ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG

Hình chiếu vuông góc của B lên mặt phẳng ABCtrùng với trọng tâm G của tam giác ABC... có đáy ABCD là hình vuông có cạnh bằng a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SAa.. Lời g

Câu 1: [1H3-3-3] (TRƯỜNG CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH - LẦN 2 - 2018) Cho hình

chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, AB2a, BCa, ABC120 Cạnh bên SDa 3 và SD vuông góc với mặt phẳng đáy Tính sin của góc tạo bởi SB và mặt phẳng SAC

S

B A

213

7213

49

a a

a a

4



Trong mặt phẳng SDK kẻ DI SK suy ra d D SAC ;  DI

Câu 2: [1H3-3-3] (THPT Lục Ngạn-Bắc Giang-2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy

ABCD là hình chữ nhật, AB 2a, AD a SA vuông góc với mặt phẳng đáy

Hình chiếu của SC lên ABCD là AC

Câu 3: [1H3-3-3] (SỞ GD VÀ ĐT THANH HÓA-2018) Cho hình chóp S ABCD có

đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 2, SA2 và SA vuông góc với mặt phẳng đáy ABCD Gọi M , N là hai điểm thay đổi trên hai cạnh AB, AD sao cho mặt phẳng SMC vuông góc với mặt phẳng SNC Tính tổng T 1 2 1 2

Cách 1: Chọn hệ trục tọa độ Oxyzsao cho A0;0;0, B2; 0; 0, D0; 2;0, S0;0; 2 Suy ra C2; 2; 0 Đặt AM x, AN  y, x y,  0; 2 , suy ra M x ;0;0, N0; ;0y 

1

S AMCN

x y

x y

S AMCN

x y

x y

Câu 4: [1H3-3-3] (THPT Lê Xoay – Vĩnh Phúc – Lần 3 – 2018) Cho lăng trụ ABC A B C   

có đáy là tam giác đều cạnh a Hình chiếu vuông góc của B lên mặt phẳng ABCtrùng với trọng tâm G của tam giác ABC Cạnh bên hợp với ABC góc 60 Sin của góc giữa AB và mặt phẳng BCC B 

G M B

Gọi M là trung điểm BC và H là hình chiếu của A lên B M , ta có

32

39 136

a a

a a

Vậy

313sin

a ABH

a

13

Câu 5: [1H3-3-3] (THPT Hoàng Hóa - Thanh Hóa - Lần 2 - 2018) Cho hình chóp tứ

giác đều S ABCD với tất cả các cạnh bằng a Gọi G là trọng tâm tam giác SCD

(tham khảo hình vẽ bên) Tan góc giữa AG và ABCD bằng

Lời giải Chọn A

I G

Q

Kẻ GQ song song với SO Suy ra GQABCD

Suy ra AQ là hình chiếu vuông góc của AG trên mặt phẳngABCD

Xét tam giác vuông SOC vuông tại O, theo định lý Pytago, ta có

Xét tam giác SOI có GQ song song với SO, theo định lý Talet và do G là trọng tâm

tam giác SCD nên suy ra 1 2

Câu 6: [1H3-3-3] (THPT Hoàng Hóa - Thanh Hóa - Lần 2 - 2018 - BTN) Cho hình chóp

tứ giác đều S ABCD với tất cả các cạnh bằng a Gọi G là trọng tâm tam giác SCD

(tham khảo hình vẽ bên) Tan góc giữa AG và ABCD bằng

Lời giải Chọn A

I G

Q

Kẻ GQ song song với SO Suy ra GQABCD

Suy ra AQ là hình chiếu vuông góc của AG trên mặt phẳngABCD

Xét tam giác vuông SOC vuông tại O, theo định lý Pytago, ta có

Xét tam giác SOI có GQ song song với SO, theo định lý Talet và do G là trọng tâm

tam giác SCD nên suy ra 1 2

Câu 7: [1H3-3-3] (THPT Chuyên Vĩnh Phúc - lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hình chóp tứ

giác đều S ABCD có cạnh đáy bằng a, tâm O Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SA và BC Biết rằng góc giữa MN và ABCD bằng 60, cosin góc giữa MN

Gọi E, F lần lượt là trung điểm SO,OB thì EF là hình chiếu của MN trên

SBD 

Gọi P là trung điểm OA thì PN là hình chiếu của MN trên ABCD 

Theo bài ra: MNP60

Áp dụng định lý cos trong tam giác CNP ta được:

Ta có BCSABBCAM AM SBCAMSC Tương tự ta cũng

có ANSC AMNSC Gọi  là góc giữa đường thẳng SB và AMN

Chuẩn hóa và chọn hệ trục tọa độ sao cho A0; 0; 0, B0;1;0, D1;0;0,

60



Câu 9: [1H3-3-3] (SGD Hà Nam - Năm 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD

là hình vuông có cạnh bằng a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SAa

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SD (tham khảo hình

vẽ bên) Tang của góc tạo bởi đường thẳng SD và mặt phẳng (AHK) bằng

Ta chứng minh được AH (SBC) và AK (SCD) suy ra SC(AHK)

Gọi I SOHK và JAISC suy ra JK là hình chiến vuông góc của SD

trên (AHK)

Khi đó SD AHK,( )(JK SK, )SKJ

Mà tam giác SKJ SCD nên SKJ SCD

Kẻ SH vuông góc với AC  SH vuông góc với ABC

d H SBC  HC

A.SCAED B.SCACE C SC AFB D

 

SC  AEF

Lời giải Chọn D

F

C B

A

D S

E

Câu 12: [1H3-3-3] (THPT Mộ Đức 2 - Quảng Ngãi - 2017 - 2018 - BTN)Cho hình lập

phương ABCD A B C D     (hình bên) Tính góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng BDD B 

A 60 B 90 C 45 D 30

Lời giải Chọn D

O

D' B'

A'

C'

C B

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD khi đó ta có AOBD (1)

Mặt khác ta lại có ABCD A B C D     là hình lập phương nên BB ABCD

Lời giải

Chọn B

Gọi H là trung điểm của BC, SBC là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy nên ta có SH ABC

Khi đó ta có hình chiếu vuông góc của SA lên ABC là AH Suy ra góc giữa SA

và ABC bằng góc giữa SA và AH bằng góc SAH

S ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B, ABBCa,AD2 ,a SA

vuông góc với mặt đáy ABCD, SAa Gọi M N, lần lượt là trung điểm của ,

SB CD Tính cosin của góc giữa MN và (SAC)

2a

a a

B

C S

Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ, với OA

Lời giải

Chọn A

Ta có cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy nên các tam giác SAB, SAD

vuông tại A Lại có BCAB, BCSA suy ra BCSB do đó tam giác SBC

vuông tại B Tương tự tam giác SCD vuông tại D.Vậy hình chóp có 4 mặt bên là các tam giác vuông

Câu 16: [1H3-3-3] (Chuyên Lương Thế Vinh – Hà Nội – Lần 2 – 2018 – BTN) Cho hình

chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a Góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60( tham khảo hình vẽ bên) Cosin của góc giữa mặt bên và mặt đáy của hình chóp là

Góc giữa mặt bên SBC và mặt đáy ABC là SMO

133

Câu 17: [1H3-3-3](THPT ĐẶNG THÚC HỨA-NGHỆ AN-LẦN 2-2018) Cho hình chóp

S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a có SAABCD và SAa 2 Gọi

M là trung điểm SB Tính tan góc giữa đường thẳng DM và ABCD

N M

Gọi N là trung điểm AB

Ta có: MN là đường trung bình của SAB nên MN SA// và 1 2

a

MN  SA Lại có: SAABCD

tan ;

5

Câu 18: [1H3-3-3] Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a Hình chiếu

vuông góc của S lên ABC trùng với trung điểm H của cạnh BC Biết tam giác 

SBC là tam giác đều Tính số đo của góc giữa SA và ABC 

Lời giải Chọn C

Ta có tam giác ABC đều nên ; 3

Do SH ABCSH AH  SHA vuông cân tại H

Khi đó SAH  45 suy ra SA ABC,   45

Câu 19: [1H3-3-3] Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a ,

Ta có: ACa 2 suy ra 6

2

SA a SCA

a AI AOI

a OI

Câu 22: [1H3-3-3] Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cạnh huyền BCa

Hình chiếu vuông góc của S lên ABC trùng với trung điểm BC Biết SB a Tính số đo góc giữa SA và ABC 

Lời giải Chọn C

Tam giác ABC vuông tại A nên

2

Lời giải Chọn A

Gọi M là trung điểm của CD và H là trọng tâm tam giác BCD

Câu 24: [1H3-3-3] Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD có

AB a AD a và SAABCD Gọi M là trung điểm của CD , biết SC

tạo với đáy góc 45 Cosin góc tạo bởi đường thẳng SM và mặt phẳng ABCD là:

Lời giải Chọn C

Do SAABCD nên SC ABCD,  SCA 45

ABBCa SA ABC Biết mặt phẳng SBC tạo với đáy một góc 60 Cosin

góc tạo bởi đường thẳng SC và mặt phẳng ABC là: 

Do SAABC lại có BC ABBC SBA

Khi đó  SBC , ABC SBA 60

Ta có SA ABtan 60 a 3;AC AB2BC2 a 2

Khi đó

10cos

Câu 27: [1H3-3-3] Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , ABC 60

, tam giác SBC là tam giác đều và có cạnh bằng 2a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Tính góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng đáy ABC 

Lời giải Chọn C

Gọi H là trung điểm của BC ta có: SH BC

Mặt khác SBC  ABC nên giao tuyến SH ABC

Câu 28: [1H3-3-3] Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Tam giác

SAD đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Tính tan của góc giữa đường

Gọi H là trung điểm của AD ta có: SHAD

Mặt khác SAD  ABC nên giao tuyến SH ABCD

SH

HB

Câu 29: [1H3-3-3] Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Tam giác

SAB đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy ABCD Tính cot của góc giữa SD và ABCD 

Gọi H là trung điểm của AB ta có: SHAB

Mặt khác SAB  ABC nên giao tuyến SH ABCD

Câu 30: [1H3-3-3] Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Hai mặt

phẳng SAB và  SAC cùng vuông góc với đáy  ABCD và  SA2a Tính cosin

của góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng SAD 

Câu 31: [1H3-3-3] Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Tam giác

SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi H , K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD Tính tan của góc tạo bởi giữa đường thẳng SA và

Lời giải Chọn C

4 22

AHK

a HK

1 71

Câu 33: [1H3-3-3] Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D có đáy ABCD là hình vuông ' ' ' '

cạnh bằng 2 2 , AA'4 Tính góc giữa đường thẳng A C với mặt phẳng '

AA B B ' ' 

Lời giải Chọn A

Ta có SAABCDSC ABD,  SCA

Câu 35: [1H3-3-3] Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tâm O

Cạnh bên SA2a và vuông góc với mặt đáy ABCD Tính tan của góc giữa đường 

thẳng SO và mặt phẳng đáy ABCD 

A 2 2 B 3 C 2 D 1

Lời giải Chọn A

Lời giải Chọn C

2

152

4

a SA

Gọi M là trung điểm của ABCM AB

MC MSC

SC

Câu 38: [1H3-3-3] Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O , cạnh bằng

4a , cạnh bên SA2a Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng ABCD 

là trung điểm H của đoạn thẳng AO Tính tan góc giữa đường thẳng SD và mặt

phẳng ABCD 

5 . D 3

Lời giải Chọn C

tam giác ABC và

2

a

SH  Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC ,

SC Tính tan của góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng ABCD 

Qua N kẻ đường thẳng song song với SH cắt CH tại K

Câu 40: [1H3-3-3] Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O , cạnh bằng

a , SO vuông góc với mặt đáy Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA và BC

Tính góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng ABCD , biết  10

Qua M kẻ đường thẳng song song với SO cắt AC tại H

Câu 41: [1H3-3-3] Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông

tại A và B , biết rằng ABBCa, AD2 ,a SAa 2,SAABCD Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng SAD 

Lời giải Chọn C

Gọi M là trung điểm của ADCM AD

Câu 42: [1H3-3-3] Cho điểm S không phụ thuộc mặt phẳng  P , đoạn vuông góc SH1

và các đoạn xiên SA2,SB3 và SC4 Gọi   , , lần lượt là góc tạo bởi , ,

SA SB SC và mặt phẳng  P Khẳng định nào sau đây đúng?

Câu 43: [1H3-3-3] Cho hình chóp S ABCD , có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a ;

SA vuông góc với đáy và SAa 6 Góc giữa SB và SAC thỏa mãn hệ thức nào sau đây?

14

Lời giải

Chọn B

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD

Câu 44: [1H3-3-3] Cho hình chóp S ABCD , có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a ;

SA vuông góc với đáy và SAa 6 Góc  giữa AC và SBC thỏa mãn hệ thức nào sau đây?

AH ACH

AC

Câu 45: [1H3-3-3] Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và

SASBSCb (ab 2) Gọi G là trọng tâm ABC Xét mặt phẳng  P đi

qua A và vuông góc với SC tại điểm C1 nằm giữa S và C Diện tích thiết diện của

hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng P là

A.

34

Câu 46: [1H3-3-3] Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác đều, SAABC Gọi

 P là mặt phẳng qua B và vuông góc với SC Thiết diện của  P và hình chóp

C S

B

H

Gọi I là trung điểm của AC , kẻ IHSC

Ta có BIAC , BI SABI SC

Do đó SCBIH hay thiết diện là tam giác BIH

Mà BI SAC nên BI IH hay thiết diện là tam giác vuông

Câu 47: [1H3-3-3] Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a Hình chiếu

vuông góc của S lên ABC trùng với trung điểm  H của cạnh BC Biết tam giác

SBC là tam giác đều Tính số đo của góc giữa SA và ABC 

Lời giải

Chọn C

A

S

Do H là hình chiếu của S lên mặt phẳng ABC nên  SH   ABC 

Vậy AH là hình chiếu của SH lên mp ABC 

Câu 48: [1H3-3-3] Cho hình chóp SABC có SAABC Gọi H K, lần lượt là trực tâm các

tam giác SBC vàABC Mệnh đề nào sai trong các mệnh đề sau?

B A

S

Câu 49: [1H3-3-3] Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác đều, O là trung điểm của

đường cao AH của tam giác ABC , SO vuông góc với đáy Gọi I là điểm tùy ý trên

OH (không trùng với O và H) mặt phẳng  P qua I và vuông góc vớiOH Thiết diện của  P và hình chóp S ABC là hình gì?

A Hình thang cân B Hình thang vuông C Hình bình hành D Tam

B A

S

Mặt phẳng ( )P vuông góc với OH nên ( )P song song với SO

Suy ra ( )P cắt (SAH) theo giao tuyến là đường thẳng qua I và song song với

SO cắt SH tại K

Từ giả thiết suy ra ( )P song song BC, do đó ( )P sẽ cắt (ABC), (SBC) lần lượt là các đường thẳng qua I và K song song với BC cắt AB AC SB SC, , , lần lượt tại , , ,

M N Q P Do đó thiết diện là tứ giác MNPQ

Ta có MN vàPQ cùng song song BC suy ra I là trung điểm của MN và K là trung điểm củaPQ , lại có các tam giác ABC đều và tam giác SBC cân tại S suy

ra IK vuông góc với MN và PQ dó đó MNPQ là hình thang cân

Câu 50: [1H3-3-3] Cho hình chópS ABCD , đáyABCD là hình vuông có tâm O,

A S

Ta có BD AC BD, SA suy ra BD(SAC) hay BD(SAC)nên BDSC ,

và O là trung điểm của BD suy ra SAC là mặt phẳng trung trực của đoạn BDTa

có OI song song SA suy ra IOABCD

SA SB SC sai

Câu 51: [1H3-3-3] Cho hình chóp S ABC có các mặt bên tạo với đáy một góc bằng nhau Hình

chiếu H của S trên (ABC).là:

A. Tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC B. Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

C. Trọng tâm tam giác ABC D. Giao điểm hai đường thẳng AC

Theo định lý ba đường vuông góc ta có M N P, , lần lượt là hình chiếu của H lên các cạnhAB AC BC, , SMH SNH SPH  SMH  SNH  SPH.

    H là tâm dường tròn nội tiếp của ABC

Câu 52: [1H3-3-3] Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh bên

 

SA ABC Mặt phẳng  P đi qua trung điểm M của AB và vuông góc với SB

cắt AC SC SB, , lần lượt tại N P Q, , Tứ giác MNPQ là hình gì ?

A Hình thang vuông B. Hình thang cân C. Hình bình hành D Hình

chữ nhật

Lời giải

Chọn A

Q P

N

M A

B

C S

Vậy thiết diện là hình thang MNPQ vuông tại N

Câu 53: [1H3-3-3] Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ' Có đáy là hình thoi BAD 600 và

A A A B A D Gọi O AC BD Hình chiếu của A' trên ABCD là :

A trung điểm của AO B. trọng tâm ABD

C giao của hai đoạn AC và BD D trọng tâm BCD

Lời giải

Chọn B

Vì A A' A B' A D' hình chiếu của A' trên ABCD trùng với H là tâm đường tròn ngoại tiếp ABD 1

Mà tứ giác ABCD là hình thoi và BAD 600nên BAD là tam giác đều 2

Từ 1 & 2 H là trọng tâm ABD

Câu 54: [1H3-3-3] Cho hình chóp S ABC có đáyABClà tam giác đều cạnh

a

23.2

a

C. 3 2

223

a

Lời giải

Chọn C

Gọi M là trung điểm của BC thì

Khi đó thiết diện của hình chópS ABC

được cắt bởi P chính là SAM

SAM vuông tại A nên

Câu 56: [1H3-3-3] Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cạnh huyền BCa

Hình chiếu vuông góc của S lên ABC trùng với trung điểm  BC Biết SBa Tính

số đo của góc giữa SA và ABC 

A 30 B 45 C 60 D 75 

Lời giải Chọn C