TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ ———————o0o——————– TRẦN THỊ TUYẾT KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP VẬT LÍ THỐNG KÊ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết Giảng viên hướng dẫn: TS TRẦN THÁI HOA HÀ NỘI, - 2014 Ket-noi.com Ket-noi.com kho kho tai tai lieu lieu mien mien phi phi LỜI CAM ĐOAN Khóa luận kết thân tơi q trình học tập nghiên cứu sở hướng dẫn TS Trần Thái Hoa Trong nghiên cứu hồn thành khóa luận tơi có kham khảo số tài liệu tham khảo Tôi xin khẳng định kết đề tài: "Phương pháp giải số tập vật lí thống kê" không trùng lặp với kết đề tài khác Hà Nội, tháng 05 năm 2014 Sinh viên Trần Thị Tuyết LỜI CẢM ƠN Trong q trình thực khóa luận, ngồi nỗ lực thân, tơi nhận động viên, hướng dẫn bảo tận tình thầy giáo TS Trần Thái Hoa ý kiến đóng góp q thầy tổ lý thuyết Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến thầy cô khoa Vật lý, thầy, giáo tổ Vật lí lý thuyết, đặc biệt bảo tận tình thầy TS Trần Thái Hoa - giảng viên khoa Vật lý trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp tơi hồn thành khóa luận Do điều kiện thời gian, lực hạn chế nên khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận đóng góp ý kiến thầy bạn để khóa luận tơi hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2014 Sinh viên Trần Thị Tuyết Ket-noi.com Ket-noi.com kho kho tai tai lieu lieu mien mien phi phi MỤC LỤC Mở đầu Lời cam đoan Lời cảm ơn Lời nói đầu Nội dung Chương Vật lí thống kê cổ điển 1.1 Cơ sở lí thuyết 1.1.1 Khơng gian pha 1.1.2 Định lí Liuvin 1.1.3 Công thức phong vũ biểu 1.1.4 Áp dụng hàm phân bố Gipxơ cho hệ khí lí tưởng 1.1.5 Dạng định lí trung bình động định lí Virian 1.2 Dạng tập 1.2.1 Không gian pha 1.2.1.1 Phương pháp chung 1.2.1.2 Bài tập 1.2.2 Định lí Liuvin 1.2.1.1 Phương pháp chung 1.2.1.2 Bài tập Trang 4 10 11 11 11 12 14 14 14 1.2.3 Công thức phong vũ biểu 1.2.3.1 Phương pháp chung 1.2.3.2 Bài tập 1.2.4 Áp dụng hàm phân bố Gipxơ cho hệ khí lí tưởng 1.2.4.1 Phương pháp chung 1.2.4.2 Bài tập 1.2.5 Dạng định lí trung bình động định lí Virian 1.2.5.1 Phương pháp chung 1.2.5.2 Bài tập Chương Dạng tập thống kê lượng tử 2.1 Cơ sở lý thuyết 2.1.1 Hệ lượng tử tính chất chúng 2.1.1.1 Hệ lượng tử 2.1.1.2 Tính chất Trang 18 18 18 23 23 23 28 28 29 32 32 32 32 2.1.2 Áp dụng phương pháp thống kê vào hệ lượng tử 2.1.2.1 Cách mô tả hệ lượng tử 33 33 2.1.2.2 Áp dụng phương pháp thống kê vào hệ lượng tử 2.1.3 Các công thức cần nhớ 35 36 Ket-noi.com Ket-noi.com kho kho tai tai lieu lieu mien mien phi phi Trang 2.1.3.1 Phân bố tắc lượng tử 36 2.1.1.2 Hàm phân bố tắc lớn lượng tử 38 2.2 Dạng tập 41 Chương Tích phân trạng thái ứng dụng 3.1 Cơ sở lí thuyết 45 3.1.1 Biểu thức hàm nhiệt động theo tích phân trạng thái 45 3.1.2 Dao động tử lượng tử 46 3.1.3 Rôtato 47 3.2 Bài tập 49 Kết luận Kết luận 54 Tài liệu tham khảo 55 LỜI NĨI ĐẦU Lí chọn đề tài Vật lí thống kê học phần Vật lí lý thuyết học bậc Đại học Phương pháp vật lí thống kê áp dụng rộng rãi lĩnh lực khác vật lí đại đặc biệt vật lí chất rắn, vật lí hạt bản, quang lượng tử, vật lí học hạt ngưng tụ vật lí vật liệu siêu dẫn, vật liệu bán dẫn.Vì vậy, để hiểu sâu nắm sở lí thuyết Vật lí thống kê ý nghĩa đại lượng vật lí có nhiều phương pháp khác phương pháp chung từ sở lí thuyết ta vận dụng giải hệ thống tập Tuy nhiên, số lượng tập sách giáo trình sách tập nhiều Điều gây khó khăn cho sinh viên việc học Vì cần phân loại xếp tập theo hệ thống để sinh viên nghiên cứu cách hệ thống, xác sâu sắc Vì vậy, đề tài “ Phương pháp giải số tập Vật lí thống kê” cần thiết, mong luận văn tài liệu tham khảo giúp đỡ phần bạn sinh viên học phần Vật lí thống kê Hay làm sở để bạn sinh viên có nhu cầu học bậc học cao ơn tập cách dễ dàng Mục đích nghiên cứu Phân loại số dạng tập vật lí thống kê để giúp bạn sinh viên dễ dàng việc học, nghiên cứu để có nhìn tổng qt số dạng tập mơn vật lí thống kê Đối tượng nghiên cứu Vật lí thống kê mơn học thuộc Vật lí lý thuyết nhằm nghiên cứu hệ vật lí vĩ mơ Vật lí thống kê mơn khoa học có đối tượng nghiên cứu hệ bao gồm số lớn hạt nguyên tử, iôn hạt khác mà người ta gọi hệ vi mô hay hệ nhiều hạt Phạm vi nghiên cứu Vật lí thống kê nghiên cứu mối liên hệ đặc tính vĩ mô Ket-noi.com Ket-noi.com kho kho tai tai lieu lieu mien mien phi phi hệ mà ta khảo sát với đặc tính quy luật chuyển động hạt vi mô cấu trúc thành hệ Nhiệm vụ nghiên cứu Phân loại phương hướng chung để giải số dạng tập vật lí thống kê Phương pháp nghiên cứu Do đối tượng nghiên cứu vật lí thống kê hệ nhiều hạt mà hệ nhiều hạt xuất quy luật gọi quy luật thống kê Do đó, phương pháp nghiên cứu vật lí thống kê phương pháp thống kê dựa lý thuyết xác suất Đối với hệ hạt hệ nhiều hạt tuân theo quy luật khác quy luật động lực quy luật thống kê Quy luật tính động lực: Là quy luật dựa vào giá trị cho cách xác đại lượng đặc trưng cho trình hay tượng, ta tính giá trị đại lượng khác nhờ vào việc giải phương trình Hamiltonion quy luật có giá trị hệ hạt Quy luật tính thống kê: Là quy luật khách quan hệ nhiều hạt, tính cách hệ nhiều hạt thời điểm xét hồn tồn khơng phụ thuộc vào trạng thái lúc trước (ban đầu) Hai quy luật độc lập với phụ thuộc qua lại lẫn nhiệt động lực học vật lí thống kê có mối liên hệ với Trong trường hợp hệ vĩ mô nằm trạng thái cân định luật mà ta thu vật lí thống kê với đại lượng trung bình trùng với định luật nhiệt động lực học Cấu trúc khóa luận Phần 1: Mở đầu Phần 2: Nội dung Phần 3: Kết luận Phần 4: Tài liệu tham khảo Phần 5: Phụ lục mục lục CHƯƠNG VẬT LÍ THỐNG KÊ CỔ ĐIỂN 1.1 Cơ sở lí thuyết 1.1.1 Khơng gian pha Khơng gian pha không gian quy ước nhiều chiều, tọa độ khơng gian pha thơng số độc lập xác định trạng thái vi mô hệ (tọa độ, xung lượng tất hạt hệ) Có hai khơng gian pha: + Khơng gian µ: Đối với hạt có bậc tự ⇒ có chiều + Khơng gian K: Đối với n hạt hạt có f bậc tự ⇒ 2nf chiều Các yếu tố không gian pha: + Điểm pha: điểm khơng gian pha có 2nf tọa độ biểu diễn trạng thái vi mô hệ xét + Quỹ đạo pha: Khi trạng thái hệ biến đổi điểm pha “chuyển động” vạch đường cong gọi quỹ đạo pha, điểm quỹ đạo tương ứng với trạng thái tức thời xác định hệ Quỹ đạo hệ không cắt không gian pha + Mặt lượng (siêu diện lượng) hệ đơn E = const E thơng số vĩ mơ ⇒ phương trình Ket-noi.com Ket-noi.com kho kho tai tai lieu lieu mien mien phi phi lượng là: E = E(q1, q2 , , p1 , p2 , ) = const + Thể tích pha: dx = dq1 dq2 dp1 dp2 1.1.2 Định lí Liuvin + Tại thời điểm t1 : dx1 có dn = ρ1 dx1 + Tại thời điểm t2 : dx2 có dn = ρ1 dx2 (1) ⇒ ρ1 dx1 = ρ2 dx2 Từ (1) ⇒ hình thức coi dịch chuyển điểm pha chuyển động chất lỏng + Đối với chất lỏng ta có: → − ∂ρ + div J = ∂t (2) ρ: mật độ chất lỏng ρ = ρ(x, t) → − → J = ρ− v : vectơ mật độ dòng − → v : vận tốc chuyển động chất lỏng + Tương tự - Vận tốc pha vận tốc điểm biểu diễn pha - Các thành phần vận tốc pha là: q1 , q2 , , q1N , p1 , p2 , , p1N - Mật độ biểu diễn pha: ρ = ρ(qk , pk , t) Đối với vận tốc pha ta có: ∂ρ + ∂t fN k=1 ∂(ρq k ) ∂(ρpk ) + ∂qk ∂pk =0 Đặt B = exp {α} = exp − nε = µ kT ε B exp kT g (ε) ±1 2πV (2m)3/2 1/2 g dn = ε ε h3 B exp kT 2πV (2m)3/2 1/2 g dn = ε ε h B exp kT ∞ N= 2πV (2m) 3/2 dn = g h3 Đặt x = ∞ dε ±1 dε ±1 ε1/2 ε B exp kT ±1 ε , ta có: kT ∞ (2πmkT )3/2 N= Vg h3 xdx (2πmkT )3/2 = gF (B) B exp x ± h3 Tính tương tự ta có: ∞ E= G (B) εdn = N kT F (B) Bài Chứng minh chất khí tuân theo phân bố Bose – Einstein, hóa học ln âm nghịch biến với nhiệt độ Giải • Gọi hóa học chất khí tuân theo phân bố Bose – Einstein µ Đầu tiên CMR µ ≤ Áp dụng thống kê Bose – Einstein để tìm số hạt trung bình có 41 Ket-noi.com Ket-noi.com kho kho tai tai lieu lieu mien mien phi phi lượng từ ε → ε + dε: dσ(ε) µ≤0 ε−µ −1 exp kT √ (2m)3/2 V g εdε Trong dσ (ε) = số mức lượng 2π h3 khoảng ε → ε + dε Vì dN (ε, µ) = dσ(ε) dN (ε, µ) = ε−µ exp kT −1 (2m)3/2 V g = 2π h3 √ exp εdε ε−µ kT với ∀ε Mà muốn vậy, với ∀ε Số hạt tồn phần: (2m) V g N (ε, µ) = 2π h3 • Tiếp theo đạo hàm hàm ẩn: √ ∞ 3/2 ∞ exp εdε ε−µ kT √ −1 εdε ε−µ ∂N −1 exp ∂µ kT ∂T =− = − ∞ √ ∂N ∂T ∂ εdε ∂µ ε−µ ∂µ −1 exp kT ε−µ √ ε exp ∞ε − µ kT dε ε−µ kT exp −1 kT 0 −1 với ∀ε 43 Ket-noi.com Ket-noi.com kho kho tai tai lieu lieu mien mien phi phi 44 CHƯƠNG TÍCH PHÂN TRẠNG THÁI VÀ ỨNG DỤNG 3.1 Cơ sơ lí thuyết 3.1.1 Biểu thức hàm nhiệt động theo tích phân trạng thái Năng lượng tự ψ hệ với tích phân trạng thái: ψ = −kT ln Z ∂ψ ∂V Áp suất p: p = − = kT T ∂ ln Z ∂V T Nội U: ∂ψ ∂T ∂ ln Z ∂T U = ψ−T = kT V = −kT ln Z + k (ln Z) T + kT ∂ ln Z ∂T T V V Tích phân trạng thái viết dạng: H e θ dX = N! Z0 = N! (X) =   N! ∞ −∞ exp − θ − exp − (X) θ p2k + Uk (xk , yk , zk ) 2m = ZkN 45 N! k p2k + Uk 2m dX N dpkx dpky dpkz dxk dyk dzk  Ket-noi.com Ket-noi.com kho kho tai tai lieu lieu mien mien phi phi Zk tích phân trạng thái hạt ∞ ∞ ∞ p2ky p2kz p2kx exp − exp − dpxk dpxy dpxz exp − Zk = 2mθ 2mθ 2mθ −∞ −∞ −∞ √ p2 Mà exp − dp = 2πmθ 2mθ −∞ ∞ ∞ Và −∞ exp − Khi đó: Zk = U (x, y, z) dxdydz = V dxdydz = θ (V ) √ 2πmθ V Do tích phân trạng thái toàn hệ là: √ 3N VN 2πmθ Z0 = N! 3.1.2 Dao động tử lượng tử - Dao động tử nằm trạng thái: En = hν n + - Năng lượng dao động tử điều hòa lấy trị số gián đoạn xác định - Hiệu mức lượng số: ∆E = hν hν tương ứng với gọi dao động “không” mà ta trừ bỏ Nói khác có xuất lượng “khơng” nên dao động tử học lượng tử trạng thái nghỉ - Mức “không” lượng E = - Tổng thống kê dao động tử hệ: - Tổng trạng thái dao động tử là: Zdd ∞ En = exp − kT n=0 hν = exp − 2kT 46 ∞ n=0 exp − hν n kT (1) Vế phải đẳng thức (1) có chứa cấp số nhân vô hạn giảm dần nên: hν exp − 2kT Z= hν − exp − kT - Năng lượng trung bình dao động tử là: ∞ En kT E = n=0∞ En exp − kT n=0 En exp − E= −∂Z ∂ ln Z kT ∂Z ∂(1/kT ) = = = kT Z Z ∂T ∂T hν + exp hν hν kT −1 Ở nhiệt độ thấp T → lượng trung bình dần tới hν hν ; nhiệt độ cao T ≫ Td = lượng trung bình k dao động tử có “trị số cổ điển” kT - Nhiệt dung CV ứng với dao động tử xác định theo cơng thức: ∂E CV = ∂T V 3.1.3 Rôtato - Rôtato chất điểm quay theo đường tròn - Năng lượng quay chất điểm: mv mr2 ω Iω M2 Eq = = = = 2 2I M2 = h2 l (l + 1) 4π 47 Ket-noi.com Ket-noi.com kho kho tai tai lieu lieu mien mien phi phi Trong l số lượng tử quỹ đạo có trị số số ngun 0, 1, 2, - Năng lượng rôtato: h2 l (l + 1) El = 8π I Như học lượng tử, rôtato nằm trạng thái có lượng xác định - Khoảng cách mức lượng rôtato tăng lên số l tăng lên: h2 ∆Fl,l−1 = l 4π I - Một trạng thái rơrato bị suy biến (2l+1) lần, tổng trạng thái: Zq = ∞ l=0 El (2l + 1) exp − kT = ∞ l=0 h2 l(l + 1) (2l + 1) exp − 8π IkT Với nhiệt độ thấp với mơmen qn tính I nhỏ, tổng thu hai số hạng: h2 +1 lim zq = exp − 4π IkT T →0 h2 phân bố lượng 8π Ik theo mức liên tục theo trị số l Khi đó: Với nhiệt độ cao T ≫ Td = h2 l (l + 1) dl IkT 8π ∞ Td (2l + 1) exp − l (l + 1) dl = T Zq = ∞ (2l + 1) exp − T = Td ∞ T 8π IkT exp {−x}dx = = Td h2 - Năng lượng trung bình: E = kT 48 ∂ ln Zq ∂T 3.2 Bài tập Bài Hãy xác định tổng thống kê, entropi, lượng tự do, lượng trung bình, nhiệt dung riêng của: a Hệ N dao động tử điều hòa chiều độc lập b Hệ N dao động tử điều hòa hai chiều độc lập có mức lượng εn = hν (n + 1) suy biến (n + 1) chiều Giải - Tính tổng thống kê Dao động tử nằm mức lượng: E = hν n + (n=0,1,2, ) Tổng trạng thái dao động tử là: Zdd = ∞ n=0 hν = exp − 2kT exp − ∞ n=0 En kT exp − hν n kT (do g = 1) Ta có: ∞ n=0 exp − q = exp − hν kT hν n kT cấp số nhân lùi vô hạn, công bội số hạng a1 = Nên: Zdd = exp − hν 2kT 1 − exp − 49 hν 2kT = hν − exp − kT exp − hν kT Ket-noi.com Ket-noi.com kho kho tai tai lieu lieu mien mien phi phi Tổng trạng thái hệ là: Z = (Zdd )N = exp − hν N 2kT N hν − exp − kT Tính lượng trung bình: −∂Z ∂ 1/kT = Z ∞ En En exp − kT E = n=0∞ En exp − kT n=0   hν =N 2 + exp ∂ (ln Z) k T ∂Z = = k T2 Z ∂T ∂T  hν hν kT −1 Tính nhiệt dung riêng: ∂E ∂T Cv = hν kT hν −1 kT    exp = Nk v exp hν kT hν −1 kT exp = Nk exp hν kT 2 Tính lượng tự hệ: ψ = −θ ln Z = −kT ln Z = N kT ln − exp − hν kT +N hν Tính entropi S= − ∂ψ ∂T   hν = Nk   kT exp hν kT 50 − ln − exp − hν kT     - Hệ gồm N dao động tử điều hòa: εn = hν (n + 1) g (ε) = n + Tính tổng thống kê Zdd = ∞ hν (n + 1) kT (n + 1) exp n=0 Đặt: β = hν kT Ta có: Zdd = ∞ n=0 Vậy: (n + 1) exp {−β (n + 1)} = − ∂ eβ =− = ∂β eβ − (eβ − 1)2 ∂ ∂β ∞ n=0 exp {−β (n + 1)} N hν   exp kT  Z=   hν −1 exp kT  Tính lượng trung bình: E = k T2   ∂ (ln Z) =N hν + ∂T Tính nhiệt dung riêng: Cv = ∂E ∂T v = −2kN hν kT   2hν   hν −1 exp kT hν kT hν −1 kT exp exp Tính lượng tự hệ: ψ = −kT ln Z = N hν + 2N kT ln − exp − 51 hν kT Ket-noi.com Ket-noi.com kho kho tai tai lieu lieu mien mien phi phi Tính entropi S = − ∂ψ ∂T v =−  hν = −2kT  k T ∂ hν N hν + 2N kT ln − exp − ∂T kT  exp hν kT −1   + ln − exp − hν  kT Bài Hãy tìm lượng tự do, tổng thống kê, nội năng, entropi hệ rôtato lượng tử Xét trường hợp giới hạn nhiệt độ thấp nhiệt độ cao h2 T >> Td = π kI Giải Năng lượng ứng với trạng thái l rôtato là: h2 l (l + 1) El = π2 I Bởi trạng thái lượng El rơtato tương ứng với (2l + 1) hàm sóng nên: Zq = ∞ l=0 El (2l + 1) exp − kT = ∞ l=0 h2 l (l + 1) (2l + 1) exp − 8π kT I Đối với nhiệt độ thấp mơmen qn tính nhỏ, tổng thu hai số hạng h2 lim Zq = exp − T →0 4π kT I +1 Đối với nhiệt độ cao, mức lượng coi liên tục Do vậy, ta thay tổng tích phân: 52 h2 l (l + 1) dl kT I 8π ∞ Td (2l + 1) exp − l (l + 1) dl = T ∞ T Td Td = exp − l (l + 1) d l (l + 1) T T Td Zq = Đặt x = ∞ (2l + 1) exp − Td l (l + 1) T Td Zq = T ∞ Td 8π kT I exp (−x)dx = = T h2 Tính lượng tự do: 8π kT I ψ = −N kT ln Zq = −N kT ln h2 Tính entrơpi: S=− 8π kT I ∂ψ ∂ N kT ln = ∂T ∂T h2 53 = N k − ln h2 8π kT I Ket-noi.com Ket-noi.com kho kho tai tai lieu lieu mien mien phi phi KẾT LUẬN Trong trình làm khóa luận em thu số kết sau: nêu lên sở lí thuyết từ phân loại số dạng tập vật lí thống kê, giúp sinh viên có nhìn tổng quát, rèn luyện kĩ năng, kĩ xảo trình luyện tập giải tập, nắm vững cơng cụ tốn hiểu sâu ý nghĩa vật lí lí thuyết giáo trình Qua đó, phát huy tính tích cực sinh viên q trình tìm tòi nghiên cứu khoa học Tuy nhiên số lượng tập chưa nhiều phương pháp giải chưa tối ưu ngắn gọn, thiếu sót chưa thật đầy đủ Song đề tài mở hướng phát triển việc nghiên cứu tập vật lí thống kê Trong q trình hồn thành khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót, em mong q thầy bạn sinh viên đóng góp ý kiến giúp em hồn thành luận văn hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn! 54 TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Quang Báu, Bùi Bằng Đoan, Nguyễn Văn Hùng, 1998, Vật lí thống kê, Nhà xuất ĐHQG Hà Nội Vũ Thanh Khiết, 1996, Giáo trình Nhiệt động lực học vật lí thống kê, Nhà xuất ĐHQG Hà Nội Vũ Thanh Khiết, 1998, Vật lí thống kê, Nhà xuất ĐHQG Hà Nội Nguyễn Hữu Mình, Giáo trình nhiệt động lực học, Nhà xuất ĐHQG Hà Nội Phạm Quý Tư, Giáo trình nhiệt động lực học, Nhà xuất ĐHQG Hà Nội 55 ... phương hướng chung để giải số dạng tập vật lí thống kê Phương pháp nghiên cứu Do đối tượng nghiên cứu vật lí thống kê hệ nhiều hạt mà hệ nhiều hạt xuất quy luật gọi quy luật thống kê Do đó, phương. .. tài Vật lí thống kê học phần Vật lí lý thuyết học bậc Đại học Phương pháp vật lí thống kê áp dụng rộng rãi lĩnh lực khác vật lí đại đặc biệt vật lí chất rắn, vật lí hạt bản, quang lượng tử, vật. .. xác sâu sắc Vì vậy, đề tài “ Phương pháp giải số tập Vật lí thống kê cần thiết, mong luận văn tài liệu tham khảo giúp đỡ phần bạn sinh viên học phần Vật lí thống kê Hay làm sở để bạn sinh viên