ĐẠI HỌC THÁI NGHUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NÔNG THỊ HIỆU PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA NỬA NHĨM KHƠNG GIÃN TRONG KHƠNG GIAN HILBERT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2018 ĐẠI HỌC THÁI NGHUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NÔNG THỊ HIỆU PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA NỬA NHĨM KHƠNG GIÃN TRONG KHƠNG GIAN HILBERT Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN TS PHẠM THANH HIẾU THÁI NGUYÊN - 2018 ii Mục lục Mục lục i Lời cảm ơn iv Một số ký hiệu viết tắt v Mở đầu Chương Bài tốn đặt khơng chỉnh tốn điểm bất động 1.1 Bài tốn đặt khơng chỉnh phương pháp hiệu chỉnh 3 1.1.1 Bài tốn đặt khơng chỉnh 1.1.2 Phương pháp hiệu chỉnh 1.2 Bài toán điểm bất động ánh xạ không giãn 12 1.2.1 Ánh xạ không giãn nửa nhóm ánh xạ khơng giãn 12 1.2.2 Một số phương pháp tìm điểm bất động ánh xạ khơng giãn 14 Chương Phương pháp hiệu chỉnh cho nửa nhóm khơng giãn 17 2.1 Bài tốn tìm điểm bất động chung nửa nhóm khơng giãn 17 2.2 Phương pháp hiệu chỉnh Browder - Tikhonov 21 2.2.1 Mô tả phương pháp 21 2.2.2 Sự tồn hội tụ 23 2.3 Phương pháp hiệu chỉnh lặp 29 2.3.1 Mô tả phương pháp 29 iii 2.3.2 Sự hội tụ 29 2.4 Ví dụ số minh họa 31 2.4.1 Minh họa số cho phương pháp hiệu chỉnh (2.17) 32 2.4.2 Minh họa số cho phương pháp (2.25) 33 Kết luận 35 Tài liệu tham khảo 36 iv Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học–Đại học Thái Nguyên hướng dẫn tận tình TS Phạm Thanh Hiếu Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Trong q trình học tập nghiên cứu trường Đại học Khoa học– Đại học Thái Nguyên tác giả nhận quan tâm giúp đỡ động viên thầy giáo khoa Tốn–Tin thầy cô giáo trường Tác giả xin bày tỏ lời trân trọng cảm ơn tới thầy cô Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường Trung học phổ thông Hà Quảng - Hà quảng - Cao Bằng anh chị em đồng nghiệp tạo điều kiện tốt cho tác giả thời gian học Cao học Xin cảm ơn anh chị em học viên lớp cao học K10A bạn bè đồng nghiệp trao đổi, động viên khích lệ tác giả q trình học tập làm luận văn trường Đại học Khoa học–Đại học Thái Nguyên v Một số ký hiệu viết tắt X không gian Banach X∗ không gian đối ngẫu X θ phần tử không không gian Banach X R tập hợp số thực R+ tập số thực không âm ∩ phép giao inf M cận tập hợp số M sup M cận tập hợp số M max M số lớn tập hợp số M M số nhỏ tập hợp số M argminx∈X F (x) tập điểm cực tiểu hàm F X ∅ tập rỗng ∀x với x D(A) miền xác định toán tử A R(A) miền ảnh toán tử A A−1 toán tử ngược toán tử A I tốn tử đồng vi Lp (Ω) khơng gian hàm khả tích bậc p Ω lp không gian dãy số khả tổng bậc p d(x, M ) khoảng cách từ phần tử x đến tập hợp M lim sup xn giới hạn dãy số {xn } n→∞ lim inf xn giới hạn dãy số {xn } αn dãy số thực {αn } hội tụ giảm α0 n→∞ α0 xn −→ x0 dãy {xn } hội tụ mạnh x0 xn dãy {xn } hội tụ yếu x0 x0 J ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị F ix(T ) F (T ) tập điểm bất động ánh xạ T ∂f vi phân hàm lồi f M bao đóng tập hợp M d(a, M ) khoảng cách tử phần tử a đến tập hợp M o(t) vô bé bậc cao t n[a,b] số điểm chia cách đoạn [a, b] nmax số bước lặp tg thời gian tính tốn err sai số nghiệm xấp xỉ so với nghiệm xác int(C) phần tập hợp C Mở đầu Nhiều toán lĩnh vực toán học, vật lý kinh tế dẫn đến tốn tìm điểm bất động chung cho họ ánh xạ xác định Các tốn gọi chung tốn điểm bất động Chẳng hạn, tốn tìm ảnh ánh xạ chiếu mê tric tập lồi đóng Ci , i ∈ I không gian Hilbert thực Điểm bất động tốn nghiệm tốn chấp nhận lồi tiếng tìm điểm thuộc vào giao tập lồi đóng Ci , i ∈ I không gian Hilbert thực Do quan trọng tốn khía cạnh thực hành lý thuyết nên thuật toán để tìm điểm bất động chung tốn tử trở thành lĩnh vực nghiên cứu phát triển lý thuyết điểm bất động Ta biết T : H → H ánh xạ co ln tồn điểm bất động T Tuy nhiên, T ánh xạ khơng giãn điều khơng nên lớp toán điểm bất động ánh xạ không giãn họ ánh xạ không giãn toán quan trọng nhà nghiên cứu tốn học Lí tốn có nhiều ứng dụng thực tế khơi phục xử lý tín hiệu, phân phối băng thơng, điều khiển lượng (xem chẳng hạn [19]) Cho đến có nhiều nhà tốn học cơng bố nhiều kết hay có ý nghĩa (xem chẳng hạn [24]–[27]) để tìm điểm bất động chung ánh xạ không giãn họ ánh xạ không giãn dựa việc cải biên, cải tiến kết có Mann [23], Halpern [15], Ở Việt Nam, tốn điểm bất động ánh xạ khơng giãn đề tài nghiên cứu sôi thu hút nhiều nhà toán học tiếng Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Bường, Nguyễn Thị Thu Thuỷ nhiều tác giả trẻ Đặng Văn Hiếu, Trương Minh Tuyên (xem chẳng hạn [9], [21], [32] số tài liệu trích dẫn đó) Những công bố tác giả Việt Nam nước ngồi phương pháp giải tốn điểm bất động làm phong phú thêm lý thuyết điểm bất động đóng góp chung vào phát triển lĩnh vực nghiên cứu Mặc dù toán quan trọng toán điểm bất động ánh xạ không giãn nằm lớp tốn đặt khơng chỉnh (nói chung) theo nghĩa nghiệm tốn khơng nghiệm khơng phụ thuộc vào kiện ban đầu Việc xây dựng phương pháp giải ổn định gọi phương pháp hiệu chỉnh cho lớp tốn đặt khơng chỉnh có tốn điểm động ánh xạ khơng giãn hướng nghiên cứu cần quan tâm Nói đến phương pháp hiệu chỉnh, phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov coi phương pháp hiệu sử dụng để giải nhiều lớp tốn đặt khơng chỉnh bất đẳng thức biến phân , phương trình tốn tử tốn điểm bất động (xem chẳng hạn [18], [32] số tài liệu trích dẫn đó) Trong luận văn này, dựa số kết có phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov cho bất đẳng thức biến phân toán điểm bất động chung họ vô hạn ánh xạ không giãn, nghiên cứu trình bày phương pháp hiệu chỉnh cho nửa nhóm khơng giãn khơng gian Hilbert Ngồi phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, nội dung luận văn trình bày hai chương: Chương giới thiệu tốn đặt khơng chỉnh toán điểm bất động với số kiến thức chuẩn bị quan trọng cho việc trình bày kết luận văn liên quan đến số tính chất hình học khơng gian Hilbert khơng gian Banach; ánh xạ khơng giãn nửa nhóm ánh xạ không giãn; ánh xạ liên tục; ánh xạ đơn điệu, đơn điệu mạnh ánh xạ ngược đơn điệu mạnh không gian Hilbert Chương dành để trình bày kết phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov, phương pháp hiệu chỉnh lặp cho nửa nhóm khơng giãn khơng gian Hilbert ví dụ số minh họa cho hai phương pháp Chương Bài tốn đặt khơng chỉnh tốn điểm bất động Chương trình bày số kiến thức chuẩn bị không gian Hilbert, không gian Banach, ánh xạ khơng giãn nửa nhóm ánh xạ khơng giãn Đồng thời, giới thiệu cách ngắn gọn tốn đặt khơng chỉnh tốn điểm bất động Mục 1.1 dành để giới thiệu tốn đặt khơng chỉnh phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov Mục 1.2 giới thiệu toán điểm bất động ánh xạ không giãn với phương pháp lặp Mann [23], phương pháp lặp Halpern [15] để tìm điểm bất động ánh xạ không giãn Những kiến thức đề cập chương tham khảo chủ yếu từ tài liệu [1]-[4] số tài liệu khác có trích dẫn kèm 1.1 Bài tốn đặt không chỉnh phương pháp hiệu chỉnh Trong nhiều toán nảy sinh từ thực tế, tồn lớp tốn mà nghiệm khơng ổn định theo nghĩa thay đổi nhỏ liệu đầu vào dẫn đến thay đổi lớn liệu đầu (nghiệm toán), chí làm cho tốn trở nên vơ nghiệm Có thể nói rằng, lớp tốn nói có nghiệm khơng phụ thuộc vào kiện ban đầu trường hợp riêng lớp tốn đặt khơng chỉnh Trong mục này, chúng tơi đề cập đến khái niệm tốn đặt khơng chỉnh dạng phương trình tốn tử, với phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho lớp toán 25 (ii) Trước tiên, ta chứng minh xn − x∗ ≤ y − x∗ ∀y ∈ F (2.19) Với y ∈ F, ta có y = T (tn )y = T (tn )PC (y) Do AC (tn )y = Khi đó, từ (2.17) dẫn đến AC (tn )y − AC (tn )xn , y − xn + εn xn − x∗ , xn − y = (2.20) Do AC (tn ) toán tử đơn điệu nên ta có AC (tn )y − AC (tn )xn , y − xn ≥ Kết hợp bất đẳng thức cuối (2.20), ta suy với y ∈ F xn − x∗ , xn − y ≤ ⇔ xn − x∗ , xn − x∗ + x∗ − y ≤ ⇔ xn − x∗ , xn − x∗ + xn − x∗ , x∗ − y ≤ ⇔ xn − x∗ , xn − x∗ ≤ xn − x∗ , y − x∗ ≤ ⇔ xn − x∗ ≤ xn − x∗ y − x∗ ≤ Bất đẳng thức cuối dẫn đến (2.19) Do đó, {xn } dãy bị chặn Vì khơng gian Hilbert H phản xạ, nên tồn dãy {xk := xnk } dãy {xn } hội tụ yếu đến điểm p ∈ C, k → ∞ Tiếp theo ta p ∈ F Tức ta phải chứng minh p = T (t)p với t ≥ cố định Dễ thấy, với t = 0, p = T (0)p Xét t > Do AC (tk ) ánh xạ 1/2-ngược đơn điệu mạnh, kết hợp (2.17) (2.19), ta có C A (tk )xk 2 ≤ AC (tk )xk , xk − y 0≤ = −εk xk − x∗ , xk − y ≤ −εk y − x∗ , y − xk = −εk y − x∗ , y − x∗ + x∗ − xk = −εk y − x∗ , y − x∗ − εk y − x∗ , x∗ − xk ≤ εk y − x ∗ + εk y − x ∗ = 2εk y − x∗ 26 Do εk → k → ∞, từ đánh giá ta có lim AC (tk )xk = 0, k→∞ hay lim xk − T (tk )PC (xk ) = k→∞ (2.21) Mặt khác, với t > 0, ánh xạ T (t) : C → C khơng giãn, nên ta có T (tk )PC (xk ) = PC T (tk )PC (xk ) PC (xk ) − T (tk )PC (xk ) = PC (xk ) − PC T (tk )PC (xk ) ≤ xk − T (tk )PC (xk ) Do vậy, ta lim PC (xk ) − T (tk )PC (xk ) = k→∞ (2.22) Không tính tổng quát, tương tự [26], giả sử lim k→∞ PC (xk ) − T (tk )PC (xk ) = tk Chú ý từ (2.21) (2.22), dẫn đến {PC (xk )} hội tụ yếu đến p, suy p ∈ C Do tk → 0, ta giả sử t ≥ tk với k, nên t t t ≤ ≤ +1 ∀k, tk tk tk [z] ký hiệu phần nguyên số thực dương z ∈ R+ Do đó, với k, ta có [t/tk ]−1 T (t)p − PC (xk ) ≤ T (itk )PC (xk ) − T ((i + 1)tk )PC (xk ) i=0 (2.23) + T (t)p − T ([t/tk ]tk )p + T ([t/tk ]tk )p − T ([t/tk ]tk )PC (xk ) Do T (t) : t ≥ nửa nhóm nên với k ta có bất đẳng thức sau: T ((i + 1)tk ) = T (itk ) ◦ T (tk ) ∀ ≤ i ≤ [t/tk ] − 1; T (t) = T ([t/tk ]tk ) ◦ T (t − [t/tk ]tk ) 27 Thêm vào đó, ánh xạ T (itk ) T ([t/tk ]tk ) ánh xạ không giãn nên với ≤ i ≤ [t/tk ] − 1, ta có bất đẳng thức sau: T ((i + 1)tk )PC xk − T (itk )PC xk ≤ T (tk )PC xk − PC xk ; T (t)p − T ([t/tk ]tk )p ≤ T (t − [t/tk ]tk )p − p ; T ([t/tk ]tk )p − T ([t/tk ]tk )PC xk ≤ p − PC xk Sử dụng ba đánh giá vào (2.23) ta suy ra: T (t)p − PC xk ≤ [t/tk ] T (tk )PC xk − PC xk + T (t − [t/tk ]tk )p − p + p − PC xk Do t/tk ≤ [t/tk ] + 1, nên t − [t/tk ]tk ≤ tk , đó, T (t)p − PC xk ≤ t T (tk )PC xk − PC xk + max T (s)p − p + p − PC xk 0≤s≤tk tk với k ≥ Từ ta có, lim sup T (t)p − PC xk ≤ lim sup p − PC xk k→∞ (2.24) k→∞ Ta có dãy {PC xk } hội tụ yếu đến p, nên T (t)p = p với t ≥ Thật vậy, T (t)p = p với t ≥ đó, theo điều kiện Opial (xem Bổ đề 2.3) ta có lim sup PC xk − p < lim sup PC xk − T (t)p , k→∞ k→∞ điều mâu thuẫn với (2.24) Vậy T (t)p = p với t ≥ Do dãy {xk } hội tụ yếu đến p ∈ F, nên từ (2.19) suy p − x∗ ≤ y − x∗ ∀ y ∈ F, điều có nghĩa p ảnh x∗ qua phép chiếu trực giao lên F Điểm nhất, nên dãy {xn } hội tụ yếu đến p Thật vậy, giả sử {xm } dãy {xn } hội tụ yếu đến q ∈ F Khi đó, theo (2.19), ta có với m xm − x∗ ≤ q − x∗ ∀y ∈ F 28 Mặt khác, chuẩn nửa liên tục yếu nên q − x∗ ≤ lim inf xm − x∗ m→∞ ta có q − x∗ ≤ y − x∗ Vậy, p = q xn ∀y ∈ F p Cuối cùng, xn − x∗ → p − x∗ , ta thu dãy {xn } hội tụ mạnh đến p n → ∞ Điều phải chứng minh Ngồi ra, ta có đánh giá cho xn − xm với xn , xm nghiệm hiệu chỉnh với tham số hiệu chỉnh tương ứng εn εm bổ đề sau Bổ đề 2.4 dùng để chứng minh hội tụ phương pháp hiệu chỉnh hiệu chỉnh lặp cho nửa nhóm khơng giãn mà ta xét Định lý 2.4 Bổ đề 2.4 Cho H, C, {T (t) : t ≥ 0} F giả thiết Định lý 2.3 Cho xn xm nghiệm hiệu chỉnh phương trình (2.17) với tham số hiệu chỉnh tương ứng εn εm Nếu T (t)x−T (h)x ≤ |t−h|γ(x) với x ∈ C, γ(x) hàm bị chặn xn − xm ≤ |εn − εm | |tn − tm | y − x∗ + γ1 εn εn với εn , εm , tn , tm > 0, y ∈ F, số dương γ1 Chứng minh Từ (2.17) tính đơn điệu AC (tn ), ta có đẳng thức sau: AC (tn )xn − AC (tm )xm , xm − xn + εn xn − x∗ , xm − xn +εm xm − x∗ , xn − xm = Do AC (tn )xm − AC (tm )xm ≤ |tn − tm |γ(xm ), γ(x) hàm bị chặn, nên tồn số dương γ1 cho γ(xm ) ≤ γ1 Do đó, xn − xm |εn − εm | AC (tn )xm − AC (tm )xm ≤ xm − x∗ + εn εn |tn − tm | |εn − εm | ≤ y − x∗ + γ1 , εn εn với εn , εm , tn , tm > y ∈ F Định lý chứng minh 29 2.3 Phương pháp hiệu chỉnh lặp 2.3.1 Mô tả phương pháp Phương pháp đề xuất dựa việc kết hợp phương pháp hiệu chỉnh (2.17) phương pháp lặp dạng sau: wn+1 = wn − βn [AC (tn )wn + εn (wn − x∗ )], n ≥ 0, w0 ∈ H, (2.25) {βn } dãy thực dương thỏa mãn số điều kiện xác định Khi AC (t) ≡ A, thuật toán (2.25) Bakushinskii nghiên cứu giới thiệu gọi phương pháp lặp hiệu chỉnh bậc không 2.3.2 Sự hội tụ Định lý 2.4 Cho H, C, {T (t), t ≥ 0}, F giả sử Định lý 2.3 Giả thiết điều kiện sau thỏa mãn: n+1 | n+1 | với n, lim |εnε−ε = lim |tnε−t = 0, 2β 2β n n n n n→∞ n→∞ ∞ εn → 0; n=0 εn βn = +∞, (i) βn ≤ εn 4+4εn +ε2n (ii) lim inf tn = 0, lim sup tn > 0, lim (tn+1 − tn ) = 0; n→∞ n→∞ n→∞ (iii) T (t)x − T (h)x ≤ |t − h|γ(x) với x ∈ C, γ(x) hàm bị chặn Khi đó, dãy wn xác định (2.25) hội tụ mạnh điểm p ∈ F thỏa mãn (2.1), n → +∞ Chứng minh Đặt ∆n = wn −xn với xn nghiệm (2.17) Từ (2.25) dẫn đến ∆n+1 = wn+1 − xn+1 = wn+1 − xn + xn − xn+1 ≤ wn+1 − xn + xn − xn+1 , wn+1 − xn = wn − xn − βn [AC (tn )wn − AC (tn )xn + εn (wn − xn )] = wn − xn 2 + βn2 [AC (tn )wn − AC (tn )xn ] + εn (wn − xn ) − 2βn AC (tn )wn − AC (tn )xn + εn (wn − xn ), wn − xn 30 = w n − xn + βn2 AC (tn )wn − AC (tn )xn + ε2n wn − xn + 2εn AC (tn )wn − AC (tn )xn , wn − xn − 2βn AC (tn )wn − AC (tn )xn , wn − xn − 2βn εn wn − xn (2.26) Do AC (tn ) ánh xạ liên tục Lipschitz với số L = đơn điệu nên ta có: AC (tn )wn − AC (tn )xn ≤ wn − xn , AC (tn )wn − AC (tn )xn , wn − xn ≤ wn − xn , AC (tn )wn − AC (tn )xn , wn − xn ≥ Sử dụng tính liên tục Lipschitz tính đơn điệu AC (tn ) vào (2.26), ta suy được: wn+1 − xn ≤ wn − x n − 2βn εn + βn2 (2 + εn )2 , hay 1/2 wn+1 − xn ≤ wn − xn − 2βn εn + βn2 (2 + εn ) Với giả thiết βn ≤ 4+4εεnn+ε2 với n sử dụng bất đẳng thức (1 − t)s ≤ n − st với < s < 1, ta dễ suy 1/2 − 2βn εn + βn2 (2 + εn ) ≤ 1 − βn εn Do vậy, ∆n+1 ≤ ∆n [1 − 2βn εn + βn2 (2 + εn )2 ]1/2 + xn − xn+1 |εn − εn+1 | |tn − tn+1 | ≤ ∆n − βn εn + p − x∗ + γ1 εn εn ≤ ∆n (1 − ζn ) + ζn ηn ζn = 12 βn εn ζn ηn = |εn −εn+1 | εn n+1 | p − x∗ + |tn −t γ1 thỏa mãn εn điều kiện Bổ đề 2.2 với sn = ∆n θn = Áp dụng Bổ đề 2.2, suy limn→∞ ∆n = Do wn → xn , n → ∞ 31 Theo Định lý 2.3, ta có xn → p n → ∞ Điều có nghĩa {wn } hội tụ mạnh p n → ∞ Định lý chứng minh 2.4 Ví dụ số minh họa Trong mục chúng tơi trình bày ví dụ số minh họa cho hội tụ hai phương pháp (2.17) (2.25) để tìm điểm bất động nửa nhóm khơng giãn có x∗ -chuẩn nhỏ Kết số chạy ngôn ngữ MATLAB 7.0 chạy thử nghiệm máy tính cá nhân Ví dụ 2.1 Xét trường hợp H = R10 C = F tập điểm bất động chung nửa nhóm ánh xạ khơng giãn {T (t) : R10 → R10 , t ≥ 0} sau:  cos(αt) − sin(αt) 0    sin(αt) cos(αt) 0    0 cos(αt) − sin(αt)    0 sin(αt) cos(αt)   T (t)x =  0       0     0 0  0 0 0 0   x       x2  0       x3  0       x4  0       x5  , 0              0   x8      cos(βt) − sin(βt)  x9    x10 sin(βt) cos(βt) với x = (x1 , x2 , , x10 )T ∈ R10 α, β ∈ R cố định Khi dễ dàng kiểm tra {T (t) : t ≥ 0} thỏa mãn tính chất nửa nhóm khơng giãn F = {x ∈ R10 : x = (0, , 0, x5 , , x8 , 0, 0)T } tập điểm bất động chung nửa nhóm không giãn {T (t) : t ≥ 0} + Chọn điểm x∗ ∈ R10 : x∗ = (2, 2, , 2)T Khi nghiệm toán (2.1) điểm p = (0, 0, 0, 0, 2, , 2, 0, 0)T ∈ F ⊂ R10 32 2.4.1 Minh họa số cho phương pháp hiệu chỉnh (2.17) Viết lại (2.17) dạng phương trình ma trận An xn = bn với  ϑn σn 0   −σn ϑn 0    0 ϑ n σn    0 −σn ϑn   An =  0 εn       0 0     0 0  0 0 0 0 0 0 εn ϑn −σn    0   0   0   0       0   σn   ϑn T xn = xn1 , xn2 , , xn10 T , bn = εn x∗1 , εn x∗2 , , εn x∗10 , phần tử ϑn , ϑn σn , σn ma trận An xác định sau: ϑn = + εn − cos(αtn ), ϑn = + εn − cos(βtn ) σn = sin(αtn ), σn = sin(βtn ) Chọn α = π/6, β = π/9 dãy tham số tn = π(3n + 1)−1/150 , εn = (n + 1)−3 Kết tính tốn cho phương pháp thể bảng sau đây: n err = xn − p Thời gian (giây) 0.45482 0.38 0.14142 0.386 0.060428 0.39 10 0.0029459 0.452 20 0.00042514 0.483 50 2.9833 × 10−5 0.514 100 3.856 × 10−6 0.515 200 4.9114 × 10−7 0.53 Bảng 2.1 Kết tính tốn cho phương pháp (2.17) 33 10 abs error −1 10 −2 10 −3 10 −4 10 −5 10 −6 10 −7 10 −8 10 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 Hình 2.1: Minh họa sai số tuyệt đối phương pháp (2.17) 2.4.2 Minh họa số cho phương pháp (2.25) Chọn α = π/6, β = π/9, xấp xỉ ban đầu x0 = (7.5, 7.5, 7.5, 5.5 , 5.5) ∈ R10 dãy tham số chọn sau tn = π(3n + 1)−1/150 , εn = (7n + 1)−2/3 βn = (n + 1)−1/14 Kết tính tốn cho phương pháp thể bảng sau đây: n err = xn − p Thời gian (giây) 17.564 0.406 16.315 0.407 14.315 0.422 10 6.1924 0.426 20 2.1234 0.430 50 0.93478 0.437 100 0.52057 0.453 200 0.25995 0.468 500 0.084602 0.546 1000 0.030745 0.577 5000 0.0039281 1.076 10000 0.0024046 5.18 Bảng 2.2 Kết tính tốn cho phương pháp (2.25) Nhận xét 2.1 Dựa kết tính tốn cho thuật tốn (2.17) (2.25) ta rút số nhận xét sau: 34 10 abs error 10 10 −1 10 −2 10 −3 10 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 Hình 2.2: Minh họa sai số tuyệt đối phương pháp (2.25) (i) Các phương pháp hiệu chỉnh lặp ẩn hiệu chỉnh lặp hội tụ nghiệm xác tốn ban đầu (ii) Thuật toán lặp ẩn hội tụ nhanh sai số err cho trước chọn khoảng từ 10−5 đến 10−7 35 Kết luận Trong luận văn này, thu số kết cụ thể sau đây: • Nghiên cứu trình bày phương pháp hiệu chỉnh lặp ẩn dạng Browder– Tikhonov để tìm điểm bất động chung nửa nhóm khơng giãn khơng gian Hilbert mà khơng dùng đến tích phân Bochner cho nửa nhóm khơng giãn • Thiết lập phương pháp hiệu chỉnh lặp dựa phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov cho nửa nhóm khơng giãn • Đưa ví dụ số nhằm minh họa cho hội tụ hai phương pháp giới thiệu 36 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Bường (2005), Bài tốn đặt khơng chỉnh, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Đỗ Hồng Tân, Nguyễn Thị Thanh Hà (2002), Các định lí điểm bất động, NXB Đại học Sư Phạm Tiếng Anh [3] Agarwal R.P., O’Regan D., Sahu D.R.(2009), Fixed Point Theory for Lipschitzian-type Mappings with Applications, Springer [4] Alber Y., Ryazantseva I (2006), Nonlinear Ill-posed Problems of Monotone Type, Springer-Verlag, Berlin [5] Aleyner A., Censor Y.(2005) , "Best approximation to common fixed points of a semigroup of nonexpansive operators", J Nonlinear Convex Anal., 6, pp 137–151 [6] Barbu V (1976), Nonlinear Semigroups and Differential Equations in Banach Spaces, Editura Academiei Bucuresti, România, Noordholf International Publishing Leyden The Netherlands convex feasibility problems", SIAM Review, 38, pp 367–426 [7] Brezis H (1973), Opérateurs maximaux monotones et semigroupes de contractions dans les espaces de Hilbert, North Holland, Amsterdam [8] Buong N.(2010), "Strong convergence theorem of an iterative method for variational inequalities and fixed point problems in Hilbert spaces", Appl Math Comput., DOI:10.1016/j.amc.2010.05.064 37 [9] Buong N., Lang N D (2011), "Hybrid Mann-Halpern iteration methods for nonexpansive mappings and semigroups", Appl Math Comp., 218 (6), pp 2459-2466 [10] Buong N., Phuong N.T.H (2012), "Regularization methods for a class of variational inequalities in Banach spaces", Comput Math Math Phys., 52(11), pp 1487-1496 [11] Browder E.F (1965), "Nonexpansive nonlinear operators in a Banach space", Proc Natl Acad Sci USA, 54, pp 1041–1044 [12] Chen R., He H.(2007), "Viscosity approximation of common fixed points of nonexpansive semigroup in Banach spaces", Appl Math Lett., 20,pp 751–757 [13] Cioranescu I (1990), Geometry of Banach Spaces, Duality Mappings and Nonlinear Problems, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht [14] De Marr R (1963), "Common fixed points for commuting contraction mappings", Pacific J Math., 13, pp.1139-1141 [15] Halpern B.(1967), "Fixed points of nonexpanding maps", Bull Amer Math Soc., 73, pp 957–961 [16] He H., Chen R.(2007), Strong convergence theorems of the CQ method for nonexpansive semigroup, Fixed Point Theory Appl., 2007, Article ID 59735, pages [17] Hieu P.T., Thuy N.T.T (2015), "Regularization methods for nonexpansive semigroups in Hilbert spaces", Vietnam J Math., 44, pp 637-648 [18] Hieu P.T, Thuy N.T.T (2015), Regularization methods for nonexpansive semigroups in Hilbert spaces, Vietnam J Math., 44(3), pp 637–648 [19] Iiduka H (2010), "New iterative algorithm for the variational inequality problem over the fixed point set of a firmly nonexpansive mapping", Optimization, 59, pp 873–885 38 [20] Kim T.H., Xu H.K (2005), "Strong convergence of modified Mann iterations", Non., Anal., 61, pp 51-60 [21] Kim J.K , Tuyen T.M (2011), "Regularization proximal point algorithm for finding a common fixed point of a finite family of nonexpansive mappings in Banach spaces", Fixed Point Theory and Applications, 2011 (1), 52 [22] Lions P L (1977),"Approximation de points fixes de contractions", C R Acad Sci Paris Sér., 284, pp 1357 - 1359 [23] Mann W.R (1953), "Mean value methods in iteration", Proc Amer Math Soc., 4, pp 506-510 [24] Nakajo K., Takahashi W (2003), Strong convergence theorem for nonexpansive mappings and nonexpansive semigroup, J Math Anal Appl., 279, pp 372–379 [25] Opial Z (1967), "Weak convergence of the sequence of successive approximations for nonexpansive mappings", Bull Amer Math Soc., 4, pp 591–597 [26] Seajung S (2008), Strong convergence theorems for nonexpansive semigroups without Bochner intergrals, Fixed Point Theory Appl., 2008, DOI:1155/2008/745010 [27] Shioji N., Takahashi W.(1998), Strong convergence theorems for assymptotically nonexpansive semigroup in Hilbert spaces, Nonlinear Anal., 34, pp 87–99 [28] Solodov M.V., Svaiter B.F.(2000), Forcing strong convergence of proximal point iterations in Hilbert space, Math Program., 87, pp 189– 202 [29] Suzuki T (2003), On strong convergence to common fixed points of nonexpansive semigroup in Hilbert spaces, Proc Amer Math Soc., 131, pp 2133–2136 39 [30] Takahashi W., Toyota M (2003), "Weak convergence theorems for nonexpansive mappings and monotone mappings", J Optim Theory Appl., 118, pp 417–428 [31] Thuy N.T.T.(2014), Regularization methods and iterative methods for variational inequality with accretive operator, Acta Mathematica Vietnamica, 41(1), pp 55–68 [32] Thuy N.T.T, Hieu P.T, Strodiot J,J.(2016), Regularization methods for accretive variational inequalities over the set of common fixed points of nonexpansive semigroups, Optimization, 65(8), pp 15531567 [33] Wittmann R.(1992), "Approximation of fixed points of nonexpansive mappings", Arch Math,.59, pp,486-491 [34] Xu H.-K (2002), "Iterative algorithms for nonlinear operators",J Lond Math Soc., 66, pp 240-256 [35] Xu H.-K (2005), "A strong convergence theorem for contraction semigroups in Banach spaces", Bull Aust Math Soc., 72, pp 371-379 [36] Zeidler E (1985), Nonlinear Functional Analysis and Its Applications, Springer, New York ... tụ mạnh điểm bất động T 17 Chương Phương pháp hiệu chỉnh cho nửa nhóm khơng giãn Trong chương chúng tơi trình bày số kết cho tốn tìm điểm bất động chung nửa nhóm khơng giãn khơng gian Hilbert. .. đặt không chỉnh phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov Mục 1.2 giới thiệu toán điểm bất động ánh xạ không giãn với phương pháp lặp Mann [23], phương pháp lặp Halpern [15] để tìm điểm bất động. .. ánh xạ khơng giãn 14 Chương Phương pháp hiệu chỉnh cho nửa nhóm khơng giãn 17 2.1 Bài tốn tìm điểm bất động chung nửa nhóm khơng giãn 17 2.2 Phương pháp hiệu chỉnh Browder