BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NINH THỊ HẠNH PHƯƠNG PHÁP NHIỄU ĐỒNG LUÂN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI–2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NINH THỊ HẠNH PHƯƠNG PHÁP NHIỄU ĐỒNG LUÂN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS KHUẤT VĂN NINH HÀ NỘI–2017 i LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học sư phạm Hà Nội hướng dẫn thầy giáo PGS TS Khuất Văn Ninh Sự giúp đỡ hướng dẫn tận tình thầy suốt trình thực luận văn giúp tác giả nhiều cách tiếp cận vấn đề Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, kính trọng sâu sắc thầy Tác giả trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, Phòng Sau đại học, thầy giáo nhà trường, thầy cô giáo dạy cao học chun ngành Tốn Giải tích giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn! Tác giả Ninh Thị Hạnh ii LỜI CAM ĐOAN Tác giả xin cam đoan luận văn Thạc sĩ chun ngành Tốn Giải tích với đề tài “ Phương pháp nhiễu đồng luân ứng dụng ” cơng trình nghiên cứu riêng tác giả hướng dẫn PGS.TS Khuất Văn Ninh Trong suốt q trình nghiên cứu hồn thành luận văn, tác giả kế thừa thành khoa học nhà khoa học với trân trọng biết ơn sâu sắc Hà nội, tháng năm 2017 Tác giả Ninh Thị Hạnh iii Mục lục MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Dự kiến đóng góp Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Định lý tồn nghiệm phương trình vi phân cấp n 1.2 Một số phương pháp giải gần phương trình vi phân thường 1.2.1 Phương pháp chuỗi hàm 1.2.2 Phương pháp hệ số bất định 1.2.3 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp 1.3 Một số khái niệm phương trình tích phân v v v vi vi vi vi 1 2 Chương ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP NHIỄU ĐỒNG LUÂN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN, PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI - TÍCH PHÂN 2.1 Cơ sở lý thuyết phương pháp nhiễu đồng luân 2.2 Ứng dụng phương pháp nhiễu đồng luân giải phương trình vi phân 2.3 Ứng dụng phương pháp nhiễu đồng luân giải phương trình tích phân 2.3.1 Ứng dụng phương pháp nhiễu đồng ln giải phương trình tích phân Fredholm loại hai 2.3.2 Ứng dụng phương pháp nhiễu đồng luân giải phương trình tích phân Volterra loại hai 12 2.4 Ứng dụng phương pháp nhiễu đồng ln giải phương trình vi - tích phân14 iv Chương ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP NHIỄU ĐỒNG LUÂN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG 24 3.1 Ứng dụng phương pháp nhiễu đồng luân giải toán biên dựa phân tích hàm nguồn 24 3.2 Ứng dụng phương pháp nhiễu đồng luân giải hệ phương trình phi tuyến31 KẾT LUẬN 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO 40 v MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lí thuyết phương trình lĩnh vực rộng lớn toán học nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu Trong lớp phương trình vi phân tích phân, phương trình đạo hàm riêng, tuyến tính phi tuyến đóng vai trò quan trọng Các kết lĩnh vực tìm nhiều ứng dụng vật lí, hóa học, sinh học việc nghiên cứu mơ hình kinh tế, qn sự, Một phương pháp mạnh để giải xấp xỉ phương trình vi phân, phương trình tích phân, phương trình đạo hàm riêng, tuyến tính phi tuyến phương pháp nhiễu đồng luân ( Homotopy pertubation method ) viết tắt HPM Phương pháp kết hợp phương pháp nhiễu truyền thống kỹ thuật đồng luân tôpô Theo phương pháp nhiễu đồng luân giải phương trình phi tuyến đưa giải dãy phương trình tuyến tính Với mong muốn tìm hiểu sâu phương pháp nhiễu đồng luân ứng dụng phương pháp này, hướng dẫn PGS TS Khuất Văn Ninh, chọn đề tài : “Phương pháp nhiễu đồng luân ứng dụng” để thực luận văn Mục đích nghiên cứu - Luận văn nghiên cứu phương pháp nhiễu đồng luân - Ứng dụng phương pháp nhiễu đồng luân giải phương trình vi phân, phương trình tích phân, phương trình vi - tích phân, giải tốn biên phương trình đạo hàm riêng, giải hệ phương trình đạo hàm riêng phi tuyến vi Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu phương pháp nhiễu đồng luân số ứng dụng Đối tượng phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiên cứu: Phương pháp nhiễu đồng luân số ứng dụng giải phương trình vi phân, phương trình tích phân, phương trình vi - tích phân, giải tốn biên phương trình đạo hàm riêng, giải hệ phương trình đạo hàm riêng phi tuyến • Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu sở phương pháp nhiễu đồng luân, ứng dụng vào giải xấp xỉ phương trình vi phân, phương trình tích phân, phương trình vi – tích phân, giải tốn biên phương trình đạo hàm riêng, giải hệ phương trình đạo hàm riêng phi tuyến Phương pháp nghiên cứu - Vận dụng kiến thức, phương pháp Giải tích hàm, Giải tích số, lập trình máy tính - Thu thập tài liệu liên quan tới phương pháp nhiễu đồng luân - Phân tích, tổng hợp hệ thống kiến thức liên quan tới phương pháp nhiễu đồng luân ứng dụng Dự kiến đóng góp Xây dựng luận văn thành tài liệu tổng quan phương pháp nhiễu đồng luân ứng dụng Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương trình bày số kiến thức phương trình vi phân thường, số phương pháp giải gần phương trình vi phân số khái niệm phương trình tích phân Nội dung chương tham khảo tài liệu [1], [3], [4] 1.1 Định lý tồn nghiệm phương trình vi phân cấp n Xét tốn Cauchy phương trình vi phân cấp n y (n) = f (x, y, y , , y (n−1) ) (1.1) y (x0 ) = y0 , y (x0 ) = y0 , , y (n−1) = y0n−1 (1.2) với điều kiện ban đầu Định nghĩa 1.1.1 Hàm f (x, u1 , u2 , , un ) xác định miền G ⊂ Rn+1 gọi thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến u1 , u2 , , un tồn số L > (hằng số Lipschitz) cho hai điểm (x, u1 , u2 , , un ) ∈ G, (x, u1 , u2 , , un ) ∈ G ta có bất đẳng thức n |f (x, u1 , u2 , un ) − f (x, u1 , u2 , , un )| ≤ L |ui − ui | i=1 Định lí 1.1.2 Giả sử miền G ⊂ Rn+1 hàm f (x, u1 , u2 , , un ) liên tục thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo u1 , u2 , , un Khi với điểm (n−1) (x0 , y0 , y0 , , y0 ) ∈ G tồn nghiệm y = y (x) phương trình (1.1) thỏa mãn điều kiện ban đầu (1.2) 1.2 Một số phương pháp giải gần phương trình vi phân thường 1.2.1 Phương pháp chuỗi hàm Xét toán (1.1) - (1.2), giả sử nghiệm y = y (x) tốn phân tích thành chuỗi Taylor: y (x) = y (x0 )+ y (x0 ) 1! (x−x0 )+ y ”(x0 ) 2! y (n) (x0 ) (x−x0 ) + · · · + (x−x0 )n + · · · (1.3) n! Từ điều kiện (1.2) cho ta giá trị y (k) (x0 ), k = 0, 1, 2, , n − Trong khai triển (1.3) giá trị y (n) (x0 ) tìm nhờ phương trình (1.1) điều kiện ban đầu (n−1) (1.2) y (n) (x0 ) = f (x0 , y0 , y0 , , y0 ) (k ) Lấy đạo hàm phương trình (1.1) thay x = x0 , y (k) (x0 ) = y0 (k = 0, 1, 2, ) ta tìm giá trị y (n+1) (x0 ), y (n+2) (x0 ), Người ta chứng minh hàm f (x, y, y , , y (n−1) ) giải tích (n−1) lân cận điểm (x0 , y0 , y0 , , y0 ) lân cận đủ nhỏ điểm x0 tốn (1.1) - (1.2) có nghiệm nghiệm khai triển thành chuỗi Taylor (1.3) Khi tổng riêng (1.3) nghiệm xấp xỉ toán (1.1) (1.2) 1.2.2 Phương pháp hệ số bất định Xét phương trình tuyến tính cấp y + p(x)y + q (x)y = r(x) (1.4) y (0) = y0 , y (0) = y0 (1.5) Giả sử hệ số phương trình (1.4) khai triển thành chuỗi lũy thừa x ∞ ∞ n p(x) = pn x , q (x) = n=0 ∞ n rn xn qn x , r(x) = n=0 n=0 (1.6) 27 cαβ số Thì S f1 (x, y ) trở thành n cαβ α+1 β x y , α+1 (3.14) βcαβ α+1 β−1 x y α+1 (3.15) S f1 (x, y ) = k=0 α+β =k Sy f1 (x, y ) trở thành n Sy f1 (x, y ) = k=0 α+β =k β>1 Để xác định hệ số cαβ chưa biết số hạng Aαβ , ta (3.13)-(3.14) (3.15) vào (3.12) n n α β f (x, y ) = cαβ x y + k=0 α+β =k k=0 α+β =k β>1 βcαβ α+1 β−1 x y + α+1 n k=0 α+β =k βcαβ α+1 β x y α+1 (3.16) Sau từ (3.11), ta có phương trình sau A00 = c00 , A10 = c10 + bc00 , A01 = c01 , b A20 = c20 + c10 , A02 = c02 , A11 = c11 + 2ac02 + bc01 , Ta nhận c00 = A00 , c10 = A10 − bA00 , c01 = A01 , b c20 = A20 − (A10 − bA00 ), 28 c02 = A02 , c11 = A11 − 2aA02 − bA01 , Kết là, xây dựng đồng luân sau: H (ν, p) = (1 − p) νx − f1 (x, y ) + p νx + aνy + bν − f (x, y ) = dẫn đến đạt nghiệm hai bước Ví dụ 3.1.1 Xét tốn biên tuyến tính khơng với hệ số biến số ux + yuy − u = 2y + 2xy , (3.17) u(0, y ) = Trong toán trên, vế phải f (x, y ) đa thức bậc ba Từ (3.8), ta có f (x, y ) = f1 (x, y ) + ySy f1 (x, y ) − S f1 (x, y ) (3.18) Dựa hàm nguồn f (x, y ) = 2y + 2xy , ta coi f1 (x, y ) f1 (x, y ) = a1 x3 + a2 x2 y + a3 xy + a4 y + a5 x2 + a6 xy + a7 y + a8 x + a9 y + a0 , (3.19) (3.19) vào (3.18), ta a7 = 2, a1 = a2 = a3 = a4 = a5 = a6 = a8 = a9 = a0 = Dựa kết này, ta có f1 (x, y ) = 2y , f2 (x, y ) = 2xy đồng luân xây dựng sau H (ν, p) = νx − 2y + p(yνy − ν − 2xy ) = 0, ta nhận p0 : (ν0 )x − 2y = ⇒ ν0 = 2xy , p1 : (ν1 )x + y (ν0 )y − ν0 − 2xy = ⇒ ν1 = Vì thế, sau tính tốn ta nhận nghiệm xác u(x, y ) = ν0 = 2xy (3.20) 29 Trường hợp 2: Hàm nguồn f (x, y ) tổng hai hàm r(x) t(y ) Đặt f (x, y ) = r(x) + t(y ) toán (3.9)-(3.10) Từ f (x, y ) hàm liên tục, ta có r(x) t(y ) liên tục Dựa theo (3.8), f (x, y ) = r(x) + t(y ) phân tích sau f (x, y ) = r1 (x) + t1 (y ) + aSy r1 (x) + t1 (y ) + ahy (y ) + bS r1 (x) + t1 (y ) + bh(y ) (3.21) Sau nhận nghiệm tốn hai bước Do hàm số f (x, y ) viết lại dạng sau x f (x, y ) = r1 (x) + t1 (y )at1 (y )x + ahy (y ) + b r1 xdx + bt1 (y )x + bh(y ) Từ f (x, y ) = r(x) + t(y ), có at1y (y )x + bt1 (y )x = với x = Nghiệm phương trình vi phân thường t1 (y ) = 0, (3.22) b t1 (y ) = e− a y (3.23) t(y ) = ahy (y ) + bh(y ) + t1 (y ), (3.24) Mặt khác, ta có x r(x) = b r1 (x)dx + r1 (x) (3.25) Nếu hai phương trình (3.22) (3.23) thỏa mãn phương trình (3.24), phương trình (3.25) có nghiệm khả thi phân tích hàm f (x, y ) để đẩy nhanh tốc độ hội tụ nghiệm Bằng cách xây dựng đồng luân sau H (ν, p) = (1 − p) νx − r1 (x) − t1 (y ) + p νx + aνy + bν − r(x) − t(y ) = 0, ta đạt nghiệm hai bước Ví dụ 3.1.2 Xét tốn biên tuyến tính không với hệ số ux − uy + u = ey + ex , (3.26) 30 u(0, y ) = ey Bằng cách xây dựng đồng luân sau H (ν, p) = (1 − p) νx − r1 (x) − t1 (y ) + p νx − νy + ν − ex − ey = 0, (3.27) điều tương đương H (ν, p) = νx − r1 (x) − t1 (y ) + p − νy + ν + r1 (x) + t1 (y ) − ex − ey = 0, (3.28) đó, hàm r1 (x), t1 (y ) giải thích trường hợp Rõ ràng t1 (y ) = ey thỏa mãn phương trình (3.24) Hơn nữa, từ phương trình (3.25), tìm r1 (x) sau r1 (x) = ex + e−1 Nếu đặt hàm r1 (x), t1 (x) đồng luân (3.27) (3.20), ta có H (ν, p) = νx − ex + e−x − e y + p − νy + ν + e−x − ex ) = 0, ta nhận p : (ν0 )x − ex + e−x y − e ⇒ ν0 = p1 : (ν1 )x − (ν0 )y + ν0 + e−x − ex ex − e−x + ey x + ey , = ⇒ ν1 = 0, p2 : (ν2 )x − (ν1 )y + ν1 = ⇒ ν2 = 0, Do đó, nghiệm u(x, y ) trở thành u(x, y ) = ν0 = ex + e−x + ey x + ey , nghiệm xác tốn với sai số tối thiểu tính tốn Ví dụ 3.1.3 Tìm nghiệm tốn biên sau ux + uy − xu = yexy + x, u(0, y ) = (3.29) 31 Như ví dụ trước, từ (3.8) có yexy + x = f1 + Sy (f1 ) − xS (f1 ) (3.30) Dựa hàm nguồn f (x, y ) = yexy + x, ta có f1 (x, y ) có dạng sau f1 (x, y ) = a1 exy + a2 xexy + a3 x (3.31) Thế (3.31) vào (3.30), ta a1 = a2 = 0, a3 = Bây giờ, theo kết ta có f1 (x, y ) = yexy , f2 (x, y ) = x xây dựng đồng luân sau H (ν, p) = νx − yexy + p(νy − xν − x) = 0, điều dẫn đến phương trình sau p0 : (ν0 )x − yexy = ⇒ ν0 = exy − 1, p1 : (ν1 )x + (ν0 )y − xν0 − x = ⇒ ν1 = Vì nghiệm xác phương trình u(x, y ) = ν0 = exy − 3.2 Ứng dụng phương pháp nhiễu đồng luân giải hệ phương trình phi tuyến Xét phương trình đạo hàm riêng phi tuyến với đạo hàm cấp cao theo t Dtn u(x, t) = L(u, ux , uxx ) + N (u, ux , uxx ) + f (x, t), t > 0, (3.32) L tốn tử tuyến tính, N tốn tử phi tuyến f hàm giải tích biết, thỏa mãn điều kiện ban đầu ∂m u(x, 0) = hm (x), m = 0, 1, 2, , n − ∂tm (3.33) 32 Áp dụng kỹ thuật đồng luân, xây dựng đồng luân sau ∂ nu ∂ nu − L(u, ux , uxx ) − f (x, t) = p + N (u, ux , uxx ) − Dtn u , n n ∂t ∂t (3.34) ∂ nu ∂ nu − f ( x, t ) = p + L(u, ux , uxx ) + N (u, ux , uxx ) − Dtn u , ∂tn ∂tn (3.35) p ∈ [0, 1] Tham số đồng luân p biến đổi từ đến Khi p = 0, phương trình (3.34) trở thành phương trình tuyến tính ∂ nu = L(u, ux , uxx ) + f (x, t), ∂tn (3.36) phương trình (3.35) trở thành phương trình tuyến tính ∂ nu = f (x, t), ∂tn (3.37) p = 1, phương trình (3.34) (3.35) trở phương trình đạo hàm riêng ban đầu (3.32) Giả sử nghiệm phương trình (3.34) (3.35) viết dạng lũy thừa p u = u0 + pu1 + p2 u2 + (3.38) Cuối cùng, ta có nghiệm xác u(x, t) cho ∞ ui (x, t) u(x, t) = (3.39) i=0 Minh họa cho phương pháp nhiễu đồng luân để giải hệ phương trình đạo hàm riêng, tuyến tính phi tuyến, xét ba hệ sau cặp phương trình Burgers’ phương trình Laplace Ví dụ 3.2.1 Giải hệ phương trình Burgers’ chiều ut − uxx − 2uux + (uν )x = 0, (3.40) νt − νxx − 2ννx + (uν )x = 0, (3.41) u(x, 0) = cos x, ν (x, 0) = cos x (3.42) với điều kiện ban đầu 33 Theo dạng phương trình (3.35), đồng luân (3.40) (3.41) ∂u ∂u =p + uxx + 2uux − (uν )x − Dt u , ∂t ∂t ∂ν ∂ν =p + νxx + 2ννx − (uν )x − Dt ν ∂t ∂t (3.43) (3.44) Như trên, giả sử nghiệm phương trình (3.40) (3.41) viết lại chuỗi lũy thừa p u = u0 + pu1 + p2 u2 + (3.45) ν = ν0 + pν1 + p2 ν2 + · · · (3.46) Thế (3.45)- (3.46) điều kiện ban đầu (3.42) vào (3.43)-(3.44), tương ứng cân hệ số lũy thừa bậc p ta nhận tập phương trình vi phân phần sau ∂u0 = 0, u0 (x, 0) = cos x, ∂t ∂ν0 = 0, ν0 (x, 0) = cos x, ∂t ∂u1 ∂u0 = + (u0 )xx + 2u0 (u0 )x − u0 (ν0 )x − ν0 (u0 )x − Dt u0 , u1 (x, 0) = 0, ∂t ∂t ∂ν1 ∂ν0 = + (ν0 )xx + 2ν0 (ν0 )x − u0 (ν0 )x − ν0 (u0 )x − Dt ν0 , ν1 (x, 0) = 0, ∂t ∂t ∂u2 ∂u1 = + (u1 )xx + 2u0 (u1 )x + 2u1 (u0 )x − u0 (ν1 )x ∂t ∂t − u1 (ν0 )x − ν0 (u1 )x − ν0 (u1 )x − Dt u1 , u2 (x, 0) = 0, ∂ν2 ∂ν1 = + (ν1 )xx + 2ν0 (ν1 )x + 2ν1 (ν0 )x − u0 (ν1 )x − u1 (ν0 )x ∂t ∂t − ν1 (u0 )x − ν0 (u1 )x − Dt ν1 , ν2 (x, 0) = 0, ∂u3 ∂u2 = + (u2 )xx + 2u0 (u2 )x + 2u1 (u1 )x + 2u2 (u0 )x − u0 (ν2 )x ∂t ∂t − u1 (ν1 )x − u2 (ν0 )x − ν0 (u2 )x − ν1 (u1 )x − ν2 (u0 )x − Dt u2 , u3 (x, 0) = 0, ∂ν3 ∂ν2 = + (ν2 )xx + 2ν0 (ν2 )x + 2ν1 (ν1 )x + 2ν2 (ν0 )x − u0 (ν2 )x − u1 (ν1 )x ∂t ∂t 34 − u2 (ν0 )x − ν0 (u2 )x − ν1 (u1 )x − ν2 (u0 )x − Dt ν2 , ν3 (x, 0) = Do đó, vài thành phần lời giải nhiễu đồng luân phương trình (3.40)-(3.42) u0 (x, t) = cos x, ν0 (x, t) = cos x, u1 (x, t) = −t cos x, ν1 (x, t) = −t cos x, u2 (x, t) = ν2 (x, t) = t2 t2 u3 (x, t) = − ν3 (x, t) = − cos x, cos x, t3 t3 cos x, cos x, v.v , theo cách ta nhận thành phần lại Nghiệm xấp xỉ bậc n hệ phương trình (3.40) - (3.42) cho n−1 t2 ui (x, t) = (cos x) − t + u(x, t) = i=0 n−1 νi (x, t) = (cos x) − t + ν (x, t) = i=0 2! t2 2! − − t3 3! t3 3! + , + Nghiệm xác cặp phương trình Burgers’ chiều (3.40)-(3.42) u(x, t) = cos x exp(−t), ν (x, t) = cos x exp(−t) Ví dụ 3.2.2 Giải hệ phương trình Burgers’ hai chiều ut − ∇2 u − 2u∇u + (uν )x + (uν )y = 0, (3.47) 35 νt − ∇2 ν − 2ν∇ν + (uν )x + (uν )y = 0, (3.48) với điều kiện ban đầu u(x, y, 0) = cos(x + y ), ν (x, y, 0) = cos(x + y ) (3.49) Theo cách làm phương trình (3.32), đồng luân phương trình (3.47) (3.48) ∂u ∂u =p + ∇2 u + 2u∇u − (uν )x − (uν )y − Dt u , ∂t ∂t ∂ν ∂ν =p + ∇2 ν + 2ν∇ν − (uν )x − (uν )y − Dt ν ∂t ∂t (3.50) (3.51) Thế (3.45)-(3.46) điều kiện ban đầu (3.49) vào (3.50)-(3.51) cân số hạng bậc p ta nhận phương trình đạo hàm riêng tuyến tính sau ∂u0 = 0, u0 (x, y, 0) = cos(x + y ), ∂t ∂ν0 = 0, ν0 (x, y, 0) = cos(x + y ), ∂t ∂u1 ∂u0 = + ∇2 u0 + 2u0 ∇u0 − u0 ∇ν0 − ν0 ∇u0 − Dt u0 , u1 (x, y, 0) = 0, ∂t ∂t ∂ν1 ∂ν0 = + ∇2 ν0 + 2ν0 ∇ν0 − u0 ∇ν0 − ν0 ∇u0 − Dt ν0 , ν1 (x, y, 0) = 0, ∂t ∂t ∂u2 ∂u1 = + ∇2 u1 + 2u0 ∇u1 + 2u1 ∇u0 − u0 ∇ν1 ∂t ∂t − u1 ∇ν0 − ν0 ∇u1 − ν1 ∇u0 − Dt u1 , u2 (x, y, 0) = 0, ∂ν2 ∂ν1 = + ∇2 ν1 + 2ν0 ∇ν1 − u0 ∇ν1 ∂t ∂t − u1 ∇ν0 − ν0 ∇u1 − ν1 ∇u0 − Dt ν1 , ν2 (x, y, 0) = ∂u3 ∂u2 = + ∇2 u2 + 2u0 ∇u2 + 2u1 ∇u1 + 2u2 ∇u0 − u0 ∇ν2 − u1 ∇ν1 ∂t ∂t − u2 ∇ν0 − ν0 ∇u2 − ν1 ∇u1 − ν2 ∇u0 − Dt u2 , u3 (x, y, 0) = 0, ∂ν3 ∂ν2 = + ∇2 ν2 + 2ν0 ∇ν2 + 2ν1 ∇ν1 + 2ν2 ∇ν0 − u0 ∇ν2 − u1 ∇ν1 ∂t ∂t − u2 ∇ν0 − ν0 ∇u2 − ν1 ∇u1 − ν2 ∇u0 − Dt ν2 , ν3 (x, y, 0) = 0, 36 Do đó, vài thành phần lời giải nhiễu đồng luân phương trình (3.47)-(3.49) u0 (x, y, t) = cos(x + y ), ν0 (x, y, t) = cos(x + y ), u1 (x, y, t) = −2t cos(x + y ), ν1 (x, y, t) = −2t cos(x + y ), u2 (x, y, t) = 2t2 cos(x + y ), ν2 (x, y, t) = 2t2 cos(x + y ), 4 ν3 (x, y, t) = − t cos(x + y ), u3 (x, y, t) = − t3 cos(x + y ), theo cách ta nhận thành phần lại Nghiệm xấp xỉ bậc n hệ phương trình (3.47) - (3.49) cho bởi: n−1 u(x, y, t) = ui (x, y, t) = cos(x + y ) − (2t) + (2t)2 (2t)3 − + , 2! 3! νi (x, y, t) = cos(x + y ) − (2t) + (2t)2 (2t)3 − + 2! 3! i=0 n−1 ν (x, y, t) = i=0 Nghiệm xác cặp phương trình Burgers’ hai chiều u(x, y, t) = cos(x + y ) exp(−2t), ν (x, y, t) = cos(x + y ) exp(−2t) Ví dụ 3.2.3 Giải phương trình Laplace ∇2 u = (3.52) Phương trình thay hệ phương trình cấp trường hợp u ν hàm cần tìm Giả sử ∂u ∂ν = , ∂x ∂y (3.53) 37 ∂ν ∂u =− ∂y ∂x (3.54) Đây phương trình Cauchy - Riemann tiếng Chú ý: Một vài khác biệt tồn giải phương trình Laplace phương trình Cauchy - Riemann Nghiệm phương trình Cauchy - Riemann nghiệm phương trình Laplace, điều ngược lại không Bây giờ, ta xét hệ phương trình Laplace ∂u ∂ν − = 0, ∂x ∂y ∂u ∂ν + = 0, ∂x ∂y (3.55) (3.56) với điều kiện ban đầu u(0, y ) = cos y, ν (0, y ) = sin y (3.57) Đồng luân phương trình (3.55) (3.56) ∂u ∂u ∂ν =p + − Dx u = 0, ∂x ∂x ∂y ∂ν ∂u ∂ν =p − − Dx ν = 0, ∂x ∂x ∂y (3.58) (3.59) Thế (3.45)-(3.46) điều kiện ban đầu (3.57) vào (3.58) - (3.59)và cân số hạng bậc p, ta nhận phương trình đạo hàm riêng tuyến tính sau ∂u0 ∂x ∂ν0 ∂x ∂u1 ∂x ∂ν1 ∂x ∂u2 ∂x ∂ν2 ∂x = 0, u0 (0, y ) = cos y, = 0, ν0 (0, y ) = sin y, ∂u0 ∂ν0 + ∂x ∂y ∂ν0 ∂u0 = − ∂x ∂y ∂u1 ∂ν1 = + ∂x ∂y ∂ν1 ∂u1 = − ∂x ∂y = − Dx u0 , u1 (0, y ) = 0, − Dx ν0 , ν1 (0, y ) = 0, − Dx u1 , u2 (0, y ) = 0, − Dx ν1 , ν2 (0, y ) = 0, 38 ∂u3 ∂u2 ∂ν2 = + − Dx u2 , u3 (0, y ) = 0, ∂x ∂x ∂y ∂ν3 ∂ν2 ∂u2 = − − Dx ν2 , ν3 (0, y ) = ∂x ∂x ∂y Do đó, vài thành phần lời giải nhiễu đồng luân hệ phương trình (3.55)-(3.57) u0 (x, y ) = cos y, ν0 (x, y ) = sin y, u1 (x, y ) = x cos y, ν1 (x, y ) = x sin y, u2 (x, y ) = ν2 (x, y ) = u3 (x, y ) = ν3 (x, y ) = x2 x2 x6 x3 cos y, sin y, cos y, sin y, Theo cách làm vậy, ta nhận thành phần lại Nghiệm xấp xỉ bậc n hệ phương trình (3.55)-(3.57) cho cơng thức n−1 u(x, y ) = x2 ui (x, y ) = cos y + x + i=0 n−1 ν (x, y ) = νi (x, y ) = sin y + x + 2! x2 i=0 2! + + x3 3! x3 3! + , + Nghiệm xác hệ phương trình Laplace (3.55)-(3.57) u(x, y ) = exp(x) cos y, ν (x, y ) = exp(x) sin y 39 KẾT LUẬN Luận văn trình bày số nội dung sau: Trong chương trình bày số kiến thức chuẩn bị bao gồm định lí tồn nghiệm phương trình vi phân cấp n , số phương pháp giải gần phương trình vi phân thường, số định nghĩa phương trình tích phân Trong chương trình bày: - Cơ sở lí thuyết phương pháp nhiễu đồng luân; - Ứng dụng phương pháp nhiễu đồng luân giải phương trình vi phân; - Ứng dụng phương pháp nhiễu đồng ln giải phương trình tích phân Fredholm loại hai, phương trình vi - tích phân Volterra loại hai, phương trình vi - tích phân Volterra bậc - Ứng dụng tính tốn vẽ đồ thị Maple Trong chương trình bày: - Ứng dụng phương pháp nhiễu đồng luân giải toán giá trị biên dựa phân tích hàm nguồn Áp dụng phương pháp nhiễu đồng ln tốn tuyến tính; - Ứng dụng phương pháp nhiễu đồng luân giải hệ phương trình phi tuyến Trên luận văn với đề tài: “Phương pháp nhiễu đồng luân ứng dụng” Em mong thầy cô nhận xét, hướng dẫn, bảo để luận văn em chi tiết, hoàn chỉnh Em xin chân thành cảm ơn! 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Phạm Kỳ Anh (2005), Giải tích số, NXB Đại Học Quốc gia Hà Nội [2] Phạm Huy Điển (2002), Tính tốn, lập trình giảng dạy toán học Maple, NXB Khoa học Kỹ thuật Hà Nội [3] Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Phu (2005), Cơ sở phương trình vi phân lý thuyết ổn định, NXB Giáo dục [4] Trần Đức Long, Nguyễn Đình Sang, Hồng Quốc Tồn (2000), Tập 2, Phép tính vi phân hàm biến, Chuỗi số - Dãy hàm - Chuỗi hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Tiếng Anh [5] A.A.Hemada (2012), Homotopy perturbation method for solving systems of nonlinear compled equations, Applied Mathematical sciences, Vol 6, No 96, 4787 - 4800 ă u ăr, Esra Korkamz, Serta, Erman (2013), Analysis of [6] Ali Demir, Berrak Ozg the new homotopy perturbation method for linear and nonlinear problems, Springer open Journal, Vol 1, No 61 [7] D D Ganji, G A Afrouzi, H Hosseinzadeh, R A Talarposhti (2011), Fourth order Volterra integral - differential equations using modified homotopy - perturbation method, The Journal of Mathematicals and Computer Science Vol 3, No 2, 179-191 41 [8] H Jafari, H Tajadodi, M Alipour (2010), Convergence of homotopy perturbation method for solving integral equations, Thai Journal of Mathematicals, Vol 8, No 3, 511-520 [9] J H He (1999), Homotopy perturbation technique, Comput Methods Appl Mech Eng 178(3-4), 257-262 [10] J H He (2000), A coupling method of homotopy technique and a perturbation technique for Nonlinear problems, International Journal of Nonlinear Mech 35(1), 37-43 ... PHÂN, PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI - TÍCH PHÂN 2.1 Cơ sở lý thuyết phương pháp nhiễu đồng luân 2.2 Ứng dụng phương pháp nhiễu đồng luân giải phương trình vi phân 2.3 Ứng dụng. .. dụng phương pháp nhiễu đồng ln giải phương trình tích phân 2.3.1 Ứng dụng phương pháp nhiễu đồng luân giải phương trình tích phân Fredholm loại hai 2.3.2 Ứng dụng phương pháp nhiễu. .. cứu phương pháp nhiễu đồng luân số ứng dụng Đối tượng phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiên cứu: Phương pháp nhiễu đồng luân số ứng dụng giải phương trình vi phân, phương trình tích phân, phương