ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LÂM ĐỒNG NĂM HỌC 2010 – 2011 Môn: TOÁN - THCS

Từ M kẻ cát tuyến MCD với đường tròn O và tiếp tuyến MT với đường tròn O’ T là tiếp điểm Chứng minh MC.MD = MT2.. Kẻ DH vuông góc với AC H, gọi N là trung điểm của CH.. Chứng minh BN vuô

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

LÂM ĐỒNG NĂM HỌC 2010-2011

Môn : TOÁN – THCS ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian : 150 phút ( không kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm có 1 trang) Ngày thi : 18/02/2011 Câu 1: (2,0 điểm ) Rút gọn Câu 2:(2,0 điểm) Cho hàm số y = f(x) = (3m2 – 7m +5) x – 2011 (*) Chứng minh hàm số (*) luôn đồng biến trên R với mọi m Câu 3:( 2,0 điểm) Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B Trên đường thẳng AB lấy điểm M sao cho A nằm giữa M và B Từ M kẻ cát tuyến MCD với đường tròn (O) và tiếp tuyến MT với đường tròn (O’) (T là tiếp điểm) Chứng minh MC.MD = MT2 Câu 4: (2,0 điểm ) Cho hai số dương x, y thỏa mãn điều kiện 3x + y – 1 = 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = 3x2 + y2 Câu 5: (1,5 điểm) Chứng minh tổng C = 1 + 2 + 22 + … + 22011 chia hết cho 15 Câu 6: (1,5 điểm ) Phân tích đa thức x3 – x2 – 14x + 24 thành nhân tử Câu 7: (1,5 điểm) Giải hệ phương trình Câu 8: (1,5 điểm ) Chứng minh D = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) không phải là số chính phương với mọi n Câu 9: (1,5 điểm ) Cho hai số dương a và b Chứng minh Câu 10:(1,5 điểm ) Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình : 2x2 – xy – y2 – 8 = 0 Câu 11: (1,5 điểm ) Cho hình thang vuông ABCD () , có DC = 2AB Kẻ DH vuông góc với AC (H, gọi N là trung điểm của CH Chứng minh BN vuông góc với DN Câu 12: (1,5 điểm) Cho tam giác MNP cân tại M ( ) Gọi D là giao điểm các đường phân giác trong của tam giác MNP Biết DM = cm , DN = 3 cm Tính độ dài đoạn MN -

HẾT -Họ và tên thí sinh :……… Số báo danh : ………

Giám thị 1 :……… Ký tên : ………

Giám thị 2 :……… Ký tên : ………

A 127 48 7  127 48 7

2

x y z 2

  







N *



aba b

A D 90  AC)



M 90

2 5

(Thí sinh không được sử dụng máy tính )

SỞ GIÁO DỤC &ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Môn : TOÁN – THCS Ngày thi 18/02/2011

Câu 1

(2 điểm ) =

=

0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm Câu 2

(2 điểm )

3m2 – 7m + 5 = 3 Vây f(x) đồng biến trên

R với mọi m

0,5 điểm 0,5 điểm

0,5 điểm 0,5 điểm Câu 3

(2 điểm)

Chứng minh

MC MD = MA

MB Chứng minh

MT2 = MA MB Suy ra MC.MD

= MT2

0,75 điểm 0,75 điểm 0,5 điểm Câu 4

(2 điểm )

3x + y – 1 = 0 y = 1 – 3x

Vây GTNN của B là

0,5 điểm 0,5 điểm

0,5 điểm 0,5 điểm Câu 5

(1,5 điểm )

C = 1 + 2 + 22 + … + 22011 = (1 + 2 + 22 + 23 ) + (24 + 25 + 26 + 27 ) + …+ ( 22008 + 22009 +22010 + 22011) = (1 + 2 + 22 + 23 )+ 24 (1 + 2 + 22 + 23 )+ …+22008(1 + 2 + 22 + 23 ) 0,5 điểm 0,5 điểm

A 127 48 7  127 48 7

(8 3 7)  (8 3 7)

| 8 3 7 | | 8 3 7 |  

8 3 7 8 3 7 (8>3 7)

6 7



2

3 m

       



2

2

2

B 3x (1 3x) 12x 6x 1

12 x

12 x

     

khi x = và y =

= 15 ( 1 + 24 + …+ 22008 ) chia hết cho 15 0,5 điểm Câu 6

(1,5 điểm )

x3 – x2 – 14x +24 = x3 + 4x2 – 5x2 – 20x + 6x + 24 = (x + 4) (x2 – 5x + 6 )

= (x + 4) (x – 2) (x – 3)

0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm Câu 7

0,5 điểm

0,5 điểm Câu 8

(1,5 điểm )

D = n(n + 1) (n + 2) (n + 3) = (n2 + 3n) (n2 + 3n + 2 ) = (n2 + 3n)2 +2 (n2 + 3n) (n2 + 3n)2 < D < (n2 + 3n)2 +2 (n2 + 3n) +1 (n2 + 3n)2 < D < (n2 + 3n +1)2

Nên D không phải là số chính phương vì (n2 + 3n)2 và (n2 + 3n +1)2 là 2 số chính phương liên tiếp

0,5 điểm

0,5 điểm 0,5 điểm Câu 9

(1,5 điểm )

Ta có (a – b)2

Dấu “ = ” xảy ra khi

a = b ( thiếu câu này không trừ điểm)

0,5 điểm 0,5 điểm

0,5 điểm

Câu 10

(1,5 điểm)

2x2 – xy – y2 – 8 = 0 (2x + y) (x – y) = 8 hoặc

hoặc

0,5 điểm

0,5 điểm 0,5 điểm Câu 11

(1,5 điểm ) Gọi

M là

trung điểm của DH Chứng minh tứ giác ABNM là hình bình hành (1)

Chứng minh MN Suy ra M là trực tâm của (2)

Từ (1) và (2)

0,25 điểm 0,5 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm

Câu 12

(1,5 điểm ) Qua M kẻ tia Mx

2

(x 2) (y 2) 0

z 2 x y

x y 2

 

  



 



 









0



2

(a b) 4ab

( vì (a+b)ab >0 )









 2x y 8

x y 1







2x y 4

x y 2





 x 3

y 2











x 2

y 0











AM // BN

 AD

 ADN



ND



vuông góc với MN cắt ND tại E , kẻ MF Chứng minh cm và EF

=DF

ME2 = EF EN = EF (2EF + DN ) cm

0,5 điểm

0,5 điểm 0,5 điểm (Nếu học sinh giải bằng cách khác đúng , giám khảo dựa theo biểu điểm để cho điểm tương ứng )

1

D E

MD ME 2 5

2 2

(2 5) EF(2EF 3)

(EF 4)(2EF 5) 0

EF 2,5 (vì EF >0)

 MN 2 11