ĐƯỜNG đối TRUNG võ THỊ NGỌC ÁNH

Đường đối trung là một khái niệm quan trọng trong hình học phẳng, nó có mối liên hệ chặt chẽ với các khái niệm hình học phẳng khác như: đườngđối song, hàng điểm điều hòa, tứ giác điều hò

KHAI THÁC MỐI LIÊN HỆ CỦA ĐƯỜNG ĐỐI TRUNGVỚI MỘT SỐ KHÁI NIỆM HÌNH HỌC PHẲNG

Võ Thị Ngọc Ánh, THPT chuyên Nguyễn Tất Thành, Kon Tum

Đường đối trung là một khái niệm quan trọng trong hình học phẳng, nó

có mối liên hệ chặt chẽ với các khái niệm hình học phẳng khác như: đườngđối song, hàng điểm điều hòa, tứ giác điều hòa, cực và đối cực, Bài viếtnày nhằm khai thác các mối liên hệ đó thông qua việc nghiên cứu mối liên

hệ giữa các yếu tố trên hình vẽ của các khái niệm trên Về khía cạnh nào đó,đường đối trung là "chiếc cầu nối" quan trọng để tìm tòi lời giải cho một sốbài toán hình học phẳng cũng như xây dựng các bài toán mới

1 Định nghĩa đường đối trung (symmedian line)

Định nghĩa 1 Trong tam giác ABC, đường thẳng AE đối xứng với đườngtrung tuyến AM qua đường phân giác trong AD gọi là đường đối trung (sym-median line) của tam giác ABC xuất phát từ đỉnh A

Nhận xét:

i) AE là đường đối trung của tam giác ABC xuất phát từ đỉnh A thì \EAD =

\

M AD, [BAE = \M AC, \BAM = [EAC

ii) Đường đối trung AE là đường đẳng giác với đường trung tuyến AM tronggóc BAC

iii) Trong tam giác ABC vuông tại A đường cao AH chính là đường đối trungcủa tam giác xuất phát từ đỉnh A

2 Liên hệ giữa đường đối trung với một số khái niệm hình học phẳng- Các dấu hiệu xuất hiện đường đối trung

Trong mục này, các kết quả được trình bày dưới dạng định lí hoặc bàitoán Đây là các tính chất đẹp của đường đối trung, có thể là các bổ đề "tốt"

để đưa đến lời giải cho các bài toán cũng như là các ý tưởng "tốt” để xâydựng các bài toán mới

2.1 Liên hệ giữa đường đối trung với độ dài các cạnh

của tam giác- Một số dấu hiệu cơ bản của đường đối trung

* Giả sử AE là đường đối trung của tam giác ABC , ta có EB

= −AB

AC.

2SM ACAC.M C2SM ABAB.M B

0B

E0C = −

AB2

AC2 suy ra E0 ≡ Ehay AE là đường đối trung

2.1.2 Dấu hiệu 2

Định lí 2 Đường đối trung xuất phát từ một đỉnh của tam giác (trừ điểmđó) là quỹ tích của những điểm có tỉ số khoảng cách đến hai cạnh kề của tamgiác tỉ lệ thuận với độ dài của các cạnh

Chứng minh

Xét tam giác ABC

* Gọi K là điểm sao cho d(K; AB))

AB

AC.Suy ra SABE

* Ngược lại, giả sử AE là đường đối trung, dễ dàng chứng minh được điểm

K0 thuộc AE (K0 không trùng với A) có tính chất d(K

0; AB))d(K0; AC) =

AB

AC 

2.2 Liên hệ giữa đường đối trung và đường đối song

(antiparallel line)

Định nghĩa 2 Cho tam giác ABC Một cát tuyến cắt hai đường thẳng AB,

AC theo thứ tự tại D và E Nếu \ADE = [ACB thì ta có đoạn thẳng DE đốisong với BC

Nhận xét:

i) Nếu tứ giác CBDE nội tiếp được thì DE đối song với BC

ii) Tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp một tam giác tại một đỉnh đối songvới cạnh đối diện

iii) Trong tam giác trực tâm HKL của tam giác ABC thì HKL có các cạnhđối song với các cạnh tương ứng của tam giác

Bài toán 1

Cho tam giác ABC Trên đường thẳng AB lấy một điểm D và trên đườngthẳng AC lấy điểm E sao cho DE là đường đối song của BC, N là điểmthuộc đoạn DE Lúc đó AN là đường đối trung của tam giác ABC khi và chỉkhi N là trung điểm của DE

Chứng minh

* Giả sử N là trung điểm của DE mà M là trung điểm của DE, BC nên

∆ADN ∼ ∆ACM suy ra \DAN = \CAM hay AN là đường đối trung củatam giác ABC

* Giả sử AN là đường đối trung của tam giác ABC suy ra \DAN = \CAM ,lúc đó ∆ADN ∼ ∆ACM mà M là trung điểm của BC nên N là trung điểmcủa DE 

Nhận xét: Đường đối trung của tam giác ABC xuất phát từ A chính làtập hợp các trung điểm của các đường đối song với cạnh BC

Ta có [LN I = [LIN = [BAC nên ∆LIN cân tại L, do đó LN = LI

Tương tự ta có LP = LK, LM = LQ

Mặt khác, theo bài toán 1 , L là trung điểm của các đoạn thẳng M N , P Q,

KI nên LM = LN = LP = LQ = LK = LI suy ra M N = P Q = KI và 6

điểm M, N, P, Q, K, I cùng thuộc một đường tròn có tâm L

2.3 Liên hệ giữa đường đối trung xuất phát từ một

đỉnh tam giác và đường thẳng song song (parallel line) với cạnh đối diện

Bài toán 3 (BMO 2009) Cho M N là đường song song với cạnh BC củatam giác ABC với M thuộc cạnh AB, N thuộc cạnh AC Các đường thẳng

BN và CM cắt nhau tại P Đường tròn ngoại tiếp các tam giác BM P và

CN P cắt nhau tại hai điểm P và Q Lúc đó đường thẳng AQ là đường đốitrung xuất phát từ A của tam giác ABC

Chứng minh

Ta có \BQM = \BP M = \CP N = \CQN , \M BQ = [CP Q = \CN Q Suy rad(Q; AB)

d(Q; AC) =

d(Q; BM )d(Q; CN ) =

Bài toán 4 (Đường tròn Lemoine thứ hai)

Ba đường thẳng đi qua điểm Lemoine L và song song với các cạnh của tamgiác ABC xác định trên ba cạnh 6 điểm cùng thuộc một đường tròn Đườngtròn này gọi là đường tròn Lemoine thứ hai Tâm của đường tròn chính làtrung điểm của LO (với O là tâm ngoại tiếp của tam giác ABC)

Chứng minh

Gọi D, D0, E, E0, F, F0 lần lượt là các giao điểm của các đường thẳng điqua điểm Lemoine và song song với các cạnh của tam giác với các cạnh

BC, CA, AB

Ta có AF LE0 là hình bình hành nên AL đi qua trung điểm của F E0, mà AL

là đường đối trung của tam giác ABC nên F E0 là đường đối song ứng với BCcủa ∆ABC

Suy ra F E0cũng là đường đối song ứng với F0E của ∆AF0E Do đó E, E0, F, F0cùng thuộc đường tròn, ta gọi là đường tròn (Ω1)

Chứng minh tương tự, ta được E, E0, D, D0 cùng thuộc đường tròn (Ω2) và

F, F0, D, D0 cùng thuộc đường tròn (Ω3)

Giả sử (Ω1), (Ω2), (Ω3) đôi một phân biệt thì ba trục đẳng phương AB, BC, CAđồng quy hoặc song song (điều này mâu thuẫn) suy ra D, D0, E, E0, F, F0 cùngthuộc một đường tròn, ta gọi là (Ω)

Vì EF0 đối song với BC nên EF0⊥AO (với O là tâm đường tròn ngoại tiếpcủa ∆ABC) Gọi S là trung điểm của LO thì IS k AO nên S thuộc đườngtrung trực của E0F Tương tự, S cũng thuộc đường trung trực của ED0, DF0hay S là tâm của (Ω) 

2.4 Liên hệ giữa đường đối trung với cực (pole) của

cạnh tam giác ứng với đường tròn ngoại tiếp của tam giác

Bài toán 5 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), E là điểm thuộccạnh BC Lúc đó AE là đường đối trung khi và chỉ khi AE đi qua cực của BCứng với đường tròn (O) (tức là, đường đối trung xuất phát từ A đi qua giaođiểm của hai tiếp tuyến tại B, C của đường tròn (O) )

Chứng minh

Giả sử D là cực của BC ứng với (O) Ta cần chứng minh AD là đường đối

trung của tam giác ABC

= AB.sin\ABDAC.sin\ACD

= AB

2

AC2.Nên theo dấu hiệu 1, AE là đường đối trung của tam giác

Cách 2: Gọi M, N là giao điểm của AB, AC với đường tròn Ω tâm D bánkính DB

Ta có \M BN = \BAN + \AN B = \BOC

2 +

\BDC

2 = 90

0 nên M N là đường kínhcủa đường tròn, nên D là trung điểm của M N mà BC đối song với M N nêntheo bài toán 1, AD là đường đối trung của tam giác ABC 

Nhận xét: Nếu D, E, F là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp với các cạnh

BC, CA, AB của tam giác ABC (DEF còn được gọi là tam giác Gergonnecủa tam giác ABC) thì DA, EB, F C là các đường đối trung của tam giácDEF Tức là điểm Gergonne của tam giác ABC chính là điểm Lemoine củatam giác Gergonne

2.5 Liên hệ giữa đường đối trung với hàng điểm điều

hòa (Harmonic division)

Bài toán 6.Cho tam giác ABC nội tiếp (O), điểm E thuộc cạnh BC, BCgiao với tiếp tuyến tại A của (O) tại F Lúc đó, AE là đường đối trung xuấtphát từ A của tam giác ABC khi và chỉ khi (BCFE)=-1 Tiếp tuyến AF còngọi là đường đối trung ngoài của tam giác ABC

Chứng minh

Theo bài toán 5 , AE là đường đối trung và AE cắt tiếp tuyến tại B của(O) tại J nên J cũng là giao điểm của hai tiếp tuyến của (O) tại B và C.Gọi H là hình chiếu của O lên AJ , nên H là trung điểm của AI

Đặt K là giao điểm của OJ và BC Ta có, tứ giác OHEK nội tiếp (vì

Hơn nữa J B2 = J I.J A (phương tích của điểm J đối với đường tròn (O)) Từ

đó suy ra J E.J H = J I.J A nên theo hệ thức Macloranh suy ra (AIEJ ) = −1



2.6 Liên hệ giữa đường đối trung với tứ giác điều hòa

(harmonic quadrilateral)

Bài toán 8 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), X là điểm thuộccung BC không chứa A Lúc đó AX là đường đối trung của tam giác ABCkhi và chỉ khi tứ giác ABXC điều hòa

Chứng minh

Cách 1: Ta có AB

AC.

sin [AXBsin [AXC

= AB

AC.

sinbCsinbB =

AB2

AC2

Gọi T là giao điểm của AX với BC Ta có

AX là đường đối trung ⇔ T B

⇔ XB

XC.

sin [AXBsin [AXC

=AB

AC ⇔ABXC là tứ giác điều hòa

Cách 2: ABXC là tứ giác điều hòa ⇔ AX đi qua giao điểm hai tiếp tuyếntại B và C của (ABC) ⇔ AX là đường đối trung (theo bài toán 5 )

2.7 Liên hệ giữa đường đối trung và đường tròn

Apol-lonius (ApolApol-lonius Circle)

Định nghĩa 3 Cho tam giác ABC không cân, nếu các phân giác trong vàphân giác ngoài góc A cắt cạnh BC tại E và F thì đường tròn đường kính EF

gọi là đường tròn A- Apollonius Tương tự ta có các đường tròn B- Apollonius,C- Apollonius.

Nhận xét: Gọi (O) là đường tròn ngoại tiếp ∆ABC, xét cực và đối cựcđối với (O)

i) Gọi A∗ là giao điểm của tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) và BC, khi

đó A∗ là tâm của đường tròn A - Apollonius Tương tự, ta có các điểm B∗,

C∗ Để ý rằng ở đây AA∗, BB∗, CC∗ chính là các đường đối trung ngoài của

ii) Gọi A0, B0, C0 lần lượt là cực của các cạnh BC, CA, AB thì A∗, B∗, C∗chính là cực của các đường đối trung AA0, BB0, CC0.

iii) Vì AA0, BB0, CC0 đồng quy nên A∗, B∗, C∗ thẳng hàng, và đường thẳngnày còn gọi là trục Lemoine Do đó trục Lemoine chính là đối cực của điểmLemoine Trục Lemoine vuông góc với trục Brocard OL (trục Brocard làđường thẳng O và điểm Lemoine L)

Bài toán 9 Cho tam giác ABC nội tiếp (O), T là điểm thuộc cạnh BC Lúc

đó AT là đường đối trung khi và chỉ khi AT là trục đẳng phương của đườngtròn (O) và đường tròn A- Apolonius

Chứng minh: Gọi D là giao điểm thứ hai của đường tròn A−Apollonius

và đường tròn (O), tức AD là trục đẳng phương của hai đường tròn Gọi M

là trung điểm của EF

Ta có \M AB + BAC[

2 = \M AE =

[BAC

2 + [ACB ⇒ \M AB = [ACB hay M A làtiếp tuyến của (O) tại A

Hơn nữa M A = M D, OA = OD nên M D đối xứng với M A qua OM , do đó

M D cũng là tiếp tuyến của (O) tại D

Mà M thuộc BC nên tứ giác ABDC là tứ giác điều hòa, theo bài toán 7 ,

AD là đường đối trung của tam giác ABC

3 Bài tập vận dụng

Trong phần bài tập vận dụng là một số bài toán khai thác thêm một số

mô hình xuất hiện đường đối trung, tính chất của đường đối trung và một

số bài toán từ các cuộc thi học sinh giỏi được tiếp cận lời giải theo hướngvận dụng các mối liên hệ giữa đường đối trung với các yếu tố trong hình họcphẳng nêu ở phần trên Qua đó, ta có thể thấy được ý tưởng xây dựng cácbài toán từ các mối liên hệ giữa đường đối trung với các yếu tố hình học đãphân tích ở trên Ngoài ra, ta nhận thấy rằng lời giải sử dụng đường đối trungcũng như các bổ đề nêu trên là lời giải khá ngắn gọn

* Một số bài toán chứng minh đường đối trung

Bài 1 Cho tam giác ABC và ACM N, ABP Q là các hình vuông dựng raphía ngoài của tam giác Gọi S là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác

AN Q Chứng minh rằng AS là đường đối trung của tam giác ABC

Lời giải:

Gọi M là trung điểm của BC K là điểm đối xứng với E qua O Ta có E, M, Kthẳng hàng Vì \DF E = \KF E = 900 nên K, D, F thẳng hàng Do AKEF vàAKM D là các tứ giác nội tiếp nên [EAF = \EKF = \M KD = \M AD Do

đó AF đối xứng với AM qua phân giác trong AD của góc [BAC Hay AF làđường đối trung

Bài 3 Cho tam giác ABC A0, B0, C0 lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB

∆A00B00C00 là tam giác trực tâm (tức A00, B00, C00 lần lượt là chân các đườngcao kẻ từ A, B, C) Chứng minh rằng các đường thẳng A00, C00 và A0B0 giaonhau tại điểm F nằm trên đường đối trung kẻ từ A của tam giác ABC.Nhận xét Các điểm A0, B0, C0 , A00, B00, C00 làm xuất hiện đường tròn Ơlecủa tam giác ABC

Lời giải:

Dễ chứng minh các đường cao của tam giác ABC là các đường phân giác củatam giác A00B00C00 suy ra

0A00C cân tại B0, do đó \CA00B0 = [BAC (4)

Từ (3) và (4) suy ra \CF B0 = [BAC mà \CB0F = [CAB nên ∆CF B0 ∼ ∆BCA.Suy ra

d(F ; AB)d(F ; AC) =

d(C; F B0)d(F ; AC) =

BB00

CC00 = AB

AC.

Từ đó theo dấu hiệu 2 , ta được AF là đường đối trung

* Về liên hệ giữa đường đối trung và đường đối song, đường song song vớicạnh

Bài 4 Cho tam giác ABC, AE là đường đối trung (E thuộc cạnh BC), K

là điểm bất kỳ thuộc đoạn AE Qua K kẻ các đường d1, d2 lần lượt đối songvới AB và AC d1 cắt CA, CB lần lượt tại M, N d2 cắt BA, BC lần lượt tại

P, Q Chứng minh rằng M N = P Q

Lời giải:

Qua K kẻ B0C0 k BC, ta có AK là đường đối trung của tam giác AB0C0 nêntheo bài toán 2, ta được KM = KN Mặt khác ta có \M N C = [BAC = \P QBnên tam giác KN Q cân tại K, suy ra KN = KQ Vậy M N = P Q

Bài 5 Cho tam giác ABC nội tiếp (O), AE là đường đối trung (E thuộccạnh BC), K là điểm bất kỳ thuộc đoạn AE Qua K kẻ các đường d1, d2 lầnlượt song song với AB và AC d1 cắt AC, CB tại I d2 cắt AB tại J Chứngminh rằng IJ ⊥AO.

Lời giải:

Từ giả thiết ta suy ra AJ KI là hình bình hành, do đó AE đi qua trung điểmcủa IJ , theo bài toán 1 ta được IJ là đường đối song của BC trong tam giácABC

Do đó IJ song song với tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) hay IJ ⊥AO

* Về liên hệ giữa đường đối trung và cực của cạnh

Bài 6 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và có K là điểm Lemoine

AK, BK, CK cắt lại (O) tương ứng ở D, E, F Chứng minh rằng K cũng làđiểm Lemoine của tam giác DEF

Lời giải:

* Nếu tam giác ABC đều thì dễ suy ra kết quả

* Nếu tam giác ABC vuông hoặc cân thì ý tưởng giải sau vẫn thực hiện đượcbằng cách chọn đỉnh thích hợp Cụ thể là giả sử tam giác đó vuông hoặc cân

ở C

Tiếp tuyến của (O) tại B và C cắt nhau ở P Tiếp tuyến của (O) tại E và Fcắt nhau ở Q Vì AK là đường đối trung của tam giác ABC nên A, K, D, Tthẳng hàng

Gọi J là giao điểm của EF và BC thì ta có S, D, K thẳng hàng vì cùng thuộcđường đối cực của J đối với (O), do đó DA là đường đối trung của tam giácDEF

Tương tự ta cũng chứng minh được EB là đường đối trung của tam giác DEF

Bài 7 (St Petersburg 1997 ) Cho hai đường tròn (O1), (O2) cắt nhautại hai điểm phân biệt A, B Các tiếp tuyến của (O1) tại A và B cắt nhau tại

T M là một điểm tùy ý của (O1) khác A, B và nằm ngoài đường tròn (O2).Các đường thẳng M A, M B cắt đường tròn (O2) tại E, F Chứng minh rằngđường thẳng M T đi qua trung điểm của E, F

Bài 8 (Polan 2000) Cho tam giác ABC cân tại C P là điểm nằm trongtam giác sao cho [P AB = \P BC Gọi M trung điểm AB Chứng minh \CP B +

\

AP M = 1800

Lời giải:

Vẽ đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác P AB

Từ giả thiết ta có CB và AC là các tiếp tuyến của đường tròn (O)

Suy ra P C là đường đối trung của tam giác P AB, do đó CP đối xứng P Mqua phân giác góc AP B

Kéo dài CP cắt AB tại F, khi đó \BP M = [AP F

Mà \BP M + [AP C = [AP F + [AP C = 1800

Suy ra \CP B + \AP M = 3600 − ( \BP M + [AP C) = 1800

Bài 9 (Chọn đội tuyển PTNK 2010) Cho đường tròn (O) và điểm A

cố định trên (O), điểm B, C (khác điểm A) thay đổi trên (O) BC song songvới đường thẳng d cố định Các tiếp tuyến của (O) tại B và C cắt nhau tại

K Gọi M là trung điểm của BC, N là giao điểm của AM với (O) Chứngminh đường thẳng KN luôn đi qua một điểm cố định khi BC thay đổi.Lời giải:

Gọi D, P lần lượt là giao điểm của KN, AK và (O) Vì BC có phương không

đổi nên KM là đường thẳng cố định Theo giả thiết, ta thấy AK là đườngđối trung, suy ra [BAP = \N AC Từ đó suy ra P, N đối xứng nhau qua đườngthẳng KM cố định Khi đó dễ dàng suy ra D đối xứng với A qua đường thẳng

Lời giải:

minh I cố định khi (ω) thay đổi Ta có QB đi qua cực P của AC nên QB làđường đối trung của tam giác QAC.

Lời giải:

Từ giả thiết ta có AS là đường đối trung của tam giác AP T

Xét góc định hướng giữa hai đường thẳng theo modπ, ta có

(P A; P T ) ≡ (AB; P B), (T P ; T A) ≡ (T B; AB) (do tính chất tiếp tuyến)

Mà trong tam giác P AT ta có, (P A; P T ) + (T P ; T A) + (AP ; AT ) ≡ 0 nên(AB; P B) + (T B; AB) + (AT ; AP ) ≡ 0(modπ) ⇒ (BT ; BP ) ≡ (AP ; AT )

Do đó (HP ; HT ) ≡ (AP ; AT ) nên tứ giác AP HT nội tiếp được

Suy ra (AT ; AH) ≡ (P T ; P H) ≡ (P T ; P B) ≡ (AB; AP ), suy ra AH đốixứng với AB qua phân giác của góc [P AT , mà AB đi qua trung điểm của

P T (do tính chất của phương tích) nên AH cũng là đường đối trung của tamgiác AP T