ ) Phần cuối chương hai ví dụ số minh họa cho điều kiện thiết kế trình bày Chương 35 KẾT LUẬN CHUNG Luận văn trình bày số kết nghiên cứu toán ổn định, ổn định hóa tốn điều khiển đảm bảo giá trị lớp 2-D dạng Roesser chứa tham số khơng chắn Các kết bao gồm: Chứng minh điều kiện đủ cho tính ổn định hệ 2-D dạng Roesser (Định lí 2.1.3) Dựa Định lí 2.1.3, điều kiện để thiết kế điều khiển phản hồi ổn định hóa hệ 2-D dạng Roesser trình bày Định lí 2.2.1 Chứng minh tính ổn định đảm bảo giá trị hệ 2-D chứa tham số khơng chắn (Định lí 3.2.2) Từ thiết lập điều kiện để thiết kế điều khiển phản hồi giải toán điều khiển đảm bảo giá trị (Định lí 3.3.1) Các kết trình bày luận văn mở rộng cho mơ hình khác hệ 2-D lớp hệ có cấu trúc phức tạp hơn, có nhiều ứng dụng thực tiễn kĩ thuật hệ 2-D chứa trễ hay hệ có nhiễu dạng phi tuyến Các vấn đề chúng tơi dự định tiếp tục nghiên cứu phát triển thời gian tới 36 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] O Bachelier, N Yeganefar, D Mehdi, W Paszke, On stabilization of 2D Roesser models, IEEE Trans Autom Control 62 (2017) 2505–2511 [2] A Benzaouia, A Hmamed, F Tadeo, Fernando, Two-Dimensional Systems: From Introduction to State of the Art, Springer, Switzerland, 2016 [3] E.K Boukas, F.M Al-Sunni, Guaranteed Cost Control Problem In: Mechatronic Systems, Springer, Berlin, 2011 [4] A Dhawan, H Kar, An LMI approach to robust optimal guaranteed cost control of 2-D discrete systems described by the Roesser model, Signal Processing 90 (2010) 2648–2654 [5] E Fornasini, G Marchesini, On the internal stability of two dimensional filters, IEEE Trans Autom Control 24 (1979) 129–130 [6] L.V Hien, V.N Phat, Exponential stability and stabilization of a class of uncertain linear time-delay systems, J Frank Inst 346 (2009) 611–625 [7] L.V Hien and H Trinh, Stability of two-dimensional Roesser systems with time-varying delays via novel 2D finite-sum inequalities, IET Control Theory Appl 10 (2016) 1665-1674 [8] L.V Hien and H Trinh, Switching design for suboptimal guaranteed cost control of 2-D nonlinear switched systems in the Roesser model, Nonlinear Anal.: Hybrid Syst 24 (2017) 45–57 37 [9] L.V Hien and H Trinh, Observers design for 2-D positive time-delay Roesser systems, IEEE Trans Circuits Syst.-II 65 (2018) 476–480 [10] T Kaczorek, Two-Dimensional Linear Systems, Springer, Berlin, 1985 38 ... họa cho tính hiệu điều kiện thiết kế điều khiển trình bày chương 24 Chương BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN ĐẢM BẢO GIÁ TRỊ ĐỐI VỚI HỆ 2- D RỜI RẠC D NG ROESSER Trong chương chúng tơi nghiên cứu tốn điều khiển. .. hóa điều khiển phản hồi lớp hệ 2- D dạng Roesser (2. 1) Xét hệ 2- D dạng Roesser (2. 1) Một điều khiển phản hồi ổn định hóa hệ (2. 1) thiết kế d ng (2. 13) u(i, j) = Kx(i, j), K ∈ Rm×n ma trận đạt điều. .. hóa hệ 2- D dạng Roesser D a điều kiện ổn định xây d ng Định lí 2. 1.3, điều kiện 23 đủ để thiết kế điều khiển phản hồi ổn định hóa hệ 2- D dạng Roesser chúng tơi trình bày Định lí 2. 2.1 Một ví d