Đội bĩng bàn của trường A thi đấu với đội bĩng bàn của trường Ư, mỗi đấu thủ của trường này thi đấu với mọi đấu thủ của trường kia 1 trận.. Biết rằng tổng số trận đấu bằng 4 lần tổng
Trang 1ĐÊ THỊ VÀO LỚP 10
TRUONG THPT CHUYEN
LAM SON, THANH HOA
NAM HOC 2007-2008
Thời gian làm bài : 150 phút
Cau 1 (1,5 điểm)
'3xy=2(x+y)
Giải hệ phương trình 4 5yz=6(y+z)
4zx=3(z+x)
Câu 2 (2 điểm) Đội bĩng bàn của trường A
thi đấu với đội bĩng bàn của trường Ư, mỗi
đấu thủ của trường này thi đấu với mọi đấu
thủ của trường kia 1 trận Biết rằng tổng số
trận đấu bằng 4 lần tổng số cầu thủ của cả hai
đội và số cầu thủ của trường B là số le Tìm số
cầu thủ của mơi đội
Câu 3 (3 điểm) Cho hai điểm A và B cố định
trên đường trịn (Ø) € là điểm chính giữa
cung 4B, M là điểm chuyển động trên dây
AB Tia CM cắt đường trịn (Ø) tại điểm thứ
hai la D Chứng minh rằng
L) AC? =CM.CD
2) Tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác AM
thuộc một đường thẳng cố định
3) Goi R, va R, lần lượt là bán kính đường trịn ngoại tiếp các tam giác ADM và BDM
Chứng minh #, + &; là hằng số
Câu 4 (2 điểm) Trên mặt phẳng toạ độ Ĩxy,
cho ba điêm A(0; 3), 8(4; 0), (3:2) cùng với O tao thành tứ giác lồi AOBC Viết phương trình đường thẳng (2) đi qua A và chia
tứ giác ÀOBC thành hai phần cĩ diện tích bằng nhau
Cau 5 (1.5 diém) Chứng minh ràng nếu a, b,
c là các số nguyên khác 0 thoả mãn
oe 4in3 thi tich abc là lập phương của
c a
một số nguyên
PHAM NGOC QUANG (Sé GD - DT Thanh Hoa) gidi thiéu
Trang 2LOI GIAI DE THI VAO LOP 10 TRUONG THPT CHUYEN LAM SON, THANH HOA
Nam hoc 2007 - 2008
(Dé thi dad dang trén THTT s6 371, thang 5 nam 2008)
Câu 1 s Nếu x = O thi x = y =z =0 la mot
nghiém cua hé phuong trinh
e Néu x # O thi khi do y, z khác O, hé phuong
trình đã cho tương đương với
xy 2 x vy 2
v+z 5 1 5 1 1 II
=— <> + —+—=— SUYTa —+—+—=—
yz 6 y z 6 x y =z 6
z+x 4 L1 4
= —_—+— = —
zx 3 zx 3
reds bar, bot 11,
x y 2 2z 3
dan dén x=1, y=2, z=3
Vậy HPT cĩ hai nghiệm (x ; y; z) 1a (0; 0; 0);
(1:2; 3)
Câu 2 Gọi v và y theo thứ tự là số cầu thủ của
doi A va doi B(x, y € N’*, ylẻ Số trận đấu là
4V = 4(v + y) © (v — 4)(y — 4) = 16
Suy ra x — 4 và y — 4 là các ước số của 16 Do
y lẻ nên y — 4 = I1, hay y = 5Š Từ đĩ tìm được
x = 20
Vậy số cầu thủ của đội A 1a 20 va s6 cau thu
cua d6i B la 5
io
(}
1) Ta c6 AACM
> ADCA (Wi
@
ACD chung) ⁄⁄
Suy ra
AC _CM
2) Vẽ đường kính Hình ï
CE Vi CAM =CDA nén AC 1a tiép tuyén tai
A của đường ngoại tiếp AADA/ Do AC L AE,
nên tâm đường trịn ngoại tiếp AA2M nằm
trên đường thăng cố định AE
3) Tương tự phần 2, tâm đường trịn ngoại tiếp
ABDM thuộc đường thẳng 8E Gọi @,, Ĩ, lần
lượt là tâm các đường trịn ngoại tiếp các tam
giac ADM va BDM Ké O,H 1 AB, O,K L AB
Khi đĩ H va K lan luot là trung diém cha AM
va MB Suy ra R, = O,A va R; = OB
Kẻ ĨO,N L CE thì O,N =/1! = AI - AH
= L(AB- AM) = -L BM = KB
VậyAENO, = AO,KB —= R, = O„B = O,E, suy
ra R, + R, = AE (hằng số )
Câu 4 Nối A với Ư8, tir C ké duéng thang song song vGi AB cat truc hoanh tại £ Gọi 7 là trung điểm của OE (h 2) Ta thay S45, = Say
Sean = Sc¿„ nên S„z = S„„c Từ đĩ A7 chính là
đường thẳng (ở) đi qua A và chia tứ giác
AOBC thành hai phần cĩ điện tích bằng nhau
va
Hinh 2
Ta viét phuong trinh duéng thang di qua A, B
Đường thẳng này cĩ dạng: y = đx + Ð, vì nĩ đi
qua A(O ; 3) nên Ð = 3, đi qua Ư8(4 ; O), từ đĩ
3, Đường thẳng đi qua
tính được 4 = "1 c[s ¬ và song song với 1Ư nên phương trình cĩ dạng y = _+z +n Thay toa dé C vao
- 9 ~ + ` J e
ta CĨ 7! = 3" Đường thăng này cat truc Ox tal
E£(6 ; 0) Vay trung diém 7 của @# cĩ tọa độ /(3 ; O) Điều này chứng tỏ 7 nằm giữa O va B
Duong thang (d) di qua A va 7 cĩ phương
trinh la y = —x + 3
Cau 5 Dat xx = —, y = —, 2 = — Từ giả
c a thiét suy ra x° + y'+2°— 3xyz =0
© (t+ y+z)CÈ + yŸ +z” — xyT— yz — zvx) =0
e Nếu vỶ + vỀ + z — xy — yz — zx = O thi
Cc—y)°+(é—z)°+(z—x)°=O«<©x=y=z
—= da =b=c Do đĩ abc = đ` là lập phương của một số nguyên
e Nếu x + y +z =O thì e+ ie + Je = 0
5 c a
Nhân hai vế lần lượt với a@/b2c va bac? ta
được aÄÍabc + ab + Ya2b2e2 =Ova Yabc? +bYabe + be =0
“Trừ theo vế hai hệ thức trên, ta được
(a —b) abe = b(c —a)
Néua=bthia=b=c>x=y = Zz
(khéng thoa man « + y+z=0) Vaya#b -
= 1
b(c—a)
a—
3
Do d6 abc = ( là lập phương số hữu
ti Nhung doa, b, c la cac số nguyên nên khi d6 abc 1a lap phương của số nguyên