BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN DƯƠNG THANH VỸ HỘI TỤ KIỂU TAUBER CHO HÀM VÀ ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC BÌNH ĐỊNH - NĂM 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN HỘI TỤ KIỂU TAUBER CHO HÀM VÀ ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH Chuyên ngành: Tốn Giải Tích Mã số: 9460102 Phản biện 1: Phản biện 2: Phản biện 3: NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS Thái Thuần Quang BÌNH ĐỊNH - NĂM 2019 LỜI CAM ĐOAN Luận án hoàn thành Trường Đại học Quy Nhơn hướng dẫn PGS TS Thái Thuần Quang Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu Các kết Luận án trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng chưa công bố trước Tác giả Dương Thanh Vỹ LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành hướng dẫn tận tình khoa học Thầy Thái Thuần Quang Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy gia đình Tác giả xin chân thành gửi lời cảm ơn sâu sắc đến GS Nguyễn Văn Khuê, GS Lê Mậu Hải (Trường ĐHSP Hà Nội) GS Sean Dineen (Đại học Dublin, Cộng hòa Ireland) lời khuyên góp ý sâu sắc cho việc hoàn thiện số kết Chương Chương luận án Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Khoa Toán, Trường Đại học Quy Nhơn, nơi bắt đầu học tập, công tác nhận nhiều quan tâm, giúp đỡ, động viên khích lệ Xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến q Thầy, Cơ giáo Khoa Tốn giảng dạy tơi năm tháng học tập, nghiên cứu Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến Ban Giám hiệu Trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Đào tạo sau đại học tận tình giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt thời gian học tập nghiên cứu Tác giả xin chân thành cảm ơn TS Lê Quang Thuận, TS Lâm Thị Thanh Tâm, PGS TS Lương Đăng Kỳ có góp ý q báu q trình tơi học tập nghiên cứu Cuối cùng, tác giả xin dành tình cảm đặc biệt đến gia đình, người thân người bạn tác giả, người mong mỏi, động viên tiếp sức cho tác giả để hoàn thành luận án DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU Av ♣Dq Av ♣D, F q AG,v ♣Dq AG,v ♣D, F q acx♣Dq B ♣E q : Không gian Hv ♣Dq cho hình cầu đơn vị đóng compact với tơpơ compact mở τ0 Đ F : u ✆ f € Av ♣Dq, ❅u € F ✶✉ Khơng gian HG,v ♣Dq cho hình cầu đơn vị đóng : tf : D : compact với tôpô compact mở τ0 : tf : D Ñ F : u ✆ f € AG,v ♣Dq, ❅u € F ✶✉ : Bao lồi cân đóng tập D : Tập hợp tập lồi, cân, đóng, bị chặn E cs♣F q : Tập hợp nửa chuẩn liên tục F EB : Không gian sinh tập B E✶ ✶ Ebor H ♣D, F q H ♣D q HG ♣D, F q HG ♣Dq Hb ♣Dq : Không gian đối ngẫu không gian lồi địa phương E : Không gian E ✶ với tơpơ chặn đóng liên kết với tơpơ đối ngẫu mạnh β : Khơng gian hàm chỉnh hình D nhận giá trị F : Không gian hàm chỉnh hình D nhận giá trị C : Khơng gian hàm G-chỉnh hình D nhận giá trị F : Không gian hàm G-chỉnh hình D nhận giá trị C : Khơng gian hàm chỉnh hình từ D vào C, bị chặn tập bị chặn D Hub ♣E q : Khơng gian hàm chỉnh hình loại bị chặn E Hv ♣Dq : Hv ♣D, F q : tf HG,v ♣D, F q : HG,v ♣Dq Hol♣D, X q K♣E q : € H ♣D, F q : ♣v.f q♣Dq bị chặn D✉ tf € H ♣Dq : ♣v.f q♣Dq bị chặn D✉ tf € HG♣D, F q : ♣v.f q♣Dq bị chặn D✉ tf € HG♣Dq : ♣v.f q♣Dq bị chặn D✉ : Khơng gian ánh xạ chỉnh hình từ D vào F : Tập hợp tập compact, lồi, cân E Ox : Vành mầm hàm chỉnh hình x € X OX : Bó mầm hàm chỉnh hình X P SH ♣Dq Uk u✝ ∆ : Tập hợp hàm đa điều hòa D : tx € E : ⑥x⑥k ➔ 1✉ : Hàm quy hóa nửa liên tục hàm u : tz € C : ⑥z ⑥ ➔ 1✉ Mục lục Danh mục ký hiệu iv Mở đầu Chương Hội tụ Tauber nhanh khơng gian hàm chỉnh hình 1.1 11 Một số khái niệm kết bổ trợ 11 1.1.1 Không gian Fréchet đối ngẫu 11 1.1.2 Các hàm chỉnh hình 13 1.1.3 Hàm đa điều hòa dưới, tập đa cực 13 1.1.4 Một số bất biến tơpơ tuyến tính 14 1.2 Tổng quan không gian Zorn 15 1.3 Tính chất Zorn không gian trù mật 17 1.4 Hội tụ Tauber nhanh thác triển chỉnh hình 24 Chương Hội tụ Tauber không gian có trọng hàm chỉnh hình 34 2.1 Khơng gian có trọng hàm chỉnh hình 35 2.2 Tuyến tính hóa hàm chỉnh hình (Gâteaux) có trọng 36 2.3 Hội tụ Tauber khơng gian có trọng hàm chỉnh hình 42 2.4 Áp dụng cho tốn thác triển chỉnh hình có trọng 46 iii Chương Khơng gian Vitali tính taut yếu 51 3.1 Một số khái niệm 51 3.2 Tính taut yếu 53 3.3 Tính Vitali, tính taut yếu tính taut 59 3.4 Tính taut yếu miền Hartogs miền cân 63 Kết luận 70 Danh mục cơng trình tác giả 73 Tài liệu tham khảo 74 Chỉ mục 81 iv Mở đầu Định lý Abel nói chuỗi lũy thừa ✽ ➦ n✏0 an z n hội tụ điểm z0 ✘0 hội tụ đĩa tâm bán kính ⑤z0 ⑤ Tiêu chuẩn hội tụ ví dụ đơn giản “tính lan truyền hội tụ” Hiện tượng xảy tình tổng quát cho hội tụ dãy hàm chỉnh hình, lan rộng từ tập lên toàn miền xác định Bài tốn “sự lan truyền tính chất đó” tốn cổ điển Giải tích Vấn đề đặt tìm “miền lớn chứa miền cho trước mà tính chất đối tượng giải tích thỏa mãn” Chẳng hạn, cho trước hàm chỉnh hình f xác định miền Cn , ta tìm hiểu thác triển chỉnh hình lên miền rộng hơn; hoặc, với E, F không gian lồi địa phương trường C D miền E, ta tìm kiếm thêm tính chất để đảm bảo dãy hàm chỉnh hình nhận giá trị F, xác định hội tụ (điểm) tập nhỏ D hội tụ (đều) khắp nơi D, v.v Các kết dạng ta gọi “hội tụ kiểu Tauber” Một ví dụ ấn tượng vấn đề định lý Vitali Đây dạng hội tụ kiểu Tauber dãy hàm chỉnh hình, điều kiện đặt tập mà dãy cho hội tụ phải chứa điểm giới hạn dãy phải hội tụ địa phương Một định lý cổ điển Vitali khẳng định dãy hàm chỉnh hình ♣fm qm➙1 bị chặn tập compact miền D Cn dãy hội tụ điểm đến hàm f tập X D mà khơng chứa siêu mặt phức ♣fm qm➙1 hội tụ tập compact D Chú ý phiên giá trị véctơ định lý Vitali đóng vai trò quan trọng lý thuyết nửa nhóm (chẳng hạn, xem [1, Theorem 4.2] [61, Theorem 2.4]) Trong trường hợp E, F hữu hạn chiều, chứng minh sớm định lý Vitali đưa nhờ trợ giúp định lý Montel (xem chứng minh [71, p 129] ý lịch sử [71, p 138]) Trái ngược với trường hợp vơ hướng, khó tìm thấy kết tương tự với định lý trường hợp hàm chỉnh hình giá trị véctơ (ta gọi hàm chỉnh hình) trường hợp định lý Montel khơng hiệu lực Mãi đến năm 1957, Hille Phillips [40, Theorem 3.14.1] đưa chứng minh phức tạp cho định lý trường hợp không gian miền giá trị Banach vô hạn chiều Trong thực t, chng minh trc tip (khỏ k thut) ca Lindelăof trình bày cho trường hợp giá trị véctơ sách [40, p 104 - 105] Tuy nhiên, đến năm 2000, cách sử dụng khái niệm chỉnh hình yếu định lý tính số lập luận khéo léo, Arendt Nikolski [2] dễ dàng đưa chứng minh trực tiếp cho định lý Vitali lưới hàm chỉnh hình biến phức nhận giá trị Banach, tập nhỏ, mà lưới hàm hội tụ, có điểm tụ (xem [2, Theorem 3.1]) Sau đó, tổng quát hơn, năm 2013, Quang, Lâm Đại đề xuất chứng minh định lý kiểu Vitali dãy bị chặn địa phương hàm chỉnh hình miền không gian Fréchet, nhận giá trị Fréchet dãy hàm chỉnh hình bị chặn tập bị chặn không gian Fréchet-Schwartz (xem [66, Theorems 6.1, 6.2, 6.3]) Công cụ bất biến tôpô tuyến tính, Vogt giới thiệu nghiên cứu (xem [75, 76, 77]), sử dụng chứng minh họ Gần nhất, Diệu, Mạnh, Bằng, Hưng [14] quan tâm đến việc tìm kết tương tự với định lý Vitali trường hợp bỏ qua tính bị chặn dãy hàm Một cách tiếp cận áp đặt chế độ mạnh cho hội tụ và/hoặc cho kích thước tập nhỏ Một số phiên định lý Vitali cho hàm chỉnh hình bị chặn cho hàm hữu tỷ mà chúng hội tụ điểm nhanh tập không đa cực miền Cn khảo sát cơng trình họ Ở đây, xấp xỉ nhanh đo độ tăng chuẩn “sup” hàm Với mục tiêu tìm kiếm điều kiện địa phương cho tính chất đơn trị thác triển chỉnh hình, Gonchar [31] chứng minh dãy hàm hữu tỷ ♣rm qm➙1 ↕ m) hội tụ nhanh theo độ đo tập mở X đến hàm chỉnh xác định miền bị chặn D (X ⑨ D) hội tụ theo độ đo đến f Cn (deg rm hình f tồn D Rất lâu sau đó, cách sử dụng kỹ thuật lý thuyết đa vị, [8, Theorem 2.1], Bloom chứng minh kết tương tự, hội tụ nhanh theo độ đo thay hội tụ nhanh theo dung lượng tập nhỏ X compact không đa cực Theo dòng nghiên cứu này, chúng tơi quan tâm đến toán sau Bài toán Nghiên cứu điều kiện không gian Fréchet (hoặc không gian lồi địa phương) E F hàm f với giá trị F xác định, liên tục xấp xỉ đủ nhanh theo điểm tập lồi, cân, compact, không đa cực (hoặc không nhỏ) B E dãy đa thức ♣pm qm➙1 với giá trị F thác triển đến hàm nguyên Ở đây, hội tụ nhanh theo điểm B dãy đa thức ♣pm qm➙1 với giá trị F đến f hiểu theo nghĩa lim ⑥f ♣z q ✁ pm ♣z q⑥1n④m mÑ✽ ✏ 0, ❅z € B, ❅n ➙ 1, ♣⑥ ☎ ⑥nqn➙1 họ tăng nửa chuẩn xác định tôpô F Tiếp theo, xem xét đến hội tụ Tauber khơng gian có trọng hàm chỉnh hình Với miền D khơng gian lồi địa phương E, trọng v : D Ñ ♣0, ✽q hàm liên tục, dương thực Ta đặt Hv ♣D, F q :✏ tf € H ♣D, F q : ♣v.f q♣Dq bị chặn D✉ ✏ tf € H ♣D, F q : ⑥f ⑥v,p :✏ sup v♣xqp♣f ♣xqq ➔ ✽ với p € cs♣F q✉, HG,v ♣D, F q :✏ tf x€D € HG♣D, F q : ♣v.f q♣Dq bị chặn D✉ ✏ tf € HG♣D, F q : ⑥f ⑥v,p :✏ sup v♣xqp♣f ♣xqq ➔ ✽ với p € cs♣F q✉, x€D H ♣D, F q, HG ♣D, F q không gian hàm chỉnh hình chỉnh hình Gâteaux xác định D nhận giá trị F ✏ C, thay cho Hv ♣D, Cq HG,v ♣D, Cq ta viết Hv ♣Dq HG,v ♣Dq Ta xét Av ♣Dq ⑨ Hv ♣Dq khơng gian với hình cầu đơn vị đóng compact theo tôpô compact-mở τ0 Chú ý rằng, điều kiện để đảm bảo Av ♣Dq không gian đóng theo chuẩn Hv ♣Dq Av ♣Dq đại số Không gian hàm Trường hợp F giá trị véctơ theo nghĩa yếu định nghĩa Av ♣D, F q :✏ tf : D Ñ F : u ✆ f € Av ♣Dq, ❅u € F ✶✉ Trong trường hợp E F không gian Banach, Jordá [45, Proposition 9] chứng minh kết sau Định lý 1.1 Cho Av ♣Dq khơng gian Hv ♣Dq cho hình cầu đơn vị đóng τ0 -compact, cho D0 tập xác định Av ♣Dq Chứng minh Giả sử X taut yếu Theo Định lý 3.3.3, X hyperbolic Do [18, → cho h♣xq ➙ m⑥x⑥ với x € E Nếu X khơng bị chặn ta chọn ♣λn q ⑨ X cho ⑥λn ⑥ ➙ n2 với n Vì X cân nên λn ④n € X Proposition 5.11] nên tồn m ➙ h♣λn ④nq ➙ m⑥λn ④n⑥ ➙ mn2 ④n ✏ mn với n Mâu thuẫn chứng tỏ X bị chặn Đ E ánh xạ tắc ♣fn qn➙1 ⑨ Hol♣∆, X ❳ F q, ♣i ✆ fn qn➙1 ⑨ Hol♣∆, X q Do đó, tồn ♣gnqn➙1 ⑨ ♣fnqn➙1 cho ♣i ✆ gnqn➙1 hội tụ Hol♣∆, X q ♣i ✆ gnqn➙1 phân kỳ compact Hol♣∆, X q Vì gn ♣∆q ⑨ X ❳ F X ❳ F tập đóng X nên ♣i ✆ gn qn➙1 hội tụ Hol♣∆, X q, ♣gn qn➙1 hội tụ Hol♣∆, X ❳ F q Nếu ♣i ✆ gn qn➙1 phân kỳ compact Hol♣∆, X q, với tập Nếu F không gian hữu hạn chiều E, i : F compact K ∆ tập compact L X, tồn số nguyên dương n0 cho ♣i ✆ gnq♣K q ❳ L ✏ ∅ với ♣i ✆ gnq♣K q ⑨ F gn♣K q ✏ ♣i ✆ gnq♣K q, dẫn đến n ➙ n0 Điều này, kết hợp với ♣i ✆ gnq♣K q ❳ L ✏ gn♣K q ❳ L ✏ ∅ với n ➙ n0 Vì F tập đóng X nên M tập compact X ❳F i♣M q tập compact X ta có gn ♣K q ❳ M ✏ ♣i ✆ gnq♣K q ❳ i♣M q ✏ ∅ với n ➙ n0 Như vậy, ♣gn qn➙1 phân kỳ compact Chúng ta chứng tỏ X ❳F taut yếu với không gian hữu hạn chiều F E Theo Định lý 3.3.2, X ❳ F taut Do đó, từ [49, Theorem 5.2.1], ta suy X ❳ F giả lồi với không gian hữu hạn chiều F E Theo [54, Corollary 37.6], X giả lồi Do đó, từ [54, Theorem 37.5], ta suy h đa điều hòa Bây giờ, chứng tỏ h liên tục Lấy ♣xn qn➙1 ⑨ X giả sử limn xn ✏ x Với n λ € ∆, đặt fn ♣λq ✏ λxn Khi đó, fn € Hol♣∆, X q với n Do ♣xn qn➙1 dãy bị chặn E X lân cận nên ta chọn δ → cho limn fn ♣λq ✏ λx € X với tλ : ⑤λ⑤ ➔ δ ✉ Vì X có tính Vitali nên f :✏ limn fn € Hol♣∆, X q Vì f ♣λq ✏ λx với λ với ⑤λ⑤ ➔ 1, ta suy λx € X với λ, ⑤λ⑤ ➔ Do đó, x € λ1 X với λ thỏa mãn ➔ λ ➔ Như vậy, x € λX với λ → h♣xq ↕ Theo Nhận xét 3.4.4, h liên tục 68 Ngược lại, giả sử X bị chặn h đa điều hòa liên tục Theo [18, Theorem 5.1], X hyperbolic Lấy ♣fn qn➙1 ⑨ Hol♣∆, X q giả sử Z♣f q :✏ tλ € ∆ : limn fn♣λq tồn tại✉ có điểm giới hạn ∆ Vì X bị chặn nên ♣fnqn➙1 bị chặn địa phương Theo [2, Theorem 2.1], dãy ♣fn qn➙1 hội tụ tới f € Hol♣∆, E q Vì fn ♣∆q ⑨ X với n nên f ♣∆q ⑨ X, X bao đóng X E Mặt khác, X ✏ tx € E : h♣xq ➔ 1✉ h liên tục nên f ♣∆q ⑨ X n ⑨ tx € E : h♣xq ↕ 1✉ Do đó, h♣f ♣λqq ↕ với λ € ∆ Nếu λ € Z♣fn q f ♣λq € X, h♣f ♣λqq ➔ Vì f chỉnh hình h đa điều hòa nên hàm λ € ∆ Ñ h♣f ♣λqq € r0, 1s đa điều hòa Theo Nguyên lý cực đại hàm đa điều hòa [54, Proposition 34.7], ta có h♣f ♣λqq ➔ với λ € ∆, tức f ♣λq € X với λ € ∆ Do đó, f € Hol♣∆, X q X có tính Vitali Từ Định lý 3.3.3 ta suy X taut yếu Kết luận: Trong Chương nghiên cứu hội tụ kiểu Vitali cho dãy ánh xạ chỉnh hình đĩa đơn vị ∆ ⑨ C Chúng đưa khái niệm không gian taut yếu khơng gian giải tích Banach Từ đó, thiết lập số liên hệ ba lớp khơng gian: khơng gian giải tích Banach hyperbolic, khơng gian taut yếu khơng gian giải tích Banach có tính Vitali Cuối cùng, đưa số điều kiện để miền Hartogs khơng gian giải tích Banach miền cân không gian Banach taut yếu 69 KẾT LUẬN Nội dung chủ yếu Luận án nghiên cứu toán hội tụ kiểu Tauber Luận án đóng góp kết sau đây: • Chứng minh tính chất Zorn miền DK :✏ D ❳EK không gian trù mật ♣EK , τE q khơng gian Fréchet E (hạch Schwartz có sở Schauder tuyệt đối) với K € K♣E q tập khơng đa cực đó; đồng thời hàm chỉnh hình loại bị chặn DK thác triển đến hàm chỉnh hình loại bị chặn D (Đinh lý 1.3.3, Định lý 1.3.4) • Khẳng định tồn tập lồi, cân, compact, không đa cực B không gian Fréchet E € ♣Ωr q (hạch Schwartz có sở Schauder tuyệt đối) cho hàm f với giá trị Fréchet, xác định, liên tục xấp xỉ đủ nhanh tập lồi, cân, compact, không đa cực B E dãy đa thức ♣pm qm➙1 với giá trị Fréchet thác triển đến hàm nguyên (Định lý 1.4.7, Định lý 1.4.8) • Đưa điều kiện tồn tập compact, lồi, cân, không đa cực K không gian Fréchet E cho dãy bị chặn hàm chỉnh hình giá trị Fréchet ♣fm qm➙1 HG,v ♣♣EK , τE q, F q hội tụ đến hàm f € HG,v ♣♣EK , τE q, F q tập compact ♣EK , τE q ♣fmqm➙1 hội tụ điểm K, τE tơpơ EK cảm sinh tôpô E Hơn nữa, hàm f có thác triển chỉnh hình Hv ♣E, F q liên tục điểm K (Định lý 2.3.2, Định lý 2.3.3) • Xây dựng phiên khác định lý Jordá, khẳng định E không gian lồi địa phương khả mêtric F không gian lồi địa phương đầy đủ lưới bị chặn Av ♣D, F q hội tụ tập compact D đến hàm Av ♣D, F q hội tụ điểm tập Av ♣Dq (Định lý 2.3.4) • Giới thiệu khái niệm “tính taut yếu”, tổng qt hóa khái niệm “tính taut” khắc phục số khó khăn nghiên cứu vấn đề từ 70 ánh xạ nhận giá trị không gian phức hữu hạn chiều sang trường hợp vơ hạn chiều • Đưa mối quan hệ khơng gian giải tích Banach hyperbolic, khơng gian có tính taut yếu khơng gian có tính Vitali (Định lý 3.2.7, Mệnh đề 3.2.9, Định lý 3.3.3) Đồng thời chứng minh ba tính chất trùng trường hợp hữu hạn chiều (Định lý 3.3.2) • Luận án đưa số áp dụng kết việc giải tốn thác triển chỉnh hình khơng gian có trọng Av ♣D, F q ⑨ Hv ♣D, F q hàm chỉnh hình giá trị lồi địa phương từ tập (gầy) từ tập mẫu (mập) (Định lý 2.4.2, Định lý 2.4.4, Định lý 2.4.5) Các kết đóng góp thực vào hướng nghiên cứu toán hội tụ kiểu Tauber Chúng có ý nghĩa khoa học, mang tính thời quan tâm nhiều tác giả lĩnh vực nghiên cứu Luận án Với kết đạt số ứng dụng chúng, tương lai gần dự định nghiên cứu vấn đề sau: • Khảo sát để phát nhiều lớp khơng gian có tính chất Zorn, từ mở rộng khả ứng dụng kết đạt Luận án • Khảo sát tốn hội tụ Tauber khơng gian có trọng hàm phân hình ứng dụng Ngồi ra, cơng trình gần [65] đưa biểu diễn không gian hàm chỉnh hình giá trị vectơ dạng tích tensor khơng gian hàm chỉnh hình giá trị vô hướng với không gian miền giá trị Cụ thể, biểu diễn không gian hàm chỉnh hình giá trị Fréchet rH ♣U, F q, τ s ♣ π F U tập mở không gian Fréchet dạng r♣H ♣U q, τ qs❜ € tτ0, τω , τδ ✉ Và áp dụng biểu diễn để giải số toán sau: (1) Luật mũ tôpô τ0 , τω không gian H ♣U ✂ V q với U τ 71 V tương ứng hai tập mở không gian lồi địa phương; (2) Sự trùng tôpô τ0 , τω , τδ không gian hàm (mầm) chỉnh hình giá trị lồi địa phương H ♣U, F q (H ♣K, F q); (3) Tính kế thừa số tính chất giải tích chuyển qua khơng gian hàm (mầm) chỉnh hình Với biểu diễn tensor hy vọng đặt vấn đề nghiên cứu giải tốn sau: • Biểu diễn tensor cho khơng gian có trọng hàm chỉnh hình giá trị vectơ, ♣ π F tức biểu diễn rAv ♣U, F q, τ s dạng r♣Av ♣U q, τ qs❜ • Trên sở biểu diễn tổng quát hóa kết kiểu hội tụ Tauber (nhanh) có dãy hàm giá trị vô hướng sang cho dãy hàm giá trị véctơ không gian khơng trọng có trọng 72 DANH MỤC CƠNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN 1) L M Hai, T T Quang, D T Vy, L T Hung, Some Classes of Banach Analytic Spaces, Math Proc R Ir Acad., Vol 116A (1) (2016), 1-17 2) T T Quang, D T Vy, L T Hung, P H Bang, The Zorn Property for Holomorphic Functions, Ann Polon Math., 120(2) (2017), 115-133 3) T T Quang, N V Dai, L V Lam, D T Vy, Linearization of Weakly Holomorphic Functions in Weighted Spaces and Its Applications (submitted to Matematicheskii Sbornik) 73 Tài liệu tham khảo [1] W Arendt, O El-Mennaoui, M Hieber, Boundary values of holomorphic semi- groups, Proc Amer Math Soc., 125(1997), 635–647 [2] W Arendt, N Nikolski, Vector-valued holomorphic functions revisited, Math Z.,234 (2000), 777–805 [3] T J Barth, Taut and tight complex manifolds, Proc Amer Math Soc., 24(3) (1970), 439-431 [4] T J Barth, The Kobayashi Distance Induces the Standard Topology, Proc Amer Math Soc., 35(2) (1972), 439-441 [5] T J Barth, The Kobayashi indicatrix at the center of a circular domain, Proc Amer Math Soc., 88 (1983), 527-530 [6] E Bedford, B A Taylor, A new capacity of plurisubharmonic functions, Acta Math., 149 (1982), 1-40 [7] I A Berezansk˘ii, Inductively reflexive, locally convex spaces, Dokl Akad Nauka SSSR 182 (1968), 20–22, English Translation in Soviet Math., (1968), 1080-1082 [8] T Bloom, On the convergence in capacity of rational approximants, Constr Approx., 17(1)(2001), 91-102 [9] W M Bogdanowicz, Analytic continuation of holomorphic functions with values in a locally convex space, Proc Amer Math Soc., 22(1969), 660-666 [10] J Bonet, L Frerick, E Jordá, Extension of vector-valued holomorphic and harmonic functions, Studia Math., 183(3)(2007), 225-248 74 [11] J Borwein, Y Lucet, B Mordukhovich, Compactly epi-Lipschizian convex sets and functions in normed spaces, J Convex Analysis, (2000), 375–393 [12] D Carando, I Zalduendo, Linearization of functions, Math Ann., 328(4)(2004), 683-700 [13] J F Colombeau, Quelques exemples singuliers d’applications Ganalytiques, analytiques et différentiables en dimension infinie, C R Acad Sc Paris, 273 (1971), Série A, 158-160 [14] N Q Dieu, P V Manh, P H Bang, L T Hung, Vitali’s theorem without uniform boundedness, Publ Mat., 60 (2016), 311-334 [15] S Dineen, Complex Analysis on Infinite Dimensional Spaces, Springer, New York, (1999) [16] S Dineen, Surjective limits of locally convex spaces and their application to infinite dimensional holomorphy, Bull Soc Math France, 103 (1975), 441–509 [17] S Dineen, Holomorphic functions on strong duals of Fréchet-Montel spaces, Infinite Dimensional Holomorphy and Applications (Ed.: M C Matos), North-Holland Math Stud., 12 (1977), 147–166 [18] S Dineen, The Schwarz Lemma, The Clarendon Press, Oxford University Press, (1989) [19] S Dineen, M.L Louren¸co, Holomorphic functions on strong duals of Fréchet-Montel spaces II, Arch Math., 53 (1989), 590–598 [20] S Dineen, R Meise, D Vogt, Characterization of nuclear Fréchet spaces in which every bounded set is polar, Bull Soc Math France, 112 (1984), 41-68 [21] S Dineen, R Meise, D Vogt, Polar subsets of locally convex spaces, Asp Math Appl., 34 (1986), 295–319 [22] S Dineen, Ph Noverraz, Gaussian measures and polar sets in locally convex spaces, Arkiv Mat., 17 (1979), 217–223 75 [23] N Dunford, Uniformity in linear spaces, Trans Amer Math Soc., 44(2) (1938), 305-356 [24] D A Eisenman, Holomorphic mappings into tight manifolds, Bull Amer Math Soc., 76(1) (1970), 46-48 [25] G Fischer, Complex Analytic Geometry, Lecture Notes in Math., Springer-Verlag Berlin-Heidelberg-NewYork, 538 (1976) [26] J E Fornaess, R Narasimhan, The Levi Problem on Complex Spaces with Singularities, Math Ann., 248 (1980), 47-72 [27] F Forstneri˘c, Stein Manifolds and Holomorphic Mappings, Springer Berlin, (2011) [28] T Franzoni, E Vesentini, Holomorphic maps and invariant distances, Math Studies, North-Holland -Amsterdam, New York - Oxford, 40 (1980) [29] L Frerick, E Jordá, Extension of vector-valued functions, Bull Belg Math Soc., Simon Stevin, 14(3) (2007), 499-507 [30] L Frerick, E Jordá, J Wengenroth, Extension of bounded vector-valued functions, Math Nach., 282(5) (2009), 690-696 [31] A A Gonchar, A local condition for the single-valuedness of analytic functions of several variables, (Russian), Mat Sb (N.S.), 93(135) (1974), 296-313, 327 [32] K G Grosse-Erdmann, The Borel-Okada Theorem Revisited, Habilitationsschrift Fernuniversităat in Hagen, Hagen 1992 [33] K G Grosse-Erdmann, A weak criterion for vector-valued holomorphy, Math Proc Cambridge Philos Soc., 136 (2004), 399-411 [34] A Grothendieck, Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires, Mem Amer Math Soc., 16 (1955) [35] L M Hai, “The property ♣LB✽ q and Frechet-valued holomorphic functions on compact sets”, Vietnam J Math., 31(3)(2002), 281-294 76 [36] L M Hai, P K Ban, On the weak tautness and the locally weak tautness of a domain in a Banach space, Acta Math Vietnamica, 28(1) (2003), 39-50 [37] L M Hai, N V Khue, Some characterizations of the properties ♣DN q r q, Math Scand., 87 (2000), 240–250 and ♣Ω [38] Some classes of Banach analytic spaces, Math Proc R Ir Acad., Vol 116A (1) (2016), 1-17 [39] L A Harris, Schwarz-Pick systems of pseudometrics for domains in normed linear spaces, “Advances in Holomorphy”, Ed J A Barroso North Holland, Amsterdam, Math Studies, 34 (1979), 345-406 [40] E Hille, R S Phillips, Functional analysis and semigroups, Amer Math Soc Provindence, R I (1957) [41] A Hirschowitz, Sur un théorème de M.A Zorn, Arch Math., 23 (1972), 77-79 [42] J Horvath, Topological Vector Spaces and Distributions, Vol 1, Addison Wesley, 1966 [43] H Jarchow, Locally Convex Spaces, Teubner Stuttgart, (1981) [44] M Jarnicki, P Pflug, Invariant Distances and Metrics in Complex Analysis, Walter de Gruyter-Berlin, New York (1993) [45] E Jordá, Weighted Vector-Valued Holomorphic Functions on Banach Spaces, Abst Appl Analysis, (2013), Article ID 501592, pages [46] J E Joseph, M H Kwack, Hyperbolic embedding and spaces of continuous extensions of holomorphic maps, J Geom Analysis, 4(1994), 361-378 [47] P J Kiernan, Quasiconformal mappings and Schwarz’s Lemma, Trans Amer Math Soc., 147 (1970), 185-197 [48] M Klimek, Pluripotential Theory, Oxford Clarendon Press, (1991) 77 [49] S Kobayashi, Hyperbolic Complex Spaces, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Vol 318 (1998) [50] J Laitila, H O Tylli, Composition operators on vector-valued harmonic functions and Cauchy transforms, Indiana Univ Math J., 55(2)(2006), 719-746 [51] S Lang, Introduction to Complex Hyperbolic Spaces, Springer-Verlag (1987) [52] P Mazet, Analytic Sets in Locally Convex Spaces, Math Studies, NorthHolland, 121 (1987) [53] R Meise, D Vogt, Holomorphic functions of uniformly bounded type on nuclear Fréchet spaces, Studia Math., 83 (1986), 147–166 [54] J Mujica, Complex Analysis in Banach Spaces, North-Holland Amsterdam, New York - Oxford, 120 (1986) [55] J Mujica, Linearization of bounded holomorphic mappings on Banach spaces, Trans Amer Math Soc., 324(2) (1991), 867-887 [56] L Nachbin, Uniformité holomorphe et type exponentiel, Séminaire P Lelong, 1970/1971, Berlin, Springer-Verlag, Lecture Notes in Math., 205 (1971), 216-224 [57] L Nachbin, A Glimpse at Infinite Dimensional Holomorphy, Proc on Infinite Dimensional Holomorphy, Lecture Notes in Math., 364 (1974), 69–79 [58] K F Ng, On a theorem of Dixmier, Math Scand., 29(1971), 279-280 [59] Ph Noverraz, Pseudo-convexite, Convexite Polynomiale et Domaines d’Holomorphie en Dimension Infinie, North-Holland Math Stud., (1973) [60] Ph Noverraz, Pseudo-convex Completion of Locally Convex Topological Vector Spaces, Math Ann., 208 (1974), 59–69 78 [61] E Ouhabaz, Gaussian estimates and holomorphy of semigroups, Proc Amer Math Soc., 123(1995), 1465–1474 [62] T T Quang, N V Dai, On the holomorphic extension of vector valued functions, Complex Anal Oper Theory, 9(3) (2015), 567-591 [63] T T Quang, N V Dai, On Hartogs extension theorems for separately ♣☎, W q-holomorphic functions, Inter J Math., 25(12) (2014), 15 pages [64] Linearization of weakly holomorphic functions in weighted spaces and its applications, (submitted to Matematicheskii Sbornik) [65] T T Quang, D Q Huy, D T Vy, Tensor representation of spaces of holomorphic functions and applications, Complex Anal Oper Theory, 11(3) (2017), 611-626 [66] T T Quang, L V Lam, N V Dai, On σ ♣☎, W q-holomorphic functions and theorems of Vitali-type, Complex Anal Oper Theory, 7(1) (2013), 237–259 [67] T T Quang, L V Lam, Levi extension theorems for meromorphic functions of weak type in infinite dimension, Complex Anal Oper Theory, 10 (2016), 1619-1654 [68] T T Quang, L V Lam, Cross the orems for separately ♣☎, W q- meromorphic functions, Taiwanese J Math., 20(5) (2016), 1009-1039 [69] The Zorn property for holomorphic functions, Ann Polon Math., 120(2) (2017), 115-133 [70] J P Ramis, Sous-ensembles Analytiques d’une Variété Banachique Complexe, Springer (1970) [71] R Remmert, Funktionentheorie 2, Springer, Berlin (1992) [72] D D Thai, T N Giao, The convergence-extension theorem of Noguchi in infinite dimension, Proc Amer Math Soc., 130(2) (2002), 477-482 79 [73] D D Thai, Pascal J Thomas, N V Trao, M A Duc, On hyperbolicity and tautness modulo and analytic subset of Hartogs domains, Proc Amer Math Soc., 141(10) (2013), 3623-3631 [74] E Vesentini, Invariant distance and invariant differential metric in locally convex spaces, Spectral Theory, Banach Center Publications, PWN Polish Sci Publishers Warsaw, 8(1) (1982), 493-511 [75] D Vogt, Charakterisierung der Unterrăaume von s, Math Z., 155 (1977), 109–117 [76] D Vogt, Subspaces and quotient spaces of s, in Functional Analysis: Surveys and Recent Results III (ed K D Bierstedt, B Fuchssteiner), North-Holland Math Studies, 27 (1977), 167187 [77] D Vogt, Eine Charakterisierung der Potenzeihenră aume von endlichem typ und ihre Folgerungen, Manuscripta Math., 37 (1982), 269301 [78] D Vogt, Frechetrăaume zwischen denen jede stetige linear Abbildung beschraukt ist, J Reine Angew Math., 345 (1983), 182-200 [79] A Wilansky, Modern Methods in Topological Vector Spaces, McGrawHill, (1978) [80] H Wu, Normal families of holomorphic mappings, Acta Math., 119 (1967), 194-233 [81] M Zorn, Characterization of analytic functions in Banach spaces, Duke Math J., 12 (1945), 579–593 80 Chỉ mục PA0 v ♣Dq , 39 δD , 37 ♣EB , τE q, 11, 29, 32 Av ♣Dq, 36 Av ♣D, F q, 36 AG,v ♣D, F q, 39 AG,v ♣Dq, 36 δx , 37 κX , 53 K♣E q, 15 acx♣Dv✝ q, 41 τbor , 12 Hol♣D, X q , 52 BAv ♣Dq , 42 ✶ , 12 Ebor ánh xạ chỉnh hình , 52 EB , 12 hàm Ek , 12 H ♣Dq, 13 đa điều hòa dưới, 13 H ♣E qbor , 30 cỡ, 67 HG ♣D, F q, 13 chỉnh hình Gâteaux, 13 H ♣D, F q, 13, 36 trọng, 35 HG ♣Dq, 13 chỉnh hình, 13 Hb ♣Dq, 13 khơng gian Hv ♣Dq, 35 ω, 16, 29 Hv ♣D, F q, 35, 36 giải tích Banach, 52 HG,v ♣Dq, 35 hyperbolic , 53 HG,v ♣D, F q, 35 hyperbolic đầy đủ , 53 Hub ♣E q, 13 phức, 52 Mv✝ , 42, 45 Zorn, 15 P SH ♣Dq, 14 tính chất PAv ♣Dq , 37 ♣Ωr q, 14 ♣Ωr B q, 15 Z♣fn q , 55 ∆, 51 ∆✝r ♣β q , 53 taut , 53 Ωϕ ♣X q, 63 Vitali, 59 taut yếu , 54 ∆r ♣β q , 53 81 Zorn, 15 tập đa cực, 14 đa cực địa phương, 14 nhất, 42, 43 mẫu, 42, 43 tách điểm, 35, 43 xác định tính bị chặn, 35 tơpơ, 46 82 ... hàm chỉnh hình vơ hướng Một hàm f : D ÑF chỉnh hình yếu u ✆ f chỉnh hình với u € F ✶ Chúng ta biết hàm chỉnh hình ln ln chỉnh hình yếu Ngược lại, với điều kiện hàm chỉnh hình yếu hàm chỉnh hình? ... q -chỉnh hình Bên cạnh thành tựu đạt cho lớp hàm chỉnh hình giá trị véctơ (còn gọi hàm chỉnh hình) , tốn hội tụ Tauber cho dãy ánh xạ chỉnh hình giá trị khơng gian khơng có cấu trúc véctơ (còn gọi ánh. .. giá trị cho hàm f chỉnh hình chỉnh hình (rất) yếu (hoặc gọi ♣☎, W q -chỉnh hình) , tức u ✆ f chỉnh hình với u € W Nói cách khác, phải xác định giả thiết vừa đủ để hàm chỉnh hình yếu chỉnh hình (mạnh)