BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI TRẦN THỊ HUYỀN TRANG VỀ MỘT SỐ LỚP ÁNH XẠ CO LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI TRẦN THỊ HUYỀN TRANG VỀ MỘT SỐ LỚP ÁNH XẠ CO Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS TRẦN QUỐC BÌNH Hà Nội - 2017 Lời cám ơn Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn TS Trần Quốc Bình Thầy giao đề tài tận tình hướng dẫn tơi q trình hồn thành luận văn Nhân dịp tơi xin gửi lời cám ơn tới tồn thầy giáo Khoa Tốn Phòng Sau Đại học giảng dạy giúp đỡ chúng tơi suốt q trình học tập Đồng thời xin cảm ơn bạn lớp cao học K19 Tốn Giải Tích đợt nhiệt tình giúp đỡ tơi q trình học tập lớp Hà Nội, tháng năm 2017 Tác giả Trần Thị Huyền Trang i Lời cam đoan Tôi xin cam đoan Luận văn "Về số lớp ánh xạ co" cơng trình nghiên cứu riêng tơi hướng dẫn trực tiếp TS Trần Quốc Bình Trong q trình nghiên cứu, tơi kế thừa thành khoa học nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng năm 2017 Tác giả Trần Thị Huyền Trang ii Mục lục Lời cám ơn i Lời cam đoan ii Mở đầu 1 Định nghĩa dạng ánh xạ co 1.1 Định nghĩa ánh xạ co 1.2 Một số dạng ánh xạ co Mối quan hệ dạng ánh xạ co 17 2.1 Mối quan hệ dạng ánh xạ co 17 2.2 Một số điều kiện bổ sung 33 Các định lý điểm bất động 36 3.1 Một số định lý điểm bất động 36 3.2 Cặp ánh xạ 43 3.3 Dãy ánh xạ 46 Kết luận 49 Tài liệu tham khảo 50 iii Mở đầu Lí chọn đề tài Kể từ năm 1961, Edelstein mở rộng nguyên lý ánh xạ co Banach, vòng 15 năm có hàng loạt cơng trình mở rộng ngun lý này, chẳng hạn như: d(A(x), A(y)) ≤ a[d(x, A(x)) + d(y, A(y))] (Kannan) d(A(x), A(y)) ≤ ad(x, A(x)) + bd(y, A(y)) + cd(x, y) (Reich) d(A(x), A(y)) ≤ a1 d(x, y) + a2 d(x, A(x)) + a3 d(y, A(y)) + a4 d(x, A(y)) + a5 d(y, A(x)) (Hardy Rogers) Năm 1977, Rhoades tổng hợp cơng trình đó, hóa có 25 dạng co Ngoài xét dạng sau: d(Ap (x), Ap (y)), d(Ap (x), Aq (y)), d(Ap(x) (x), Ap(x) (y)) ta thu 125 dạng co khác Rhoades bỏ công so sánh mức độ tổng quát dạng co đó, với phản ví dụ kèm theo, dạng b dạng a Ngồi Rhoades phát biểu thêm số định lý ánh xạ co khác, bù vào số đinh lý chưa chứng minh 125 dạng Được truyền cảm hứng từ cơng trình Rhoades, định chọn đề tài “Về số lớp ánh xạ co” làm đề tài luận văn Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu số dạng ánh xạ co phổ biến, qua mối tương quan chúng chứng minh số định lý điểm bất động Nhiệm vụ nghiên cứu • Nghiên cứu số dạng ánh xạ co • Quan hệ dạng ánh xạ co • Các định lý điểm bất động Đối tượng phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiên cứu: dạng ánh xạ co • Phạm vi nghiên cứu: tồn điểm bất động mối liên hệ số dạng ánh xạ co Phương pháp nghiên cứu Sử dụng kiến thức giải tích hàm để nghiên cứu vấn đề Tổng hợp, phân tích, hệ thống khái niệm, tính chất Đóng góp luận văn Luận văn tài liệu tổng quan dạng ánh xạ co, so sánh anh xạ co số định lí điểm bất động Chương Định nghĩa dạng ánh xạ co Ánh xạ co định nghĩa không gian metric đầy đủ X biết đến nhiều ánh xạ co Banach Mỗi ánh xạ co có điểm bất động Điểm bất động ln tìm cách sử dụng phép lặp Picard với điểm đầu x0 ∈ X Ký hiệu X không gian metric đầy đủ với hàm khoảng cách d, A ánh xạ từ X vào Trong chương ta liệt kê 25 dạng ánh xạ co, chứng minh số dạng, tổng quát dạng ánh xạ co từ 26 đến 125 1.1 Định nghĩa ánh xạ co Ánh xạ A từ không gian metric (X, d) vào không gian metric (Z, ρ) gọi ánh xạ co tồn số α ∈ [0, 1) cho: ρ (Ax, Ay) ≤ α d (x, y) ∀ x, y ∈ X Như ánh xạ co trường hợp riêng ánh xạ Lipschitz hiển nhiên liên tục 1.2 Một số dạng ánh xạ co Cho không gian metric đầy đủ (X, d) , C ∈ X , A : C → X Khi A có điểm bất động x∗ (thỏa mãn Ax∗ = x∗ ) A thỏa mãn dạng sau: Định lý 1.2.1 (Banach) Tồn α ∈ [0, 1) cho với x, y ∈ X, x = y , d (Ax, Ay) ≤ α d (x, y) (1) Chứng minh Lấy x0 thuộc (X, d), xét dãy {xn } với {xn } = Axn−1 (n = 1, 2, ) Từ (1) ta có: d (x1 , x2 ) = d (Ax0 , Ax1 ) ≤ α d (x0 , x1 ) ⇒ d (xn+1 , xn ) ≤ αn d (x0 , x1 ) Do α < ⇒ ∃ > thảo mãn: tìm số nguyên N đủ lớn N = 1, 2, ε (1 − α) cho: αn < d (x0 , x1 ) Với m, n ∈ (0, 1, ) , m > n > N áp dụng bất đẳng thức tam giác: d (xm , xn ) < d (xm , xm−1 ) + d (xm−1 , xm−2 ) + · · · + d (xn+1 , xn ) < αm−1 d (x0 , x1 ) + αm−2 d (x0 , x1 ) + · · · + αn d (x0 , x1 ) m−1 αk = d (x0 , x1 ) k=n m−n−1 n = d (x0 , x1 ) α αk k=n ∞ < d (x0 , x1 ) αn αk k=0 1−α ≤ d (x0 , x1 ) αN 1−α ε (1 − α) < d (x0 , x1 ) =ε d (x0 , x1 ) − α = d (x0 , x1 ) αn ⇒ {xn } dãy Cauchy Lấy lim xn = x∗ x→∞ ∗ Ta có: x = lim xn = lim Axn−1 = A lim xn−1 = Ax∗ x→∞ x→∞ x→∞ ⇒ x∗ điểm bất động A Giả sử tồn y ∈ (X, d) , y = x∗ , Ay = y Khi đó: d (x∗ , y) = d (Ax∗ , Ay) ≤ αd (x∗ , y) < d (x∗ , y) (vô lý) ⇒ x∗ điểm bất động A Định lý 1.2.2 (Rakotch) Với x, y ∈ X, x = y , d (Ax, Ay) ≤ α [d (x, y)] d (x, y) (2) Với α [d (x, y)] hàm phụ thuộc vào d (x, y) thỏa mãn hai điều kiện sau: + ≤ α (d) < ∀d > + α (d) hàm đơn điệu giảm d Chứng minh Lấy x0 thuộc X , đặt xn = An x0 Từ (2), suy d (xn , xn+1 ) = d (Axn−1 , Axn ) ≤ α [d (x, x)] d (xn−1 , xn ) < d (xn−1 , xn ) ⇒ d (xn+1 , xn ) < d (xn , xn−1 ) < · · · < d (x1 , xo ) Mặt khác, theo bất đẳng thức tam giác: d (xn , x0 ) ≤ d (x0 , x1 ) + d (x1 , xn+1 ) + d (xn , xn+1 ) < 2d (x0 , x1 ) + d (Ax0 , Ax1 ) ≤ 2d (x0 , x1 ) + α [d (x0 , xn )] d (x0 , xn ) Chương Các định lý điểm bất động 3.1 Một số định lý điểm bất động Định lý 3.1.1 Cho A ánh xạ liên tục thỏa mãn (22) Nếu x∗ điểm tụ dãy {An x0 } với x0 ∈ X x∗ điểm bất động A An (x0 ) → x∗ Định lý trường hợp đặc biệt định lý 3.1.4 với p = Định lý 3.1.2 Cho A ánh xạ thỏa mãn (23), x0 ∈ X Khi tồn điểm bất động x∗ A An (x0 ) → x∗ Chứng minh Lấy x0 ∈ X , xét dãy {xn } với xn = Axn−1 Do A thỏa mãn (23): d (xn , xn+1 ) = d (Axn−1 , Axn ) ≤ α1 d (xn−1 , xn ) + α2 d (xn , xn+1 ) + α3 d (xn−1 , xn+1 ) + α5 d (xn−1 , xn ) Để ngắn gọn ta đặt αi = αi (d (xn−1 , xn )) Tương tự ta có: d (xn+1 , xn ) ≤ α1 d (xn , xn+1 ) + α2 d (xn−1 , xn ) + α4 d (xn−1 , xn+1 ) + α5 d (xn , xn−1 ) Cộng vế bất đẳng thức ta được: 2d (xn+1 , xn ) ≤ (α1 + α2 + 2α5 ) d (xn−1 , xn ) + (α1 + α2 ) d (xn , xn+1 ) + (α3 + α4 ) d (xn−1 , xn+1 ) 36 Mà d (xn−1 , xn+1 ) ≤ d (xn−1 , xn ) + d (xn , xn+1 ) α1 + α2 + α3 + α4 + 2α5 d (xn−1 , xn ) < d (xn−1 , xn ), d (xn−1 , xn+1 ) ≤ − α1 − α2 − α3 − α4 αi (t) < i=1 Vậy dãy {d (xn , xn+1 )} đơn điệu giảm Gọi giới hạn p, giả sử p > α1 (t) + α2 (t) + α3 (t) + α4 (t) + 2α5 (t) Đặt q (t) = − α1 (t) − α2 (t) − α3 (t) − α4 (t) Khi bn = d (xn , xn+1 ) ≥ p nghĩa q (bn ) ≤ q (p) < 1, với n, ta có: d (xn+1 , xn ) ≤ q (p) d (xn , xn−1 ) ≤ · · · ≤ (q (p))n d (x0 , x1 ) → n → ∞ Ta chứng minh {xn } dãy Cauchy Với cặp số nguyên m, n, giả sử d (xm−1 , xn−1 ) = 0, d (xm , xn ) ≤ α1 d (xm−1 , xm ) + α2 d (xn−1 , xn ) + α3 d (xm−1 , xn ) +α4 d (xn−1 , xm ) + α5 d (xm−1 , xn−1 ) Có thể viết lại dạng (α1 + α3 + α5 ) d (xm−1 , xm ) + (α2 + α4 + α5 ) d (xn−1 , xn ) d (xm , xn ) ≤ − α3 − α4 − α5 β (t) γ (t) Đặt r (t) = ; s (t) = ξ (t) ξ (t) Với β (t) = α1 (t) + α3 (t) + α5 (t) γ (t) = α2 (t) + α4 (t) + α5 (t) ξ (t) = − α3 (t) − α4 (t) − α5 (t) r (t) s (t) hàm đơn điệu giảm Cố định ε > Nếu β (ε) = γ (ε) = tồn số nguyên N cho với m, n ≥ N , ε d (xm−1 , xm ) < ε/r ,ε 2 ε d (xn−1 , xn ) < ε/s ,ε 2 37 ε Nếu r (ε) = 0, chọn N cho m ≥ N d (xm−1 , xm ) < ε • Với m, n thỏa mãn d (xm−1 , xm ) ≥ thì: ε ε ε ε d (xm , xn ) ≤ r d (xm−1 , xm ) + s d (xn−1 , xn ) < + = ε 2 2 ε • Với m, n thỏa mãn d (xm−1 , xm ) < , sử dụng tính chất đối xứng αi bất đẳng thức tam giác, ta có: d (xm , xn ) ≤ (α1 + α2 + α3 + α4 ) [d (xm−1 , xm ) + d (xn−1 , xn )] + (α3 + α4 + α5 ) d (xm−1 , xn−1 ) < (α1 + α2 + 2α3 + 2α4 + α5 ) ε ε < = ε 2 ⇒ {xn } dãy Cauchy Đặt x∗ = lim xn , ta cần chứng minh x∗ điểm bất động A Trước n→∞ tiên ta chứng minh xn+1 → A (x∗ ) Giả sử x∗ = xn ∀ n, A thỏa mãn (23) nên: (α1 + α3 ) d (xn , xn+1 ) + (α2 + α4 ) d (x∗ , xn+1 ) + α5 d (xn , x∗ ) d (xn+1 , Ax ) ≤ − α2 − α3 ∗ Sử dụng tính đối xứng αi : (α1 + α3 ) d (x∗ , xn+1 ) + (α2 + α4 ) d (xn , xn+1 ) + α5 d (x∗ , xn ) d (Ax , xn+1 ) ≤ − α1 − α4 ∗ αi (t) < ∀ t > nên hai tổng α2 +α3 α1 +α4 Vì i=1 với vơ hạn cách chọn ni n Vậy lim d (Ax∗ , xni +1 ) = phải nhỏ i→∞ Vì d (xn , xn+1 ) đơn điệu giảm với n, ta suy xn+1 → A (x∗ ) Vì xn → x∗ ⇒ x∗ = Ax∗ Vậy x∗ điểm bất động A Tính suy từ Bổ đề 2.2.1 Định lý 3.1.3 Lấy A thỏa mãn (24), x0 ∈ X Khi tồn điểm bất động x∗ A An (x0 ) → x∗ 38 Định lý trường hợp đặc biệt định lý 3.1.6 với p = Định lý 3.1.4 Lấy A thỏa mãn (47), A liên tục Nếu x∗ điểm tụ dãy {Apn (x0 )} với x0 ∈ X x∗ điểm bất động A An (x0 ) → x∗ Định lý suy trực tiếp từ định lý 3.1.7 với q = p Chú ý (47) có dạng: Với x, y ∈ X, x = y , d (Ap x, Ap y) < max {d (x, y) , d (x, Ap x) + d (y, Ap y) , [d (x, Ap y) + d (y, Ap x)]} (47) Định lý 3.1.5 Lấy A thỏa mãn (48), x0 ∈ X Khi tồn điểm bất động x∗ A An (x0 ) → x∗ Chứng minh Lấy x0 ∈ X , xét dãy {xn } với xn+1 = Axn Chọn w số nguyên thỏa mãn ≤ w < p xét dãy {xw , xw+p , , xw+np , } Áp dụng kết định lý 3.1.2 với dãy cách thay A Ap , ta thu kết quả: Anp (xw ) → x∗ x∗w điểm bất động Ap Giả sử tồn m, n, m = n hai giá trị x∗w ứng với hai cách chọn w khác Khi đó: d (m, n) = d (Ap (m) , Ap (n)) ≤ α1 d (m, Ap (m)) + α2 d (n, Ap (n)) + α3 d (m, Ap (n)) + α4 d (n, Ap (m)) + α5 d (m, n) = (α3 + α4 + α5 ) d (m, n) (vô lý) ∗ Do với w dãy {xw+np }∞ n=0 hội tụ đến giới hạn x ⇒ {xn }hội tụ đến x∗ x∗ điểm bất động Ap ⇒ Ap (Ax∗ ) = A (Ap (x∗ )), Ax∗ điểm bất động Ap Từ 39 kết phía trên, Ap có điểm bất động Vậy Ax∗ = x∗ x∗ điểm bất động A Tính điểm bất động suy từ Bổ đề 2.2.1 Định lý 3.1.6 Lấy A thỏa mãn (49), x0 ∈ X Khi tồn điểm bất động x∗ A An (x0 ) → x∗ Định lý 3.1.7 Lấy A liên tục thỏa mãn (72) Nếu x∗ điểm tụ dãy A(p+q)n (x0 ) với x0 ∈ X x∗ điểm bất động A An (x0 ) → x∗ Định lý 3.1.8 Lấy A thỏa mãn (73) bổ sung điều kiện αi : α1 (t) + α3 (t) + α5 (t) α2 (t) + α4 (t) + α5 (t) < 1, (i): r (t) s (t) = − α2 (t) − α3 (t) − α1 (t) − α4 (t) với t > Lấy x0 ∈ X Khi Ap Aq có điểm bất động Nếu có thêm điều kiện sau: (ii): lim+ α2 (t) + α3 (t) < lim+ α1 (t) + α4 (t) < t→0 t→0 A có điểm bất động x∗ An (x0 ) → x∗ Chứng minh Xét dãy {xn } với xn+1 = Axn , chứa dãy xw , xq+w , , xn(q+p)+w , xn(q+p)+q+w , , với w số nguyên cố định thỏa mãn ≤ w < p + q Giả sử xn = xm với n = m Vì A thỏa mãn (73) nên: d xn(q+p)+w , xn(q+p)+q+w = d Ap x(n−1)(q+p)+q+w , Ap xn(q+p)+w ≤ α1 d x(n−1)(q+p)+q+w , xn(q+p)+w + α2 d xn(q+p)+w , xn(q+p)+q+w + α3 d x(n−1)(q+p)+q+w , xq+n(q+p)+w + α5 d x(n−1)(q+p)+q+w , xn(q+p)+w Vậy: d xn(q+p)+w , xn(q+p)+q+w ≤ r (bn ) d x(n−1)(q+p)+q+w , xn(q+p)+w Với bn = d x(n−1)(q+p)+w , xn(q+p)+w Tương tự: d x(n−1)(q+p)+q+w , xn(q+p)+w ≤ s (bn ) d x(n−1)(q+p)+w , x(n−1)(q+p)+q+w 40 Cộng vế bất đẳng thức sử dụng điều kiện (i) dãy {cn } với cn = d xn(q+p)+w , xn(q+p)+q+w đơn điệu giảm theo n Đặt u giới hạn dãy, giả sử u > Đặt v = r (u) s (u) cn ≥ u kéo theo r (cn ) s (cn ) ≤ q với n Vậy cn ≤ v cn−1 ≤ · · · ≤ v n c0 → Vì A thỏa mãn (73) sử dụng bất đẳng thức tam giác ta viết: d xn(q+p)+q+w , xm(q+p)+w ≤ [β (dmn ) bm + γ (dmn ) cn ] = ξ (dmn ) Ở dmn = d x(m−1)(q+p)+q+w , xn(q+p)+w α, β, ξ định nghĩa định lý 3.1.2 Cố đinh ε > giả sử dmn = với m, n Như định lý 3.1.2 ta tìm số ngun m, n ≥ N kéo theo cn < ε d xn(q+p)+q+w , xm(q+p)+w < ε Vậy d xn(q+p)+w , xm(q+p)+w < 2ε d xn(q+p)+q+w , xm(q+p)+q+w ≤ d xn(q+p)+q+w , xm(q+p)+w + cm < 2ε Vậy dãy {xw , xq+w , xp+q+w , } dãy Cauchy, hội tụ giới hạn x∗w Tương tự ta dãy xw , xp+w , xp+q+w , , xn(p+q)+w , xn(p+q)+p+w , dãy Cauchy, hội tụ giới hạn yw∗ Hai dãy chung dãy xn(p+q)+w nên x∗w = yw∗ Sử dụng (73) bất đẳng thức tam giác với x∗w = xn(p+q)+w với n, ta được: (a): d (Ap (x∗w )) , Aq xn(p+q)+w (α1 + α3 ) d x∗ , xn(p+q)+q+w + (α2 + α4 ) cn + α5 d x∗ , xn(p+q)+w ≤ − α1 − α4 p q (b): d A xn(p+q)+w , A (x∗w ) (α1 + α3 ) d xn(p+q)+w , xn(p+q)+q+w + (α2 + α4 ) d x∗w , xn(p+q)+p+w ≤ − α2 − α3 α5 d xn(p+q)+w,x∗w − α2 − α3 αi có giá trị d x∗w , xn(p+q)+w + 41 Tương tự định lý 3.1.2 , có hai tổng α2 + α3 α1 + α4 phải nhỏ với vô hạn cách chọn ni n Do từ (a) (b) xn(p+q)+q+w → Ap x∗w xn(p+q)+p+w → Aq x∗ Vậy x∗w điểm bất động Ap Aq Nếu điều kiện (ii) thỏa mãn từ (a) (b) Ap Aq nhận x∗w điểm bất động Giả sử m, n giá trị khác x∗w ứng với cách chọn khác w Khi đó: d (m, n) = d (Ap (m) , Ap (n)) ≤ α1 d (m, Ap (m)) + α2 d (n, Ap (n)) + α3 d (m, Ap (n)) + α4 d (n, Ap (m)) + α5 d (m, n) = (α3 + α4 + α5 ) d (m, n) (vơ lý) Do với w dãy {xw+np } hội tụ đến giới hạn x∗ ⇒ {xn }hội tụ đến x∗ x∗ điểm bất động Ap ⇒ Ap (Ax∗ ) = A (Ap (x∗ )) = Ax∗ , Ax∗ điểm bất động Ap Tuy nhiên x∗ điểm bất động Ap Vậy Ax∗ = x∗ x∗ điểm bất động A Tính điểm bất động suy từ Bổ đề 2.2.1 Đặt O (x, n) = {x, Ax, , An x} Với tập A, đặt: δ (A) = sup {d (x, y) |x, y ∈ A} Định lý 3.1.9 Cho A thỏa mãn (74), x0 ∈ X Khi tồn điểm bất động x∗ A An (x0 ) → x∗ Định lý 3.1.10 Cho A thỏa mãn (91) (94), lấy B ⊂ X với A (B) ⊂ B Nếu tồn x∗ ∈ B n ∈ N∗ , n = n (x∗ ) cho An (x∗ ) = x∗ đóx∗ điểm bất động A B An (x0 ) → x∗ với x0 ∈ B 42 3.2 Cặp ánh xạ Với định nghĩa ánh xạ co nêu phần trước, thay sử dụng ánh xạ A nhất, ta sử dụng điều kiện tương ứng với cặp ánh xạ A, B : X → X Từ ta có dạng ánh xạ co từ (126) đến (250) Ví dụ dạng (129): Tồn a ∈ 0, cho với x, y ∈ X , d (Ax, By) ≤ a [d (x, Ax) + d (y, By)] (129) Bây ta liệt kê số định lý điểm bất động chung cho loại từ (126) đến (250) Định lý 3.2.1 Cho A, B thỏa mãn (146): Với x, y ∈ X , d (Ax, By) ≤ α1 (x, y) d (x, y) + α2 (x, y) d (x, Ax) (146) + α3 (x, y) d (y, By) + α4 (x, y) [d (x, By) + d (y, Ax)] Khi A B có điểm bất động chung x∗ (AB)n (x0 ) → x∗ ; (BA)n (x0 ) → x∗ Chứng minh Lấy x0 ∈ X , xét dãy {xn } với x2n+1 = Ax2n , x2n+2 = Bx2n+1 Giả sử xn = xn+1 với n d (x2n+1 , x2n+2 ) = d (A (x2n ) , B (x2n+1 )) ≤ h max d (x2n , x2n+1 ) , d (x2n+1 , x2n+2 ) , d (x2n , x2n+2 ) + = h M (x2n , x2n+1 ) M (x2n , x2n+1 ) = d (x2n , x2n+2 ) dẫn tới mâu thuẫn: d (x2n+1 , x2n+2 ) ≤ hd (x2n+1 , x2n+2 ) Do d (x2n+1 , x2n+2 ) ≤ hd (x2n , x2n+1 ) 43 Tương tự d (x2n , x2n+1 ) ≤ hd (x2n−1 , x2n ) Vậy d (x2n+1 , x2n+2 ) ≤ h2 d (x2n−1 , x2n ) ≤ ≤ h2n d (x1 , x2 ) d (x2n , x2n+1 ) ≤ h2n d (x0 , x1 ) Đặt r (x0 ) = max {d (x0 , x1 ) , d (x1 , x2 )} với m > n : m−m−1 d (xn+k , xn+k+1 ) d (xm , xn ) = k=0 m−m−1 h2(n+k) r (x0 ) ≤ k=0 2n ≤ h r (x0 ) − h2 −1 ⇒ {xn } dãy Cauchy hội tụ đến x∗ d (Ax∗ , x∗ ) ≤ d (Ax∗ , x2n+2 ) + d (x2n+2 , x∗ ) d (Ax∗ , x2n+2 ) ≤ h max {d (x∗ , x2n+1 ) , d (x∗ , Ax∗ ) , d (x2n+1 , x2n+2 ) , [d (x∗ , x2n+2 ) + d (x2n+1 , Ax∗ )]} Lấy giới hạn n → ∞ ta được: d (Ax∗ , x∗ ) ≤ h d (Ax∗ , x∗ ) ⇒ Ax∗ = x∗ Tương tự: Bx∗ = x∗ Giả sử x∗ w∗ hai điểm bất động A B thì, d (x∗ , w∗ ) = d (Ax∗ , Bw∗ ) ≤ h max d (x∗ , w∗ ) , 0, 0, [d (x∗ , w∗ ) + d (w∗ , x∗ )] d (x∗ , w∗ ) ≤ hd (x∗ , w∗ ) ⇒ x∗ = w∗ Đặt {yn } với y0 = x0 , y2n+1 = B (x2n ) , y2n+2 = A (x2n+1 ) Ta {yn } dãy Cauchy, yn → x∗ theo tính điểm bất động Vậy x∗ điểm bất động chung A B Định lý 3.2.2 Xét ánh xạ liên tục A B thỏa mãn (147): Với 44 x, y ∈ X, x = y , d (Ax, By) < max d (x, y) , d (x, Ax) + d (y, By) , d (x, By) + d (y, Ax) (147) Nếu hai dãy {(AB)n (x0 )} {(BA)n (x0 )} có điểm tụ x∗ x∗ điểm bất động chung A B (AB)n (x0 ) → x∗ ; (BA)n (x0 ) → x∗ Định lý 3.2.3 Lấy A thỏa mãn (148): Với x, y ∈ X, x = y , d (Ax, By) ≤ α1 d [(x, y)] d (x, Ax) + α2 d [(x, y)] d (y, By) + α3 d [(x, y)] d (x, By) + α4 d [(x, y)] d (y, Ax) (148) + α5 d [(x, y)] d (x, y) Với αi thỏa mãn (i) định lý 3.1.8 Lấy x0 ∈ X Khi (AB)n (x0 ) (BA)n (x0 ) hội tụ Nếu phép cộng, điều kiện (ii) định lý 3.1.8 thỏa mãn A B có điểm bất động chung x∗ (AB)n (x0 ) → x∗ ; (BA)n (x0 ) → x∗ Định lý 3.2.4 Lấy A, B thỏa mãn (171): Với x, y ∈ X , d (Ap x, B q y) ≤ α1 (x, y) d (x, y) + α2 (x, y) d (x, Ap x) q q p (171) + α3 (x, y) d (y, B y) + α4 (x, y) [d (x, B y) + d (y, A x)] Khi A, B có điểm bất động chung x∗ (Ap B q )n (x0 ) → x∗ ; (B q Ap )n (x0 ) → x∗ với x0 ∈ X Định lý 3.2.5 Lấy A B thỏa mãn (172):Với x, y ∈ X, x = y , d (Ap x, B q y) < max {d (x, y) , d (x, Ap x) + d (y, B q y) , [d (x, B q y) + d (y, Ap x)]} (172) A, B liên tục Nếu x∗ điểm tụ {(Ap B q )n (x0 )} {(B q Ap )n (x0 )} với x0 ∈ X x∗ điểm bất động A B (Ap B q )n (x0 ) → x∗ ; (B q Ap )n (x0 ) → x∗ 45 Định lý 3.2.6 Lấy A B thỏa mãn (173): Với x, y ∈ X, x = y , d (Ap x, B q y) ≤ α1 d [(x, y)] d (x, Ap x) + α2 d [(x, y)] d (y, B q y) + α3 d [(x, y)] d (x, B q y) + α4 d [(x, y)] d (y, Ap x) (173) + α5 d [(x, y)] d (x, y) Với αi thỏa mãn định lý 3.1.8 Lấy x0 ∈ X Khi (Ap B q )n (x0 ) (B q Ap )n (x0 ) hội tụ Nếu phép cộng, điều kiện (ii) định lý 3.1.8 thỏa mãn A B có điểm bất động chung x∗ (Ap B q )n (x0 ) → x∗ ; (B q Ap )n (x0 ) → x∗ 3.3 Dãy ánh xạ Có loại định lý dãy ánh xạ - Loại 1: Giả sử cặp Ai , Aj thỏa mãn điều kiện co giống nhau, kết luận {An } có điểm bất động chung - Loại 2: Giả sử An thỏa mãn điều kiện co giống {An } hội tụ điểm đến A, kết luận A có điểm bất động x∗ , x∗n → x∗ với x∗n điểm bất động An - Loại 3: Giả sử An có điểm bất động x∗n {An } hội tụ đến A thỏa mãn điều kiện co đặc biệt Với x∗ điểm bất động A, kết luận x∗n → x∗ Định lý 3.3.1 Cho ≤ h < 1, lấy {An } dãy hàm thỏa mãn: d Api (x) , Apj (y) ≤ h max d (x, y) , d (x, Api (x)) , d y, Apj (y) , d x, Apj (y) + d (y, Api (x)) với x, y ∈ X , số nguyên p cố định Khi {An } có điểm bất động chung x∗ Chứng minh Đặt S = Api (x) ; T = Apj (y) Khi S, T thỏa mãn định lý 3.2.1 Vậy S, T có điểm bất động chung x∗ 46 Vì cặp hàm Api (x) ; Apj (y) có điểm bất động chung nên dãy {Apn } có tính chất Nhưng x∗ điểm bất động Apn nên x∗ điểm bất động An Vậy x∗ điểm bất động chung {An } Định lý 3.3.2 Cho αi (t) hàm giảm, αi : (0, ∞) → [0, 1) thỏa mãn αi (t) < với t thỏa mãn điều kiện (i), (ii) định lý 3.1.8 i=1 Cho {An } dãy hàm thỏa mãn: d Api (x) , Apj (y) ≤ α1 d (x, Api (x)) +α2 d y, Apj (y) + α3 d x, Apj (y) + α4 d (y, Api (x)) + α5 d (x, y) với cặp x, y ∈ X, x = y , αi = αi (d (x, y)) Khi {An } có điểm bất động chung x∗ Định lý 3.3.3 Cho {An } dãy hàm thỏa mãn (23) với n Cho hàm giống αi (t) cho {An } hội tụ điểm đến A Khi A có điểm bất động x∗ x∗n → x∗ với x∗n điểm bất động An Chứng minh Vì A thỏa mãn (23) nên với x, y ∈ X, x = y , d (An (x) , An (y)) ≤ α1 d (x, An (x)) + α2 d (y, An (x)) + α3 d (x, An (y)) + α4 d (y, An (x)) + α5 d (x, y) αi = αi (d (x, y)) Lấy giới hạn n → ∞ ⇒ A thỏa mãn (23) Từ định lý 3.1.2, A có điểm bất động chung x∗ Nếu x∗n = x∗ ⇒ d (x∗n , x∗ ) = d (An (x∗n ) , Ax∗ ) ≤ (α3 + α4 + α5 ) d (x∗n , x∗ ) < d (x∗n , x∗ ) (vô lý) ⇒ x∗n → x∗ Định lý 3.3.4 Cho {An } dãy hàm thỏa mãn (24) với n α giống cho {An } hội tụ điểm đến A Khi A có điểm bất động x∗ x∗n → x∗ với x∗n điểm bất động An 47 Chứng minh Tồn số α, ≤ α < cho với x, y ∈ X , d (An (x) , An (y)) ≤ α max {d (x, y) , d (x, An (x)) , d (y, An (y)) , d (x, An (y)) , d (y, An (x))} Lấy giới hạn n → ∞ d liên tục nên A thỏa mãn (24) Vậy A có điểm bất động x∗ d (x∗n , x∗ ) = d (An (x∗n ) , A (x∗ )) ≤ d (An (x∗ ) , An (x∗ ))+d (An (x∗ ) , A (x∗ )) Nhưng d (An (x∗n ) , An (x∗ )) ≤ α max {d (x∗n , x∗ ) , d (x∗ , An (x∗ ))} Vậy d (x∗n , x∗ ) ≤ max (1 − α)−1 , + α d (x∗ , An (x∗ )) → n → ∞ ⇒ x∗n → x∗ Định lý 3.3.5 Cho {An } dãy tự ánh xạ X với điểm bất động x∗n với n = 1, 2, cho {An } hội tụ đến A , A : X → X thỏa mãn (23) với điểm bất động x∗ Khi x∗n → x∗ Định lý 3.3.6 Cho {An } dãy tự ánh xạ X với điểm bất động x∗n với n = 1, 2, cho {An } hội tụ đến A , A : X → X thỏa mãn (24) với điểm bất động x∗ Khi x∗n → x∗ 48 Kết luận Trong luận văn này, tơi trình bày nội dung sau: • Chương 1: Liệt kê 25 dạng ánh xạ co chứng minh số dạng • Chương 2: So sánh mức độ tổng quát dạng ánh xạ co • Chương 3: Nêu chứng minh số định lý điểm bất động cho ánh xạ, điểm bất động chung cho cặp ánh xạ định lý điểm bất động cho dãy ánh xạ Mặc dù cố gắng, song khả kiến thức hạn chế nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót, tơi mong nhận ý kiến đóng góp Thầy, Cơ giáo bạn Hà Nội, tháng năm 2017 Tác giả Trần Thị Huyền Trang 49 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu Tiếng Việt [1] Đỗ Hồng Tân Nguyễn Thị Thanh Hà (2002), Các định lý điểm bất động, NXB Đại học Sư Phạm Hà Nội [B] Tài liệu Tiếng Anh [2] B E Rhoades (1977), A comparison of various definitions of contractive mappings, Proc Amer Math Soc., Vol 266, 256-289 [3] F Rakotch (1962), A note on contractive mappings, Proc Amer Math Soc., Vol 13, 459-465 [4] G E Hardy and T D Rogers (1973), A generalization of a fixed point theorem of Reich, Canad Math Bull., Vol 16, 201-206 [5] M Edelstein (1961), An extension of Banach’s contraction principle, Proc Amer Math Soc., Vol 12, 7-10 [6] S K Chatterjea (1972), Fixed-point theorems, C R Acad Bulgare Sci., Vol 25, 727-730 50 ... dạng ánh xạ co 1.1 Định nghĩa ánh xạ co 1.2 Một số dạng ánh xạ co Mối quan hệ dạng ánh xạ co 17 2.1 Mối quan hệ dạng ánh xạ co 17 2.2 Một số. .. quan dạng ánh xạ co, so sánh anh xạ co số định lí điểm bất động Chương Định nghĩa dạng ánh xạ co Ánh xạ co định nghĩa không gian metric đầy đủ X biết đến nhiều ánh xạ co Banach Mỗi ánh xạ co có điểm... dạng ánh xạ co nêu trên, mức độ "mạnh", "yếu" loại ánh xạ co Cuối chứng minh số điều kiện kèm số dạng ánh xạ co để tồn điểm bất động 2.1 Mối quan hệ dạng ánh xạ co Ký hiệu (a) ⇒ (b) hiểu ánh xạ