SKKH:Phương pháp tìm giá trò lớn và giá trò nhỏ nhất có hiệu quả PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CĨ HIỆU QUẢ PHẦN I. MỞ ĐẦU. A.Lý do chọn đề tài. Bài tốn tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất( GTLN và GTNN) là một bài tốn tương đối khó. Bởi vì cơ sở lý thuyết ngắn , nhưng lại đa dạng về kĩ thuật và thủ thuật làm tốn. Nó đòi hỏi một thời gian lớn để thấu hiểu và giải được bài tốn, mà còn đòi hỏi sự nhạy cảm và khả năng tư duy cao . Đặc biệt để giải bài tốn tìm GTLN và GTNN thì các kiến thức tổng hợp về đại số, giải tích, hình học…thường được sử dụng. Trong phạm vi nào đó, việc dự đốn GTLN và GTNN còn đồi hỏi kinh nghiệm , lẫn sự thơng minh định ra con đường và phương tiện để chứng minh. Hơn nữa, bài tốn tìm GTLN và GTNN là dạng bài tốn hay gặp trong các kì thi tốt nghiệp, ĐH và CĐ. Qua thực tế giảng dạy nhiều năm ở trường THPT Phước Long tơi nhận thấy khi dạy phần này tơi thường gặp những khó khăn sau đây:  Khó khăn thứ nhất: Đối tượng học sinh dù có học lực khá, ham thích học tốn thì cũng “ngại” giải bài tốn này.  Khó khăn thứ hai: Học sinh hay mắc phải sai lầm và thiếu sót từ việc chứng minh và cả việc kết luận bài tốn.  Khó khăn thứ ba :Đối với học sinh khối 10, khi áp dụng bất đẳng thức đề gỉai bài tốn tìm GTLN và GTNN lại còn gặp rất nhiều khó khăn hơn. Đặc biệt, trong tài liệu tự chọn nâng cao (TLTCNC) học sinh 10 tự nhiên khơng dễ dàng tiếp thu và giải được. Thực tế trên đã làm cho tơi trăn trở rất nhiều năm. Phải làm sao cho học sinh hứng thú học tập khi gặp bài tốn này nói chung và dễ dàng tiếp thu bài tốn tìm GTLN và GTNN khi áp dụng bất đẳng thức nói riêng ? Vì vậy , tơi quyết định chọn đề tài phương pháp tìm GTLN và GTNN có hiệu quả , với mong muốn góp một phần nhỏ kinh nghiệm của mình vào cơng tác giảng dạy bài tốn tìm GTLN và GTNN cho học sinh lớp 10 và tạo tiền đề để học sinh tiếp tục tiếp cận bài tốn trên trong các kì thi tốt nghiệp , ĐH và CĐ. B. Phương pháp thực hiện. Qua nhiều năm giảng dạy chương trình đại số 10 tơi thấy học sinh khó tiếp cận bài tốn và hay mắc phải một số sai lầm để đi đến kết luận bài tốn. Do đó khi dạy phần này tơi cho học sinh làm thật tốt bài tốn bất đẳng thức , nắm vững cơ sở lý thuyết cơ bản của bài tốn GTLN và GTNN , giải bài tốn trong phạm vi phương pháp 1, phương pháp 2 (được trình bày trong phần nội dung) để làm nền Người thực hiện: Nguyễn Văn Việt - 1 - Trường THPT Phước Long SKKH:Phương pháp tìm giá trò lớn và giá trò nhỏ nhất có hiệu quả tảng vào phương pháp 3 (được trình bày trong phần nội dung), đồng thời chỉ ra những sai lầm mà học sinh hay mắc phải. C. Thời gian thực hiện. Tiết 44 , tuần 18. Tiết 64, tuần 25 . Mà chủ yếu thực hiện trong thời gian làm bài tập tự chọn chủ đề tự chọn nâng cao. D. Tài liệu tham khảo: • Sách giáo khoa 10 nâng cao. • Phương pháp tìm GTLN và GTNN của Nguyễn Văn Nho. • Một số bài viết trên diễn đàn tốn học. ∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗ Người thực hiện: Nguyễn Văn Việt - 2 - Trường THPT Phước Long SKKH:Phương pháp tìm giá trò lớn và giá trò nhỏ nhất có hiệu quả PHẦN II. NỘI DUNG. A. Kiến thức cơ bản bất đẳng thức ( BĐT ) : I. Tính chất cơ bản * Quy ước: 00 ≤−⇔≤≥−⇔≥ BABAhayBABA 1) ABBA <⇔> A > B 2) B > C 3) A > B ⇔ A+C > B+C (C ∈¡ ) 4) A > B ⇔ A.C > B.C (C > 0) A > B ⇔ A.C < B.C (C < 0) II. Các phép toán về bất đẳng thức: 1) Cộng 2 bất đẳng thức cùng chiều: A > B C > D * Chú ý: Trừ 2 BĐT cùng chiều thì sai. 2) Trừ 2 bđt ngược chiều A > B C < D 3) Nhân 2 bđt dương cùng chiều A > B > 0 C > D > 0 4) Bình phương một BĐT dương A > B > 0  A 2 > B 2 Tq: A > B > 0  A n > B n 5) Khai căn bậc n ≥ 2 một bđt 0 n n A B A B > > → > 6) Nghòch đảo một BĐT: 1 1 , A B A Bcungdau A B >  → <   Người thực hiện: Nguyễn Văn Việt - 3 - Trường THPT Phước Long  A > C  A + C> B+D  A - C > B - D  A . C > B.D > 0 SKKH:Phương pháp tìm giá trò lớn và giá trò nhỏ nhất có hiệu quả III. Một số BĐT quan trọng: 1) Bất đẳng thức giá trò tuyệt đối a) |A+B| ≤ A+B “ = “ ⇔ A, B cùng dấu TQ: a 1 +a 2 + … + a n ≤a 1 + a 2 +…+ a n  b) A-B≤A-B “ = “ ⇔ A, B cùng dấu 2) Bất đẳng thức Cauchy Cho n số thuộc dương a 1 , a 2 ,…, a n ≥0. Ta có: Dạng 1: 1 2 1 2 . . . n n n a a a a a a n + + + ≥ Dạng 2: 1 2 . . . n n a n a n a a a a n + + +   ≤  ÷   “ = “ ⇔ a 1 = a 2 = …. = a n * Ta thường dùng: • a,b ≥ 0. Ta có : a + b ≥ 2 ab “=” ⇔ a = b • a, b, c ≥ 0. Ta có: 3 3 " " a b c abc a b c + + ≥ = ⇔ = = 3) Bất đẳng thức Shwartz ( Bunhiacovski ) Cho 2n số thực tùy ý : 1 2 1 2 , , ., ; , , ., . n n a a a b b b Dạng 1: (a 1 .b 1 +a 2. b 2 + … + a n b n ) 2 ≤ (a 1 2 +a 1 2 +…+a 1 2 ) (b 1 2 +b 1 2 +…+b n 2 ) Dạng2:a 1 .b 1 +a 2 .b 2 +…+a n .b n  ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 . . n n a a a b b b ≤ + + + + + + Người thực hiện: Nguyễn Văn Việt - 4 - Trường THPT Phước Long SKKH:Phương pháp tìm giá trò lớn và giá trò nhỏ nhất có hiệu quả ( ) 1 2 1 2 1 2 " " . , , . 0 n n n a a a b b b b b b = ⇔ = = = ≠ * Ta thường dùng bất đẳng thức cho 4 số bất kỳ như sau: ax+by ≤ 2 2 2 2 ( )( )a b x y + + * Chú ý trong quá trình làm bài tập ta cũng có thể dùng các hệ quả sau: Hệ quả 1: cho n số dương: a 1 , a 2 , …, a n > 0 Ta có: n n n aaa aaa n . 1 . 11 21 21 ≤ +++ Thật vậy: áp dụng BĐT Côsi cho n số dương: n aaa 1 , ., 1 , 1 21 . Ta có: nn n n aaaaaa 1 1 . 11 . 11 121 ≥+++  n n aaa aaa n . 1 . 11 21 21 ≤ +++ Thật vậy: AD BĐT Shwartz dạng 1, ta có: ( ) 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 . .1 .1 . .1 . 1 1 . 1 n n n a a a a a a n n n n a a a n n n + + +     = + + + ≤  ÷  ÷       + + + + + +  ÷    n aaa n aaa nn 22 2 2 1 2 21 +++ ≤       +++ Người thực hiện: Nguyễn Văn Việt - 5 - Trường THPT Phước Long Hệ quả 2 : Cho n số dương : a 1 , a 2 , …., a n . Ta có: 2 2 2 1 2 1 2 . . n n a a a a a a n + + + + + + ≤ SKKH:Phương pháp tìm giá trò lớn và giá trò nhỏ nhất có hiệu quả  2 2 2 1 2 1 2 . . n n a a a a a a n + + + + + + ≤ B. Các phương pháp thộng dụng CM BĐT I. Phương pháp 1: Phương pháp quy ước đúng CM BĐT(biến đổi tương đương). 1. Phương pháp: *) Cơ sở của phương pháp là sử dụng quy ước: A > B ⇔ A - B > 0 Nghóa là để CM BĐT A > B, ta làm như sau: • B1: Xét A - B • B2 : CM: A - B > 0 luôn đúng. * Tương tự: A ≥ B ⇔ A - B ≥ 0 A < B ⇔ A - B < 0 A ≤ B ⇔ A - B ≤ 0 2. Các ví d ụ Bài 1: Cho a, b > 0. CM: 3 3 3 (1) 2 2 a b a b+ +   ≥  ÷   Giải (1) 3 3 3 3 3 3 2 2 3 4 4 3 3 0 0 2 2 8 a b a b a b a a b ab b + + + − − − +   ⇔ − ≥ ⇔ ≥  ÷   ( ) 3 2 2 3 3 0 8 a a b ab b ⇔ − − + ≥ ( ) ( ) ( ) ( ) 00 2 22 ≥−+⇔≥−−−⇔ babababbaa (ĐPCM). Bài 2: CM: 22 22 baba + ≤ + (2) Giải + a + b ≤ 0  (2) đúng + a + b > 0  (2) ⇔ 0 24 2 2222 ≤ + − ++ baabba Người thực hiện: Nguyễn Văn Việt - 6 - Trường THPT Phước Long SKKH:Phương pháp tìm giá trò lớn và giá trò nhỏ nhất có hiệu quả ⇔ (a-b) 2 ≥ 0 (đúng) Vậy 22 22 baba + ≤ + (ĐPCM). Bài 3: Cho a, b > 0. CM: a b a b b a + ≥ + (3) Giải (3) ( ) ( ) 0 ≥−−−⇔+≥+⇔ bbaabaabbaabaa ( ) ( ) ( ) ( ) 00 2 ≥+−⇔≥−−⇔ babababa (đúng) Bài tập 1 3 là những bất đẳng thức CM bằng cách biến đổi td trực tiếp. Sau đây là BĐT thông qua kết quả bất đẳng thức khác. B ài 4 (1.TLTCNC) Cho a, b ∈¡ .CMR: a b a b a b− ≤ − ≤ + . Giải Ta có: ( ) 2 2 ( )a b a b a b a b− ≤ + ⇔ + ≤ + . 2 2 2 2 2 2a b ab a b ab⇔ + − ≤ + + ab ab⇔ − ≤ (đúng).(1) Ta có: ( )a a b b a b b a b a b= − + ≤ − + ⇔ − ≤ − (2). Từ (1) và (2) suy ra ĐPCM. Bài 5 : Cho a, b, c ≥ 0. CM: a) 33 cabcabcba ++ ≥ ++ (1) b) 2 222 33       ++ ≥ ++ cbacba (2) Giải Ta CM: a 2 +b 2 +c 2 ≥ ab + bc + ca (*) Cách 1: Ta có : 2 2 2 ( ) 2a b a b ab+ ⇔ + ≥ Tương tự 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a c ac b c bc a b c ab bc ac + ≥ + ≥ ⇒ + + ≥ + + Người thực hiện: Nguyễn Văn Việt - 7 - Trường THPT Phước Long SKKH:Phương pháp tìm giá trò lớn và giá trò nhỏ nhất có hiệu quả Cách 2: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (*) 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c ab bc ca a ab b a ac c c bc b ⇔ + + − − − ≥       ⇔ − + + − + + − +  ÷  ÷  ÷       ( ) ( ) ( ) 0 2 1 2 1 2 1 222 ≥−+−+−⇔ cbcaba Cách 1 a). (1) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 9 3 a b c ab bc ca a b c ab bc ca ab bc ca + + + + ⇔ ≥ ⇔ + + + + + ≥ + + 2 2 2 a b c ab bc ca ⇔ + + ≥ + + (đúng) → ĐPCM. b). ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 (2) 2 2 2 3 9 3 3 3 2 2 2 a b c a b c ab bc ac a b c a b c ab bc ac a b c ab bc ca + + ⇔ ≥ + + + + + ⇔ + + ≥ + + + + + ⇔ + + ≥ + + Cách 2: a) Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 3 9 a b c a b c ab bc ca+ + + + + + +   =  ÷   39 222 cabccbcabccbcba ++ + −−−++ = 3 ab bc ca+ + ≥  3 3 a b c ab bc ca+ + + + ≥ (ĐPCM). b)Tacó: ( ) ( ) 222222222 23 cbacbacba +++++=++ ( ) ( ) 2 222 2 cbacabcabcba ++=+++++≥ ( ) 2 222 39 3       ++ ≥ ++ ⇔ cbacba 2 222 33       ++ ≥ ++ ⇔ cbacba . II. Dùng các bất đẳng thức thường gặp (BDT C ơ si – BDT Shwartz). Người thực hiện: Nguyễn Văn Việt - 8 - Trường THPT Phước Long SKKH:Phương pháp tìm giá trò lớn và giá trò nhỏ nhất có hiệu quả Bài 1: Cho , , 0 1 a b c a b c >   + + =  Gi ả i Cách 1 :Ta có b + c = (b + c) [a + (b + c)] 2 ≥ (b + c)4a(b + c)=(b + c) 2 . 4a Mà (b + c) 2 ≥ 4bc do đó b + c ≥ 16abc (đpcm) Cách 2: Ta có b + c ≥ 16abc ⇔ b + c ≥ 16bc (1 - b - c) ⇔ b + c ≥ 16bc - 16b 2 c - 16bc 2 ⇔ 16b 2 c + 16bc 2 - 16bc + b + c ≥ 0 ⇔ c (16b 2 - 8b + 1) + b(16c 2 - 8c + 1) ≥ 0 ⇔ c (4b - 1) 2 + b(c-1) 2 ≥ 0 (đúng)  b + c ≥ 16abc (đpcm) Cách 3 : Ta có b + c ≥ 16abc ⇔ b + c ≥ 16bc (1 - b - c) ⇔ b + c ≥ 16bc - 16bc (b + c) ⇔ (b + c)(1 + 16bc) ≥ 16bc (*) Để CM (*) ta xuất phát từ (b + c) 2 ≥ 4bc Ta có: (b + c) 2 ≥ 4bc ⇔ (b + c) 2 (1 + 16bc) 2 ≥ 4bc (1 + 16bc) 2 ≥(4bc) 2 ⇔ (b + c)(1 + 16bc) ≥ 16bc ((*) đúng) Suy ra: b + c ≥16abc (đpcm) Cách 4 : Ta có b + c ≥ 16abc ⇔ b + c ≥ 16bc (1 - b - c) ⇔ )1(16 11 cb bc −−≥+ 0161616 11 ≥++−+⇔ cb bc Người thực hiện: Nguyễn Văn Việt - 9 - Trường THPT Phước Long a) CMR: b + c ≥ 16abc (TLTCNC) SKKH:Phương pháp tìm giá trò lớn và giá trò nhỏ nhất có hiệu quả 1 1 16 8 16 8 0b c b c     ⇔ − + + − + ≥  ÷  ÷     2 2 1 1 4 4 0b c b c     ⇔ − + − ≥  ÷  ÷     Suy ra: b + c ≥16abc (đpcm) Giải Ta có: 3 3 2 2 2 3 3 a b c abc ab bc ca a b c + + ≥ + + ≥  (a+b+c) (ab+bc+ca) ≥ 9abc ⇔ ab+bc+ca ≥ 9abc (a+b+c = 1) Giải Ta có ab + bc + ca - 2abc ≥ 0 ⇔ ab(1-c) + bc (1-a) + ca ≥ 0 (đúng) Ta có : ab + bc + ca – 2abc ≥ 0 ⇔ ab(1- c) + bc(1 – a) + ca ≥ 0 (đúng) Do a + b + c = 1; a, b, c > 0 ;1 > c, 1 > a ; ab, bc, ca>0) Suy ra: ab + bc + ca ≥ 2abc (ĐPCM) Giải Cách 1: Ta có : 1 + a = a + b + c + a ≥ 4 4 2 bca 1 + b = a+ b + c + b ≥ 4 4 2 acb 1 + c = a+ b + c + c ≥ 4 4 2 abc  (1 + a (1 + b) (1 + c) ≥ 4 3 4 444 cba Người thực hiện: Nguyễn Văn Việt - 10 - Trường THPT Phước Long b) CM: ab + bc + ca ≥ 9abc (TLTCNC) d) CM: 64 1 1 1 1 1 1 ≥       +       +       + cba c) CM: ab + bc + ca ≥ 2abc [...]... + 10 4 4 = 3+ 2 = 3+ ≤7 2 x2 + 2 x + 2 x + 2x + 2 ( x + 1) + 1 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = - 1 Vậy Max y = 7 khi x = - 1 D Lời bình: Bài tốn trên có nhiều cách giải khác nữa Nhưng trong phạm vi kiến thức của học sinh lớp 10, bài tốn trên ta có thể giải bằng phương pháp đại số khác Đó là phương pháp đưa về việc khảo sát tam thức bậc hai, sẽ được trình bày ở phần 2 BÀI TẬP RÈN LUYỆN NÂNG CAO Bài... ≤ 6 (a) 2 Ta có S= x + 1 + y + 1 ≤ 2( x + 1 + y + 1) = 2( x + y + 2) (b) Từ (a) và (b) S = x + 1 + y + 1 ≤ 2(8) = 4 “ = “ ⇔ x = y =3 Vậy MaxS = 4 khi x = y = 3 ∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗ PHẦN III KẾT QUẢ Những kinh nghiệm này tơi đã đúc kết từ nhiều năm và đã vận dụng trong năm học này Khi áp dụng phương pháp này cho học sinh , nhất là khi tơi chỉ ra những sai lầm của học sinh , tơi thấy học sinh tiến bộ nhiều... chắc rằng kết quả này sẽ khả quan hơn trong việc ơn thi ĐH và CĐ Mặc dù trong q trình biên soạn tơi đã cố gắng hết sức, nhưng khơng tránh những thiếu sót Do đó rất mong được sự trao đổi và đóng góp ý kiến chân tình của q thấy cơ để SKKN này được áp dụng rộng rãi hơn Phước long, ngày 15 tháng 2 năm 2009 Người thực hiện Người thực hiện: Nguyễn Văn Việt Trường THPT Phước Long - 28 - SKKH:Phương pháp tìm . GTNN thì các kiến thức tổng hợp về đại số, giải tích, hình học…thường được sử dụng. Trong phạm vi nào đó, việc dự đốn GTLN và GTNN còn đồi hỏi kinh nghiệm. tài phương pháp tìm GTLN và GTNN có hiệu quả , với mong muốn góp một phần nhỏ kinh nghiệm của mình vào cơng tác giảng dạy bài tốn tìm GTLN và GTNN cho học