ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN QUANG TUẤN ĐA THỨC CANTOR VÀ ĐỊNH LÝ FUETER-PÓLYA LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN QUANG TUẤN ĐA THỨC CANTOR VÀ ĐỊNH LÝ FUETER-PÓLYA Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 8460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGUYỄN DUY TÂN THÁI NGUYÊN - 2018 i Mục lục Lời nói đầu 1 Một số kiến thức liên quan 1.1 Luật thuận nghịch bậc hai 1.1.1 Thặng dư bậc hai 3 1.1.2 1.1.3 Tiêu chuẩn Euler Ký hiệu Legendre 1.2 Định lý thặng dư Trung hoa 1.3 Định lý Dirichlet số nguyên tố cấp số cộng Chứng minh sơ cấp định lý Fueter-Pólya 10 2.1 Đa thức Cantor 10 2.2 Đa thức xếp khơng thể tuyến tính 12 2.3 2.4 Một số bổ đề 13 Định lý Fueter-Pólya 22 Đa thức Cantor hình quạt 24 3.1 3.2 Bài tốn đa thức Cantor hình quạt 24 Hình quạt vị nhóm 25 3.3 Đa thức xếp hình quạt I(1/s) 30 Kết luận 33 Tài liệu tham khảo 34 Lời nói đầu Một hàm đa thức F : R2 → R gọi đa thức xếp N20 F hạn chế xuống N20 cho ta song ánh từ N20 tới N0 Cantor xây dựng tường minh hai đa thức xếp bậc hai Đó (x + y)2 (x + 3y) + , 2 (x + y)2 (3x + y) C2 (x, y) = + 2 C1 (x, y) = Sau Fueter với Pólya dùng phương pháp lý thuyết số giải tích chứng minh F đa thức xếp bậc hai N20 F = C1 F = C2 Mục đích luận văn tìm hiểu chứng minh Vsemirnov dùng luật thuật nghịch bậc hai định lý Dirichlet số nguyên tố cấp số cộng (và số lập tương đối sơ cấp) cho định lý Fueter Pólya Người ta giả thuyết F đa thức xếp (bậc tùy ý) F = C1 F = C2 Giả thuyết đến mở Luận văn có cấu trúc sau: gồm phần Mở đầu, ba Chương nội dung, phần Kết luận Tài liệu tham khảo Chương 1: Một số kiến thức liên quan Chương phát biểu luật thuận nghịch bậc hai, định lý thặng dư Trung hoa, kèm theo số hệ chúng Chương 2: Chứng minh sơ cấp định lý Fueter-Pólya Chương giới thiệu đa thức xếp Cantor chứng minh đa thức xếp khơng thể tuyến tính, trình bày số kết quả, bổ đề lý thuyết số trình bày chứng minh định lý Fueter-Pólya Chương 3: Đa thức Cantor hình quạt Chương trình bày khái niệm hình quạt vị nhóm, kết Nathanson đa thức bậc hai xếp Cantor số vị nhóm Luận văn thực hồn thành vào tháng năm 2018 trường Đại học Khoa học- Đại học Thái Nguyên Qua đây, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Duy Tân, người tận tình hướng dẫn suốt q trình làm việc để hồn thành luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Khoa Toán-Tin học, Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, tạo điều kiện để giúp tác giả học tập hoàn thành luận văn chương trình thạc sĩ Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp cao học K10C, khóa 05/2016 - 05/2018 động viên giúp đỡ tác giả q trình học tập hồn thành luận văn Đồng thời tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Ban giám hiệu đồng nghiệp trường THPT Hàn thuyên, Bắc ninh tạo điều kiện cho tác giả suốt trình học tập hoàn thành luận văn Thái Nguyên, tháng năm 2018 Người viết luận văn Nguyễn Quang Tuấn Chương Một số kiến thức liên quan Chương phát biểu luật thuận nghịch bậc hai, định lý thặng dư Trung hoa số ví dụ Tài liệu tham khảo sử dụng cho chương tài liệu [1] [4] 1.1 1.1.1 Luật thuận nghịch bậc hai Thặng dư bậc hai Định nghĩa 1.1.1 Cho p số nguyên tố a số nguyên cho p a Số a gọi thặng dư bậc hai modulo p tồn số nguyên y cho y ≡ a( mod p) Nếu không tồn số nguyên y cho y ≡ a(modp) ta nói a khơng thặng dư bậc hai modulo p Ví dụ Các số 1, 3, thặng dư bậc hai modulo 13, khơng thặng dư bậc hai modulo phương trình y ≡ 2(mod5) vô nghiệm 1.1.2 Tiêu chuẩn Euler Định lý 1.1.2 (Tiêu chuẩn Euler) Cho p số nguyên tố lẻ khơng ước số ngun a Khi a thặng dư bậc hai (tương ứng, p−1 không thặng dư bậc hai) modulo p a ≡ 1(modp) (tương ứng, a p−1 ≡ −1(modp)) Ví dụ Ta có 35 = 243 ≡ (mod 11) thặng dư bậc hai modulo 11 Trong 25 = 32 ≡ −1 (mod 11) không thặng dư bậc hai modulo 11 1.1.3 Ký hiệu Legendre Định nghĩa 1.1.3 Cho p số nguyên tố lẻ không chia hết số nguyên a a thặng dư bậc hai modulo p a Ta định nghĩa: = p −1 a khơng bình phương modulo p Ký hiệu gọi ký hiệu Legendre (Adrien Legendre (1752 1833) nhà toán học người Pháp) Một số tính chất Cho p số nguyên tố lẻ không chia hết số nguyên a b Khi ta có tính chất sau a2 = 1 p ab a b = p p p a p−1 ≡ a (modp) (Tiêu chuẩn Euler) p a b Nếu a ≡ b (modp) = p p −1 −1 tùy theo p ≡ (mod4) hay p ≡ (mod4) p Khi = p ≡ (mod8) p ≡ (mod8); p = −1 p ≡ (mod8) p ≡ (mod8) p 65 Ví dụ Tính ký hiệu Legendre 47 65 18 Ta có = = = = 47 47 47 47 47 Định lý 1.1.4 (Luật thuận nghịch bậc hai Gauss) Giả sử p q p q số nguyên tố lẻ phân biệt Khi = trừ p ≡ q ≡ q p p q (mod4) =− q p Ví dụ Tính ký hiệu Legendre 12345 331 Lời giải 12345 331 331 = 331 = 331 = = (−1) =− =− =− 3 331 331 331 331 5 823 331 161 331 23 331 331 331 331 331 (−1) (−1) 23 23 23 23 = − (1) (1) (1) (1) =−1 1.2 Định lý thặng dư Trung hoa Định lý Thặng dư Trung Hoa tên người phương Tây đặt cho định lý Người Trung Quốc gọi Bài tốn Hàn Tín điểm binh Tục truyền Hàn Tín điểm qn số, ơng cho qn lính xếp hàng 3, hàng 5, hàng báo cáo số dư Từ ơng tính xác qn số đến người Trong mục này, chúng tơi trình bày nội dung định lý Thặng dư Trung Hoa số ví dụ Định lý 1.2.1 Giả sử m1 , m2 , , mt số nguyên dương đôi nguyên tố Đặt m = m1 · · · mt Cho a1 , , at ∈ Z số nguyên tùy ý Khi ta có khẳng định sau 1) Tồn c ∈ Z thỏa mãn   c ≡ a1 (modm1 ),     c ≡ a (modm ), 2      c ≡ a (modm ) t t 2) Nếu c nghiệm hệ đồng dư nghiệm tổng quát hệ x = c + ms, s ∈ Z Chứng minh m Vì m = mi ni Chú ý mi (mi , ni ) = 1, ∀i = 1, 2, , t số m1 , m2 , , mt đôi nguyên tố Bởi vậy, với i, phương trình đồng dư 1) Với i = 1, 2, , t đặt ni = ni x ≡ 1(modmi ) giải được; tức là, với i tồn số nguyên bi thỏa mãn ni bi ≡ 1(modmi ) (1.1) Mặt khác j khác i nj bj ≡ 0(modmj ) mi |nj Bây giờ, đặt c := a1 n1 b1 + · · · + at nt bt Khi với i, ta có c ≡ ni bi ≡ (mod mi ) Ta chứng minh xong khẳng định thứ 2) Giả sử d nghiệm khác hệ đồng dư Khi c ≡ d(modmi ) với i (1.2) Suy c ≡ d(modm) Vì d = c + ms với s Ngược lại, d = c + ms với s d ≡ c(modm), với i, d ≡ c ≡ (modm) Điều có nghĩa d nghiệm Ví dụ Giải hệ đồng dư    x ≡ 2(mod3) x ≡ 3(mod5)   x ≡ 5(mod7) Lời giải Ở ví dụ ví dụ ta dùng ký hiệu Ni−1 để nghiệm bi chứng minh định lý thặng dư Trung Hoa Ta có N1 = 5.7 = 35 ≡ 2(mod3) ⇒ N1−1 = 2, N2 = 3.7 = 21 ≡ 1(mod5) ⇒ N2−1 = 1, N3 = 3.5 = 15 ≡ 1(mod7) ⇒ N3−1 = Từ ta có nghiệm hệ x = 2.35.2 + 1.21.3 + 1.15.5 = 278 ≡ 68(mod105) Ví dụ Giải hệ đồng dư    x ≡ 3(mod5) x ≡ 7(mod8)   x ≡ 5(mod7) Lời giải Ta có N1 = 8.7 = 56 ≡ 1(mod5) ⇒ N1−1 = 1, N2 = 5.7 = 35 ≡ 3(mod8) ⇒ N2−1 = 3, N3 = 5.8 = 40 ≡ 5(mod7) ⇒ N3−1 = 22 u ≡ (modp), s ≡ (modp) Du2 − v ≡ modp2 Như (x, y) ∈ N20 F (x, y) ≡ s (modp), 8aDF (x, y) = Du2 − v + r ≡ r ≡ 8aDs modp2 Do (8aD, p) = 1, ta thấy đồng dư thức F (x, y) ≡ s( mod p) kéo theo F (x, y) ≡ s(modp2 ) Điều lại suy không tồn số nguyên x y để F (x, y) ≡ s + p(modp2 ) Do F (x, y) khơng tồn ánh từ N20 tới N0 , điều vô lý Như D phải số phương 2.4 Định lý Fueter-Pólya Định lý 2.4.1 (Fueter-Pólya) Mỗi đa thức xếp bậc hai đa thức Cantor Chứng minh (của Vsemirnov) Theo Bổ đề 2.3.5, D số phương Ta đặt D = t2 với t số ngun khơng âm Ta có a (t − b)2 + 2b(t − b)a + ca2 a = (t2 − b2 + ac) = Q(t − b, a) = Nhắc lại a c số nguyên dương Theo Bổ đề 2.3.3, dạng bậc hai Q(x, y) xác định dương với N20 Điều suy t − b < Theo Bổ đề 2.3.4, ta có ≤ t < b ≤ 1, b = Từ ta có − ac = b2 − ac = t2 ≥ < ac ≤ Điều suy a = c = 1, (x + y)2 F (x, y) = + (dx + ey) + f 2 Hơn nữa, d ≡ a ≡ 1( mod 2) e ≡ c ≡ 1( mod 2), tức là, d e số nguyên lẻ Nếu d = e F (x, y) = F (y, x) với (x, y) ∈ N20 F (x, y) 23 đơn ánh N20 Do đó, d = e Nếu d > e, d−e = 2g với g số nguyên dương F (x, y) = (x + y)(x + y + e) + gx + f Ta có e = e số lẻ F (0, −e) = F (0, 0) = f Do F (x, y) hàm xếp nên ta suy e ≥ Do đó, F (x, y) ≥ gx + f ≥ f với (x, y) ∈ N20 Từ ta suy f = F : N20 → N0 toàn ánh Nếu e ≥ 3, với (x, y) ∈ N20 \ {(0, 0)}, ta có x + y ≥ F (x, y) ≥ 1+e ≥ 2 Điều suy F (x, y) = với (x, y) ∈ N20 , trái giả thiết F : N20 → N0 toàn ánh Như vậy, e = F (x, y) = (x + y)(x + y + 1) + gx, với g số nguyên dương Ta có F (0, 1) = 1, F (1, 0) = + g F (x, y) ≥ với (x, y) ∈ N02 x + y ≥ Nếu g ≥ 2, F (x, y) = với (x, y) ∈ N20 , điều vơ lý Do đó, g = F (x, y) = C1 (x, y) đa thức Cantor thứ Tương tự, e > d, ta suy F (x, y) = C2 (x, y) đa thức Cantor thứ hai 24 Chương Đa thức Cantor hình quạt Trong chương chúng tơi trình bày hình quạt đa thức Cantor hình quạt Chúng tơi sử dùng liệu tham khảo [2] cho chương 3.1 Bài toán đa thức Cantor hình quạt Cho Ω tập Rn gọi L(Ω) tập điểm nguyên không âm nằm Ω, tức L(Ω) = Ω ∩ N20 Một đa thức xếp Ω đa thức F ∈ R[x1 , , xn ] cho F cảm sinh song ánh F : L(Ω) → N0 Trong chương ta xét trường hợp n = Với số thực dương α, ta xét hình quạt thực S(α) = {(x, y) ∈ R2 | ≤ y ≤ αx} hình quạt nguyên I(α) = S(α) ∩ N20 Như S(α) nón R2 với đỉnh (0, 0) có tia biên sinh điểm (1, 0) (1, α) tương ứng Ta quy ước (ứng với trường hợp α = ∞) S(∞) = {(x, y) ∈ R2 | ≤ x, ≤ y}, 25 I(∞) = S(∞) ∩ N20 = N20 Trong Chương ta trình bày kết rằng hai đa thức bậc hai xếp I(∞) hai đa thức Cantor F∞ (x, y) = C1 (x, y) = (x + y)2 x + 3y + 2 G∞ (x, y) = C2 (x, y) = (x + y)2 3x + y + 2 Với số nguyên dương s ≥ 2, ta xét hai đa thức sau F1/s (x, y) = (x − (s − 1)y)2 x + (3 − s)y + 2 (x − (s − 1)y)2 3x + (1 − 3s)y + G1/s (x, y) = 2 Trong chương chúng tơi trình bày kết hai đa thức F1/s G1/s đa thức xếp bậc hai I(1/s) 3.2 Hình quạt vị nhóm Cho (G, +) vị nhóm (monoid) giao hốn (với phép cộng) Tức phép tốn + G tính chất tính chất kết hợp, giao hốn có đơn vị: (1) (x + y) + z = x + (y + z), với x, y, z ∈ G; (2) x + y = y + x, với x, y ∈ G; (3) tồn phần tử ký hiệu G cho x + = + x = x, với x ∈ G Ví dụ Với số thực dương α α = ∞ tập I(α) vị nhóm phép cộng thơng thường Một tập W vị nhóm giao hốn cộng tính (G, +) gọi hệ sinh G phần tử G biểu diễn dạng tổ hợp tuyến tính với hệ số ngun khơng âm hữu 26 hạn phần tử W Các cách biểu diễn nói chung khơng Vị nhóm giao hoán G gọi tự hạng k chứa hệ sinh gồm k phần tử W = {w1 , , wk } cho phần tử v ∈ G k xi wi với xi ∈ N0 với có cách biểu diễn nhất dạng v = i=1 i = 1, , k Trong trường hợp tập W = {w1 , , wk } gọi sở tự vị nhóm G Rõ ràng w phần tử sở tự w = Ví dụ I(∞) = N20 vị nhóm giao hốn tự hạng với sở tự {(1, 0), (0, 1)} Định lý sau xác định vị nhóm giao hoán I (α) tự Định lý 3.2.1 Vị nhóm giao hốn I (α) tự với bậc bậc k k = α ∈ {1/s | s ∈ N0 } Hơn nữa, {(1, 0) , (s, 1)} sở tự I (1/s) với s ∈ N0 Chứng minh Xét α vô tỉ dương W tập hữu hạn I (α) \ {(0, 0)} Viết W = {w1 , , wk }, wi = (ai , bi ) ∈ I (α) \ {(0, 0)} với = với i = 1, , k Ta định nghĩa λ = µ = max bi : i = 1, , k bi : i = 1, , k Hình nón tạo tia không âm y = λx y = µx C = {(x, y) ∈ S (∞) : λx ≤ y ≤ µx} Nón C chứa W C chứa vị nhóm giao hốn W sinh W bi bi Vì ≤ α α số vơ tỉ nên ta có < α, với i = 1, , k ai Do µ < α Do tồn số nguyên dương c d cho µ< c < α d 27 Khi điểm ngun (c, d) thuộc I (α) khơng thuộc C Nói riêng (c, d) ∈ I(α) \ W Do vị nhóm I (α) khơng hữu hạn sinh Nói riêng I (α) khơng phải nửa nhóm giao hốn tự hạng k với k ∈ N Xét Γ = {(0, 0)} vị nhóm giao hốn nằm N20 hoặc, tổng quát nằm Q20 , Q0 tập số hữu tỉ không âm Nếu Γ tự hạng k ≥ tồn w1 , w2 , w3 ∈ Γ phần tử sở tự Γ Vì wi ∈ Q20 \ {(0, 0)} ⊆ Q2 \ {(0, 0)} , với i = 1, 2, 3, nên w1 , w2 , w3 Q-phụ thuộc tuyến tính Do tồn số hữu tỉ t1 , t2 , t3 không đồng thời 0, cho t1 w1 + t2 w2 + t3 w3 = (0, 0) Vectơ wi có toạ độ khơng âm ti > với i tj < với j Ta giả sử t1 > 0, t2 ≥ t3 < Khi ta có t1 w1 + t2 w2 = −t3 w3 Bằng cách nhân với mẫu chung phân số t1 , t2 , t3 , ta nhận số nguyên không âm x1 , x2 , x3 , với x1 ≥ x3 ≥ cho v := x1 w1 + x2 w2 = x3 w3 Như phần tử v có cách biểu diễn khác tổ hợp tuyến tính với hệ số không âm phần tử W , điều mẫu thuẫn với việc W sở Như ta phải có k ≤ Nếu k = 0, Γ = {(0, 0)}, điều vơ lý Do đó, Γ vị nhóm giao hốn tự hạng k k = Nếu α > α = ∞ (x, 0) ∈ I (α) với x ∈ N0 , (x, 1) ∈ I (α) với x ≥ Do đó, I (α) vị nhóm giao hốn α Q20 khơng nằm đường thẳng Do đó, I (α) tự hạng k k = 28 Bây ta xét α = r/s, r s hai số nguyên dương nguyên tố với r ≥ Các điểm nguyên (1, 0) (s, r) nằm I (r/s).Cho W = {w1 , w2 } ⊆ I (r/s) \ {(0, 0)} Nếu W sinh I (r/s) tồn số ngun khơng âm x1 x2 cho (1, 0) = x1 w1 + x2 w2 Điều suy w1 = (1, 0) w2 = (1, 0) Không tổng quát ta giả sử w1 = (1, 0) Do W sinh I (r/s) nên tồn số nguyên không âm y1 y2 cho (s, r) = y1 (1, 0) + y2 w2 Do y2 w2 = (s, r) − y1 (1, 0) = (s − y1 , r) ∈ I (r/s) Điều lại suy r ≤ (s − y1 )r/s y1 = (s, r) = y2 w2 Vì r s số nguyên tố nên y2 = w2 = (s, r) Như phần tử sinh W có dạng x1 (1, 0) + x2 (s, r) = (x1 + x2 s, x2 r), với x1 , x2 ∈ N0 Xét x số nguyên, thỏa mãn x ≥ s/r Khi (x, 1) ∈ I(α) Do tồn x2 ∈ N0 cho = x2 r Điều suy r = = x2 Như ta chứng minh I(r/s) sinh tập W hai phần tử r = W = {(1, 0), (s, 1)} Để chứng minh định lý ta cần chứng minh I(1/s) vị nhóm giao hoán tự Với (x, y) ∈ I (r/s) y ≤ x/s hoặc, tương đương, x − sy ∈ N0 , (x, y) = ((x − sy) + sy, y) =(x − sy, 0) + (sy, y) =(x − sy)(1, 0) + y(s, 1) Như W = {(1, 0), (s, 1)} hệ sinh I(1/s) Hơn cách 29 biểu diễn (x, y) vectơ (1, 0) (s, 1) độc lập tuyến tính R2 Vì I(1/s) tự hạng {(1, 0), (s, 1)} sở Chú ý Như chứng minh định lý trước, với số nguyên dương s I(1/s) vị nhóm tự với sở (1, 0), (s, 1) Điều suy phần tử I(1/s) a(1, 0) + b(s, 1) với a, b ∈ N0 , tức ta có I(1/s) = {(a + bs, b) | a, b ∈ N0 } Chẳng hạn I(1) = {(a + b, b) | a, b ∈ N0 } I(1/2) = {(a + 2b, b) | a, b ∈ N0 } Định lý 3.2.2 Tồn phép biến đổi tuyến tính từ R2 đến R2 cho hạn chế xuống I (∞) hàm song ánh lên I (α) α ∈ {1/s : s ∈ N0 } Hơn nữa, s ∈ N0 có hai biến đổi tuyến tính với ma trận theo sở tắc sau Λs = s Ms = s (3.1) Chứng minh Giả sử α ∈ {1/s : s ∈ N0 } Đặt T : R2 → R2 ánh xạ tuyến tính xác định T (1, 0) = (1, 0) T (0, 1) = (s, 1) Khi với (x, y) ∈ I(∞) = N20 T (x, y) = xT (1, 0) + yT (0, 1) = x(1, 0) + y(s, 1) = (x + ys, y) Do ánh xạ hạn chế T xuống I(∞) song ánh tới I(α) Ngược lại giả sử T : R2 → R2 phép biến đổi tuyến tính mà hạn chế T xuống I(∞) song ánh lên I(α) Đặt e1 = (1, 0), e2 = (0, 1), w1 = T (e1 ), w2 = T (e2 ) Khi I(∞) = {xe1 + ye2 : x, y ∈ N0 } 30 T (I(∞)) = {xT (e1 ) + yT (e2 ) : x, y ∈ N0 } = {xw1 + yw2 : x, y ∈ N0 } Vì I(∞) vị nhóm giao hốn tự với sở {e1 , e2 } nên T (I(∞)) = I(α) vị nhóm giao hốn tự với sở {w1 , w2 } Do theo Định lý 3.2.1, ta có α = 1/s với s ∈ N0 Trong trường hợp sở tự I(α) = I(1/s) {(1, 0), (s, 1)} Như ta phải có [w1 = (1, 0) w2 = (s, 1)] [w1 = (s, 1) w2 = (1, 0)] Trong trường hợp thứ ta suy ma trận T sở tắc Λs , trường hợp thứ hai ma trận tắc T sở tắc Ms Đối với số nguyên không âm s t, ta có Λs+t = Λs Λt Λs = Λs1 Λ−1 s = Λ−s Hơn nữa, Λs cảm sinh song ánh từ I(1/t) đến I(1/(s + t)), Ms = Λs M0 3.3 Đa thức xếp hình quạt I(1/s) Xét α > α = ∞ Đối với số nguyên dương d, gọi Pd (α) tập hợp đa thức xếp bậc d I(α) Định lý Fueter-Pólya chương trước P2 (∞) = {F∞ , G∞ } Định lý 3.3.1 Với α > 0, không tồn đa thức xếp tuyến tính I(α), tức là, P1 (α) = ∅ Chứng minh Với số nguyên dương n, ta đặt In (α) = {(x, y) ∈ I(α) : x ≤ n} Khi n |In (α)| = n ([αj] + 1) > j=0 αj = j=0 αn(n + 1) αn2 > 2 Giả sử f (x, y) = ax + by + c đa thức tuyến tính cho f (x, y) ∈ N0 với (x, y) ∈ I(α) Nếu (x, y) ∈ In (α) x ≤ n y ≤ αn, 31 ≤ f (x, y) = ax + by + c ≤ (|a| + α|b| + |c|)n Như vậy, hàm tuyến tính f đưa tập hợp lực lượng lớn (α/2)n2 vào tập hợp lực lương nhỏ Cn, C = |a|+α|b|+|c|+1 Rõ ràng hàm khơng thể đơn ánh n > 2C/α Do khơng có đa thức xếp tuyến tính I(α) Với s ∈ N0 , gọi Λs Ms ma trận xác định (3.1) Ta định nghĩa hàm Φ1 : Pd (1/s) → Pd (∞), xác định sau Với F = F (x, y) đa thức bậc d, ta định nghĩa Φ1 (F ) đa thức theo biến x, y cho Φ1 (F )(x, y) := (F ◦ Λs )(x, y) := F (x + sy, y) (Ở để đơn giản ký hiệu ta sử dụng Λs để ánh xạ tuyến x x + sy tính xác định ma trận Λ Và ý Λs = ) Từ y y định nghĩa ta thấy Φ1 (F ) đa thức bậc d Hơn F thuộc Pd (1/s), tức F cảm sinh song ánh từ I(1/s) đến N0 từ Định lý 3.2.2, Φ1 (F ) cảm sinh song ánh từ I(∞) đến N0 , tức Φ1 (F ) thuộc Pd (∞) Ta định nghĩa ánh xạ Ψ1 : Pd (∞) → Pd (1/s) xác định bởi, với G = G(x, y) đa thức bậc d Ψ1 (G)(x, y) := (G ◦ Λ−1 s )(x, y) = G(x − sy, y) Khi ta kiểm tra Ψ1 ánh xạ ngược Φ1 Tương tự trên, ta định nghĩa hàm Φ2 : Pd (1/s) → Pd (∞), xác định sau Với F = F (x, y) đa thức bậc d, ta định nghĩa Φ2 (F ) đa thức theo biến x, y cho Φ2 (F )(x, y) := (F ◦ Ms )(x, y) = F (sx + y, x) Ta định nghĩa hàm Ψ2 : Pd (∞) → Pd (1/s) xác định bởi, với 32 G = G(x, y) đa thức bậc d Ψ1 (G)(x, y) := (G ◦ Ms−1 )(x, y) := G(y, x − sy) Ta kiểm tra Ψ2 ánh xạ ngược Φ2 Định lý 3.3.2 Với s ∈ N0 , gọi Λs Ms ma trận xác định (3.1) Các ánh xạ Φ1 Φ2 từ Pd (1/s) đến Pd (∞) cho F → F ◦ Λs F → F ◦ Ms song ánh với nghịch đảo −1 F → F ◦ Λ−1 s F → F ◦ Ms Chứng minh Điều suy từ thảo luận Định lý 3.3.3 Đối với số nguyên s ≥ 1, đa thức F1/s (x, y) = G1/s (x, y) = (x − (s − 1)y)2 x + (3 − s)y + 2 (x − (s − 1)y)2 3x + (1 − 3s)y + 2 đa thức xếp bậc hai I(1/s) Chứng minh Ta có F∞ ◦ Λ−1 s (x, y) =F∞ (x − sy, y) (x − (s − 1)y)2 (x − sy) + 3y = + 2 =F1/s (x, y) G∞ ◦ Λ−1 s (x, y) =G∞ (x − sy, y) (x − (s − 1)y)2 3(x − sy) + y + 2 =G1/s (x, y) = Theo Định lý 3.3.2, hàm F → F ◦ Λ−1 s song ánh từ P2 (∞) lên 33 P2 (1/s) Do P2 (1/s) = F1/s , G1/s F1/s G1/s đa thức xếp bậc hai I(1/s) Ví dụ Trên I(1) = {(x, y) ∈ N20 : ≤ y ≤ x}, đa thức xếp bậc hai hai đa thức F1 (x, y) = G1 (x, y) = x(x + 1) +y x(x + 1) + x − y 34 Kết luận Luận văn trình bày vấn đề sau - Phát biểu chứng minh định lý thặng dư Trung hoa, trình bày luật thuận nghịch bậc hai - Trình bày chứng minh Vsemirnov định lý Fueter - Pólya khẳng định đa thức xếp bậc hai N20 đa thức Cantor - Trình bày kết Nathanson đa thức xếp bậc hai vị nhóm dạng I(1/s) 35 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Hữu Bạn (2014), Định lý thặng dư trung hoa, Đại học khoa học, Đại học Thái Nguyên Tiếng Anh [2] M B Nathanson (2014), Cantor polynomials for semigroup sectors, Journal of Algebra and Its Application 13, no 5, 1350165 (14 pages) [3] M B Nathanson (2016), Cantor polynomials and the FueterPólya theorem, American Mathematical Monthly 123, 10011012 [4] J.-P Serre (1973), A course in arithmetic, translated from the French, Graduate Texts in Mathematics, No 7, Springer-Verlag, New York-Heidelberg [5] M.A Vsemirnov (2001), Two elementary proofs of the FueterPólya theorem on matching polynomials, (Russian) Algebra i Analiz 13 no 5, 1-15; translation in St Petersburg Math J 13 (2002), no 5, 705-715 [6] M.A Vsemirnov (2002), Errata: "Two elementary proofs of the Fueter-Pólya theorem on matching polynomials” (Russian) [Algebra i Analiz 13 (2001), no 5, 1-15; MR1882861], (Russian) Algebra i Analiz 14, no 5, 240; translation in St Petersburg Math J 14 (2003), no 5, 887 36 Tiếng Đức [7] R Fueter and G Púlya (1923), Rationale Abză ahlung der Gitterpunkte, Vierteljschr Naturforsch Ges Ză urich 58, 280-386 ... y) đa thức xếp N20 Định nghĩa 2.1.1 Hàm C1 (x, y) C2 (x, y) gọi đa thức xếp Cantor Dễ thấy C1 C2 hai đa thức bậc hai Trong chương ta trình bày chứng minh Vsemirnov định lý Fueter- Pólya F đa thức. .. ánh từ N20 tới N0 , điều vơ lý Như D phải số phương 2.4 Định lý Fueter- Pólya Định lý 2.4.1 (Fueter- Pólya) Mỗi đa thức xếp bậc hai đa thức Cantor Chứng minh (của Vsemirnov) Theo Bổ đề 2.3.5, D số... Định lý thặng dư Trung hoa 1.3 Định lý Dirichlet số nguyên tố cấp số cộng Chứng minh sơ cấp định lý Fueter- Pólya 10 2.1 Đa thức Cantor 10 2.2 Đa thức xếp