TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN —————o0o————— TRẦN THỊ THANH THANH MỞ RỘNG ĐỊNH LÝ XẤP XỈ WEIERSTRASS CHO ĐA TẠP TUYẾN TÍNH VÀ ỨNG DỤNG KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chun ngành: Giải tích Người hướng dẫn khoa học ThS NGUYỄN QUỐC TUẤN HÀ NỘI - 2014 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày khóa luận, tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy ThS Nguyễn Quốc Tuấn tận tình bảo, giúp đỡ tơi suốt q trình hồn thiện khóa luận Trong q trình học tập, đặc biệt suốt q trình làm khóa luận, tơi nhận động viên bảo, tạo điều kiện Q thầy, tham gia giảng dạy nói riêng, Quý thầy, cô công tác trường Đại học Sư phạm Hà Nội nói chung Qua đây, xin gửi lời cảm ơn tới thầy giáo tổ Giải tích, khoa Tốn trường Đại học Sư phạm Hà Nội Cuối cùng, xin cảm ơn giúp đỡ, quan tâm, động viên gia đình, bạn bè suốt thời gian vừa qua Một lần xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 01 tháng 05 năm 2014 Sinh viên Trần Thị Thanh Thanh i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp đại học chuyên ngành Sư phạm Toán với đề tài "Mở rộng định lý xấp xỉ Weierstrass cho đa tạp tuyến tính ứng dụng" hồn thành nhận thức thân tơi, khơng có trùng lặp với khóa luận khác Trong q trình nghiên cứu thực khóa luận, tơi kế thừa thành tựu nhà khoa học có tham khảo số tài liệu ghi phần tài liệu tham khảo với trân trọng, lòng biết ơn sâu sắc Hà Nội, ngày 01 tháng 05 năm 2014 Sinh viên Trần Thị Thanh Thanh ii Mục lục Một số kí hiệu viết tắt v Lời mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Hàm liên tục 1.2 Sự hội tụ dãy hàm 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Điều kiện hội tụ Không gian Banach 1.3.1 Khái niệm không gian vector 1.3.2 Khái niệm không gian định chuẩn 1.3.3 Sự hội tụ không gian định chuẩn 1.3.4 Khái niệm không gian Banach Tốn tử tuyến tính bị chặn 1.4.1 Khái niệm tốn tử tuyến tính 1.4.2 Khái niệm tốn tử tuyến tính bị chặn 1.5 Hệ phương trình tuyến tính 1.6 Đa tạp tuyến tính 11 1.6.1 Khái niệm không gian tô pô 11 1.6.2 Khái niệm phép đồng phôi 12 1.6.3 Khái niệm đa tạp tuyến tính 12 1.3 1.4 iii Định lý xấp xỉ Weierstrass 14 2.1 Đa thức Bernstein 14 2.2 Định lý xấp xỉ Weierstrass (1885) 15 Mở rộng định lý xấp xỉ Weierstrass cho đa tạp tuyến tính ứng dụng 3.1 20 Mở rộng định lý xấp xỉ Weierstrass cho đa tạp tuyến tính 3.2 20 Ứng dụng mở rộng định lý xấp xỉ Weierstrass cho đa tạp tuyến tính 23 3.2.1 Ứng dụng tốn tối ưu hóa đa thức 23 3.2.2 Ứng dụng việc xét ổn định hệ tuyến tính có độ trễ 24 Kết luận 28 Tài liệu tham khảo 29 iv Một số kí hiệu viết tắt N Tập hợp số tự nhiên R Tập hợp số thực R+ Tập hợp số thực dương Rn Không gian vector thực n chiều C[a, b] Không gian hàm số xác định liên tục đoạn [a, b] x Chuẩn vector x A Chuẩn toán tử tuyến tính A v LỜI MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Như biết, định lý xấp xỉ Weierstrass (năm 1885) định lý quan trọng Toán học Đến năm 1937, định lý Mashall H Stone mở rộng thành định lý Stone Weierstrass Hiện nay, có nhiều tài liệu đề cập đến phần mở rộng định lý xấp xỉ Weierstrass, phạm vi khóa luận, tơi tiến hành nghiên cứu định lý mở rộng định lý xấp xỉ Weierstrass cho đa tạp tuyến tính ứng dụng Từ đó, phần hồn thiện kiến thức Tốn học thân để phục vụ cho công tác học tâp giảng dạy sau Đồng thời để giới thiệu cho bạn sinh viên có nhìn tổng quan sâu sắc mở rộng định lý xấp xỉ Weierstrass cho đa tạp tuyến tính ứng dụng Được định hướng, góp ý, động viên thầy cô đặc biệt thầy ThS Nguyễn Quốc Tuấn với đam mê Tốn học thân, tơi mạnh dạn nghiên cứu đề tài "Mở rộng định lý xấp xỉ Weierstrass cho đa tạp tuyến tính ứng dụng" Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu khóa luận nghiên cứu vấn đề mở rộng định lý xấp xỉ Weierstrass cho đa tạp tuyến tính ứng dụng KLTN Mở rộng định lý xấp xỉ Weierstrass cho đa tạp tuyến tính ứng dụng Nhiệm vụ nghiên cứu Làm rõ khái niệm: không gian Banach, tốn tử tuyến tính bị chặn, đa tạp, hệ phương trình tuyến tính, đa thức Bernstein Nêu chứng minh định lý xấp xỉ Weierstrass Nghiên cứu định lý mở rộng định lý xấp xỉ Weierstrass cho đa tạp tuyến tính vài ứng dụng Phương pháp nghiên cứu Đề tài nghiên cứu dựa kết hợp phương pháp: nghiên cứu lí luận, phân tích, tổng hợp, đánh giá Cấu trúc khóa luận Chương Kiến thức chuẩn bị Chương hệ thống lại khái niệm tính chất liên quan đến khơng gian định chuẩn, khơng gian Banach, tốn tử tuyến tính bị chặn, hệ phương trình tuyến tính để chuẩn bị cho việc trình bày định lý mở rộng định lý xấp xỉ Weierstass cho đa tạp tuyến tính ứng dụng Chương Định lý xấp xỉ Weierstrass Chương trình bày nội dung cách chứng minh định lý xấp xỉ Weierstrass Chương Mở rộng định lý xấp xỉ Weierstrass cho đa tạp tuyến tính ứng dụng Chương nghiên cứu định lý mở rộng định lý xấp xỉ Weierstrass cho đa tạp tuyến tính, đồng thời làm rõ ứng dụng định lý mở rộng Trần Thị Thanh Thanh K36C Toán ĐHSP Hà Nội Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Hàm liên tục Định nghĩa 1.1.1 (Xem [3]) Cho hàm số f : A −→ R với tập hợp A ⊂ R điểm x0 ∈ A Nếu với > nhỏ tùy ý cho trước tồn δ > (phụ thuộc vào x0 ), cho với x ∈ A thỏa mãn < |x − x0 | < δ ta có |f (x) − f (x0 )| < ta nói hàm f liên tục điểm x0 Nếu f liên tục điểm x ∈ A ta nói f liên tục A Tính chất 1.1.1 (Xem [3]) Hàm f liên tục x0 với dãy {xn }n ⊂ A, xn −→ x0 (n −→ ∞) ta có lim f (xn ) = f (x0 ) n→∞ Định nghĩa 1.1.2 (Xem [3]) Hàm số f : A −→ R gọi liên tục A với > nhỏ tùy ý cho trước tồn δ > (chỉ phụ thuộc ), cho với x, x ∈ A thỏa mãn < |x − x | < δ ta có |f (x) − f (x )| < Nhận xét 1.1.1 Nếu hàm f liên tục A liên tục A Tuy nhiên, điều ngược lại chưa Chẳng hạn, hàm f (x) = x2 liên tục R khơng liên tục Thật vậy, lấy = ta thấy, với δ > chọn 1 δ δ xδ = , xδ = + ta có |xδ − xδ | = < δ δ δ 2 KLTN Mở rộng định lý xấp xỉ Weierstrass cho đa tạp tuyến tính ứng dụng x2δ − xδ2 = 2− δ δ + δ 2 δ2 >1= =1+ Vậy hàm f (x) = x2 không liên tục R Định lý 1.1.1 (Định lý Cantor, xem [3]) Cho hàm số f : [a, b] −→ R Nếu f liên tục [a, b] liên tục 1.2 1.2.1 Sự hội tụ dãy hàm Định nghĩa Định nghĩa 1.2.1 (Xem [4]) Cho A ⊂ R, xét dãy hàm số fn : A −→ R n = 1, 2, (1.1) Nếu x0 ∈ A, dãy số {fn (x0 )} hội tụ ta nói dãy hàm (1.1) hội tụ x0 Tập hợp điểm hội tụ dãy hàm {fn } gọi miền hội tụ dãy hàm Giả sử A miền hội tụ dãy hàm (1.1) Khi đó, ta có hàm f : A −→ R cho f (x) = lim fn (x), với x ∈ A n→∞ Hàm số f gọi hàm giới hạn dãy hàm {fn } tập A Định nghĩa 1.2.2 (Xem [4]) Ta nói dãy hàm {fn } hội tụ đến hàm f tập A, với > nhỏ tùy ý cho trước tồn số tự nhiên n0 = n0 ( ) (chỉ phụ thuộc vào ) cho với số nguyên dương n > n0 với x ∈ A ta có |fn (x) − f (x)| < 1.2.2 Điều kiện hội tụ Định lý 1.2.1 (Tiêu chuẩn Cauchy, xem [4]) Điều kiện cần đủ để dãy hàm {fn } hội tụ A với Trần Thị Thanh Thanh > nhỏ tùy ý, tồn K36C Toán ĐHSP Hà Nội KLTN Mở rộng định lý xấp xỉ Weierstrass cho đa tạp tuyến tính ứng dụng Khi đó, từ (2.6) thay a = x b = − x, ta n k n k x (1 − x)n−k = x [x + (1 − x)]n−1 n k=1 k suy n k k=1 n k x (1 − x)n−k = nx k (2.8) Tương tự, từ (2.7) ta thay a = x b = − x n k2 − k n k=2 n k x (1 − x)n−k = − x2 [x + (1 − x)]n−2 k n suy n k2 − k k=2 n k x (1 − x)n−k = n2 − n x2 k (2.9) Mặt khác, n n k −k k=2 n k n k x (1 − x)n−k = k2 x (1 − x)n−k − k k k=2 n − k k=2 n k x (1 − x)n−k k (2.10) Do đó, từ (2.8), (2.9), (2.10) ta n k2 k=2 n k n x (1 − x)n−k = n2 − n x2 + nx − x (1 − x)n−1 k (2.11) hay n k2 k=0 n k x (1 − x)n−k = n2 − n x2 + nx k (2.12) Định lý 2.2.1 (Xem [11]) Giả sử f ∈ C ([0, 1], R) Khi đó, tồn dãy đa thức pn cho pn (x) hội tụ đến f (x) [0, 1] Chứng minh Vì [0, 1] tập compact nên hàm liên tục f liên tục [0, 1] Do đó, cho Trần Thị Thanh Thanh > 0, tồn δ > cho 16 K36C Toán ĐHSP Hà Nội KLTN Mở rộng định lý xấp xỉ Weierstrass cho đa tạp tuyến tính ứng dụng ∀x, y ∈ [0, 1], |x − y| < δ =⇒ |f (x) − f (y)| < Theo giả thiết, hàm f liên tục đoạn [0, 1] nên tồn f , đặt M := f Lấy cố định ξ ∈ [0, 1] Khi đó, |x − ξ| < δ |f (x) − f (ξ)| < Mặt khác, |x − ξ| δ |x−ξ| δ Do đó, với x ∈ [0, 1] ta có |f (x) − f (ξ)| |f (x)| + |f (ξ)| 2M x−ξ δ 2M + Suy |f (x) − f (ξ)| 2M x−ξ δ + , ∀x ∈ [0, 1] Bây giờ, ta sử dụng đa thức Bernstein để xấp xỉ hàm f [0, 1] Đầu tiên, ta thấy n Bn (x, f − f (ξ)) = (f − f (ξ)) k=0 n f = k=0 k n n − f (ξ) k=0 k n n k x (1 − x)n−k k n k x (1 − x)n−k − k n k x (1 − x)n−k k =Bn (x, f ) − f (ξ) B (x, 1) Áp dụng cơng thức (2.2), ta có n Bn (x, 1) = k=0 Trần Thị Thanh Thanh n k x (1 − x)n−k = (x + (1 − x))n = k 17 K36C Toán ĐHSP Hà Nội KLTN Mở rộng định lý xấp xỉ Weierstrass cho đa tạp tuyến tính ứng dụng Do đó, |Bn (x, f ) − f (ξ)| = |Bn (x, f − f (ξ))| ≤Bn x, 2M n = 2M k=0 + = x−ξ δ n 2M = δ (x − ξ)2 k=0 n 2 x−ξ δ + 2 + k n k n n k x (1 − x)n−k k n k x (1 − x)n−k k n k x (1 − x)n−k k k=0 2M Bn x, (x − ξ)2 + δ Ta lại có n Bn x, (x − ξ) k n (x − ξ)2 = k=0 n = k=0 n k n = k=0 = n k −ξ n n k2 k=0 2ξ − n −2 n k x (1 − x)n−k k kξ + ξ2 n n k x (1 − x)n−k k n k x (1 − x)n−k k n k k=0 n k x (1 − x)n−k k n k x (1 − x)n−k + ξ , k kết hợp với (2.8) (2.12), ta 2ξ 2 (n − n)x + nx − nx + ξ 2 n n =x2 + x − x2 − 2ξx + ξ n Bn x, (x − ξ)2 = Trần Thị Thanh Thanh 18 K36C Toán ĐHSP Hà Nội KLTN Mở rộng định lý xấp xỉ Weierstrass cho đa tạp tuyến tính ứng dụng Suy |Bn (x, f ) − f (ξ)| ≤ + 2M 2M (x − ξ) + x − x2 2 δ δ n Thay x = ξ vào bất đẳng thức trên, ta 2M |Bn (ξ, f ) − f (ξ)| ≤ + (ξ − ξ ) δ n Bằng tính toán đơn giản, ta dễ thấy [0, 1] giá trị lớn z − z 41 Do đó, M 2δ n với n ≥ N , ta có |Bn (ξ, f ) − f (ξ)| ≤ Vì vậy, lấy N ≥ M δ2 + sup{|Bn (ξ, f ) − f (ξ)|} < [0,1] hay Bn (·, f ) − f (·) < Do ξ ta chọn đoạn [0, 1] nên Bn (·, f ) hội tụ đến hàm f (·) đoạn [0, 1] Đây điều phải chứng minh Trần Thị Thanh Thanh 19 K36C Toán ĐHSP Hà Nội Chương Mở rộng định lý xấp xỉ Weierstrass cho đa tạp tuyến tính ứng dụng 3.1 Mở rộng định lý xấp xỉ Weierstrass cho đa tạp tuyến tính Định lý 3.1.1 (Xem [7]) Giả sử Li : C [0, 1] −→ R, i = 1, 2, , k tốn tử tuyến tính bị chặn Khi đó, với hàm f ∈ C [0, 1] số δ > 0, tồn đa thức r cho f − r δ Li r = Li f , i = 1, , k Chứng minh Ta tiến hành chứng minh định lý 3.1.1 quy nạp Khơng tính tổng qt, ta giả sử L1 = Khi đó, L1 r = L1 f = Hơn nữa, theo định lý 2.2.1 (Định lý xấp xỉ Weierstrass), với hàm f ∈ C[0, 1] δ số dương bất kỳ, tồn đa thức r cho f − r δ Như định lý 3.1.1 với k = Bây giờ, giả sử định lý với k = m − 1, ta giả thiết tồn đa thức p cho f −p δ Li f = Li p, i = 1, , m − Nếu Lm = ta có Lm r = Lm f = Nếu Lm = tồn hàm g ∈ C[0, 1] cho Lm g = c > Giả sử β giới hạn toán tử Li , i = 1, , k Không 20 KLTN Mở rộng định lý xấp xỉ Weierstrass cho đa tạp tuyến tính ứng dụng tính tổng quát, giả sử g = Đặt δ δ δc f˜ = f + g γ = , 8β ta có f˜ hàm thuộc C[0, 1] γ số dương Theo giả thiết quy nạp, suy tồn đa thức p cho δ f˜ − p γ Do f −p = δ δ f + g−p − g 4 δ δ f + g−p + − g 4 δ δ g f + g−p + 4 δ δ 3δ δ + = < 8 Hơn nữa, δ δ Lm p = Lm f + Lm g − Lm f + g − p 4 δ δ = Lm f + c − Lm f + g − p 4 δ δ Lm f + c − Lm f + g − p 4 δ δ Lm f + c − Lm f + g − p 4 δ δ Lm f + c − βγ Lm f + c > Lm f Ở tồn đa thức b mà Lm b < Lm f Li f = Li b, i = 1, , m − với cách cho f˜ = f − 4δ g (theo quy nạp) Khi đó, từ Lm p > Lm f Lm b < Lm f , tồn số λ ∈ [0, 1] cho λLm p + (1 − λ)Lm b = Lm f Trần Thị Thanh Thanh 21 K36C Toán ĐHSP Hà Nội KLTN Mở rộng định lý xấp xỉ Weierstrass cho đa tạp tuyến tính ứng dụng Bây giả sử r = λp + (1 − λ)b r đa thức thỏa mãn Lm r = Lm [λp + (1 − λ) b] = λLm p + (1 − λ)Lm b = Lm f, Li r = Li [λp + (1 − λ) b] = λLi p + (1 − λ)Li b = λLi f + (1 − λ)Li f i = 1, , m − = Li f, f − r = f − [λp + (1 − λ) b] = λ(f − p) + (1 − λ)(f − b) λ f − p + (1 − λ) f − b δ δ + = δ 2 Do đó, định lý với k = m − với k = m Vậy định lý 3.1.1 chứng minh Hệ 3.1.1 (Xem [7]) Giả sử Ti,j : C[0, 1] −→ R, i = 1, , q , j = 1, , n tốn tử tuyến tính bị chặn Khi đó, với fj ∈ C[0, 1] số δ > 0, tồn đa thức rj cho fj − rj ≤ δ n với j = 1, , n n Ti,j rj = j=1 Ti,j fj , với i = 1, , q j=1 Chứng minh Ta chứng minh hệ 3.1.1 quy nạp Trước tiên, ta thấy hệ với n = theo định lý 3.1.1 Bây giờ, giả sử hệ với n = t − Theo giả thiết này, tồn đa thức rj cho δ fj − rj ≤ , j = 1, , t − Trần Thị Thanh Thanh 22 K36C Toán ĐHSP Hà Nội KLTN Mở rộng định lý xấp xỉ Weierstrass cho đa tạp tuyến tính ứng dụng t−1 t−1 Ti,j fj , i = 1, , q Ti,j rj = j=1 j=1 Giả sử β giới hạn Ti,j Đặt Li = Ti,j với i = 1, , q Khi đó, theo định lý 3.1.1, tồn đa thức rt cho δ ft − rt Ti,t rt = Ti,t ft , i = 1, , q Do t t Ti,j rj = j=1 Ti,j fj , i = 1, , q j=1 hệ với n = t Chú ý 3.1.1 Hệ 3.1.1 tiêu chuẩn tương đương cho thấy biến số điều kiện định lý 3.1.1 ma trận số 3.2 Ứng dụng mở rộng định lý xấp xỉ Weierstrass cho đa tạp tuyến tính Định lý mở rộng định lý xấp xỉ Weierstrass cho đa tạp tuyến tính cho thấy rằng, đa tạp tuyến tính đa thức dùng để xấp xỉ đa tạp tuyến tính khơng gian hàm liên tục Đây tính chất quan trọng ứng dụng mà tối ưu hóa đa thức sử dụng cho phép áp đặt ràng buộc affin biến định mà khơng làm giảm độ xác Đặc biệt, cách xây dựng hàm Lyapunov cho hệ có độ trễ (xem [9]) 3.2.1 Ứng dụng tốn tối ưu hóa đa thức Ở đây, ta xem xét tồn nghiệm tối ưu cho toán liên tục bao hàm tồn nghiệm tối ưu đa thức Trần Thị Thanh Thanh 23 K36C Toán ĐHSP Hà Nội KLTN Mở rộng định lý xấp xỉ Weierstrass cho đa tạp tuyến tính ứng dụng Mệnh đề 3.2.1 (Xem [7]) Xét tốn tối ưu hóa max L0 f ci + Li f = 0, i = 1, , m dj + Kj f ≥ 0, j = 1, , n Li , Kj : C[0, 1] −→ R toán tử tuyến tính bị chặn ci , dj số Giả sử f ∈ C[0, 1] nghiệm tối ưu với giá trị mục tiêu h Khi đó, tồn nghiệm tối ưu đa thức với giá trị mục tiêu h Chứng minh Giả sử f ∈ C[0, 1] nghiệm tối ưu với giá trị mục tiêu h Khi đó, ta có −h + L0 f = ci + Li f = 0, i = 1, , m dj + Kj f ≥ 0, j = 1, , n Theo hệ 3.1.2, tồn đa thức p cho −h + L0 p = ci + Li p = ci + Li f = 0, i = 1, , m dj + Kj p = dj + Kj f ≥ 0, j = 1, , n Do đó, p tối ưu với giá trị mục tiêu h 3.2.2 Ứng dụng việc xét ổn định hệ tuyến tính có độ trễ Trong phần xem xét ổn định hệ tuyến tính dừng có trễ có dạng k Ai x (t − hi ) x˙ (t) = i=0 Trần Thị Thanh Thanh 24 K36C Toán ĐHSP Hà Nội KLTN Mở rộng định lý xấp xỉ Weierstrass cho đa tạp tuyến tính ứng dụng với x(t) ∈ Rn , Ai ma trận số Với hệ trên, ta biết rằng, hệ ổn định tính chất chứng minh hàm Lyapunov dạng φ(0) V (φ) = T M (s) φ(s) −h φ(0) ds φ(s) φ(s)T N (s, t)φ(t)dsdt + −h −h Ở φ phần tử không gian hàm liên tục ánh xạ từ [−h, 0] vào Rn Đạo hàm V có cấu trúc tương tự V định nghĩa hàm ma trận mà phép biến đổi tuyến tính M N Trong tài liệu [9], điều kiện cần đủ đưa cho tính dương phần đầu hàm Lyapunov Định lý sau điều kiện tương tự với Định lý 3.2.1 Giả sử M : [−h, 0] −→ S2n liên tục Khi đó, mệnh đề sau tương đương i) Tồn số > cho với hàm y : [−h, 0] −→ Rn liên tục −h y(0) y(t) T y(0) M (t) y(t) dt y L2 ii) Tồn số η > hàm liên tục T : [−h, 0] −→ Sm thỏa mãn M (t) + T (t) 0 −ηI 0, với t ∈ [−h, 0], T (t) dt = −h Định lý 3.2.1 chuyển tính dương tích phân thành tính dương điểm hàm với ràng buộc tuyến tính Nếu Trần Thị Thanh Thanh 25 K36C Toán ĐHSP Hà Nội KLTN Mở rộng định lý xấp xỉ Weierstrass cho đa tạp tuyến tính ứng dụng giả thiết M N đa thức tính dương điểm tương đương với điều kiện tổng bình phương Điều kiện lấy tích phân hàm T đến điều kiện tuyến tính bị chặn Điều kiện đạo hàm hàm Lyapunov âm có cấu trúc tương đương Mệnh đề 3.2.2 Giả sử L : C m×m [0, 1] × C n×n [0, 1] −→ Rp×p tốn tử tuyến tính bị chặn Giả sử với liên tục M T cho với > 0, tồn hàm ma trận >0 M (s) + T (s) ≥ I, −D(s) + U (s) ≥ I, L(M, D) = 0, 1 T (s) ds = 0, U (s) ds = 0, 0 đó, I ma trận đơn vị Khi đó, tồn đa thức ma trận N , Q, R, E cho với η > N (s) + Q(s) ≥ ηI, −E(s) + R(s) ≥ ηI, L(N, E) = 0, 1 Q(s) ds = 0, R(s) ds = 0 Chứng minh Theo định lý 3.1.1, tồn đa thức ma trận N , Q, R, E cho 1 Q(s) ds = T (s) ds = 0, 1 R(s) ds = U (s) ds = 0, L(N, E) =L(M, D) = 0, M −N ≤ , D−E ≤ , 3 Q−T ≤ , R−U ≤ 3 Trần Thị Thanh Thanh 26 K36C Toán ĐHSP Hà Nội KLTN Mở rộng định lý xấp xỉ Weierstrass cho đa tạp tuyến tính ứng dụng Từ đó, có N + Q = M + T + (N − M ) + (Q − T ) ≥ I, −E + R = −D + U + (D − E) + (R − U ) ≥ I Vậy mệnh đề 3.2.2 chứng minh Trần Thị Thanh Thanh 27 K36C Toán ĐHSP Hà Nội Kết luận Khóa luận hồn thành chủ yếu dựa theo [1], [7] số tài liệu khác Khóa luận trình bày số kiến thức mở rộng định lý xấp xỉ Weierstrass cho đa tạp tuyến tính số ứng dụng nó, cụ thể i) Hệ thống lại kiến thức liên hàm liên tục, không gian Banach, đa tạp tuyến tính, hệ phương trình tuyến tính ii) Nêu nội dung cách chứng minh định lý xấp xỉ Weierstrass iii) Trình bày định lý mở rộng định lý xấp xỉ Weierstrass cho đa tạp tuyến tính khơng gian Banach C[0, 1] cách chứng minh định lý theo [7] iv) Trình bày việc sử dụng định lý mở rộng định lý xấp xỉ Weierstrass cho đa tạp tuyến tính tốn tối ưu hóa việc xét ổn định hệ tuyến tính theo [7] Do thời gian có hạn vấn đề thân tơi, nên khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót Tơi kính mong Q thầy bạn đóng góp ý kiến để khóa luận tơi hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! 28 Tài liệu tham khảo [A] Tiếng Việt [1] PGS TS Nguyễn Phụ Hy (2005), Giải tích hàm, Nhà xuất Khoa học Kĩ thuật [2] Nguyễn Xuân Liêm (1997), Tơ pơ đại cương - độ đo tích phân, Nhà xuất Giáo dục [3] Trần Đức Long - Nguyễn Đình Sang - Hồng Quốc Tồn (2008), Giáo trình giải tích tập 1, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [4] Trần Đức Long - Nguyễn Đình Sang - Hồng Quốc Tồn (2006), Giáo trình giải tích tập 2, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [5] Phan Hồng Trường (2011), Đại số tuyến tính, Lưu hành nội trường Đại học Sư phạm Hà Nội [6] Hoàng Tụy (2003), Hàm thực Giải tích hàm, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [B] Tiếng Anh [7] Matthew M Peet, Pierre - Alexandre Bliman, An extension of the Weierstrass approximation theorem to linear varieties: application to delay systems http://www.control.asu.edu/Publication/2007/peet_IFACTDS_2007.pdf 29 KLTN Mở rộng định lý xấp xỉ Weierstrass cho đa tạp tuyến tính ứng dụng [8] Parrilo, P A (2004), website for SOSTOOLS, http://www.cds.caltech.edu/sostools/ [9] Peet, M., A Parachristodoulou and S Lall (2006), On positive forms and the stability of linear time-delay systems, In: Proceedings of the IEEE Conference on Decision and Control [C] Mạng internet [10] http://.vi.wikipedia.org/wiki/Đa_tạp [11] http://www.mast.queensu.ca/ speicher/Section14.pdf [12] http://www.springer.com/cda/content/document/cda_downloaddocument/97803 87954844-c36.pdf?SGWID=0-0-45-101835-p2287791 the weierstrass approximation theorem Trần Thị Thanh Thanh 30 K36C Toán ĐHSP Hà Nội ... kiện định lý 3.1.1 ma trận số 3.2 Ứng dụng mở rộng định lý xấp xỉ Weierstrass cho đa tạp tuyến tính Định lý mở rộng định lý xấp xỉ Weierstrass cho đa tạp tuyến tính cho thấy rằng, đa tạp tuyến tính. .. Weierstrass cho đa tạp tuyến tính ứng dụng 3.1 20 Mở rộng định lý xấp xỉ Weierstrass cho đa tạp tuyến tính 3.2 20 Ứng dụng mở rộng định lý xấp xỉ Weierstrass cho đa. .. Weierstass cho đa tạp tuyến tính ứng dụng Chương Định lý xấp xỉ Weierstrass Chương trình bày nội dung cách chứng minh định lý xấp xỉ Weierstrass Chương Mở rộng định lý xấp xỉ Weierstrass cho đa tạp tuyến