VẬN DỤNG ĐỊNH LÝ VI- ET VÀO VIỆC GIẢI CÁC DẠNG TỐN THƢỜNG GẶP CĨ LIÊN QUAN ĐẾN PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI PHẠM TRỌNG THƯ (GV THPT chuyên Nguyễn Quang Diệu Đồng Tháp) Trong đề thi vào lớp 10 chuyên, lớp 10 THPT đề thi học sinh giỏi toán cấp THCS năm gần thường gặp dạng tốn liên quan đến phương trình bậc hai có vận dụng định lý Vi- et Chẳng hạn tính chất biểu thức, chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn (GTLN) tìm giá trị nhỏ (GTNN) biểu thức, giải hệ phương trình (HPT) hai ẩn… khơng học sinh lúng túng giải dạng toán trên.Nhằm giúp học sinh làm tốt phần để có lời giải hay, ngắn gọn, dễ hiểu, viết xin giới thiệu nội dung A KIẾN THỨC CẦN NHỚ Để giải tốt dạng tốn vừa nêu ngồi việc cần có kĩ giải tốn thật tốt; bên cạnh phải nắm tính chất, định lý liên quan đến chúng, tronhg có định lí Vi – et Định lý Vi – et: Nếu phương trình ax2 + bx + c = (a ≠ 0) có hai nghiệm x1 x2 x1 + x2 = , x1.x2 = Ngược lại, hai số u, v có tổng u + v = S tích u.v = P S2 ≥ 4P u v nghiệm phương trình X2 – SX + P = Ý nghĩa định lý Vi – et: + Cho phép nhẩm nghiệm trường hợp đơn giản + Cho phép tính giá trị biểu thức đối xứng nghiệm xét dấu nghiệm không cần giải phương trình I MỘT SỐ DẠNG TỐN LIÊN QUAN Dạng Vận dụng định lý Vi-et vào số tốn tính giá trị biểu thức Thí dụ Cho x1, x2 nghiệm phương trình x2 + 2017x + = x3, x4 nghiệm phương trình x2 + 2018x + 1= Tính giá trị biểu thức M = (x1 + x3)(x2 + x3)(x1 – x4)(x3 – x4) Lời giải Dễ thấy phương trình cho ln có hai nghiệm, nên theo định lý Vi- et ta có: x1 + x2 = -2017; x3 + x4 = -2018; x1x2 = x3x4 = Do vậy: M = (x1.x2 + (x1 + x2)x3 + x32).(x1.x2 – (x1 + x2).x4 + x42) = (1 – 2017x3 + x32)(1 + 2017x4 + x42) = (x23 + 2018x3 + – 4035x3)(x42 + 2018x4 + – x4) = (-4035x3)(-x4) = 4035x3.x4 = 4035 Nhận xét: Qua ví dụ nêu bạn học sinh giải trực tiếp hai phương trình bậc hai cho để tìm nghiệm x1, x2, x3, x4 ; sau thay giá trị nghiệm vừa tìm vào biểu thức M việc tính giá trị M trở nên phức tạp Nếu khéo léo sử dụng Định lí Vi-et lời giải ngắn gọn dễ hiểu Thí dụ Giả sử phương trình ax2 + bx + c = (a ≠ 0) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn ax1 + bx2 + c = Tính giá trị biểu thức: M = a2c + ac2 + b3 – 3abc (Đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Nguyễn Trãi, Hải Dương năm học 20052006) Bài làm Từ ax2 + bx + c = ⇒ x1 + x2 + = (*) Theo định lý Vi – et ta có: x1 + x2 = - ; x1x2 = Nên (*) cho ta: x1 – (x1 + x2)x2 + x1x2 = ⇔ x1 - x22 = ⇒ x1= x22 Do đó: M = a3[ + ( )2 + ( )3 – ] = a3[ x23 + x26 – (x2 + x22)3 + 3(x2 + x22)x23] = a3.0 = Dạng Vận dụng định lý Vi – et vào tốn tìm tham số để nghiệm phƣơng trình cho thỏa mãn hệ thức Thí dụ Tìm m để phương trình (x2 – 1) (x + 4)(x + 6) = m Có nghiệm x1, x2, x3, x4 thỏa mãn: + + + =- Lời giải PT cho tương đương với: (x + 1)(x + 4)(x – 1)(x + 6) = m ⇔ (x2 + 5x + 4)(x2 + 5x - 6) = m (1) Đặt t = x2 + 5x + = (x + )2 ≥ 0, (1) có dạng (4t – 9)(4t – 49) = 16m hay 16t2 – 232t + 441 – 16m = (2) PT cho có bốn nghiệm phân biệt tương đương phuong trình (2) có hai nghiệm phân biệt dương t1, t2 ⇔{ ⇔ -25 < m < (3) Gọi x1, x2 nghiệm phương trình: 4x2 + 20x + 25 – 4t1 = Gọi x3, x4 nghiệm cảu phương trình: 4x2 + 20x + 25 – 4t2 = Áp dụng định lý Vi – et cho PT (4), (5) (2) ta có: { (4) (5) Khi đó: - + + + = -20( = + )= =- - Từ suy m = (thỏa mãn (3)) Nhận xét: Với dạng tốn thường khơng giải phương trình để tìm nghiệm mà biến đổi biểu thức cho theo tổng tích nghiệm , sau đo vận dụng định lý Vi- et Biểu thức biến đổi thường gặp dạng tốn là: (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 ; + = (x1 + x2)2 – 2x1x2 + = (x1 + x2)3 – 3x1x2(x1 + x2); + = ((x1 + x2)2 – 2x1x2)2 , Dạng Vận dụng định lý Vi – et vào số tốn chứng minh BĐT, tìm GTLN GTNN Thí dụ Gia sử cho số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện a > 0, bc = a2 , a √ + b + c = abc Chứng minh rằng: a ≥ √ Lời giải Ta có: bc = a2 , b + c = abc – a = a3 – a Theo định lý Vi- et đảo b,c nghiệm PT: x2 – (3a3 – a)x + 3a2 = (*) Kết hợp a > ta được: a ≥ √ √ = a2(9a4 – 6a2 – 11) ≥ ⇒ a2 ≥ PT (*) có nghiệm √ Thí dụ Cho a, b, c số thực thỏa mãn a ≠ 4a + 9b + 24c = Tính khỏa cách (GTTĐ) nhỏ hai nghiệm phương trình 2ax2 + 3bx + c=0 Lời giải Từ 4a + 9b + 24c = ⇒ c = Phương trình cho có: = 9b2 – 32ac = 9b2 + 32a( )2 + = 9(b+ >0 (do a ≠ 0), nên phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt x1, x2 Theo định lý Vi – et ta có: x1 + x2 = - ; x1.x2 = =- Do khoảng cách hai nghiệm phương trình cho là: = √( ) |x1 – x2| = √ Suy ra: |x1 – x2| ≥ cho √ √ ( ) = √( ) Vậy khoảng cách nhỏ hai nghiệm phương trình 2a = -3b = -24c Khi PT cho trở thành: 6ax2 – 6ax – a = ⇔ x = √ Thí dụ Cho phương trình ax2 + by + c = (a ≠ 0) có hai nghiệm m, n thỏa mãn ≤ m ≤ n ≤ Tìm giá trị lớn biểu thức P = Lời giải Từ giả thiết ≤ m ≤ n ≤ ⇒ m2 ≤ mn n2 ≤ Suy ra: (m + n)2 -2mn ≤ mn + ⇒ (m + n)2 ≤ 3mn + Theo địnhh lý Vi-et ta có: m+n= ( ) ; mn = Do đó: P = ≤ = = Đẳng thức xảy { m = n = tức { 2c = - b = 2a Vậy MaxP = { 2c = - b = 2a Nhận xét Bài toán thường hay sử dụng BĐT cổ điển hay dùng (BĐT cô-si, BĐT bunhiacopxki, BĐT tam giác, ….) tính chất BĐT với việc vận dụng định lý Vi- et cách nhuần nhuyễn giúp tìm lời giải toán ngắn gọn đọc đáo thú vị Dạng Vận dụng định lí Vi – et vào số tốn số học Thí dụ Cho phương trình 2x2 + mx + 2n + = (x ẩn số, m,n số nguyên) Giả sử phương trình có nghiệm số ngun Chứng minh m2 + n2 hợp số Lời giải Giả sử x1, x2 nghiệm phương trình Áp dụng định lý Vi-et vào phương trình cho ta được: x1 + x2 = - ; x1x2 = n + Khi đó: m2 + n2 = 4(x1 + x2)2 + (x1x2 – 4)2 =4 +4 + + 16 = ( + 4)( + 4) 2 Suy m + n ( + 4) ( + 4) số nguyên lớn Thí dụ Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình x2 – 2(m – 1)x + 2m – = Tìm m nguyên dương để A = ( )2 + ( )2 có giá trị nguyên Lời giải PT cho có = (m – 1)2 – (2m – 6) = (m – 2) + > nên PT cho ln có hai nghiệm phân biệt với m Ta có: A= = [ ] Áp dụng định lý Vi-et vào phương trình cho ta được: A = , –2 = (2m + )2 – Để A nguyên m { ⇔{ { } } Suy ra: m { Dạng Vận dụng định lý Vi – et giải số toám liên quan đến hàm số y = ax2 (a ≠ 0) Trong chương trình tốn cuối cấp THCS học phần đồ thị có số toán liên quan đến giao điểm đường thẳng (d): y = kx + m Parabol (P): y = ax2 (a ≠ 0) Nếu vận dụng định lý Vi-et vào giải toán cách sáng tạo linh hoạt lời giải ngắn gọn hay Thí dụ Cho parabol (P): y = 2ax2 đường thẳng (d): y = 2ax + (a ≠ 0) Tìm a N để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt M, N độ dài đoạn thẳng MN = √ Lời giải PT hoành độ giao điểm (d) (P) là: 2ax2 = 2ax + ⇔ 2ax2 – 2ax – = (*) Ta thấy nên PT (*) ln có hai nghiệm phân biệt x1, x2 hay (d) cắt (P) hai điểm phân biệt M, N Gọi M (x1; ) , N( x2; ) Ta có: MN = √ ⇔ MN2 = 15 ⇔ (x2 – x1)2 + 4( - )2 = 15 ⇔ (x2 – x1)2(1 + 4(x2 + x1)2) = 15 ⇔[(x2 + x1)2 – 4x1x2] (1 + 4(x2 + x1)2) = 15 (**) Áp dụng định lý Vi-et cho PT (**) ta có: x1 + x2 = a; x1x2 = - Thay vào (**) sau khai triển rút gọn ta được: 4a4 + 9a2 -13 = ⇔ a2 = a2 = - ( loại) ⇔ a = ± Vì a nên a = giá trị cần tìm Thí dụ 10 Cho parabol (P): y = 2ax2 (a > 0) đường thẳng (d): 4x – y – 2a2 = Tìm a để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt M, N có hồnh độ xM , xN + có giá trị nhỏ Lời giải PT hoành độ giao điểm (d) (P) 2ax2 = 4x – 2a2 ⇔ 2ax2 – 4x + 2a2 = (*) (d) cắt (P) hai điểm phân biệt M, N ⇔ Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt xM, xN ⇔ = – a3 > ⇔ < a < (do a > 0) Áp dụng định lý Vi – et ta có: xM + xN = ; xM.xN = a (**) Thay (**) vào + thu T = 4a + Cauchy cho hai số dương 4a ta có: T ≥ 2.√ Áp dụng BĐT = 2√ Ta thấy MinT = 2√ ⇔ 4a = < a < 1⇔ a = Vậy giá trị cần tìm a = √ √ Dạng Vận dụng định lý Vi- et để giải hệ PT hai ẩn Thí dụ 11 Giải hệ phương trình: { Lời giải Điều kiện để hệ phương trình cho có nghĩa 3x – y ≠ Khi hệ cho tương đương với { ( ⇔{ ) ⇔{ { ⇔{ (1) { (2) Ta thấy hệ phương trình (1) Vơ nghiệm vì: ) -4 ( = – 28 = -19 < Từ HPT (2) theo định lí Vi – et đảo suy (3x + y) nghiệm phương trình: X2 - 3X + = ⇔ X = X = Từ đó: { { ⇔{ { Vậy nghiệm hệ phương trình cho (x ; y) = ( ; ), ( ; ) BÀI TẬP TỰ LUYỆN Không giải PT , gọi x1 , x2 (x1 > x2) nghiệm phương trình x2 - √ x+ = Tính - Cho x1, x2, x3, x4 bốn nghiệm cảu PT (x + 2)(x + 4)(x + 6)(x + 8) = Tính giá trị biểu thức x1x2x3x4 Cho PT (x – 1)(x – 2)(x – 4)(x – 8) = m giả sử m nhận giá trị cho phương trình có bốn nghiệm x1, x2, x3, x4 khác Chứng minh biểu thức: T = + + + không phụ thuộc m Cho PT x2 – (3m – 2)x – = Tìm m để PT có hai nghiệm phân biệt x1, x2 (x1 – x2)2 + 2( + - )2 có giá trị nhỏ Cho PT x2 – 2(m -1)x + 2m + Tìm m để PT có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn 2x2 – x1 = Cho hai phương trình x2 + 2ax + = x2 + 2bx + 31 = có nghiệm chung |a| + |b| nhỏ Tìm a, b Cho phương trình x2 – 4mx -2m = (m tham số) có hai nghiệm x1 + x2.Tìm GTNN biểu thức P = Giả sử a, b, c số thực thỏa mãn |a(b – c)| > |b2 – ac| + |c2 – ab| PT ax2 + bx + c = có nghiệm thực Chứng minh có nghiệm thực dương nhỏ √ – (Bài tốn kỉ niệm 35 năm tạp trí tốn học tuổi trẻ) Giả sử x1, x2 nghiệm phương trình x2 + 2kx + = Tìm tất 2 giá trị k cho có BĐT ( ) + ( ) ≥ ... BĐT tam giác, ….) tính chất BĐT với vi c vận dụng định lý Vi- et cách nhuần nhuyễn giúp tìm lời giải toán ngắn gọn đọc đáo thú vị Dạng Vận dụng định lí Vi – et vào số tốn số học Thí dụ Cho phương... biệt với m Ta có: A= = [ ] Áp dụng định lý Vi- et vào phương trình cho ta được: A = , –2 = (2m + )2 – Để A nguyên m { ⇔{ { } } Suy ra: m { Dạng Vận dụng định lý Vi – et giải số toám liên quan đến... vận dụng định lý Vi- et Biểu thức biến đổi thường gặp dạng tốn là: (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 ; + = (x1 + x2)2 – 2x1x2 + = (x1 + x2)3 – 3x1x2(x1 + x2); + = ((x1 + x2)2 – 2x1x2)2 , Dạng Vận