BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHM H NI PHM HNG PHNG ă TON T SCHRODINGER MỘT CHIỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI PHẠM HẰNG PHƯƠNG ¨ TỐN TỬ SCHRODINGER MỘT CHIỀU Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS TẠ NGỌC TRÍ Hà Nội - 2017 LỜI CẢM ƠN Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc tới TS Tạ Ngọc Trí, người tận tình hướng dẫn bảo cho tơi q trình làm luận văn Thơng qua luận văn này, muốn gửi lời cảm ơn đến thầy giáo tổ Giải tích, khoa Tốn, trường Đại học Sư phạm Hà Nội gia đình, bạn bè thành viên lớp Tốn Giải Tích Khóa 19 động viên, giúp đỡ tơi hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng năm 2017 Tác giả Phạm Hằng Phương LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn tự làm hướng dẫn TS Tạ Ngọc Trí Tôi cam đoan số liệu kết nghiên cứu luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Các thơng tin trích dẫn, tài liệu tham khảo luận văn rõ nguồn gốc Luận văn chưa công bố phương tiện thông tin Hà Nội, tháng năm 2017 Tác giả Phạm Hằng Phương MỤC LỤC Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 1.3 1.4 Không gian hàm 1.1.1 Không gian Banach 1.1.2 Không gian Lp 1.1.3 Không gian Hilbert Phổ toán tử tuyến tính 1.2.1 Phổ tốn tử tuyến tính bị chặn 1.2.2 Phổ tốn tử tuyến tính khơng bị chặn 11 Tốn tử tuyến tính tự liên hợp 12 1.3.1 Tốn tử tuyến tính tự liên hợp 12 1.3.2 Một số kết phổ tốn tử tuyến tính bị chặn 13 Toỏn t Schrăodinger 18 1.4.1 Định nghĩa tính chất 19 1.4.2 Ph ca toỏn t Schrăodinger mt s trng hợp Toán tử Schră odinger mt chiu 23 34 2.1 Tớnh cht tự liên hợp 34 2.2 Sự gián đoạn phổ 41 2.3 Giá trị riêng âm 44 Kết luận 52 Tài liệu tham khảo 53 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong vài thập kỉ trở lại việc nghiên cứu phổ toỏn t Schrăodinger ó thu hỳt c s quan tõm nhiều nhà toán học giới Việc nghiên cứu vấn đề kết hợp kiến thức giải tích hàm lĩnh vực khác Tốn học Vật lý Sở dĩ có quan tâm giới nghiên cứu phổ toỏn t Schrăodinger l vỡ nhng nghiờn cu đặt có vai trò quan trọng phát triển hiểu biết kiện xảy tự nhiên Trong học lượng tử, gặp toán t Schrăodinger , +V m ph ca toỏn t , +V có phần giống phổ tốn tử Schrăodinger t , tc l [0, ) v mt số giá trị riêng âm Một số trường hợp, ta đánh giá số giá trị riêng âm Việc làm có ý nghĩa Vật lý Cho đến nay, việc nghiên cứu số giá trị riêng âm toán tử Schrăodinger trng hp hai, ba chiu ó cú nhiu kết công bố Một vấn đề đặt cho chúng tơi tìm hiểu số kết qu v ph ca toỏn t Schrăodinger trng hp chiều (xét L(R)) Với mục đích tập dượt nghiên cứu khoa học thực đề tài tốt nghiệp chương trình thạc sĩ Tốn Giải tích, tơi mong mun tỡm hiu v toỏn t Schrăodinger mt chiu Vỡ giúp đỡ hướng dẫn tận tình TS.Tạ Ngọc Trí tơi chọn đề tài “Tốn tử Schrăodinger mt chiu lm ti cho lun tt nghiệp với hy vọng giúp tơi có thêm hiểu biết vấn đề Mục ớch nghiờn cu Tỡm hiu v toỏn t Schrăodinger, ph ca toỏn t Schrăodinger mt s trng hp, c bit l toỏn t Schrăodinger mt chiu Cỏc nh lý, ví dụ kết liên quan toỏn t Schrăodinger mt chiu Nhim v nghiờn cu Trình bày định nghĩa, định lý ví d c th v toỏn t Schrăodinger Ch mt số kết liên quan đến phổ toán t Schrăodinger Trỡnh by v toỏn t Schrăodinger mt chiu, giá trị riêng âm Đối tượng phạm vi nghiờn cu i tng nghiờn cu: Toỏn t Schrăodinger, ph ca toỏn t Schrăodinger, Toỏn t Schrăodinger mt chiu Phm vi nghiên cứu: Các tài liệu, báo có liên quan ti toỏn t Schrăodinger mt chiu Phng phỏp nghiên cứu Sử dụng kiến thức phương pháp giải tích hàm để tiếp cận vấn đề Sử dụng kiến thức lý thuyết phổ, lý thuyết toán tử, toán tử tự liên hợp, toán tử khơng gian Hilbert Đóng góp dự kiến Hệ thống mt s dng toỏn t Schrăodinger v toỏn t Schrăodinger chiều Hy vọng luận văn nêu vai trũ v ỏp dng ca toỏn t Schrăodinger vt lý Nội dung Luận văn dự kiện gồm chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian hàm 1.2 Phổ toán tử tuyến tính 1.3 Tốn tử tuyến tính tự liên hợp 1.4 Toỏn t Schrăodinger Chng 2: Toỏn t Schrăodinger mt chiu 2.1 Tính chất liên hợp 2.2 Sự gián đoạn phổ 3.3 Giá trị riêng âm Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương chúng tơi trình bày sơ lược tổng quát lý thuyết phổ, sở cho vấn đề tìm hiểu chương sau Nội dung chương tham khảo tài liệu [1], [2], [10] 1.1 1.1.1 Không gian hàm Không gian Banach Định nghĩa 1.1.1 Cho X không gian vectơ trường K (R C) Một ánh xạ p : X → R gọi chuẩn X thỏa mãn điều sau: 1) (∀x ∈ X), p (x) ≥ 0; p (x) = ⇔ x = θ (θ ∈ X) 2) (∀λ ∈ K), (∀x ∈ X), p (λx) = |λ| p (x) 3) (∀x, y ∈ X), p (x, y) ≤ p (x) + p (y) Số p (x) gọi chuẩn vectơ x, thông thường ta ký hiệu x thay cho p (x) Không gian vectơ X với chuẩn gọi khơng gian định chuẩn, kí hiệu (X, ) Chú ý 1.1.1 Không gian định chuẩn (X, ) gọi không gian Banach X với metric sinh chuẩn không gian đầy đủ Mệnh đề 1.1.1 Giả sử X không gian định chuẩn Với x, y ∈ X đặt ρ (x, y) = x − y Khi đó, ρ metric X Đánh giá phải (2.7):  T T f1 (t)f2¯(t)ρ(t)dt ≤  |f1 (t)|2 dt 0 1/2 T f2 (t) ρ2 (t)dt ≤ C, Theo 2), số C không phụ thuộc vào T Vậy, T (P (T ) − P (|x|)) f1 g − g1 f dx ≤ C −T Chia cho P (T ) cho T → +∞ (vậy P (T ) → ∞), ta T (1 − lim t→+∞ P (|x|) ) f1 g − g1 f dx = P (T ) (2.8) −T Ta phải chứng minh T f1 g − g1 f dx = lim T →+∞ (2.9) −T Để chứng minh ta cho > Vì fi , gi L2 (R), (|f1 | |g2 | + |g1 | |f2 |)dx ≤ |x|≥ω Cho ω đủ lớn Vậy với T ≥ ω ta có ω T P (|x|) (1 − ) f1 g − g1 f dx ≤ P (T ) −ω (1 − P (|x|) ) f1 g − g1 f dx + P (T ) −T Cho T → ∞, sử dụng (2.8), ta ω (f1 g − g1 f )dx ≤ , −ω tương đương (2.9) Ví dụ 2.1.1 V (x) = a(1 + |x|α ) Nếu a ≥ 0, α ∈ R, a < 0, α ≤ giả thiết định lý 2.1 thỏa mãn Vậy, H0 tự liên hợp Trường hợp a < 0, α > H0 tốn tử tự liên hợp thiết yếu 40 2.2 Sự gián đoạn phổ Xét toán tử H0 xác định (2.1) Giả sử V (x) ∈ L∞ loc (R) hàm giá trị thực lim V (x) = +∞ x→∞ (2.10) Rõ ràng, định lý 2.1.1 cho thấy H0 tự liên hợp thiết yếu (lấy Q(x) số xấp xỉ) Kí hiệu H bao đóng H0 Định lý 2.2.1 Giả sử (2.10) Phổ σ(H) H phổ rời rạc, nghĩa là, tồn hệ trực giao yk (x), k = 0, 1, , hàm riêng với giá trị riêng λk → +∞ k → ∞ Chứng minh Không làm tính tổng quát, ta giả sử V (x) ≥ Khi đó, ta có (Hu, u) ≥ (u, u), u ∈ D(H) điều náy có nghĩa tồn H −1 toán tử nghịch đảo bị chăn Kết luận định lý tính compact H −1 Ta chứng minh H −1/2 toán tử compact (Chứng minh suy tính compact H −1 ) Ta xét tập M = {y |y ∈ D(H), (Hy, y) ≤ 1} chứng minh M tiền compact L2 (R) Xét tập MN = {y : y ∈ M, y(x) = 0, |x| ≥ N } Tích phân phân ta ∞ (|y | + V (x)|y|2 )dx, y ∈ MN (Hy, y) = −∞ 41 (2.11) Cố định hàm ϕ(x) ∈ C0∞ (R) cho ≤ ϕ(x) ≤ 1, ϕ(x) = |x| ≤ 1/2, ϕ(x) = |x| ≥ 1, |ϕ (x)| ≤ B Nếu y ∈ M N ≥ 2B, yN (x) = ϕ( x )y(x) ∈ 2MN, N với 2MN = {y |y(x) = 2z(x), z ∈ MN } Thật vậy, theo (2.11) ta có ∞ x x x ϕ ( )y(x) + ϕ( )y (x) + V (x) ϕ( )y(x) N N N N (HyN , yN ) = −∞ ∞ x 2 x ϕ ( ) |y(x)| + ϕ ( ) |y (x)| N N N = −∞ + x x ¯ (x)) + V (x)ϕ2 ( x ) |y(x)|2 dx ϕ( )ϕ ( )Re(y(x)y N N N N Đánh giá cách riêng biệt phần dưỡi dấu tích phân sau: x B2 V (x) 2 ϕ ( )|y(x)| ≤ |y(x)| ≤ |y(x)| ≤ |y(x)|2 , 2 N N N 4 x 2 ϕ2 ( ) |y (x)| ≤ |y (x)| , N x x B ϕ( )ϕ ( Re(¯ y (x)y (x)) ≤ (|y(x))|2 + |y (x)| ) ≤ N N N N ≤ (V (x) |y(x)|2 + |y (x)| ), x V (x)ϕ2 ( ) |y(x)|2 ≤ V (x) |y(x)|2 N Từ (HyN , yN ) ≤ 42 dx Đây điều phải chứng minh Cho y ∈ M ta có ∞ y(x) − ϕ( (HyN , yN ) = x )y(x) dx ≤ N −∞ |y(x)|2 dx ≤ ( V (x))−1 , ≤ |x|≥N/2 |x|≥N/2 ∞ V (x)|y(x)|2 dx ≤ (Hy, y) ≤ 1, y ∈ M −∞ Giải thiết (2.10) cho ta với > tồn N > cho M chứa lân cận 2MN Vậy đủ để chứng minh tính gián đoạn MN Thực tế, ta chứng minh MN tiền compact không gian C([−N, N ]) Bằng cách sử dụng định lý Arzela Đầu tiên ta kiểm tra tính liên tục đồng bậc MN Điều dẫn đến đánh giá x2 |y(x2 ) − y(x1 )| = y (t)dt ≤ (2.12) x1  x2 ≤ |x2 − x1 |1/2   |y (t)| dt ≤ |x2 − x1 |1/2 x1 Hơn nữa, (2.12) cho ta |y(x)| ≤ |y(t)| + (2N )1/2 , x, t ∈ [−N, N ] Tích phân bất đẳng thức với t ∈ [−N, N ], sử dụng bất đẳng thức Cauchy, ta thấy MN bị chặn C([−N, N ]) Chứng minh hoàn thành 43 Nhận xét 2.2.1 Sự gián đoạn σ(H) dẫn đến điều kiện cần đủ để có phổ rời rạc với H là: r+1 V (x)dx → +∞, r → ∞ (2.13) r Bài toán 2.2.1 Chứng minh nhận xét 2.2.1 Ta bổ sung định lý 2.2.1 vài thông tin giá trị riêng hàm riêng tương ứng Định lý 2.2.2 Dưới giả thiết định lý 2.2.1, với giá trị riêng giá trị riêng đơn Nếu λ0 < λ1 < λ2 < giá trị riêng, hàm riêng tương ứng với λk có xác k nút, nghĩa có giá trị k lần Mọi hàm riêng phân rã theo cấp mũ vô hạn Để chứng minh chi tiết xem [8] Xét kết sau Bài toán 2.2.2 Cho V (x) ≥ ε > với x ≥ a Thì phương trình −y + v(x)y = có nhiều nghiệm không tầm thường (khác số) cho y(x) → x → +∞ 2.3 Giá trị riêng âm a Điều kiện biên Dirichlet Xét toán tử Hy = −y + V (x)y 44 (2.14) nửa trục R+ = {x |x ≥ 0} với điều kiện biên Dirichlet y(0) = (2.15) V (x) ≥ −C0 , x ∈ R+ (2.16) Ta giả sử V ∈ L∞ loc (R+ ) Mọi kết trường hợp Đặc biệt, H toán tử tự liên hợp L2 (R+ ) Theo phép tương ứng, biến thể định lý 2.1.1, toán tử (2.14) tự liên hợp thiết yếu không gian chứa y ∈ C ∞ (R+ ) Sao cho y(0) = y(x) = với x đủ lớn Trong phép công (2.16), ta giả sử: lim V _(x) = 0, x→+∞ (2.17) với V _(x) = min(V (x), 0); V+ (x) = max(V (x), 0) Để đơn giản ta giả sử V _ liên tục Trong trường hợp ta σ(H) ∩ {λ < 0} chứa giá trị riêng độc lập với bội hữu hạn Tuy nhiên ta chứng minh kết mạnh Kí hiệu N _(H) = +∞ số giá trị riêng vô hạn có giá trị riêng σ(H) (−∞, 0) không điểm cô lập (Trong kí hiệu phần trước, N _(H) = N (−0)) Định lý 2.3.1 Theo giả thiết trước ∞ N _(H) ≤ x |V _(x)| dx (2.18) Chứng minh So sánh kết [8], khơng làm tính tổng quát, ta giả sử V+ (x) = 0, V (x) = V _(x) Khơng làm tính tổng qt, giả sử V (x) = trường hợp bình thường Xét họ tốn tử Hτ y = −y + τ V (x)y, ≤ τ ≤ 45 Giải thiết (2.17) toán 2.2.2 cho ta phần âm σ(Hτ ) chứa giá trị riêng đơn λ1 (τ ) < λ2 (τ ) < < λn (τ ) < Từ lý thuyết nhiễu ta biết λn (τ ) hàm giải tích τ , ∞ V (x)|ϕn (τ, x)|2 dx < 0, λn (τ ) = (2.19) với ϕn (τ, x) hàm riêng chuẩn hóa Hτ với giá trị riêng λn (τ ) Cố định τ , λn (τ ) xác định khoảng (τ0 (n), 1] ⊂ [0, 1] Cho µ0 < 0, kí hiệu Nµ0 số giá trị riêng H (−∞, µ0 ) Rõ ràng, Nµ0 → N _H µ0 → Cố định µ0 Kiểm tra τ : → ta thấy với n, có τn cho λn (τn ) = µ0 chứng minh λn (1) < µ0 (chỉ trường hợp này) Vậy giá trị riêng λn = λn (1) < µ0 tương ứng 1-1 với giá trị τ ∈ (0, 1] cho tồn y = 0, y ∈ L2 (R+ ) thỏa mãn −y − µ0 y = −τ V (x)y (2.20) điều kiện biên (2.15) Kí hiêụ L tốn tử khả nghịch d2 − − µ0 dx L2 (R+ ), với điều kiện biên (2.15) Vì µ0 < 0, L toán tử khả nghịch ∞ (L−1 f )(x) = K(x, ξ)f (ξ)f ξ Tính tốn trực tiếp (sử dụng biến đổi số, điều kiện biên giả thiết y ∈ L2 (R+ )) cho ta công thức √ √ sinh −µ0 x −√−µ0 ξ sinh −µ0 ξ −√−µ0 x e + θ(x − ξ) √ e , K(x, ξ) = θ(ξ − x) √ −µ0 −µ0 46 với θ(x) = x ≥ θ(x) = x < Phương trình (2.20) tương đương với: y = τ L−1 [(−V )y] Vậy, số τn giá trị riêng nghịch đảo toán tử tích phân K1 với hàm hạt nhân K1 (x, ξ) = −K(x, ξ)V (ξ) Mệnh đề 2.3.1 K1 có tối đa đếm số giá trị riêng λk = Tất giá trị riêng đơn, dương, ∞ λk = K1 (x, x)dx Ta hoãn chứng minh mệnh đề kết thúc chứng minh định lý Sử dụng bất đẳng thức đơn giản − e−t ≤ t, t ≥ 0, ta có τk−1 = Nµ0 ≤ τk ≤1 ∞ λk ≤ λk λk ≥1 √ sinh −µ0 x −√−µ0 x √ |V (x)| e −µ0 = ∞ = √ − e−2 −µ0 x √ |V (x)| dx ≤ −µ0 ∞ x |V (x)| dx Chứng minh Kí hiệu K tốn tử giải tích với hàm hạt nhân K(x, ξ), tức L−1 , V toán tử phép nhân với |V | Hiển nhiên, K1 = KV Ta xét toán tử K2 = V 1/2 KV 1/2 , với hàm hạt nhân K2 (x, ξ) = |V (x)|1/2 K(x, ξ) |V (ξ)|1/2 Dễ thấy ∞ ∞ K1 (x, x)dx = K2 (x, x)dx 47 Cho λ ∈ C, λ = 0, Hλ (K1 ) Hλ (K2 ) không gian riêng K1 K2 với giá trị riêng λ Nếu f ∈ H1 (K1 ), V 1/2 f ∈ Hλ (K2 ) (kiểm tra điều kiện) Vây, ta có ánh xạ tuyến tính xác định V 1/2 : Hλ (K1 ) → Hλ (K2 ) (2.21) Ta chứng minh V 1/2 đẳng cấu Thật vậy, cho f ∈ Hλ (K1 ) V 1/2 f = Thì V f = Vậy K1 f = KV f = 0, trái với giả thiết λ = Vậy (2.21) có hạt nhân tầm thường Bây cho g ∈ Hλ (K2 ) Thì V 1/2 KV 1/2 g = λg Đặt f = λ−1 KV 1/2 g, ta có V 1/2 f = g f ∈ Hλ (K1 ), suy (2.12) Vì K1 ≥ 0, giá trị riêng K1 khơng âm Vì phương trình KV f = λf tương đương với λLf = V f , ta thấy tất giá trị riêng đơn Hơn nữa, K2 (x, ξ) ≥ liên tục K2 toán tử hạt nhân ∞ ∞ K2 (x, x)dx = trK2 = trK1 = K1 (x, x)dx b Điều kiện biên Neumann Đầu tiên, ta phản ví dụ mà đánh giá (2.19) không đạt điều kiện biên Neumann y (0) = 0, (2.22) trường hợp tốn tử (2.14) tồn trục Ví dụ 2.3.1 Cho V (x) = |x| ≥ a V (x) = − , > 0, |x| < a Ta thấy toán tử H với điều kiện biên (2.22) có giá trị riêng âm với > 0, a > 0, nghĩa hiển nhiên, đánh giá (2.18) khơng thể Xét phương trình hàm riêng R với giá trị riêng âm λ −y − y = λy, |x| < a, −y = λy, |x| ≥ a 48 Tại x = ±a, hàm y y phải liên tục Hiển nhiên, tương ứng toán tử H ta có H ≥ − I Vậy λ ≥ − Vì điện V hàm, ta thấy y(−x) hàm riêng , chứng minh y Vì tất giá trị riêng đơn, ta có y(−x) = ±y(x) Nếu y(x) lẻ y(0) = y hàm riêng tốn Dirichlet với λ âm, điều khơng thể Xét trường hợp với y y (0) = √ y(x) = C1 cos + λx, |x| < a, y(x) = C2 e− √ −λ|x| , |x| > a Theo điều kiện tương thích x = ±a, ta có √ √ C1 cos + λa − C2 e− −λa = √ √ √ √ C1 + λ sin + λa + C2 −λe− −λa = λ giá trị riêng tồn nghiệm không tầm thường (C1 , C2 ) hệ Một cách tương đương, định thức √ √ √ √ − −λ e −λ cos( + λa) − + λ sin( + λa) nên triệt tiêu Điều cho ta phương trình tan a √ +λ = −λ +λ Phương trình ln có nghiệm λ ∈ (− , 0) (vẽ đồ thị) Ta xét toán tử HN L2 (R+ ) sinh biểu diễn khả vi −y + V (x)y điều kiện biên Neumann y (0) = Giả sử điện V bị chặn hàm đo bị chặn địa phương Kí hiệu N _(HN ) số giá trị riêng âm HN Ta có Định lý 2.3.2 N _(HN ) ≤ + ∞ x |V _(x)| dx Chứng minh Theo định lý 2.2.1, đủ để chứng minh N _(HN ) ≤ + N _(H) 49 Thực ra, ta có N (λ − 0, HN ) ≤ + N (λ − 0, H), λ ∈ R Cho D = {u ∈ C ∞ (R+ )): u(0) = supp u is bounded} , DN = {u ∈ C ∞ (R+ ) : u (0) = supp u is bounded} Toán tử H HN tự liên hợp thiết yếu D DN tương ứng Ta sử dụng bổ để Glazman nói giảng trước Với H HN , bổ để cho ta N (λ − 0, HN ) = sup {dim L : L ⊂ DN , (Hu, u) < λ(u, u), u ∈ L\ {0}} ∼ ∼ ∼ N (λ − 0, H) = sup dim L : L ⊂ D, (Hu, u) < λ(u, u), u ∈ L \ {0} Vậy, ta phải L ⊂ DN cho (Hu, u) < λ(u, u), u ∈ L\ {0}), ∼ tồn L ⊂ D cho ∼ (Hu, u) < λ(u, u), u ∈ L \ {0} , ∼ dim L ≤ + dim L Điều hiển nhiên: đặt ∼ L = {u ∈ L : u(0) = 0} c Trường hợp tồn trục số Xét tốn tử Hy = −y + V (x)y, x ∈ R, giả sử V ∈ L∞ loc (R) V (x) ≥ −C0 Thì H toán tử tự liên hợp L2 (R) Cho N _(H) số giá trị riêng âm 50 ∞ Định lý 2.3.3 N _(H) ≤ + −∞ |x| |V _(x)| dx Đây kết chứng minh dựa vào bổ đề Glazman5 (xem chi tiết [8]) 51 KẾT LUẬN Luận văn “Toán t Schrăodinger mt chiu ó trỡnh by cỏc kin thc v toỏn t Schrăodinger mt chiu thụng qua hai chương: Chương 1: Tác giả trình bày số kiến thức chuẩn bị toán tử, khái niệm liên quan tới tốn tử khơng gian Hilbert, phổ toán tử, khái niệm phổ, số bổ đề, định lý làm sở cho việc tiếp cận kiến thức chương sau Các định nghĩa, tính chất tốn tử Schrodinger Trong phần thông qua định lý bổ đề tác giả đưa số kết cú liờn quan ti ph ca toỏn t Schrăodinger v số kết luận chúng Chương 2: Tác giả đưa để bàn bạc định lý, bổ v tớnh cht chng minh cho toỏn t Schrăodinger chiều Do thời gian có hạn nên luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Tác giả xin chân thành cảm ơn ! 52 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tài liệu tiếng Việt [1] Nguyễn Phụ Hy(2005), Giải tích hàm, NXB Khoa học kỹ thuật [2] Hoàng Tụy(2005), Hàm thực giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Tài liệu tiếng Anh [3] W Arveson (2001), A Short Course on Spectral Theory, Springev [4] E B Davies and B Simon (1984), Ultracontractivity and the heat kernel for Schră odinger operators and Dirichlet Laplacians, J Funct Anal 59 , 335–395 [5] V Georgescu, S Golenia (2008), "Decay preserving operators and stability of the essential spectrum", J Op Th 59 , 115–155; a more detailed version is at http://arxiv.org/abs/math/0411489 [6] V Georgescu “Hamiltonians with purely discrete spectrum See at https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00335549/document [7] M Reed, B Simon (1975), Methods of Modern Mathematical Physics II: Fourier Analysis, Self-Adjointness, Academic Press, New York 53 [8] A Pankov (2000), Introduction to Spectral Theory of Schră odinger Operators, Department of Mathematics, Vinnitsa State Pedagogical University [9] V Maz’ya, M Shubin (2005), Discreteness of spectrum and positivity criteria for Schră odinger operators, Ann Math 162 , 919–942 [10] M Reed and B Simon (1972), Methods of Modern Mathematical Physics, I: Functional Analysis, Academic Press, New York [11] M Reed and B Simon (1978), Methods of Modern Mathematical Physics, IV Analysis of Operators, Academic Press, New York [12] B Simon (1978), A canonical decomposition for quadratic forms with applications to monotone convergence theorems, J Funct Anal 28 , 377–385 [13] B Simon (1977), Lower semicontinuity of positive quadratic forms, Proc Roy Soc Edinburgh 29 , 267–273 [14] B Simon, "Schrodinger operators with purely discrete spectrum", See preprint 08-191 at http://www.ma.utexas.edu/mp arc/ or http://arxiv.org/abs/0810.3275v1 [15] B Simon (2005), Trace Ideals and Their Applications, second edition, Mathematical Surveys and Monographs, 120, American Mathematical Society, Providence, RI [16] F Tr‘eves (1967), Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels, Academic Press, New York-London 54 ... Y ) tập hợp tất toán tử bị chặn từ X vào Y , toán tử A ∈ B(X, Y ) Khi tồn toán tử A∗ ∈ B(X, Y ) cho (∀c ∈ X)(∀y ∈ Y ), Ax, y Y = x, A∗ y X Toán tử A∗ gọi toán tử liên hợp toán tử A Đặc biệt, X... g(x) toán tử nhân g f (x) toán tử cho ˆ f (p)ψ(x) = F −1 (f (p)ψ(p))(x) n Kí hiệu L∞ ∞ (R ) hàm Borel bị chặn, triệt tiêu vơ Khi n f (x)g(x) g(x)f (p) toán tử compact f, g ∈ L∞ ∞ (R ) toán tử Hilbert-Schmidt... tốn tử tuyến tính 1.2.1 Phổ toán tử tuyến tính bị chặn 1.2.2 Phổ toán tử tuyến tính khơng bị chặn 11 Tốn tử tuyến tính tự liên hợp 12 1.3.1 Tốn tử tuyến