Su tầm Ti liu ụn thi toỏn Đề thi tuyển sinh *Trờng THPT Nguyễn TrÃi ( Hải Dơng 2002- 2003, dành cho lớp chuyên tự nhiên) Thời gian: 150 phút Bài (3 điểm) Cho biểu thức A= x +2−4 x −2 + x +2+4 x −2      4 − +1 x2 x 1) Rút gọn biểu thức A 2) Tìm số nguyên x để biểu thức A số nguyên Bài 2.( điểm) 1) Gọi x x hai nghiệm phơng trình x2 -(2m-3)x +1-m = Tìm giá trị m để: x 2+ x 2 +3 x x (x + x ) đạt giá trị lớn 2) Cho a,b số hữu tỉ thoả m·n: a2003 + b2003 = 2.a2003.b2003 Chøng minh r»ng ph¬ng trình: x2 +2x+ab = có hai nghiệm hữu tỉ Bài ( điểm) 1) Cho tam giác cân ABC, gãc A = 1800 TÝnh tØ sè BC AB 2) Cho hình quạt tròn giới hạn cung tròn hai bán kính OA,OB vuông góc với Gọi I trung điểm OB, phân giác góc AIO cắt OA D, qua D kẻ đờng thẳng song song víi OB c¾t cung ë C TÝnh góc ACD Bài ( điểm) Chứng minh bất ®¼ng thøc: | a2 + b2 − a2 + c2 | | b-c| với a, b,c số thực Su tầm Ti liu ụn thi toỏn *Trờng khiếu Trần Phú, Hải Phòng.(150) Bài ( điểm) cho biểu thức: P(x) = x x − 3x − x + 1) Tìm tất giá trị x để P(x) xác định Rút gọn P(x) 2) Chứng minh r»ng nÕu x > th× P(x).P(-x) < Bài ( điểm) 1) cho phơng trình: x − 2(2m + 1) x + 3m + 6m = (1) x2 a) Giải phơng trình m = b) Tìm tất giá trị m để phơng trình (1) có hai nghiệm x x thoả mÃn x +2 x =16 2) Giải phơng trình: 2x 1 + + =2 1+ x 2x Bµi (2 điểm) 1) Cho x,y hai số thực thoả m·n x2+4y2 = Chøng minh r»ng: |x-y| ≤ 2) Cho ph©n sè : A= n2 + n +5 Hỏi có số tự nhiên thoả m·n ≤ n ≤ 2004 cho A lµ phân số cha tối giản Bài 4( điểm) Cho hai đờng tròn (0 ) (0 ) cắt P Q Tiếp tuyến chung gần P hai đờng tròn tiếp xúc với (0 ) t¹i A, tiÕp xóc víi (0 ) t¹i B TiÕp tun cđa (0 ) t¹i P cắt (0 ) điểm thứ hai D khác P, đờng thẳng AP cắt đờng thẳng BD R H·y chøng minh r»ng: 1)Bèn ®iĨm A, B, Q,R cïng thuộc đờng tròn 2)Tam giác BPR cân 3)Đờng tròn ngoại tiếp tam giác PQR tiếp xúc với PB RB Bài (1 điểm)Cho tam giác ABC có BC < CA< AB Trªn AB lÊy D, Trªn AC lÊy ®iÓm E cho DB = BC = CE Chøng minh khoảng cách tâm đờng tròn nội tiếp tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác ADE Trờng Trần Đại Nghĩa - TP HCM Su tầm Ti liu ụn thi toỏn (năm học: 2004- 2005 thời gian: 150 phút ) Câu Cho phơng trình x +px +1 = cã hai nghiƯm ph©n biƯt a , a phơng trình x2 +qx +1 = cã hai nghiƯm ph©n biƯt b ,b Chøng minh: (a - b )( a - b )( a + b b +b ) = q2 - p2 Câu 2: cho số a, b, c, x, y, z tho¶ m·n x = by +cz y = ax +cz z = ax +by ; víi x + y+z ≠ Chøng minh: 1 + + =2 1+ a 1+ b 1+ c C©u 3: a) Tìm x; y thoả mÃn 5x2+5y2+8xy+2x-2y+2= b) Cho số dơng x;y;z thoả mÃn x3+y3+z3 =1 Chứng minh: x2 1− x2 + y2 1− y2 + z2 1− z2 Câu Chứng minh có số nguyên x,y thoả mÃn phơng trình: x3-y3 = 1993 Chuyên Lê Quý Đôn _ tỉnh Bình Định (năm học 2005-2006, môn chung, thời gian:150) Su tầm Ti liu ụn thi toỏn Câu 1(1đ): tính giá trị biểu thức A= 1 + víi a +1 b +1 a= + b= 2+ Câu 2(1.5đ): Giải pt: x 4x + + x = Câu 3(3đ): Cho hàm số y=x2 có đồ thị (P) hai điểm A,B thuộc (P) có hoành độ lần lợt -1 a) Viết phơng trình đờng thẳng AB b) Vẽ đồ thị (P) tìm toạ độ điểm M thuộc cung AB đồ thị (P) cho tam giác MAB có diện tích max Câu4(3,5đ): Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) có trực tâm H Phân giác góc A cắt đờng tròn (O) M Kẻ đờng cao Ak tam giác.Chứng minh: a) đờng thẳng OM qu trung điểm N BC b) góc KAM MAO c) AH=2NO Câu (1®): tÝnh tỉng: S= 1.2 +2.3 + 3.4 + +n(n+1) Đề thi học sinh giỏi quận tân phú TP.HCM năm học 2003-2004 Su tầm Ti liu ụn thi toỏn Đề thi toán (thời gian 90 phút) Bài (5,5 ®iĨm) 1) Cho biĨu thøc A = −5 n a) Tìm số nguyên n để biểu thức A phân số b) Tìm số nguyên n để biểu thức A số nguyên 2) Tìm x biÕt: a) x chia hÕt cho 12; x chia hÕt cho 25; x chia hÕt cho 30; ≤ x ≤ 500 b) (3x - 24)73 =2.74 c)|x-5| =16+2(-3) 3) Bạn Đức đánh số trang sách số tự nhiên từ đến 145 Hỏi bạn Đức đà sử dụng chữ số? Trong chữ số đà sử dụng có chữ số 0? Bài ( điểm) Cho đoạn thẳng AB Trên tia đối tia AB lấy điểm M, tia ®èi cđa tia BA lÊy ®iĨm N cho AM = BN So sánh độ dài đoạn thẳng BM AN Bài 3( 2,5 điểm) Cho góc XOY = 1000 Vẽ tia phân giác Oz góc XOY; Vẽ tia Ot n»m gãc XOY cho YOT = 250 1) Chøng tá tia OT n»m gi÷a hai tia OZ OY 2) Tính số đo góc ZOT 3) Chứng tỏ OT tia phân giác góc ZOY Môn toán (thời gian làm 90 phút) Bài ( điểm) a) Tính Su tầm Tài liệu ơn thi tốn 1 2 + − + − 2003 2004 2005 − 2002 2003 2004 5 3 + − + − 2003 2004 2005 2002 2003 2004 b) BiÕt 13+ 23+… +103 = 3025 TÝnh S = 23+43+63+….+203 c) Cho A = x − x + 0,25 xy − x2 + y TÝnh giá trị A biết x = 1/2, y số nguyên âm lớn Bài (1 điểm) Tìm x biÕt : 3x+3x+1+3x+2 = 117 Bµi ( điểm) Một thỏ chạy đờng mà hai phần ba đờng băng qua đồng cỏ đoạn đờng lại qua đầm lầy Thời gian thỏ đồng cỏ nửa thời gian đầm lầy Hỏi vận tốc thỏ chạy đoạn đờng qua đầm lầy hay vận tốc thỏ chạy đoạn đờng qua đồng cỏ lớn lớn lần? Bài 4.( điểm) Cho tam giác nhọn ABC Vẽ phía tam giác ABC tam giác ABD ACE Gọi M giao điểm DC BE Chứng minh rằng: a) ∆ABE = ∆ADC b) Gãc BMC = 1200 Bµi ( ®iĨm) Cho ba ®iĨm B, H, C thẳng hàng, BC = 13 cm, BH = cm, HC = cm Tõ H vÏ tia Hx vu«ng góc với đờng thẳng BC Lấy A thuộc tia Hx cho HA = cm a) Tam gi¸c ABC l tam giác gì? Chứng minh điều b) Trªn tia HC, lÊy HD = HA Tõ D vÏ đờng thẳng song song với AH cắt AC E Chøng minh r»ng AE = AB §Ị thi häc sinh giỏi thĩ xà Hà Đông ( 2003-2004) Toán (120) Bài 1( điểm) Cho đa thức: Su tÇm Tài liệu ơn thi tốn f(x) = 2x - 4x +x -2x +2 g(x) = x5 - 2x4 +x2 - 5x +3 h(x) = x4 +4x3 +3x2 -8x + 16 a)TÝnh M(x) = f(x) -2 g(x) + h(x) b) Tính giá trị M(x) x = 0,25 c) Có giá trị x để M(x) = 0? Bài (4 điểm) a) Tìm số a,b,c biết: 3a=2b,5b=7c, 3a +5c-7b=60 b) Tìm x biết |2x-3|-x=|2-x| Bài (4) Tìm giá trị nguyên m n để biểu thức a)P = m có giá trị lớn b) Q = n n có giá trị nguyên nhỏ Bài 4.(5) Cho tam giác ABC có AB