TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ====== NGUYỄN THỊ MAI LAN PHÉP NGHỊCH ĐẢO KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học Người hướng dẫn khoa học GV BÙI VĂN BÌNH HÀ NỘI - 2014 LỜI CẢM ƠN Trong q trình thực khố luận em nhận nhiều giúp đỡ quý báu bổ ích từ thầy bạn bè Em xin chân thành cảm ơn thầy cô khoa Toán trường Đại học sư phạm Hà Nội tận tâm giảng dạy, truyền thụ kiến thức kinh nghiệm quý báu để em hoàn thành tốt khố học Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới thầy Bùi Văn Bình, thầy trực tiếp hướng dẫn, nhiệt tình giúp đỡ bảo em suốt trình thực khoá luận Em xin chân thành cảm ơn thầy tổ Hình học – khoa Tốn, thư viện nhà trường, gia đình bạn bè tạo điều kiện, động viên, giúp đỡ để em hoàn thành khoá luận Hà Nội, ngày 16 tháng năm 2014 Sinh viên Nguyễn Thị Mai Lan LỜI CAM ĐOAN Tơi cam đoan khố luận “Phép nghịch đảo ” kết nghiên cứu hướng dẫn thầy Bùi Văn Bình Tơi xin khẳng định kết nghiên cứu khố luận khơng trùng với kết tác giả khác Nếu sai tơi xin chịu hồn tồn trách nhiệm Hà Nội, ngày 16 tháng năm 2014 Sinh viên Nguyễn Thị Mai Lan MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG : PHÉP NGHỊCH ĐẢO 1.1 Định nghĩa 1.1.1 Không gian bảo giác 1.1.2 Phép nghịch đảo 1.2 Tính chất 1.2.1 Tính chất 1.2.2 Tính chất 1.3 Định lí 1.3.1 Định lí 1.3.2 Định lí 1.3.3 Định lí 1.3.4 Định lí 1.3.5 Định lí 10 1.3.6.Định lí 6: 11 1.3.7 Định lí 13 CHƯƠNG 2: PHÉP NGHỊCH ĐẢO VÀ ỨNG DỤNG TRONG VIỆC GIẢI CÁC LỚP BÀI TỐN HÌNH HỌC 15 2.1 ấu hiệu nhận biết phép nghịch đảo lớp tốn hình học 15 2.2 Phép nghịch đảo toán chứng minh 15 2.2.1 ài toán chứng minh 15 2.2.2 Phương pháp giải 16 2.2.3 ác ví dụ 16 2.3 Phép nghịch đảo tốn quỹ tích 26 2.3.1 ài tốn quỹ tích 26 2.3.2 Phương pháp giải 27 2.3.3 ác ví dụ 27 2.4 Phép nghịch đảo toán dựng hình 35 2.4.1 Bài tốn dựng hình 35 2.4.2 Phương pháp giải 36 2.4.3 ác ví dụ 36 2.5 Phép nghịch đảo tốn tính tốn 42 2.5.1 Bài tốn tính toán 42 2.5.2 Phương pháp giải 43 2.5.3 ác ví dụ 43 2.6 ài tập đề nghị lời giải 47 2.6.1 ài tập đề nghị 47 2.6.2 Hướng dẫn giải 48 KẾT LUẬN 55 TÀI LIỆU THAM KHẢO 56 MỞ ĐẦU L chọn i Hình học môn học hấp dẫn, thu hút nhiều học sinh u thích mơn tốn iệc giải tập tìm nh ng cách giải hay, độc đáo, s phát huy tính sáng tạo niềm say mê với mơn học M i tập hình học c thể giải b ng nhiều phương pháp khác nhau: phương pháp tổng hợp, phương pháp vectơ, phương pháp tọa độ phương pháp biến hình Trong đ , nhiều trường hợp phép biến hình cơng cụ h u hiệu cho phép giải tốn hợp lí ngắn gọn việc giải lớp tốn hình học như: tốn chứng minh, tốn quỹ tích, tốn dựng hình tốn tính tốn Trong chương trình THPT số phép biến hình đưa vào giảng dạy : phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm, phép quay, phép tịnh tiến, phép vị tự, phép đ ng dạng nhiên phép nghịch đảo c ng phép biến hình lại khơng đề cập đến Hầu áp dụng phép nghịch đảo toán hay, toán thi học sinh giỏi quốc gia, quốc tế iệc s dụng phép nghịch đảo để giải tốn hình học nhiều cần thiết Đặc biệt nhiều tốn, nhiều khơng dùng phép nghịch đảo việc tìm lời giải tr nên gặp nhiều kh kh n cho người học toán Phép nghịch đảo cơng cụ quan trọng hình học, n xuất điều tất yếu phát triển tư tốn học – tư biến hình Trong m i toán c s dụng phép nghịch đảo để giải phép nghịch đảo mắt xích quan trọng, định hướng thơng suốt q trình tư Ngồi ra, phép nghịch đảo với tính chất khác biệt n đưa đến hướng giải việc giải số lớp tốn hình học ới nh ng lý lựa chọn đề tài “ h p n h ch o để thực kh a luận tốt nghiệp Đại học 2.M c ch nhiệ nghi n c u Nghiên cứu kiến thức phép nghịch đảo ứng dụng n việc giải lớp tốn hình học ây dựng hệ thống ví dụ minh họa tập tự luyện thể việc s dụng phép nghịch đảo vào giải lớp tốn hình học Đ i ng ph i nghi n c u Đối tượng nghiên cứu: phép nghịch đảo Phạm vi nghiên cứu: ứng dụng phép nghịch đảo việc giải lớp tốn hình học Phư ng ph p nghi n c u Nghiên cứu lí luận, phân tích, tổng hợp, đánh giá Nghiên cứu sách giáo trình, giảng chuyên đề tài liệu tham khảo c liên quan C u r c kh a uận Ngoài phần m đầu, kết luận, kh a luận g m hai chương: hương : Phép nghịch đảo hương : Phép nghịch đảo ứng dụng việc giải lớp tốn hình học CHƯƠNG : PHÉP NGHỊCH ĐẢO 1.1 Định nghĩa 1.1.1 Khôn ian b o iác Không gian bảo giác En ( n = 2,3) bổ sung phần t  ( điểm vô cực) đuợc gọi không gian bảo giác Quy uớc: Trong không gian n n m i đuờng thẳng hay mặt phẳng qua  1.1.2 h p n h ch o Trong không gian bảo giác n cho điểm O (   ) cố định số thực k ≠ Phép biến hình khơng gian Bn biến : M  M = N (M) Nếu M  O M   Nếu M   M  O Nếu M  O,  M n m OM OM OM = k đuợc gọi phép nghịch đảo cực O, phuơng tích k k Kí hiệu: NO N  O, k  Nhận xét: N(O, k) = XO ◦ N(O, -k) đ O phép đối xứng tâm O 1.2 T nh ch 1.2.1 Tính chất Phép nghịch đảo phép biến hình đối hợp: N phép đồng Thật vậy, với  Mta có: k k NO (M) = M  OM OM = k  OM OM = k  NO ( M ) = M k k k k k Hay ( NO ◦ NO )=(M) = NO ( NO (M) ) = NO ( M ) = M 1.2.2 Tính chất k Nếu NO (M) = M O,M, M  thẳng hàng ( hiển nhiên theo định nghĩa) k k Nếu M,O,N không thẳng hàng NO (M) = M , NO (N) = N tứ giác MM N N tứ giác nội tiếp Thật vậy: k k Vì NO (M) = M , NO (N) = N nên ta có OM OM = ON.ON' = k  Bốn điểm M, N, M , N thuộc đuờng tròn hay tứ giác MMNN tứ giác nội tiếp 1.2.3 Tính chất k Nếu phuơng tích nghịch đảo k > phép nghịch đảo NO có tập điểm bất động siêu cầu tâm O, bán kính k ( gọi siêu cầu nghịch đảo) Nếu phuơng tích nghịch đảo k < phép nghịch đảo khơng có điểm bất động Thật vậy: k Điểm M bất động qua phép nghịch đảo NO  NOk (M) = M OM2 = k  Nếu k > M  O, k  Nếu k < khơng c điểm bất động 1.3 Định 1.3.1 Đ nh lí Cho hai điểm M, N ảnh M , N chúng qua phép nghịch k đảo NO Độ dài MN MN liên hệ công thức sau: MN = k MN OM.ON M' M O N N' Thật vậy:  Truờng hợp O, M, N khơng thẳng hàng Theo tính chất ta c tứ giác MMNN nội tiếp nên OMN  ON'M' Suy k M'N' OM' OM'.OM = = = MN ON ON.OM OM.ON Hay MN = k MN OM.ON Truờng hợp O, M, N thẳng hàng OM-ON  k.NM k k =k ON OM OM.ON OM.ON Ta có : MN = ON' - OM = Lấy trị tuyệt đối hai vế ta c : MN = k MN OM.ON Nhận x t: k Nếu qua phép nghịch đảo NO , siêu cầu ( 1) = ( O1,R) biến thành siêu cầu ( 2) = ( O2,R) thì: R2 = k R1 =k 2 OO1 -R1 R1     O P C1       Chứn minh: Gọi MN đường kính (C1) mà O MN M', N' thứ tự k ảnh M, N qua NO N: I  I' , I tiếp điểm ( C' ) với (O) nên I' tiếp điểm  với (O) N : J  J' , J tiếp điểm ( C' ) với d nên J' tiếp điểm τ với (C) Các điểm I' J' xác định o đ , ta xác định I J A, I, I' thẳng hàng I thuộc (O) nên (I) giao điểm A I' với (O); A, J, J' thẳng hàng J thuộc đường thẳng d nên J giao điểm AJ0 với d Đường tròn ( C' ) phải dựng đường tròn ngoại tiếp tam giác ∆AIJ  Cách dựn : - ựng đường tròn ( ) ảnh d qua N - ựng tiếp tuyến chung  tiếp tuyến chung (O) ( ) - ựng tiếp điểm I' , J' τ với (O) ( ) - ựng I giao điểm A I' với (O) J giao điểm A J' với d - ựng đường tròn ( C' ) ngoại tiếp tam giác ∆AIJ Đ đường tròn cần dựng  Chứn minh: Theo cách dựng ( C' ) qua A, J tiếp điểm d với ( C' ) I tiếp điểm (O) với ( C' )  Biện luận: Ta c thể dựng nhiều bốn tiếp tuyến chung hai đường tròn (O) ( ) nên tốn c nhiều bốn nghiệm hình 2.5 Phép nghịch o i o n nh o n 2.5.1 Bài tốn tính tốn ài tốn tính tốn tốn quen thuộc khơng đại số giải tích mà với hình học ài tốn tính tốn thường u cầu tính tốn đại lượng độ lớn g c, độ dài cung, đoạn thẳng, tính diện tích, thể tích hình….thơng qua nh ng đại lượng biết 42 2.5.2 h n pháp i i S dụng phép nghịch đảo tốn tính tốn thơng thường áp dụng nhiều tính chất mối liên hệ khoảng cách hai điểm ảnh với yếu tố ban đầu 2.5.3 Các ví d V d 20: ( Hệ thức ƠLE ) ho tam giác A với đường tròn ngoại tiếp (O, R), đường tròn nội tiếp (I, r) Gọi d khoảng cách gi a tâm đường tròn nội tiếp tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Tính d theo R r Lời i i: A P D N I F E C B M Giả s I tâm đường tròn nội tiếp ∆ A đường tròn nội tiếp ( I ) với cạnh Gọi Gọi tiếp điểm , A, A M, N, P = AI  NP , E = BI  PM , F = CI MN ễ thấy , E, F trung điểm cạnh ∆ MNP Mặt khác, IM.IE = IA.IF = IC.IF = r2 - ét phép nghịch đảo N1 = N ( I, r2) N1 (A) = D, N1 (B) = E, N1 (C) = F N1 [(ABC)] = (DEF) 43 Giả s HK đường kính qua I đường tròn ( A ) c ảnh đường kính đường tròn ( EF) r = Ta có: r2 2R IH.IK ( ới r bán kính đường tròn ( EF) ) o ∆ EF tam giác trung bình ∆MNP nên Ta có : r r2.2R P I / (ABC) Mà I n m đường tròn ( A P 2 I / (ABC) = 2Rr  R2 – d2 = 2Rr  d = R2 -2r.R V d 21: ho tam giác A điểm A, ) nên : I / (ABC) = d2 - R2 = R – d ậy d2 = R2 – 2Rr P Suy ra: r = r Một đường tròn (O,R) qua hai cắt cắt đoạn A , phân biệt K, N Gỉa s theo thứ tự hai điểm đường tròn ngoại tiếp tam giác A K N cắt hai điểm phân biệt ,M Hãy tính OMB ? Lời i i: Gọi P = KN AC S = KC PN Theo cách dựng cực đối cực b ng tuyến ta c : PS  B  BS = P PB = S Theo tính chất cực đối cực ta suy ra: OB  PS  OP  ES OS  PB   trực tâm ∆PO Gọi M' = OS P Khi đ ta c O M'  PM Gọi B' = BS OP xét phép nghịch đảo N = N (O, R2) ta có: 44 B'  P A  A C  C AC  (OAC) Mà ta có P  AC  B'  (OA ) o đ ta có PO.PB' = PA.PC (1) Mặt khác ta dễ thấy tứ giác M' B' O nội tiếp nên PM'.PB = PO.PB' (2) Từ (1) (2) ta có: PM'.PB = PO.PB' Tức M'  ( ABC) Ta lại c : PA.PC = PK.PN = PM'.PB M' (BKN) Hay nói cách khác { M' }  (BKN) (ABC) hay M'  M mà O M'  PM nên OM  PM ậy OMB = 900 V d 22: Trong mặt phẳng cho điểm O cố định với đường thẳng d cố định Khoảng cách từ O  OH = Góc xOy = k khơng đổi quanh O ( k < 900) cắt d A, MR: òng tròn OA ln tiếp xúc với vòng tròn (C ) cố định Hãy xác định tâm bán kính (C) Lời i i: ét phép nghịch đảo : N ( O, 1) Ta c : N (H) = H Đường tròn đường kính OH đường tròn tương ứng với O qua phép nghịch đảo ới phép nghịch đảo ta có: N (B) = B' , (OAB) Có: A' B' = k N (A) = A' A' B' AB OA.OB.sink = sink = OA.OB OA.OB Gọi I trung điểm A' B' , Q trung điểm OH QI2 = Q B' - B' I2 = cos k sin2k cos2k = QI = 4 45 cos k Do A' B' tiếp  Tập hợp I đường tròn tâm Q bán kính xúc với (Q, QI) nên (OA ) ln tiếp xúc đường tròn (C) ảnh đường tròn (Q, cos k ) qua N (O, 1) O Q B' I d A' A H B * ác định tâm bán kính (C) Gọi , giao điểm OH với ( Q, cos k gi a O, OC = 1- cos k , C' D' = D' = N (D)  C' D' đường kính (C ) cos k CD cos k = = OC.OD sin2 k - cos2 k sin2 k 2 Nên bán kính (C ) R = cos k sin2 k Gọi P trung điểm C' D' ta có:    1  + OP = ( O C' + O D' ) =  = 2  sin2 k cos2 k  sin2 k  2   46 ), n m Từ đ : Đường tròn ((C ) xác định sau: - Tâm (C) điểm P n m OH cho OP = - Bán kính (C) R = 2.6 B i ập sin2 k cos k sin2 k nghị ời gi i 2.6.1 B i tập ề n h Bài 1: ho đường tròn tâm (O) đường kính A Trên tiếp tuyến A ( O) cho hai điểm di động M, M' cho AM AM' = k ( k  AB2, k  AB2 ) Gọi giao điểm thứ hai M, N, N' ác tiếp tuyến (O) qua M, M' : MT, M T' với tiếp M' với (O) điểm T, T' khác A CMR: N N' , T T' qua điểm cố định Bài 2: ho ∆A c đường cao H, K hứng minh đường thẳng HK song song với tiếp tuyến d A đường tròn ngoại tiếp ∆A Bài 3: ho đường tròn (O) hai đường kính A , vng g c với Giả s P điểm di động đường tròn (O) Tiếp tuyến P (O) cắt A , theo thứ tuwh E, F Tìm tập hợp trung điểm M EF Bài 4: Cho (O, R) ( O' , R' ) trực giao cắt hai điểm A, Giả s P, Q thứ tự ảnh điểm M n m đường AB qua N (O, R2) N' ( O' , R'2 ) Tìm quỹ tích P, Q M thay đổi Bài 5: Cho ∆A vuông cân A c đáy = 2a MR: c đường tròn ( C ) tiếp xúc với A , A ( A ), (A ) Tính bán kính (C) 47 Bài 6: ựng đường tròn thỏa mãn điều kiện: qua hai điểm A, cho trước tiếp xúc với đường tròn (  ) = (O, R) cho trước ựng đường tròn ( ) qua hai điểm A, Bài 7: cho trước tiếp xúc với đường tròn (O) cho trước M Bài 8: ho đường tròn (O), điểm S n m (O) PQ dây cung (O) qua điểm I cố định n m (O); SP,SQ cắt (O) P , Q CMR: P Q qua điểm cố định 2.6.2 H ớn dẫn i i Bài 1: Lời i i: *) ét phép nghịch đảo N1 = N (A, k), Gọi = N1 ( ), cố định nên  Đường tròn ( M M' ) qua 1 N1 (M) = M' cố định cố định ét phép nghịch đảo N2 = N( B, BA2), N2 (MA) = (O), N2 (M) = N , N2 ( M' ) = N'  N2 [(BM M' )] = N N' o đ đường thẳng N N' qua điểm = N2 (B1) cố định B N B1 O N' M A M' Bài 2: Lời i i: Vì BHC = BHK = 900 nên H, K thuộc đường tròn đường kính 48 A H Kí hiệu ( ) d K ét phép nghịch đảo : N = N (A, P C A / (BC) ) B Có N (B) = K ; N (C) = H  N[(ABC)] = HK Mặt khác: d tiếp xúc (A ) A N(d) = d nên d song song với HK Bài 3: Lời i i: ét phép nghịch đảo N = N (O, R2) với R bán kính (O) Gọi K, L giao điểm (O) (OIJ) ta c : K (O) OK = R OK2 = R2 N( K) = K L (O) OL = R OL2 = R2 N( L) = L N (KL) = (OKL) = (OIJ) Q J D K P M B A O I E L C ođ : Từ E  KL, I  (OIJ) O, I, E thẳng hàng suy N (I) = E (1) Từ F  KL, J  (OIJ) O, J, F thẳng hàng suy N (J) = E (2) 49 Từ (1) (2) suy N (IJ) = (OEF) = ( M, EF ) với M trung điểm EF N(P)  P Mặt khác P  IJ  P (OEF)  IJ tiếp xúc với (OEF) P N(IJ) = (EOF)  N(E)  E  O, M, P thẳng hàng Lại c :  N(F) = J  N (EF) = (OIJ) M EF N(M) = Q (OIJ): OM.OQ = R2 Hay OM.OP = phương tích R2  M ảnh P qua phép nghịch đảo cực O R Nà P (O) M N [(O)] R    M ( O, )  2 o P di chuyển (O) không trùng với bốn điểm A, , , nên quỹ tích M ( O, R ) trừ bốn điểm bốn trung điểm cua OA, OB, OC, OD Bài 4: Lời i i : A O O' B ét phép nghịch đảo N (O, R2) o (O) trực giao với ( O' ) nên tứ giác OA A' O' nội tiếp đường kính O O' , (O) đường tròn nghịch đảo phép nghịch đảo N (O, R2) 50 P  O O'    = O O' - R' = R2 ( O' ) c ảnh n qua phép nghịch đảo N (O, R2) o đ N (A) = A, N (B) = B  Phép nghịch đảo N (O, R2) biến đường thẳng A thành đường tròn ngoại tiếp ∆OA : đường tròn đường kính O O' M AB, O = N (M) P ( OAB) ậy tập hợp điểm O đường tròn đường kính O O' Tương tự, với phép nghịch đảo N' ( O' , R'2 ) Qua phép nghịch đảo N' đường thẳng A biến thành đường tròn ngoại tiếp ∆ O' AB c đường kính O O' Q = N' (M) ( O' AB) ậy tập hợp điểm P, Q đường tròn đương kính O O' Bài 5: Lời i i: A J I C H B Gọi I, J, J trung điểm A , A ,  AB = AC = a AI = AJ = a , BH = HC = a ét phép nghịch đảo : N = N (A, a2) ta có: 51 N (B) = I, N(C) = J, N (AB) = AB, N(AC) = AC, N[(AB)] = IH, N[(AC)] = JH ễ thấy AIHJ hình vng  đường tròn ( C1) tiếp xúc với cạnh ( C) = N[( C1)] s tiếp xúc với A , A , (A ), (A ) Gọi r, r1 bán kính ( C); ( C1) Khi đ ta c : a 2, r1 = P a2 A / (C1) = r= r1 a P A / (C1 ) = a ậy bán kính ( C) = a Bài 6: Lời i i:  Phân tích: Giả s dựng đường tròn (  ) qua hai điểm A, cho trước tiếp xúc với đường tròn (  ) ét phép nghịch đảo N = N ( A, P  A    ) đ  N : ( )  ( ) B  B'  ta c : (  )  Z đ Z đường thẳng Do (  1) qua A, tiếp xúc với (  ) nên Z qua B' c ng B' tiếp xúc với (  ) Từ đ suy cách dựng  Cách dựn - ựng B' ảnh C' Z qua phép O   nghịch đảo N với k = P  A      B C - Từ B' kẻ tiếp tuyến Z với đường tròn (  ) C' 52 A - ựng C' ảnh qua phép nghịch đảo N - ựng đường tròn (  ’) qua ba điểm A, ,  Chứn minh: Đường tròn (  ' ) qua A, theo cách dựng o (  ' ) ảnh Z qua phép nghịch đảo N đường thẳng Z tiếp tuyến đường tròn (  ' ) nên hai đường tròn (  ) (  ' ) tiếp xúc ậy (  ' ) đường tròn cần dựng  Biện luận: - Nếu B' n m (  ) tốn vơ nghiệm - Nếu B' n m (  ) tốn c ng vơ nghiệm - Nếu B' n m ngồi (  ) tốn c hai nghiệm hình Bài 7:  Phân tích: Giả s ta dựng đường tròn ( ) thỏa yêu cầu toán s ét phép nghịch đảo N(A, P A / (O) ) :B ↔ B' ; M ↔ M' ; ( ) ↔ d; (O) ↔(O) ì ( ) tiếp xúc với (O) M nên d tiếp xúc với (O) M' Vì B ∈ (C) nên B' ∈ d A  Cách dựn : C ựng cát tuyến A C' với (O) ựng ( C' C' ) cắt A B' ựng tiếp tuyến O M' ( M' tiếp điểm), B A M' cắt (O) M Đường tròn (A M) đường tròn cần dựng M' B'  Chứn minh: ét phép nghịch đảo N(A, (O) ↔(O); M↔ M' ; P A / (O) ): ↔ B' ; (C) ↔ B' M' ; 53 o tính chất phép nghịch đảo nên ’M’ tiếp xúc với (O) qua B' , M' ⇒ ( ) tiếp xúc với (O) qua A, , M  Biện luận: Khi A, thuộc (O) : (C) (O) ài tốn c nghiệm hình A ∉ (O), B ∈ (O) hay A ∈ (O), B ∉ (O) ài toán c vơ số nghiệm hình A, B ∉ (O) ác đường tròn cần dựng đường tròn tiếp xúc ngồi (O) ài tốn c nghiệm hình Bài 8: Lời i i: S Xét nghịch đảo N1 = N (I, P I / (O) ) P' N1 (P) = Q Gọi S1 = N1(S) cố định ( S c cố định )  tứ giác SPS1P nội tiếp đ đường tròn (SPQ) qua S1 cố định ét phép nghịch đảo N2 = N( S, N2(P) = P' , P Q' O P s / (O) ) N2(Q) = Q' I Q  N2[(SPQ)] = P'Q' o đường tròn (SPQ) qua S1 cố định nên P'Q' qua điểm S2 = N2(S1) cố định 54 KẾT LUẬN Khóa luận tốt nghiệp trình bày số kiến thức phép nghịch đảo ( hương 1) Giới thiệu số tập dạng tương đối khó thi học sinh giỏi số phẳng c ng không gian c s dụng phép nghịch đảo để giải toán ( hương 2) Qua đ cho ta thấy vài tác dụng tốt phép nghịch đảo việc giải tốn hình học Việc nắm chất phép nghịch đảo biết áp dụng vào lời giải tốn hình hộc g p phần làm phong phú, đa dạng cách giải khác số toán giúp cho lời giải ngắn gọn, lập luận chặt ch , logic, khoa học Việc s dụng phép nghịch đảo để giải tốn hình học gặp nhiều kh kh n nhiều người giải Đ dùng phép nghịch đảo nào, xác định cực nghịch đảo phương tích nghịch đảo làm sao? Khắc phục nh ng kh kh n người giải s đơn giản h a số yếu tố phức tạp tốn để tìm lời giải nhanh tốt Tuy có nhiều cố gắng, song n lực thân c ng điều kiện tài liệu thời gian hạn chế nên khóa luận khơng tránh khỏi nh ng sai sót Em kính mong thầy cơ, bạn xem xét tham giam gia ý kiến để đề tài khóa luận hồn thiện 55 TÀI LIỆU THAM KHẢO ùi n ình, Nguyễn n ạn (1993), Giáo trình hình học sơ cấp ( tập 2) , ĐHSP Hà Nội 2 ùi n ình (1993), Bài tập hình học sơ cấp ( tập 1), ĐHSP Hà Nội Nguyễn Minh hương, Lê Đình Phi, Nguyễn Cơng Quỳ (1968), Hình học sơ cấp, NXB Giáo dục Nguyễn Mộng Hy( 2000), Các phép biến hình mặt phẳng, NXB Giáo dục, Đ Thanh Sơn (2006), Phép biến hình mặt phẳng, NXB Giáo dục Đ Thanh Sơn (2008), Phép biến hình khơng gian, NXB Giáo dục V.V.Praxolov (1994), Các toán hình học phẳng (tập 2), NXB Hải Phòng 56 ... trục, phép đối xứng tâm, phép quay, phép tịnh tiến, phép vị tự, phép đ ng dạng nhiên phép nghịch đảo c ng phép biến hình lại khơng đề cập đến Hầu áp dụng phép nghịch đảo toán hay, toán thi học. .. 13 CHƯƠNG 2: PHÉP NGHỊCH ĐẢO VÀ ỨNG DỤNG TRONG VIỆC GIẢI CÁC LỚP BÀI TOÁN HÌNH HỌC 15 2.1 ấu hiệu nhận biết phép nghịch đảo lớp toán hình học 15 2.2 Phép nghịch đảo toán chứng... o tính chất : Phép nghịch đảo phép biến hình đối hợp nên phép nghịch đảo biến đường tròn qua cực nghịch đảo thành đường thẳng không qua cực nghịch đảo 1.3.5 Đ nh lí Phép nghịch đảo biến siêu