TÓM tắt GIẢI TÍCH 2

aaaa aaaa aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaasdfasdf aaaaaaaaaaaaa weraf e e gsff e ă e ddddddddddddg ddddddddddddddddddddddđ ádfawerfafsd;lkjasd;klfjaslkdjfa ;lsdkjf a;werasdvzxcvzvxcv

TÓM TẮT PHẦN TÍCH PHÂN GIẢI TÍCH 2

1 Tích phân bội 3

- Nếu miền Ω có hình chiếu xuống mặt phẳng Oxy là miền D và giới hạn trên bởi mặt z=φ(x,y) và giới hạn dưới bởi z=ψ(x,y) thì:

( , )

( , ) ( , y,z)dxdydz ( , , )

x y

ϕ

ψ Ω

=

- Một số lưu ý tìm hình chiếu:

+ Khi vật thể chỉ giới hạn bởi 2 mặt thì ta tìm hình chiếu của nó xuống mặt z=0 bằng cách khử z từ hai phương trình mặt

VD:

2 2

z= x + y

và

2 2

2

z= −x −y

ta sẽ được

x +y = −x − y ⇔ x +y =

+ Đối với các vật thể có giới hạn nhiều hơn 2 mặt thì ta chọn dựa vào các phương trình không chứa z để tìm D

VD:

2 2

z x= + y

,

2

y x=

, y=1

, z=0 ta sẽ chọn các mặt

2

y x=

, y=1 để lấy miền D

+Nếu các mặt không đủ để tạo miền D đóng thì ta tìm giao tuyến của các mặt còn lại với mặt z=0 để tìm miền D Còn nếu các mặt đủ tạo miền D đóng thì giao tuyến của các mặt còn lại sẽ giúp cho ta quyết định φ(x,y) và ψ(x,y) cái nào cận trên cái nào cận dưới

- Đổi biến sang tọa độ trụ:

2

sin cos

sin sin ; sin

cos

x

z

=





 =



2 ( , y,z)dxdydz sin

Ω

=

 Tọa độ cầu mở rộng:

2sin

J =abρ θ

với a,b là hệ số của x,y trong phương trình elip

- Ứng dụng hình học: Tính thể tích cho f=1

2 Tích phân đường loại 1

- Cách tính tham số hóa đường cong: Cung AB có x=x(t), y=y(t), với t1≤t≤t2:

'2 '2

( , ) ( ( ), ( )) t t

AB

f x y dl= f x t y t x +y dt

Tương tự cho không gian 3 chiều x, y, z

Lưu ý: Cách tìm đường thẳng đi qua 2 điểm A, B:

;

x x x x t



 = + −



- Ứng dụng: tính độ dài đường thẳng

3 Tích phân đường loại 2

Cách tính:

- Cách 1: Dùng định nghĩa:

Nếu cung AB có tham số: x=x(t), y=y(t) đi từ A(x(t1), y(t1)) đến B(x(t2), y(t2)) thì:

2

( ( ), ( )) ( ) ( ( ), ( )) ( )

t

Pdx Qdy+ = P x t y t x t +Q x t y t x t dt

Lưu ý: Không ghi t1≤t≤t2 chỉ được ghi t đi từ t1 đến t2

- Cách 2: Dùng công thức Green:

Cho D là miến đóng và bị chặn trong mp Oxy với biên C trơn từng khúc

' '

( x y)

Pdx Qdy+ = ± Q −P dxdy

Ñ

Lưu ý: Dấu “+” hướng C là đường cong kín hướng dương

Nếu C không kín thì ta phải bù thêm Nếu miền C có điểm không tính được thì ta

bỏ điểm đó đi (Xem trong bài giảng để biết chi tiết)

- Cách 3: Tích phân không phụ thuộc đường đi:

Nếu Q’

x=P’

y, tồn tại U(x,y) sao cho dU=Pdx+Qdy

Có 2 cách để tính:

+ Chọn đường khác từ A đến B sao cho song song với các trục tọa độ

+Giải hệ:

' '

x y





tìm U giống như trong pt vi phân toàn phần (giải tích 1)

(B) ( )

AB Pdx Qdy+ = dU U= −U A

Lưu ý:

Ta nên sử dụng các cách trên theo ưu tiên sau đây:

Nếu hàm P, Q đơn giản: Không phụ thuộc đường đi, tính theo định nghĩa, Green.

Nếu hàm P, Q phức tạp: Không phụ thuộc đường đi, Green, tính theo định nghĩa.

4 Tích phân mặt loại 1:

Cách tính:

B1: Tìm hình chiếu mặt S xuống một trong các mặt phẳng Oxy (Dxy), Oyz (Dyz), Oxz (Dxz) Ở đây ta giả sử chiếu xuống mặt Oxy

B2: Từ phương trình mặt phẳng F(x, y, z)=0 ta rút z theo x, y

Tính

' 2 ' 2

dS = +z +z dxdy

Ta sẽ được:

' 2 ' 2 ( , , ( , )) ( , , ( , )) 1

I = ∫∫ f x y z x y dS =∫∫ f x y z x y +z +z dxdy

5 Tích phân mặt loại 2:

- Vecto gradient:

∇F(M)=(F’x(M), F’y(M),F’z(M))

F n

F

∇

= ±

∇

r

- Cách xác định vecto đơn vị của mặt S với phương trình mặt S là F(x, y, z)=0

B1: ∇F=(F’x, F’y,F’z)

B2: Xác định một trong 3 góc α, β, γ (góc hợp bởi vecto pháp tuyến với trục Ox, Oy, Oz) là nhọn hay tù đề suy ra một trong 3 tọa độ của pháp vecto là dương hay âm và so

sánh với dấu tọa độ tương ứng của

F n

F

∇

= ±

∇

r

= (cosα, cosβ, cosγ) B3: Xác định dấu của pháp vecto đơn vị

- Cách tính tích phân mặt loại 2:

+ Cách 1: Chuyển về tích phân mặt loại 1:

Tím pháp vecto n của mặt S:

F n

F

∇

= ±

∇

r

= (cosα, cosβ, cosγ) Thay vào công thức sau:

Pdydz Qdzdx Rdxdy+ + = P α + β+R γ dS

+ Cách 2: Tính từng phần của tích phân mặt loại 2:

I =∫∫P x y z z=∫∫P αdS

theo 4 bước:

B1: xác định góc α nhọn hay tù để biết được cosα dương hay âm

B2: Vì cần tính theo dydz nên ta tìm hình chiếu S xuống mặt phẳng Oyz

là Dyz

B3: Viết phương trình mặt S: F(x,y,z)=0 ↔ x=x(y,z) để thay vào hàm P B4: Đưa tích phân trên thành tích phân kép:

I =∫∫P x y z z= ±∫∫P x y z y z z

Trong đó tích phân kép lấy dấu dương hay âm nếu cosα dương hay âm Nếu S song song với trục Ox thì α=π/2 nến cosα=0 vậy khi đó I1=0 Tương tự cho các tích phân I2, I3

+ Cách 3: Công thức Gauss-Ostrogratxki:

Cho miền V đóng và bị chặn trong không gian có biên là mặt S trơn từng khúc:

' ' '

Pdydz Qdzdx Rdxdy+ + = ± P +Q +R dV

Trong đó tích phân bội ba lấy dấu “+” nếu S là biên ngoài V và lấy dấu

“-“ nếu S là biên phía trong V

- Công thức Stockes:

Pdx Qdy Rdz+ + = Q −P dxdy+ −R dzdx+ −Q dydz

Ñ

Với S là mặt có biên là đường cong C trơn từng khúc

Trong đó hướng của S được lấy sao cho khi đứng trên mặt S theo phía

sẽ chọn và đi dọc đường cong C theo hướng đã cho thì ta thấy mặt S bên tay trái

Lưu ý: Một số kinh nghiệm xác định hướng của mặt S trong quá trình tính theo CT Stockes:

Ngược chiều KĐH nhìn từ trục z dương thì có

2

π

γ < → γ >

Ngược chiều KĐH nhìn từ phía trục y âm thì có

2

π

β > → β <

Cùng chiều KĐH nhìn từ phía trục x dương thì có

2

π

α > → α <

Các kinh nghiệm này chỉ đúng trong một số trường hợp nên khuyến khích sử dụng cách xác định như trong bài giảng thầy cô đã nêu

SƠ ĐỒ MỐI LIÊN HỆ GIỮA CÁC TÍCH PHÂN

-Hết -Chúc các bạn thì tốt!