BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————–o0o——————– HOÀNG MINH QUÂN PHƯƠNG PHÁP TỐI ƯU TỒN CỤC GIẢI BÀI TỐN MALFATTI SUY RỘNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————–o0o——————– HOÀNG MINH QUÂN PHƯƠNG PHÁP TỐI ƯU TỒN CỤC GIẢI BÀI TỐN MALFATTI SUY RỘNG Chun ngành: Tốn Giải Tích Mã số: 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Tạ Duy Phượng HÀ NỘI, 2018 Mục lục Mở đầu Chương Tổng quan toán Malfatti 10 1.1 Lịch sử phát triển toán Malfatti 10 1.2 Cách dựng đường tròn giải tốn Malfatti 14 1.2.1 Cách dựng Malfatti năm 1803 14 1.2.2 Cách dựng Steiner năm 1826 15 1.2.3 Cách dựng Lob – Richmond 17 1.2.4 Lời giải V A Zalgaller G A Los’ (1994) 18 1.2.5 Phương pháp tối ưu tồn cục giải tốn Malfatti 19 Chương Phương pháp tối ưu tồn cục giải tốn Malfatti suy rộng 24 2.1 Điều kiện tối ưu Strekalovsky 24 2.1.1 Giới thiệu 24 2.1.2 Cực biên tập bao hàm 27 2.1.3 Cực đại hóa lồi tập chấp nhận 32 2.1.4 Cực tiểu phần bù tập lồi 35 2.2 Thuật tốn tìm cực đại hàm lồi tập đơn giản 42 2.2.1 Xây dựng điều kiện cho b tốn tối ưu 42 2.2.2 Sự hội tụ thuật toán 45 2.3 Sử dụng thuật toán MAX giải toán Malfatti với bốn hình tròn 50 2.3.1 Bài toán Malfatti cực đại hóa tập lồi 50 2.3.2 Tối ưu tồn cục thuật tốn cho tốn Malfatti 53 2.3.3 Các kết 55 2.4 Phương pháp tối ưu tồn cục giải tốn Malfatti suy rộng 64 2.4.1 Phương pháp tối ưu toàn cục thuật toán 66 2.4.2 Một số kết 68 Kết luận 71 Mở đầu Lí chọn đề tài Vào năm 1803, nhà toán học Ý Malfatti (1731 − 1807) phát biểu toán (sau gọi toán đá hoa cương Malfatti - Malfatti’s marble Problem) sau: Cho hình lăng trụ đứng tam giác làm từ loại chất liệu, dụ khối đá hoa cương Hãy cắt từ khối đá ba hình trụ khơng chồng lên có chiều cao chiều cao hình trụ có tổng thể tích lớn Gianfrancesco Malfatti Bài tốn dẫn đến tốn hình học mặt phẳng: Hãy cắt từ tam giác cho ba hình tròn có tổng diện tích lớn Malfatti nhiều người khác cho rằng, ba hình tròn phải tiếp xúc đơi hình tròn phải tiếp xúc với hai cạnh tam giác Các hình tròn thỏa mãn tính chất sau gọi hình tròn Malfatti Vào năm 1930, Lob Richmond [6] rằng, hình tròn nội tiếp tam giác với hai hình tròn nhỏ lại có tổng diện tích lớn tổng diện tích hình tròn Malfatti Như vậy, hình tròn Malfatti khơng phải nghiệm tốn Malfatti Lưu ý rằng, thí dụ này, điều kiện “hai đường tròn tiếp xúc đơi một” khơng thỏa mãn Từ đến có nhiều lời giải khác dùng cơng cụ hình học, đại số lượng giác để giải toán Malfatti Bài toán Malfatti coi toán tốn xếp hình tròn (circle packing problems), có nhiều ứng dụng thực tế Bài tốn Malfatti có nhiều mở rộng Hai mở rộng trực tiếp thay ba đường tròn số đường tròn hay thay tam giác tứ diện Gần đây, Rensen Enkbat [1] phát biểu toán Malfatti dạng tốn tìm cực tiểu hàm lõm (hay cực đại hàm lồi) sử dụng cơng cụ tối ưu tồn cục (điều kiện tối ưu tồn cục cho tốn cực đại hàm lồi, phát biểu Strekalovsky, xem [7]) để xây dựng thuật toán hội tụ giải toán Malfatti Sau đó, Rensen Enkbat M Barkova [2] phát triển phương pháp cho toán Malfatti suy rộng: Xếp bốn hình tròn tam giác cho cho tổng diện tích chúng lớn Bài tốn Malfatti suy rộng với công cụ giải đại (tối ưu tồn cục) vừa có ý nghĩa lý thuyết thực tế, vừa có ý nghĩa khoa học thời Đó lí mà tơi chọn đề tài Phương pháp tối ưu tồn cục giải tốn Malfatti suy rộng làm đề tài luận văn cao học Mục đích nghiên cứu 1) Trình bày tổng quan tốn Malfatti 2) Trình bày lời giải tốn Malfatti suy rộng nhờ cơng cụ tối ưu tồn cục Nhiệm vụ nghiên cứu 1) Đọc tổng hợp tài liệu toán Malfatti 2) Viết luận văn tổng quan lời giải toán Malfatti suy rộng Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu “Phương pháp tối ưu toàn cục giải toán Malfatti suy rộng" Phương pháp nghiên cứu 1) Thu thập tài liệu liên quan tới tốn Malfatti 2) Phân tích, tổng hợp hệ thống kiến thức liên quan tới đề tài viết luận văn trình bày phương pháp giải tốn Malfatti suy rộng Dự kiến đóng góp Cố gắng xây dựng luận văn tổng quan toán Malfatti suy rộng trình bày phương pháp tối ưu tồn cục giải toán Malfatti suy rộng Nội dung luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo Luận văn gồm hai chương: Chương 1: Tổng quan tốn Malfatti Trong chương này, tơi trình bày lịch sử phát triển toán Malfatti số cách dựng đường tròn tốn Malfatti Chương 2: Phương pháp tối ưu tồn cục giải tốn Malfatti suy rộng Trong chương này, tơi trình bày điều kiện tối ưu tồn cục Strekalovsky cho toán cực đại hàm lồi việc đưa toán Malfatti suy rộng toán cực đại hàm lồi tập lõm LỜI CẢM ƠN Với lòng trân trọng biết ơn sâu sắc, tơi xin chân thành cảm ơn PGS.TS Tạ Duy Phượng, người thầy tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tơi suốt q trình thực luận văn Tơi xin bày tỏ lời cảm ơn tới thầy cô giáo khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ tơi suốt q trình học tập hồn thành luận văn Tôi xin cảm ơn giúp đỡ ban giám hiệu, thầy cô Trường THPT Ngọc Tảo, Hà Nội, cảm ơn gia đình tồn thể bạn, người thân, bên động viên, giúp đỡ khích lệ tơi hồn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 12 tháng năm 2018 Học viên Cao học Hồng Minh Qn LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan luận văn tơi thực hướng dẫn PGS.TS Tạ Duy Phượng Nội dung luận văn không chép không trùng với luận văn Những trích dẫn, kết nghiên cứu có luận văn lấy từ cơng bố thức có ghi rõ ràng Nếu sai tơi xin chịu hồn tồn trách nhiệm Hà Nội, ngày 12 tháng năm 2018 Học viên Cao học Hoàng Minh Quân 10 Chương Tổng quan toán Malfatti 1.1 Lịch sử phát triển toán Malfatti Vào năm 1803, nhà toán học Ý Malfatti (1731–1807) phát biểu toán (sau gọi toán cắt đá hoa cương Malfatti - Malfatti’s marble Problem) sau: Cho hình lăng trụ đứng tam giác làm từ loại chất liệu, thí dụ khối đá hoa cương Hãy cắt từ khối đá ba hình trụ khơng chồng lên có chiều cao chiều cao hình trụ có tổng thể tích lớn Bài tốn dẫn đến tốn hình học mặt phẳng: Hãy cắt từ tam giác cho ba hình tròn khơng chườm lên có tổng diện tích lớn Malfatti nhiều người khác cho rằng, ba hình tròn lời giải tốn phải tiếp xúc đơi hình tròn phải tiếp xúc với hai cạnh tam giác Các hình tròn thỏa mãn tính chất sau gọi hình tròn Malfatti 59 −4x1 + 3x2 + 5r1 ≤ 0, 3x1 − 4x2 + 5r1 ≤ 0, √ −2x1 + 5x2 + 29r1 ≤ 14, −4x3 + 3x4 + 5r2 ≤ 0, 3x3 − 4x4 + 5r2 ≤ 0, √ −2x3 +5x4 + 29r2 ≤ 14, −4x5 + 3x6 + 5r3 ≤ 0, 3x5 − 4x6 + 5r3 ≤ 0, √ −2x5 + 5x6 + 29r3 ≤ 14, −4x7 + 3x8 + 5r4 ≤ 0, 3x7 − 4x8 + 5r4 ≤ 0, √ −2x7 + 5x8 + 29r4 ≤ 14, (x5 − x3 )2 + (x6 − x4 )2 − (r2 + r3 )2 = 0, (x7 − x3 )2 + (x8 − x4 )2 − (r2 + r4 )2 = 0, (x5 − x1 )2 + (x6 − x2 )2 − (r1 + 2r2 + r3 )2 = 0, (x7 − x3 )2 + (x8 − x4 )2 − (r2 + 2r3 + r4 )2 = 0, (x7 − x1 )2 + (x8 − x2 )2 − (r4 + 2r2 + 2r3 + r1 )2 = 0, r1 ≥ 0, r2 ≥ 0, r3 ≥ 0, r4 ≥ (2.99) max f = π r12 + r22 + r32 + r42 (2.100) Trường hợp 6: −4x1 + 3x2 + 5r1 ≤ 0, 60 3x1 − 4x2 + 5r1 ≤ 0, √ −2x1 + 5x2 + 29r1 ≤ 14, −4x3 + 3x4 + 5r2 ≤ 0, 3x3 − 4x4 + 5r2 ≤ 0, √ −2x3 +5x4 + 29r2 ≤ 14, −4x5 + 3x6 + 5r3 ≤ 0, 3x5 − 4x6 + 5r3 ≤ 0, √ −2x5 + 5x6 + 29r3 ≤ 14, −4x7 + 3x8 + 5r4 ≤ 0, 3x7 − 4x8 + 5r4 ≤ 0, √ −2x7 + 5x8 + 29r4 ≤ 14, (x7 − x3 )2 + (x8 − x4 )2 − (r2 + r4 )2 = 0, (x7 − x1 )2 + (x8 − x2 )2 − (r4 + r1 )2 ≥ 0, (x7 − x3 )2 + (x8 − x4 )2 − (r4 + r2 )2 ≥ 0, (x7 − x1 )2 + (x8 − x2 )2 − (r4 + r1 )2 ≥ 0, r1 ≥ 0, r2 ≥ 0, r3 ≥ 0, r4 ≥ (2.101) Tính hiệu thuật tốn đề xuất kiểm tra sáu trường hợp tốn Malfatti Mã lập trình cho thuật tốn viết Matlab chạy máy tính Pentium Core Các kết đưa cho trường hợp Bảng sau: 61 Nghiệm thỏa mãn cho toán Malfatti (2.100) − (2.101) tương ứng với trường hợp f ∗ = 3, 7104 tâm đường tròn (x∗1 , (x∗3 , (x∗5 , (x∗7 , x∗2 ) = (5.3057, x∗4 ) = (4.4925, x∗6 ) = (3.4339, x∗8 ) = (2.5830, 4.4858), 4.0288), 3.4339), 2.5830) Trong q trình tính tốn, điểm tối ưu địa phương điểm dừng kiểm tra Thuật tốn MAX Hình ảnh hình học thể nghiệm tối ưu toàn cục sáu trường hợp hình từ trường hợp 1-6 62 Trường hợp Trường hợp Trường hợp 63 Trường hợp Trường hợp 64 Trường hợp 2.4 Phương pháp tối ưu tồn cục giải tốn Malfatti suy rộng Năm 2017, Rensen Enkbat đồng nghiệp mở rộng toán Malfatti tổng quát sau: "Hãy cắt từ khối đa diện cho thành n hình cầu (n ≥ 4) khơng chườm lên có tổng thể tích lớn nhất" Sau đây, tơi trình bày số kết [3] Ta bắt đầu với sau: Biểu thị B (x0 , r) hình cầu với tâm x0 ∈ Rn bán kính r ∈ R : B x0 , r = x ∈ Rn | x − x0 ≤ r (2.102) Tập hợp đa giác hình đa diện D ⊂ Rn cho D = x ∈ Rn | , x ≤ bi , ∈ Rn , i = 1, m (2.103) 65 với , tích có hướng hai vec tơ Rn , chuẩn Euclidean intD = ∅ Định lý 2.4.1 (Xem [3], trang 212) B x0 , r ⊂ D , x0 + r ≤ bi , i = 1, m (2.104) Chứng minh Điều kiện cần : Lấy y ∈ B x0 , r y ∈ D Điểm y ∈ B x0 , r biểu diễn y = x0 + rh, h ∈ Rn , h ≤ suy từ y ∈ D, , h ≤ bi , i = 1, m hay , x0 + r , h ≤ bi , i = 1, m, h ∈ Rn Do ta có x0 + r max , h ≤ bi , i = 1, m, h ≤1 hay x0 + r , ai ≤ bi , i = 1, m, hay x0 + r ≤ bi , i = 1, m Điều kiện đủ : Từ điều kiện (2.104) thỏa mãn, giả sử ngược lại tồn y˜ ∈ ˜ ∈ Rn thỏa mãn y˜ = x0 + rh, ˜ h ˜ ≤ B x0 , r thỏa mãn y˜ ∈ / D, rõ ràng tồn h Vì y˜ ∈ / D nên tồn y˜ ∈ / Dj ∈ {1, 2, , m} cho aj , y˜ > bj hay ˜ = aj , x0 + r aj , h ˜ > bj aj , x0 + rh Mặt khác ta có aj , x0 + r aj > bj Do mâu thuẫn với (2.104) nên điều giả sử sai Vậy định lý chứng minh Đặt u1 (z1 , z2 , zn ) , u2 (zn+1 , , z2n ) , , uj z(j−1)(n+1) , , zjn , j = 1, K tâm hình cầu chứa đa giác có tập D định nghĩa (2.103) Gọi ZKn+1 , ZKn+2 , , ZK(n+1) bán kính tương ứng hình cầu Xét tốn Malfatti suy rộng: n π2 max f (z) = τ n2 + k n zKn+j , (2.105) j=1 , uj + zKn+j ≤ bi , i = 1, m, j = 1, K, (2.106) 66 ui − uj −−→ ≥ (zKn+i + zKn+j ) , i, j = 1, K, i = j; i, j ∈ K zKn+1 ≥ 0, zKn+2 ≥ 0, , zK(n+1) ≥ (2.107) (2.108) Hàm f (2.105) biểu thị tổng thể tích hình cầu K Điều kiện (2.106) tất hình cầu bên đa diện, điều kiện (2.107) cầu không giao 2.4.1 Phương pháp tối ưu toàn cục thuật toán Bài toán gồm điều kiện (2.105) − (2.108) tốn tối ưu hóa lồi tập lõm thuộc lớp toán tối ưu cổ điển Bài toán (2.105) − (2.108) đưa tốn tối ưu hóa tồn cục hạn chế khối hộp z ∈ Z = z ∈ Rn |z l ≤ z ≤ z g , D ⊂ Z Để giải toán cực trị địa phương, ta thực kết hợp hai thuật tốn đảm bảo tính hội tụ Trong thuật toán gradient tụt điểm phụ xây dựng k lần lặp   zil , zik − f zik < zil z ki = zik − f zik , zil ≤ zik − f zik ≤ zig , i = 1, nK,  zig , zik − f zik > zig Sau đó, ta giải tốn tối ưu chiều để có z k+1 Thuật tốn Hill trích từ báo R Enkhbat đồng nghiệp công bố năm 2017 (xem [3]) 67 f z k + α z k − z k = f z k+1 α∈[0;1] Phương pháp gradient liên hợp thực với việc sử dụng biến đổi GernetValentine (xem[3]) Các tính tốn gradient hàm tính theo công thức dk = 2z k − z g − z l g z − z l cos arcsin zg − zl f zk Hướng liên hợp lựa chọn theo phương pháp Polak-Polyak-Ribiere q k = −dk + β k q k−1 , T k β = (dk ) (dk −dk−1 ) dk−1 , k ∈ Kf r , 0, k ∈ / Kf r , Kf r tập số mục lặp cập nhật theo k Độ dài bước tìm cách giải f (z (α)) = f z k+1 , α ≥ 0, 68 g 2z k − z l − z g z − z l cos arcsin + αq k zg − zl Thuật tốn "Hill" sử dụng để giải toán khác biến z (α) = tối ưu tập không lồi, [3] sử dụng để giải toán suy rộng Malfatti 2.4.2 Một số kết Kiểm nghiệm với toán thứ nhất: Trường hợp ba hình tròn Tập D cho    2x2 − 5x1 ≤ 10, 5x1 + 9x2 ≤ 45, 2x − 3x2 ≤ 18,   −3x1 − x2 ≤ Kết cho K = f3∗ = 48, 5424 bán kính đường tròn cho bảng sau Trường hợp bốn năm hình tròn: cho kết f4∗ = 50, 9128 f5∗ = 51, 4262 (các bán kính cho bốn hình tròn) (Các bán kính cho năm hình tròn) 69 Kiểm nghiệm với tốn thứ hai: Tập D cho  x2 ≤ 7,   7x1 + 5x2 ≤ 56, 3x − 7x1 ≤ 28,   −x2 ≤ Kết cho K = 3, K = K = f3∗ = 46, 2041, f4∗ = 46, 9827, f5∗ = 47, 7479 Bảng kết cho K=3, 4, Các hình tròn cho trường hợp K=3 K=5 Kiểm nghiệm với toán thứ ba: Tập D cho    x1 − 2x1 ≤ 12, 3x1 − 2x2 ≤ 24, x + 4x2 ≤ 32,   7x1 + 5x2 ≤ 63 ta thu f3 = 60, 9256, f4 = 62, 4909, f5 = 63, 697 70 Kết cho K=3, 4, Các đường tròn đa giác cho trường hợp K=3 K=5 Kiểm nghiệm với toán thứ tư: (Trường hợp bốn năm hình cầu khối đa diện) Tập D cho hệ phương trình  30x1 + 70x2 + 21x3 ≤ 210   80x1 + 56x3 + −70x2 ≤ 560 20x2 + +6x3 − 30x1 ≤ 60   −80x − 20x2 + 16x3 ≤ 160  x3 ≤ Đó tứ diện với bốn đỉnh (−2; 0; 0) , (7; 0; 0) , (0; −8; 0) , (0; 3; 0) Tứ diện có chứa bốn năm hình cầu cho tổng thể tích chúng lớn 71 Kết luận Luận văn trình bày phương pháp tối ưu tồn cục giải tốn Malfatti Các kết trình bày luận văn bao gồm: - Trình bày lịch sử phát triển toán Malfatti số cách dựng hình tròn Malfatti - Trình bày điều kiện tối ưu Strekalovsky phương pháp tối ưu toàn cục giải tốn Malfatti - Nội dung luận văn trình bày việc giải tốn có nhiều ứng dụng thực tiễn khoa học đời sống có tính thời sự, thiết thực cập nhật 72 Tài liệu tham khảo [1] Rentsen Enkhbat (2016), "Global optimization approach to Malfatti’s problem ", Journal Global Optimization,Vol 65,(No.1), 33-39 [2] R Enkhbat, M Barkova (2016), "Global search method for solving Malfatti’s four-circle problem", Journal of Irkutsk State University (Series Mathematics, http://isu.ru/izvestia ), Vol 15, 38-49 [3] R Enkhbat, E A Finkelstein, A S Anikin and A Yu Gornov (2017), "Global optimization reduction of generalized Malfatti’s problem", Numerical Algebra, Control and Optimization, Vol 7, (No 2), 211-221 [4] R Enkhbat (1996), "An algorithm for maximizing a convex function over a simple set", Journal of Global Optimization, Vol issue [5] M Goldberg (1967), "On the original Malfatti problem", Mathematics Magazine, Vol 40, (No 5), 241–247 [6] H Lob, H W Richmond (1930), "On the solutions of Malfatti problem for a triangle", Proc London Math, Soc 2, (No 30), 287–301 [7] Alexander S Strekalovsky (1998), "Global Optimality Conditions for Nonconvex Optimization", Journal of Global Optimization, Vol 12 issue 4, 415434 [8] V A Zalgaller and G A Los’ (1994), "The solution of Malfatti’s problem", Journal of Mathematical Sciences, Vol 72, (No 4) 73 [9] Rockafellar, R.T (1970), Convex Analysis, Princeton University Press [10] Alessandra Fiocca (1980), "Problema di Malfatti nella letteratura matematica dell’800", Ann Univ Ferrara - Sez VII - Sc Mat, Vol XXVI, 173-202 ... viết luận văn trình bày phương pháp giải tốn Malfatti suy rộng Dự kiến đóng góp Cố gắng xây dựng luận văn tổng quan toán Malfatti suy rộng trình bày phương pháp tối ưu tồn cục giải toán Malfatti. .. Lời giải V A Zalgaller G A Los’ (1994) 18 1.2.5 Phương pháp tối ưu tồn cục giải tốn Malfatti 19 Chương Phương pháp tối ưu tồn cục giải tốn Malfatti suy rộng 24 2.1 Điều kiện tối ưu. .. Chương Phương pháp tối ưu toàn cục giải tốn Malfatti suy rộng Mục trình bày nội dung báo [7] điều kiện tối ưu cho toán cực đại hàm lồi 2.1 Điều kiện tối ưu Strekalovsky 2.1.1 Giới thiệu Xét toán tối