Header Page of 128 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI TRẦN THỊ THU HIỀN MA TRẬN DƯƠNG VÀ ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH DƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Hà Nội - 2018 Footer Page of 128 Header Page of 128 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI TRẦN THỊ THU HIỀN MA TRẬN DƯƠNG VÀ ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH DƯƠNG Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS HOÀNG NGỌC TUẤN Hà Nội - 2018 Footer Page of 128 Header Page of 128 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, hướng dẫn TS Hoàng Ngọc Tuấn Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy, người tận tình hướng dẫn giúp đỡ em suốt q trình nghiên cứu để em hồn thành luận văn Em bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới quý thầy, cô giáo trường Đại học Sư phạm Hà Nội giảng dạy giúp đỡ em hồn thành khóa học Nhân dịp em xin chân thành cảm ơn gia đình bạn bè động viên, giúp đỡ tạo điều kiện cho em mặt suốt trình học tập thực luận văn Mặc dù cố gắng, song luận văn không tránh khỏi thiếu sót Em mong ý kiến đóng góp từ Thầy, Cơ giáo bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Hà Nội, ngày 30 tháng 06 năm 2018 Trần Thị Thu Hiền Footer Page of 128 Header Page of 128 LỜI CAM ĐOAN Tác giả cam đoan Luận văn cơng trình nghiên cứu riêng tác giả hướng dẫn trực tiếp TS Hoàng Ngọc Tuấn Luận văn không trùng lặp với đề tài khác Trong trình nghiên cứu tác giả kế thừa thành khoa học nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng năm 2018 Tác giả Trần Thị Thu Hiền Footer Page of 128 Header Page of 128 Mục lục LỜI CẢM ƠN LỜI CAM ĐOAN LỜI MỞ ĐẦU MA TRẬN DƯƠNG 1.1 Các đặc trưng 1.2 Một số định lý 1.3 Ma trận khối 14 1.4 Chuẩn tích Schur 19 1.5 Tính lồi tính đơn điệu 21 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH DƯƠNG 26 2.1 Sự biểu diễn 26 2.2 Ánh xạ tuyến tính dương 28 2.3 Một số tính chất ánh xạ tuyến tính dương 30 2.4 Một số ứng dụng 2.5 Ánh xạ dương hệ toán tử 38 35 KẾT LUẬN 43 Tài liệu tham khảo 44 Footer Page of 128 Header Page of 128 LỜI MỞ ĐẦU Trong toán học, đặc biệt lĩnh vực đại số tuyến tính ứng dụng, giải tích ma trận nghiên cứu ma trận tính chất đại số chúng Một số chủ đề bật kể đến, phép tốn ma trận, hàm ma trận giá trị riêng ma trận Giải tích ma trận sử dụng hầu hết lĩnh vực khoa học, từ phương trình vi phân, xác suất thống kê, tối ưu, kinh tế lượng tới lĩnh vực ứng dụng đại khai thác liệu nhận dạng mẫu Trong giải tích ma trận, lý thuyết ma trận dương ánh xạ tuyến tính dương có nội dung phong phú Các định lý lý thuyết không phức tạp chứng minh song có ứng dụng mạnh lý thuyết đa thức, lý thuyết ổn định, toán kinh tế tối ưu, Việc nghiên cứu tìm hiểu ma trận dương ánh xạ tuyến tính dương giúp ta giải nhiều toán thực tế Hiện nay, lĩnh vực thu hút quan tâm nhiều nhà tốn học giới Với mong muốn tìm hiểu sâu ma trận dương ánh xạ tuyến tính dương, hướng dẫn TS Hồng Ngọc Tuấn, chọn đề tài “Ma trận dương ánh xạ tuyến tính dương ” để thực luận văn Mục đích luận văn hệ thống hóa tính chất, kết nghiên cứu ma trận dương ánh xạ tuyến tính dương Với nội dung nghiên cứu này, ngồi phần lời mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn chia thành hai chương: Chương Ma trận dương Trong chương này, ta nghiên cứu ma trận dương Cụ thể, trước tiên luận văn trình bày đặc trưng Footer Page of 128 Header Page LỜI of 128 MỞ ĐẦU ma trận dương Tiếp đó, ta nghiên cứu số định lý |A| A∗ ma trận khối Từ đây, với ma trận A, ma trận dương A |A∗ | Ngoài ra, luận văn quan tâm đến Định lý Schur Cuối chương, ta đến với định lý tính lồi tính đơn điệu hàm f (A) = Ar Chương Ánh xạ tuyến tính dương Ta nghiên cứu ánh xạ tuyến tính không gian ma trận Trước tiên, luận văn trình bày biểu diễn Mn Mk khái niệm ánh xạ tuyến tính dương unita Tiếp đó, ta nghiên cứu số tính chất ánh xạ dương unita thông qua Định lý Choi, Định lý Russo-Dye Từ đây, ta thu Φ = Φ(I) , xem kết chương Sau cùng, số ứng dụng vài định lý ánh xạ dương hệ toán tử quan tâm Footer Page of 128 Header Page of 128 Chương MA TRẬN DƯƠNG Trong chương này, ta nghiên cứu ma trận dương Cụ thể, trước tiên luận văn trình bày đặc trưng ma trận dương Tiếp đó, ta nghiên cứu số định lý ma trận khối Từ đây, với |A| A∗ ma trận A, ma trận dương Ngoài ra, luận văn A |A∗ | quan tâm đến Định lý Schur Cuối chương, ta đến với định lý tính lồi tính đơn điệu hàm f (A) = Ar Tài liệu tham khảo cho chương [1], [2], [7] [8] 1.1 Các đặc trưng Cho H khơng gian Hilbert n chiều Cn Tích hai véc-tơ x y viết x, y (hay x∗ y ) Ta quy ước tích tuyến tính liên hợp theo biến thứ tuyến tính theo biến thứ hai Đồng thời ta ký hiệu: L(H) không gian tất tốn tử tuyến tính H Mn (C) (hay viết gọn Mn ) không gian ma trận cỡ n × n với phần tử phức Mỗi phần tử A L(H) đồng với ma trận sở chuẩn tắc {ej } Cn Ta sử dụng ký hiệu A cho ma trận Trước đến đặc trưng ma trận dương, ta bắt đầu với định nghĩa sau đây: Footer Page of 128 Header Page Chương of 128.1 MA TRẬN DƯƠNG Định nghĩa 1.1.1 Giả sử A ma trận Khi đó, A gọi nửa xác định dương (positive semi-definite) (1) x, Ax ≥ 0, ∀x ∈ H; (1.1) A gọi xác định dương (positive definite) (2) x, Ax > 0, ∀x = (1.2) Nhận xét 1.1.2 Một ma trận nửa xác định dương xác định dương khả nghịch Sau đây, ma trận xác định dương nửa xác định dương, gọn, ta dùng thuật ngữ ma trận dương (positive matrix ) Còn muốn nhấn mạnh rằng, ma trận ma trận xác định dương, đơi khi, ta nói ma trận dương chặt (strictly positive matrix ) Ta ký hiệu A ≥ O để A ma trận dương A > O để ma trận dương chặt Cho A tốn tử khơng gian Hilbert H, toán tử liên hợp A toán tử A∗ : H −→ H cho x, Ay = A∗ x, y với x, y ∈ H Mệnh đề sau nói đến đặc trưng ma trận dương ma trận dương chặt Mệnh đề 1.1.3 Cho A ma trận Khi đó, A dương Hermitian (A = A∗ ) tất (a) giá trị riêng khơng âm; A dương chặt tất giá trị riêng dương A dương Hermitian tất định thức (b) khơng âm; A dương chặt tất định thức dương A dương A = B ∗ B với ma trận B đó; A (c) dương chặt B không suy biến (non-singular) Footer Page of 128 Header Page Chương 10 of 128 MA TRẬN DƯƠNG (d) A dương A = T ∗ T với ma trận tam giác T Hơn nữa, T chọn để có phần tử đường chéo không âm Nếu A ma trận dương chặt, T (Khai triển Cholesky A); A dương chặt B không suy biến (e) A dương A = B với ma trận dương B Như thế, B Ta viết B = A1/2 gọi bậc hai (dương) A; A dương chặt B (f) A dương tồn x1 , , xn H cho aij = xi , xj ; (1.3) A dương chặt véc-tơ xj (1 ≤ j ≤ n) độc lập tuyến tính Trong mệnh đề ta chứng minh ý thứ đặc trưng (f) Chứng minh (f) Trước hết, ta xem phần tử Cn véc-tơ cột Giả sử x1 , , xm véc-tơ thế, ta viết [x1 , , xm ] để ma trận cỡ n × m mà cột x1 , , xm Liên hợp ma trận viết sau   x∗1       x∗m Đó ma trận cỡ m × n mà dòng véc-tơ (dòng) x∗1 , , x∗m Ta ký hiệu [[aij ]] để ma trận với số i, j có phần tử aij Tiếp theo, giả sử x1 , , xn phần tử Cn Khi đó, ta có   x∗1 .  [[x∗i xj ]] =    [x1 , , xn ] x∗n Từ đây, có dạng B ∗ B nên ma trận dương Điều chứng tỏ rằng, (1.3) điều kiện đủ A ma trận dương Footer Page 10 of 128 ... Tuấn, tơi chọn đề tài Ma trận dương ánh xạ tuyến tính dương ” để thực luận văn Mục đích luận văn hệ thống hóa tính chất, kết nghiên cứu ma trận dương ánh xạ tuyến tính dương Với nội dung nghiên... hiểu ma trận dương ánh xạ tuyến tính dương giúp ta giải nhiều toán thực tế Hiện nay, lĩnh vực thu hút quan tâm nhiều nhà toán học giới Với mong muốn tìm hiểu sâu ma trận dương ánh xạ tuyến tính dương, ... tuyến tính dương Ta nghiên cứu ánh xạ tuyến tính khơng gian ma trận Trước tiên, luận văn trình bày biểu diễn Mn Mk khái niệm ánh xạ tuyến tính dương unita Tiếp đó, ta nghiên cứu số tính chất ánh xạ