M là điểm trên đường chéo BD.. Hạ ME góc với AB và MF vuông góc với AD.. c Xác định vị trí của điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn nhất.... Đối chiếu điều kiện và kết luận nghiệm của
Trang 1UBND TX PHÚ THỌ
PHÒNG GD&ĐT
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI PHÁT HIỆN HỌC SINH NĂNG KHIẾU THCS
NĂM HỌC 2010-2011
Môn: Toán - Lớp 8
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (2,5 điểm)
a) Cho:
2 2
A
- Thực hiện rút gọn A
- Tìm x nguyên để A nguyên
b) Chứng minh: a + b = c thì a4 + b4 + c4 = 2a2b2 + 2b2c2 + 2a2c2
Bài 2: (1,5 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương
Chứng minh rằng: 2 2 2
1 1 1
+ + + + + ≤ + +
Bài 3: (1,5 điểm)
Giải phương trình:
6
42 12 4
20 8 8
72 16 2
6
2
+
+ + + +
+ +
= +
+ + + +
+ +
x
x x
x
x x x
x x
x
x x
Bài 4: (3,0 điểm)
Cho hình vuông ABCD M là điểm trên đường chéo BD Hạ ME góc với AB
và MF vuông góc với AD
a) Chứng minh DE ⊥ CF; EF = CM
b) Chứng minh ba đường thẳng DE, BF và CM đồng qui
c) Xác định vị trí của điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn nhất
Bài 5: (1,5 điểm)
Tìm các nghiệm tự nhiên (x; y) của phương trình:
( 2 2 )2 ( 4 4 2 )
x + y + = x +y + y +
Trang 2UBND TX PHÚ THỌ
PHÒNG GD&ĐT HDC THI PHÁT HIỆN HỌC SINH NĂNG KHIẾU THCSNĂM HỌC 2010-2011
Môn: Toán - Lớp 8
Bài 1: (2,5 điểm)
a) Cho:
2 2
A
- Thực hiện rút gọn A
- Tìm x nguyên để A nguyên
b.)Chứng minh: a + b = c thì a4 + b4 + c4 = 2a2b2 + 2b2c2 + 2a2c2
a)
5
4 2 ) 2 )(
5 (
2 2
−
−
−
−
−
−
− +
−
=
x
x x
x
x x x
A Điều kiện để A có nghĩa là x ≠5 và x ≠2 0,25
A
− + − − − − − − + −
2
3 2
)(
5 (
) 3 )(
5 (
−
+
−
=
−
−
−
−
−
=
x
x x
x
x x
1
x A
− − +
A nguyên khi và chỉ khi 1
2
x − nguyên, khi đó x-2=1 hoặc x-2 =-1
⇒ x=3, hoặc x=1
0,25
b) Đặt P = a4 + b4 + c4 - 2a2b2 -2 b2c2 - 2a2c2
= (a2 + b2 + c2 )2 - 4a2b2 - 4b2c2 - 4a2c2 0,25 Thay c2 = (a+b)2 vào ta được:
= (2a2 + 2b2 + 2ab )2 - 4(a2b2 + b2c2 + a2c2) 0,25 = 4[(a2 + b2 + ab)2 - a2b2 - c2(a2+b2)] 0,25 Thay c2 = (a+b)2 vào ta được:
= 4[ (a2+b2)2 +2(a2+b2)ab + a2b2 - a2b2 - (a+b)2 (a2+b2)]
= 4[ (a2+b2)2 +2(a2+b2)ab - (a+b)2(a2+b2)]
0,25
= 4(a2+b2)[ (a2+b2) +2ab - (a+b)2] = 0
⇒ a4 + b4 + c4 = 2a2b2 + 2b2c2 + 2a2c2 0,25
Bài 2: (1,5 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương
Chứng minh rằng: 2 2 2
1 1 1
(1)
+ + + + + ≤ + +
Đặt vế trái của (1) là A, vế phải của (1) B
Xét hiệu:
A B
− = − ÷ + − ÷ + − ÷
0.5
− − − − − −
Do vai trò a, b, c trong (1) là bình đẳng nên ta giả sử a b c≥ ≥ > 0
Khi đó (b a a c− )( − ≤ ) 0; (c b b a− )( − ≥ ) 0 và c3 ≤ ⇒b3 abc c+ ≤ 3 abc b+ 3
c b b a c b b a
0.25
Trang 3Vậy: 2 2 2
A B
− − − − − −
a c c b c b b a b a a c
2
0
ab c c bc a a
vì − − (c b) 2 ≤ 0; (b a a c− )( − ≤ ) 0 Vậy (1) được chứng minh
0.25
Bài 3: (1,5 điểm)
Giải phương trình:
6
42 12 4
20 8 8
72 16 2
6
2
+
+ + + +
+ +
= +
+ + + +
+ +
x
x x
x
x x x
x x
x
x x
Điều kiện: x≠ −2;x≠ −4;x≠ −6;x≠ −8
PT đã cho ⇔
6
6 ) 6 ( 4
4 ) 4 ( 8
8 ) 8 ( 2
2 ) 2
+
+ + + +
+ +
= +
+ + + +
+ +
x
x x
x x
x x
⇔
6
6 6 4
4 4 8
8 8 2
2 2
+ + + + + + +
= + + + + + + +
x
x x
x x
x x
⇔
6
6 4
4 8
8 2
2
+
+ +
= +
+
6
3 4
2 8
4 2
1
+
+ +
= +
+
x
⇔( 52)(16 8) = ( +54)(+24+6)
+ +
+
x x
x x
x
⇔ (5x+16)(x+4)(x+6) = (5x+24)(x+2)(x+8)
⇔ (5x+16)(x2 +10x + 24) = (5x+24)( x2 +10x + 16) 0,25
⇔ 5x3 + 50x2 + 120x + 16x2 + 160x + 16.24
= 5x3 + 50x2 + 80x + 24x2 + 240x + 24.16
⇔ 8x2 + 40x = 0
0,25
⇔ 8x(x + 5) = 0
x = 0; x = -5
Đối chiếu điều kiện và kết luận nghiệm của phương trình
0,25
Bài 4: (3,0 điểm) Cho hình vuông ABCD M là điểm trên đường chéo BD Hạ ME góc
với AB và MF vuông góc với AD
a)Chứng minh DE ⊥ CF; EF = CM
b) Chứng minh ba đường thẳng DE, BF và CM đồng qui
c) Xác định vị trí của điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn nhất
a) Chứng minh DE ⊥ CF; EF = CM
DF = AE ⇒∆DFC = ∆AED 0,25
MC = MA
(BD là trung trực của AC) 0,25
MA = FE nên EF = CM 0,25
F
1
1
2
1O
E
C D
M
0.25
Trang 4b) Chứng minh ba đường thẳng DE, BF và CM đồng qui.
⇒∆MCF =∆FED (DF = MF; DE = FC; MC = FE)⇒MCF FED= · 0,25
⇒ + = + = (Vì CF ⊥DE chứng minh phần a) 0,25
ED, FB và CM trùng với ba đường cao của ∆FEC nên chúng đồng qui 0,25 c) Xác định vị trí của điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn nhất
ME + MF = FA + FD là số không đổi
Bài 5: (1,5 điểm) Tìm các nghiệm tự nhiên (x; y) của phương trình:
( 2 2 )2 ( 4 4 2 )
x + y + = x + y + y +
Ta biến đổi PT như sau: ( 2 2 )2 ( 4 2 2)
x + y + = x + y +
2
⇔ − + = ⇔ 4x2 −y2 − 7 2 = 0 0.25
Ta thấy: 4x2 −y2 − = 7 0
Vì x y, ∈ ¥ nên 2x y+ > 2x y− và 2x y+ ≥ 0 0.25
Vậy phương trình có một nghiệm tự nhiên là (x; y) = (2; 3)
0.25