Một số dạng tốn số học chương trình THCS Lời cảm ơn Khóa luận " Một số dạng tốn số học chương trình Trung học sở " chủ yếu tập trung vào việc phân loại dạng toán số học bậc THCS đưa số tập điển hình cho dạng Khóa luận tài liệu để giáo viên học sinh Trung học sở tham khảo, đặc biệt dùng để ơn thi học sinh giỏi Để hồn thành khóa luận tốt nghiệp, ngồi nổ lực thân, tơi nhận giúp đỡ tận tình thầy giáo, giáo khoa Tốn - Tin, Trường Đại học Quảng Bình suốt thời gian thực đề tài Đặc biệt xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo Th.S Trần Mạnh Hùng - Giảng viên Khoa khoa học tự nhiên, Trường Đại học Quảng Bình Thầy giành nhiều thời gian q báu tận tình hướng dẫn tơi suốt q trình thực khóa luận tốt nghiệp, đồng thời giúp lĩnh hội kiến thức chuyên môn soạn thảo văn Latex rèn luyện tác phong nghiên cứu khoa học Qua đây, xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc tới thầy giáo, cô giáo Khoa khoa học tự nhiên, tới gia đình, bạn bè ln sát cánh bên tơi, nhiệt tình giúp đỡ, chia sẽ, động viên tơi suốt q trình học tập tơi thực hồn chỉnh khóa luận Trong q trình thực khóa luận, tơi cố gắng để hồn thiện nội dung lẫn hình thức khơng thể tránh khỏi thiếu sót Nên tơi mong nhận góp ý thầy giáo, giáo bạn để khóa luận hồn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! Sinh viên thực hiện: Đinh Thị Min Ly Mục lục Lời cảm ơn MỤC LỤC MỞ ĐẦU MỘT SỐ DẠNG TỐN SỐ HỌC TRONG CHƯƠNG TRÌNH TRUNG HỌC CƠ SỞ Tính chia hết số nguyên Tìm chữ số tận 11 Số nguyên tố hợp số 15 Số phương 20 Ước chung lớn bội chung nhỏ 24 Phương trình nghiệm nguyên 26 KẾT LUẬN 30 TÀI LIỆU THAM KHẢO 31 Một số dạng tốn số học chương trình THCS MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Trong chương trình tốn bậc Trung học sở, chuyên đề số học chuyên đề xuyên suốt, thường xuyên sử dụng đề thi học sinh giỏi thi vào lớp 10 chuyên toán Kiến thức số học trình bày chương trình tốn với khái niệm tính chất số tự nhiên, số nguyên, phân số Tuy nhiên công cụ để giải tốn số học tương đối Với kiến thức đại số chương trình tốn lớp 7; 8; cho ta thêm nhiều công cụ để giải tốn số học Vì mà toán số học xất đề thi học sinh giỏi toán bậc Trung học sở Tuy nhiên nay, số tài liệu tham khảo có xuất chuyên đề số học bậc Trung học sở tương đối ít, chủ yếu xuất chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi đưa lên mạng internet Rất nhiều tài liệu tham khảo chuyên đề số học bậc Trung học sở trình bày lời giải theo ngơn ngữ tốn học cao cấp, sử dụng ngơn ngữ đồng dư, hàm số số học Vì muốn có tài liệu tham khảo mà học sinh bậc Trung học sở đọc hiểu dễ dàng lời giải có nhìn sâu số học bậc Trung học sở Với lòng đam mê nghiên cứu góp ý giáo viên hướng dẫn, em chọn đề tài "Một số dạng tốn số học chương trình Trung học sở " để nghiên cứu Mục đích nghiên cứu Hệ thống tập số học chương trình trung học sở đưa số toán Đối tượng nghiên cứu phạm vi nghiên cứu Đối tượng: hệ thống tập số học bậc Trung học sở Phạm vi nghiên cứu: Sắp xếp hệ thống tập số học bậc Trung học sở theo dạng toán, đưa lời giải phù hợp cho học sinh Trung học sở, đưa toán toán tương tự Sinh viên thực hiện: Đinh Thị Min Ly Một số dạng tốn số học chương trình THCS Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lí luận: phân tích, nghiên cứu tài liệu sở tổng hợp, chứng minh vấn đề nghiên cứu, trình bày tập, đưa tập tương tự - Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Gồm ý kiến giảng viên hướng dẫn khoa học giảng viên khác Bộ mơn Tốn, Khoa khoa học tự nhiên, Trường Đại học Quảng Bình Thời gian nghiên cứu Năm học 2016 -2017 Bố cục khóa luận Ngồi phần mở đầu, kết luận, phụ lục, tài liệu tham khảo, nội dung khóa luận gồm mục dạng tốn số học bậc THCS Sinh viên thực hiện: Đinh Thị Min Ly Một số dạng toán số học chương trình THCS Một số dạng tốn số học chương trình Trung học sở TÍNH CHIA HẾT CỦA SỐ NGUYÊN 1.1 Một số tính chất Dấu hiệu chia hết: Một số tự nhiên sẽ: i) Chia hết cho chữ số tận 0, 2, 4, 6, ii) Chia hết cho chữ số tận 0, iii) Chia hết cho số tạo hai chữ số tận chia hết cho iv) Chia hết cho số tạo ba chữ số tận chia hết cho v) Chia hết cho 25 số tạo hai chữ số tận chia hết cho 25 vi) Chia hết cho 125 số tạo ba chữ số tận chia hết cho 125 vii) Chia hết cho tổng chữ số chia hết cho viii) Chia hết cho tổng chữ số chia hết cho ix) Chia hết cho 11 hiệu tổng chữ số vị trí chẵn tổng chữ số vị trí lẻ chia hết cho 11 Chứng minh i) n = an a1 a0 = an a1 10 + a0 Vậy n chia hết a0 chia hết cho 2, suy a0 số 0, 2, 4, 6, ii) n = an a1 a0 = an a1 10 + a0 Vậy n chia hết a0 chia hết cho 5, suy a0 số 0, Sinh viên thực hiện: Đinh Thị Min Ly Một số dạng toán số học chương trình THCS iii) n = an a2 a1 a0 = an a2 100 + a1 a0 Vậy n chia hết a1 a0 chia hết cho iv) n = an a2 a1 a0 = an a2 100 + a1 a0 Vậy n chia hết a1 a0 chia hết cho v) n = an a2 a1 a0 = an a2 100 + a1 a0 Vậy n chia hết 25 a1 a0 chia hết cho 25 vi) n = an a3 a2 a1 a0 = an a3 1000 + a2 a1 a0 Vậy n chia hết 125 a2 a1 a0 chia hết cho 125 vii) n = an a1 a0 = 10n + + 10a1 + a0 = (9 + 1)n an + + (9 + 1).a1 + a0 Vì (9 + 1)k ak có số dư với ak chia n = (9 + 1)n an + + (9 + 1).a1 + a0 chia hết cho an + + a1 + a0 chia hết cho viii) n = an a3 a2 a1 a0 = an a3 1000 + a2 a1 a0 Vậy n chia hết 125 a2 a1 a0 chia hết cho 125 ix) n = an a1 a0 = 10n + + 10a1 + a0 = (9 + 1)n an + + (9 + 1).a1 + a0 Vì (9 + 1)k ak có số dư với ak chia n = (9 + 1)n an + + (9 + 1).a1 + a0 chia hết cho an + + a1 + a0 chia hết cho x) n = an a1 a0 = 10n + + 10a1 + a0 = (11 − 1)n an + + (11 − 1).a1 + a0 = 11.An + (−1)n an + + 11.A1 − a1 + a0 Vậy n chia hết cho 11 (−1)n an + + (−1)1 a1 + (−1)0 a0 chia hết cho 11 Tính chất [2] i) Nếu tích chia hết cho số nguyên tố p tồn thừa số tích chia hết cho p Sinh viên thực hiện: Đinh Thị Min Ly Một số dạng toán số học chương trình THCS ii) Nếu tích a.b chia hết cho m, b m nguyên tố a chia hết cho m iii) Nếu a chia hết cho số nguyên tố đơi a chia hết cho tích chúng 1.2 Chứng minh chia hết Bài toán Chứng minh tích số nguyên liên tiếp chia hết cho Giải Giả sử x = n(n + 1)(n + 2), n ∈ Z Nếu n = 3k, k ∈ Z n chia hết cho suy x chia hết cho Nếu n = 3k + 1, k ∈ Z n + chia hết cho suy x chia hết cho Nếu n = 3k + 2, k ∈ Z n + chia hết cho suy x chia hết cho Vậy x chia hết cho Bài Toán Chứng minh rằng: với số tự nhiên n ta ln có A(n) = n(n2 + 1)(n2 + 4) chia hết cho Giải Nếu n = 5k, k ∈ N n chia hết cho suy A(n) chia hết cho Nếu n = 5k ± 1, k ∈ N n2 + = 25k ± 10k + + = 5(5k ± 2k + 1) chia hết cho suy A(n) chia hết cho Nếu n = 5k ± 2, k ∈ N n2 + = 25k ± 20k + + = 5(5k ± 4k + 1) chia hết cho suy A(n) chia hết cho Bài Toán Chứng minh với số nguyên m ta có m3 − 13m chia hết cho Giải Ta có m3 − 13m = m(m2 − 1) − 12m = (m − 1).m.(m + 1) − 12m Sinh viên thực hiện: Đinh Thị Min Ly Một số dạng tốn số học chương trình THCS Vì (m − 1).m.(m + 1) tích số nguyên liên tiếp nên vừa chia hết cho vừa chia hết cho Vậy chia hết cho Suy m3 − 13m chia hết cho Bài toán Chứng minh với số nguyên m, n ta có m.n.(m2 − n2 ) chia hết cho Giải m.n.(m2 − n2 ) = m.n.(m2 − − n2 + 1) = m.n.(m − 1)(m + 1) − m.n.(n − 1).(n + 1) Mà (m − 1).m.(m + 1) chia hết cho n.(n − 1).(n + 1) chia hết m.n.(m2 − n2 ) chia hết cho Bài toán Chứng minh A = 75.(42016 + 42015 + + + 1) + 25 chia hết cho 42017 Giải Ta có A = 75.(42016 + 42015 + + + 1) + 25 = 25.3.(42016 + 42015 + + + 1) + 25 = 25.(4 − 1)(42016 + 42015 + + + 1) + 25 = 25.(42017 − 1) + 25 = 25.42017 Vậy A chia hết cho 42017 Bài toán Chứng minh n5 − n chia hết cho với số nguyên n Giải n5 − n = n.(n4 − 1) = n.(n2 − 1)(n2 + 1) Nếu n = 5k n chia hết cho suy n5 − n chia hết cho Nếu n = 5k ± n2 − = 25k ± 10k + − = 5(5k ± 2k) chia hết cho suy n5 − n chia hết cho Nếu n = 5k ± n2 + = 25k ± 20k + + = 5(5k ± 4k + 1) chia hết cho suy n5 − n chia hết cho Bài toán Chứng minh với số tự nhiên dương ta ln có: A(n) = (n + 1)(n + 2) (n + n) chia hết cho 2n Sinh viên thực hiện: Đinh Thị Min Ly Một số dạng tốn số học chương trình THCS Giải Ta sử dụng phép quy nạp n Nếu n = A(1) = chia hết cho 21 Giả sử A(k) = (k + 1)(k + 2) (k + k) chia hết cho 2k Ta có A(k + 1) = (k + 2).(k + 3) (2k + 2) = 2.(k + 1).(k + 2) (k + k).(k + k + 1) Theo giả thiết quy nạp ta có A(k) = (k + 1)(k + 2) (k + k) chia hết cho 2k suy 2.(k + 1).(k + 2) (k + k) chia hết cho 2k+1 Vậy A(k + 1) chia hết cho 2k+1 1.3 Chứng minh khơng chia hết Bài tốn Chứng minh n2 + n − 16 không chia hết cho 25 với số nguyên n Giải Ta có A = n2 + n − 16 = (n + 3)(n − 2) − 10 Vì n + n − có hiệu nên chúng chia hết cho không chia hết cho Nếu n + n − chia hết cho (n + 3)(n − 2) chia hết cho 25 Vậy A = (n + 3)(n − 2) − 10 không chia hết cho 25 Nếu n + n − không chia hết cho (n + 3)(n − 2) khơng chia hết cho 25 Vậy A = (n + 3)(n − 2) − 10 không chia hết A không chia hết cho 25 Bài toán Chứng minh rằng: với số nguyên n ta có n2 + 3n − khơng chia hết cho 49 Giải Ta có A = n2 + 3n − 4A = 4n2 + 12n − 12 = (2n + 3)2 − 21 Nếu 2n + chia hết cho (2n + 3)2 chia hết cho 49, suy 4A không chia hết cho 49, suy A không chia hết cho 49 Nếu 2n + chia hết cho (2n + 3)2 chia hết cho 7, suy 4A không chia hết cho 7, suy A không chia hết cho Sinh viên thực hiện: Đinh Thị Min Ly Một số dạng toán số học chương trình THCS Vậy A khơng chia hết cho 49 1.4 Tìm điều kiện để chia hết Bài tốn Tìm số tự nhiên n để n2 + (n + 1)2 + (n + 2)2 + (n + 3)2 chia hết cho 10 Giải A = n2 + (n + 1)2 + (n + 2)2 + (n + 3)2 = 2(2n2 + 6n + 7) A 10 ⇐⇒ (2n2 + 6n + 7) ⇐⇒ (2n2 + 6n + 2) ⇐⇒ 2(n2 + 3n + 1) ⇐⇒ (n2 + 3n + 1) Gọi x (0 ≤ x ≤ 9) chữ số tận n ta có: (n2 +3n+1) ⇐⇒ (x2 +3x+1) Thử qua giá trị x ta có x = x = Vậy số tự nhiên n cần tìm số tự nhiên có chữ số tận Bài tốn Tìm số ngun dương n nhỏ để A = n3 + 7n2 + 6n chia hết cho 125 Giải A = n3 + 7n2 + 6n = n(n2 + 7n + 6) = n(n + 1)(n + 6) Với n = 5k, n + n + không chia hết cho Vì A chia hết 125 n chia hết 125 Chọn n nhỏ 125 Với n = 5k + k ∈ Z n = 5k + k ∈ Z n = 5k + k ∈ Z n; n + n + không chia hết cho Vì A khơng chia hết Với n = 5k + k ∈ Z n khơng chia hết cho Vì A chia hết 125 (n + 1)(n + 6) chia hết 125 Chọn n nhỏ 19 Vậy giá trị cần tìm n = 19 Sinh viên thực hiện: Đinh Thị Min Ly 10 Một số dạng tốn số học chương trình THCS b) p + 2; p + 6; p + 8; p + 12; p + 14 c) p2 + 2; p3 + d) 2p + 1; 8p2 + e) p2 + 2; p2 + Giải a) p = =⇒ p + 10 = 12 hợp số p = =⇒ p + 10 = 13; p + 14 = 17 số nguyên tố Với p > ta có: Nếu p = 3k + =⇒ p + 14 = 3k + 15 hợp số Nếu p = 3k + =⇒ p + 10 = 3k + 12 hợp số Vậy số nguyên tố cần tìm p = b) p = =⇒ p + = hợp số p = =⇒ p + = hợp số Với p ≥ Ta thấy 2; 6; 8; 12; 14 chia cho có số dư 2; 1; 3; 2; Vậy để p + 2; p + 6; p + 8; p + 12; p + 14 số dư p chia cho phải 0, suy p = Ta có p + = 7; p + = 11; p + = 13; p + 12 = 17; p + 14 = 19 số nguyên tố Vậy giá trị cần tìm p = c) Nếu p số nguyên tố lớn p2 = 3k + =⇒ p2 + = 3k + hợp số Với p = =⇒ p2 + = hợp số Với p = =⇒ p2 + = 11; p2 + = 17 số nguyên tố Vậy giá trị cần tìm p = Sinh viên thực hiện: Đinh Thị Min Ly 17 Một số dạng toán số học chương trình THCS d) Nếu p số nguyên tố lớn p2 = 3k + =⇒ 8p2 + = 24k + hợp số Với p = =⇒ 8p2 + = 33 hợp số Với p = =⇒ 8p2 + = 73; 2p + = số nguyên tố Vậy giá trị cần tìm p = e) Nếu p số nguyên tố lớn p2 = 3k + =⇒ p2 + = 3k + hợp số Với p = =⇒ p2 + = hợp số Với p = =⇒ p2 + = 11; p3 + = 29 số nguyên tố Vậy giá trị cần tìm p = Bài tốn Tìm số ngun tố p cho a) 2p + lập phương số nguyên tố b) 7p + bình phương số tự nhiên c) 13p + lập phương số tự nhiên Giải a) Nếu 2p + lập phương số nguyên tố 2p + lập phương số nguyên tố lẻ 2p + lẻ 2p + = (2k + 1)3 =⇒ 2p + = 8k + 12k + 6k + =⇒ p = k(4k + 6k + 3) Vì p số nguyên tố 4k + 6k + > k suy k = Với k = =⇒ 2p + = 33 =⇒ p = 13 Vậy số nguyên tố cần tìm p = 13 b) 7p + = n2 với n số tự nhiên 7p = (n − 1)(n + 1) Nếu n − = =⇒ n = =⇒ 7p = không thỏa mãn Vậy n − > Khi ta có n − n + có giá trị giá trị p Với n − = =⇒ n = =⇒ p = số nguyên tố Với n + = =⇒ n = =⇒ p = số nguyên tố Sinh viên thực hiện: Đinh Thị Min Ly 18 Một số dạng tốn số học chương trình THCS c) 13p + = n3 với n số tự nhiên 13p = (n − 1)(n2 + n + 1) Nếu n − = =⇒ n = =⇒ 13p = không thỏa mãn Vậy n − > Khi ta có n − n2 + n + có giá trị 13 giá trị p Với n − = 13 =⇒ n = 14 =⇒ p = n2 + n + = 211 số nguyên tố Với n2 + n + = 13 =⇒ n = =⇒ p = số nguyên tố Vậy số nguyên tố cần tìm p = 2; p = 211 Sinh viên thực hiện: Đinh Thị Min Ly 19 Một số dạng tốn số học chương trình THCS SỐ CHÍNH PHƯƠNG 4.1 Chứng minh số số phương Định nghĩa [1] Một số bình phương số tự nhiên gọi số phương Tính chất [2] Nếu a; b hai số nguyên tố a.b số phương a b số phương Bài toán Chứng minh với số tự nhiên n A(n) = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + số phương Giải A(n) = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + = (n2 + 3n)(n2 + 3n + 2) + = (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) + = (n2 + 3n + 1)2 Vậy A(n) số phương Bài tốn Chứng minh với số tự nhiên n A(n) = n2 + (n + 1)2 + (n(n + 1))2 số phương Giải A(n) = n2 + (n + 1)2 + (n(n + 1))2 = n2 + (n + 1)2 + n2 (n2 + 2n + 1) = n2 (n + 1)2 + n4 + 2n3 + n2 = n4 + 2n2 (n + 1) + (n + 1)2 = (n2 + n + 1)2 Vậy A(n) số phương Bài tốn chứng minh rằng: m; n số tự nhiên thỏa mãn 3m2 + m = 4n2 + n m − n 4m + 4n + số phương Giải Ta có 3m2 +m = 4n2 +n ⇐⇒ 4(m2 −n2 )+(m−n) = m2 ⇐⇒ (m−n)(4m+4n+1) = Sinh viên thực hiện: Đinh Thị Min Ly 20 Một số dạng toán số học chương trình THCS m2 Vậy (m − n)(4m + 4n + 1) số phương Gọi d ước chung lớn m − n 4m + 4n + Vì (m − n)(4m + 4n + 1) = m2 nên d ước m (1) Ta có 4m + 4n + = −4(m − n) + 8m + 1, nên d ước 8m + (2) Từ (1) (2) suy d ước Vậy d = 1, hay m − n 4m + 4n + hai số nguyên tố Suy m − n 4m + 4n + số phương 4.2 Chứng minh số khơng số phương Tính chất [3] Số phương phải có chữ số tận số:0; 1; 4; 5; 6; Tính chất [3] Số phương chia hết cho số nguyên tố p chia hết cho p2 Tính chất [3] Mọi số tự nhiên k thoả n2 < k < (n + 1)2 với n số tự nhiên k khơng số phương Tính chất [3] Một số phương chia hết cho chia cho dư Tính chất [3] Một số phương khơng chia hết cho chia cho dư Tính chất [3] Một số phương lẻ chia cho dư Bài toán Chứng minh n = 20192 + 20182 + 20172 + 20152 − 20142 số phương Giải 20192 ; 20182 ; 20172 ; 20152 ; 20142 có chữ số tận 1; 4; 9; 5; Do n có chữ số tận nên n số phương Bài tốn Chứng minh 1234567890 khơng phải số phương Giải 1234567890 chia hết cho khơng chia hết cho 25, 90 khơng chia hết cho 25 Vậy 1234567890 số phương Bài tốn Chứng minh số có tổng chữ số 2018 số khơng phải số phương Sinh viên thực hiện: Đinh Thị Min Ly 21 Một số dạng toán số học chương trình THCS Giải 2018 chia hết cho khơng chia hết cho Do số có tổng chữ số 2018 chia hết cho khơng chia hết khơng số phương Bài tốn Chứng minh n = 20174 + 20173 + 20172 + 2018 số phương Giải 2017 chia cho dư nên 20174 + 20173 + 20172 chia hết cho 2018 chia cho dư nên n = 20174 + 20173 + 20172 + 2018 chia cho dư 2, n khơng phải số phương Bài toán Chứng minh số x = (n + 1)4 + n4 + số phương với số tự nhiên n Giải Ta có x = (n + 1)4 + n4 + = 2n4 + 4n3 + 6n2 + 4n + = 2(n4 + 2n3 + 3n2 + 2n + 1) = 2(n2 + n + 1)2 Vì n2 + n + = n(n + 1) + nên (n2 + n + 1)2 số lẻ Vậy x = (n + 1)4 + n4 + chia hết cho không chia hết không số phương 4.3 Một số dạng tốn khác Bài toán Chứng minh số tự nhiên lẻ viết dạng hiệu hai số phương Giải Gọi x = 2n + số tự nhiên lẻ Ta có x = 2n + = (n + 1)2 − n2 Vậy x hiệu hai số phương Bài tốn Tìm số phương có năm chữ số, có chữ số 5, có chữ số 7, lại ba chữ số giống Giải Gọi ba chữ số lại a (a = 5; a = 7) Gọi n2 số phương cần tìm Tổng chữ số n2 12 + 3a Vì 12 + 3a chia hết n2 chia hết cho đó n2 chia hết cho Sinh viên thực hiện: Đinh Thị Min Ly 22 Một số dạng tốn số học chương trình THCS Ta có 12 + 3a = + 3(a + 1) chia hết cho suy 3(a + 1) chia hết cho 9, a + chia hết cho Vậy a nhận giá trị Với a = Do n2 không tận nên n2 tận n2 chia hết cho 5, suy chia hết cho 25 Vậy chữ số tận n2 25 75 Thử với số 72225; 27225; 22725 ta thấy 27225 = 1652 số phương Ta thấy 22275 khơng số phương Với a = Do n2 không tận nên n2 tận n2 chia hết cho 5, suy chia hết cho 25 Vậy chữ số tận n2 75 Ta thấy 88875 khơng số phương Vậy số cần tìm 27225 Bài tốn Tìm số ngun dương n nhỏ cho số n + 1; 2n + 1; 5n + số phương Giải Nếu n = 3k + n + = 3k + chia cho dư khơng số phương Nếu n = 3k + 2n + = 6k + chia cho dư khơng số phương Vậy n = 3k 2n + số phương lẻ nên chia dư 1, suy n + lẻ, suy n chia hết cho Vậy n chia hết cho cho n = 24 n + = 25; 2n + = 49; 5n + = 121 số phương Sinh viên thực hiện: Đinh Thị Min Ly 23 Một số dạng toán số học chương trình THCS ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ BỘI CHUNG NHỎ NHẤT - Khái niệm ước chung lớn bội chung nhỏ nêu chương trình tốn - Cho hai số nguyên dương a; b, ký hiệu: (a; b) ước chung lớn a b, [a; b] bội chung nhỏ a b Trong chương trình số học lớp 6, sau học khái niệm ước chung lớn bội chung nhỏ nhất, ta gặp dạng tốn tìm hai số ngun dương biết số yếu tố đó, có yếu tố ước chung lớn bội chung nhỏ Phương pháp chung để giải dạng toán trên: a) Dựa vào định nghĩa ước chung lớn để biểu diễn hai số cần tìm, liên hệ với yếu tố biết để tìm hai số b) Trong số trường hợp đặc biệt ta dựa vào mối quan hệ tích ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ a.b = (a; b).[a; b] Bài toán Tìm hai số nguyên dương a; b biết [a; b] = 240, (a; b) = 16 Giải Giả sử a ≥ b Vì (a; b) = 16 =⇒ a = 16m; b = 16n với m; n ∈ Z+ , (m; n) = 1, m ≥ n Ta có a.b = (a; b).[a; b] ⇐⇒ 162 m.n = 16.240 ⇐⇒ m.n = 15 15 = 1.15 = 3.5 Với m = 15; n = =⇒ a = 240, b = 16 Với m = 5; n = =⇒ a = 80, b = 48 Bài toán Tìm hai số nguyên dương a; b biết a.b = 216, (a; b) = Giải Giả sử a ≥ b Vì (a; b) = =⇒ a = 6m; b = 6n với m; n ∈ Z+ , (m; n) = 1, m ≥ n a.b = 216 ⇐⇒ 36.m.n = 216 ⇐⇒ m.n = = 6.1 = 3.2 Với m = 6; n = =⇒ a = 36, b = Sinh viên thực hiện: Đinh Thị Min Ly 24 Một số dạng toán số học chương trình THCS Với m = 3; n = =⇒ a = 18, b = 12 Bài toán Tìm hai số nguyên dương a; b cho a b = 2, (a; b) = Giải Vì (a; b) = =⇒ a = 5m; b = 5n với m; n ∈ Z+ , (m; n) = 1, m ≥ n a b = 2, ⇐⇒ m n = 13 ⇐⇒ m = 13; n = ⇐⇒ a = 65; b = 15 Bài tốn Tìm hai số ngun dương a; b cho a + b = 128 (a; b) = 16 Giải Giả sử a ≥ b Vì (a; b) = 16 =⇒ a = 16m; b = 16n với m; n ∈ Z+ , (m; n) = 1, m ≥ n a + b = 128 ⇐⇒ 16(m + n) = 128 ⇐⇒ m + n = Với m = 7; n = =⇒ a = 112; b = 16 Với m = 5; n = =⇒ a = 80; b = 48 Bài tốn Tìm hai số ngun dương a; b cho a − b = [a; b] = 140 Giải Đặt (a; b) = d =⇒ a = dm; b = dn với m; n ∈ Z+ , (m; n) = 1, m ≥ n a − b = ⇐⇒ d(m − n) = =⇒ d ∈ {1; 7} [a; b] = 140 ⇐⇒ d.m.n = 140   m − n = Với d = ta có =⇒ n2 + 7n = 140 phương trình khơng có nghiệm  m.n = 140 ngun Với d = ta có   m − n = =⇒ n2 + n = 20 =⇒ n = =⇒ m =  m.n = 20 Vậy a = 5.7 = 35; b = 4.7 = 28 Sinh viên thực hiện: Đinh Thị Min Ly 25 Một số dạng tốn số học chương trình THCS PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUN Trong chương trình tốn trung học sở, phương pháp chủ yếu để giải phương trình nghiệm nguyên là: i) Phương pháp xét tính chia hết, đưa phương trình ước số, xét số dư vế, phương pháp lùi vô hạn ii) Phương pháp dùng bất đẳng thức, thứ tự ẩn, xét khoảng giá trị ẩn, sử dụng ≥ để phương trình bậc hai có nghiệm, xét tích kẹp tích dạng iii) Phương pháp dùng số phương, xét số phương gần nhau, sử dụng điều kiện số phương phương trình bậc hai, dùng tính chất số phương Bài tốn Tìm nghiệm nguyên phương trình 5xy + x − 10y = 14 Giải 5xy + x − 10y = 14 ⇐⇒ x(5y + 1) − 2(5y + 1) = 12 ⇐⇒ (x − 2)(5y + 1) = 12 5y + ước 12 5y + chia cho dư nên 5y + lấy giá trị 1; 6; −4 Với 5y + = =⇒ y = 0; x = 14 Với 5y + = =⇒ y = 1; x = Với 5y + = −4 =⇒ y = −1; x = −1 Vậy nghiệm phương trình (14; 0); (4; 1); (−1; −1) Bài tốn Tìm nghiệm nguyên phương trình x3 − 7y = 51 Giải x3 − 7y = 51 ⇐⇒ x3 − = 7(y + 6) Vậy x3 − chia hết cho 7, suy x3 chia dư Xét x = 7k x3 chia hết cho Sinh viên thực hiện: Đinh Thị Min Ly 26 Một số dạng tốn số học chương trình THCS Xét x = 7k ± x3 chia hết cho dư Xét x = 7k ± x3 chia hết cho dư Xét x = 7k ± x3 chia hết cho dư Vậy phương trình khơng có nghiệm ngun Bài tốn Tìm nghiệm nguyên phương trình x3 + 2y + 4z = Giải x3 + 2y + 4z = suy x chia hết cho Đặt x = 2x1 ta có 4x31 + y + 2z = 0, suy y chia hết cho Đặt y = 2y1 ta có 2x31 + 4y13 + z = 0, suy z chia hết cho Đặt z = 2z1 ta có x31 + 2y13 + 4z13 = Vậy, (x; y; z) (x1 ; y1 ; z1 nghiệm, với x = 2x1 ; y = 2y1 ; z = 2z1 Cứ tiếp tục vậy, ta có: x, y, z chia hết cho 2n với số tự nhiên n Suy x = y = z = Bài tốn Tìm nghiệm ngun dương phương trình 2xyz = x + y + z Giải Giả sử ≤ x ≤ y ≤ z Ta có 2xyz = x + y + z ≤ 3z 2xyz ≤ 3z =⇒ 2xy ≤ =⇒ x.y = =⇒ x = y = Ta có 2z = + z =⇒ z = Vậy nghiệm phương trình (1; 1; 2), (1; 2, 1), (2; 1; 1) Bài tốn Tìm nghiệm ngun phương trình x2 + y − 2x + y = Giải x2 + y − 2x + y = ⇐⇒ x2 − 2x + (y + y − 9) = Xem phương trình bậc ẩn x = − y − y + = −y − y + 10 Sinh viên thực hiện: Đinh Thị Min Ly 27 Một số dạng tốn số học chương trình THCS ≥ =⇒ −y − y + 10 ≥ =⇒ y + y − 10 ≤ =⇒ 4y + 4y + ≤ 41 =⇒ (2y + 1)2 ≤ 41 Vậy (2y + 1)2 giá trị 1; 9; 25 Xét trường hợp 2y + sau thay vào để tìm x ta nghiệm (3; 2), (−1; 2), (3; −3), (−1; −3) Bài tốn Tìm nghiệm nguyên phương trình x4 + x2 + = y − y Giải x4 + x2 + = y − y ⇐⇒ x4 + x2 + = y(y − 1) Ta có x4 + x2 < x4 + x2 + < x4 + x2 + + 4x2 + Vậy x2 (x2 + 1) < (y − 1)y < (x2 + 2)(x2 + 3) =⇒ (y − 1)y = (x2 + 1)(x2 + 2) Kết hợp với đề ta có x4 + x2 + = x4 + 3x2 + x =⇒ x = Với x = =⇒ y − y = ⇐⇒   y = −1  y = Vậy nghiệm phương trình (0; −1), (0; 2) Bài tốn Tìm nghiệm nguyên phương trình x4 + 2x6 = y − y Giải x4 + 2x6 = y − y ⇐⇒ 4x4 + 8x2 + 25 = 4y − 4y + Đặt A = 4x4 + 8x2 + 25 =⇒ A = (2y − 1)2 , suy A số phương lẻ Vì 4x4 + 4x2 + < 4x4 + 8x2 + 25 ≤ 4x4 + 20x2 + 25 ⇐⇒ (2x2 + 1)2 < A ≤ (2x2 + 5)2 A số phương lẻ nên A = (2x2 + 3)2 A = (2x2 + 5)2 Với A = (2x2 + 3)2 ⇐⇒ 4x4 + 8x2 + 25 = 4x4 + 12x2 + ⇐⇒ x2 = Thay vào đề ta có y − y = 30 ⇐⇒ y = ∨ y = −5 Với A = (2x2 + 5)2 ⇐⇒ 4x4 + 8x2 + 25 = 4x4 + 20x2 + 25 ⇐⇒ x2 = Sinh viên thực hiện: Đinh Thị Min Ly 28 Một số dạng tốn số học chương trình THCS Thay vào đề ta có y − y = ⇐⇒ y = ∨ y = −2 Vậy nghiệm phương trình (2; 6), (2; −5), (−2; 6), (−2; 5), (0; 3), (0; −2) Bài toán Tìm nghiệm nguyên phương trình x2 y − xy = x2 + 2y Giải x2 y − xy = x2 + 2y ⇐⇒ (x2 − 2)y − xy − x2 = Vì x2 − = với x ∈ Z nên ta xem phương trình bậc hai y = x2 + 4x2 (x2 − 2) = x2 (4x2 − 7) Với x = =⇒ y = Để số phương 4x2 − số phương Đặt 4x2 − = m2 ⇐⇒ (2x − m)(2x + m) =   2x − m = =⇒ x = =⇒ y = ∨ y = −2 Với  2x + m =   2x − m = −7 =⇒ x = −2 =⇒ y = −1 ∨ y = Với  2x + m = −1 Vậy nghiệm phương trình (0; 0), (2; 1), (2; −2), (−2; −1), (−2; 2) Sinh viên thực hiện: Đinh Thị Min Ly 29 Một số dạng tốn số học chương trình THCS KẾT LUẬN Với nội dung nghiên cứu trình bày, khóa luận "Một số dạng tốn số học chương trình Trung học sở " giải vấn đề đặt - Phân loại số dạng toán số học bậc Trung học sở - Trình bày lời giải tốn phù hợp với học sinh Trung học sở - Đưa số toán dựa toán có (các tốn có xuất số 2017) Do thời gian hạn chế số vấn đề sức khỏe nên số dạng tốn số học chương trình THCS mà khóa luận đưa Khóa luận gặp nhiều thiếu sót hạn chế mong nhận góp ý chân thành thầy bạn Hi vọng có nhiều thời gian hơn, em nghiên cứu sâu vấn đề đưa để khóa luận hồn thiện trở thành tài liệu tham khảo tốt cho học sinh giáo viên Cuối em xin gữi lời cảm ơn đến thầy cô giảng dạy em năm học qua, đặc biệt Thầy giáo Trần Mạnh Hùng bảo nhiệt tình trình học trường trình làm khóa luận Sinh viên thực hiện: Đinh Thị Min Ly 30 Một số dạng toán số học chương trình THCS TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa sách tập toán lớp 6; 7; 8; 9, (2016), NXB Giáo Dục Vũ Hữu Bình (2016), chuyên đề số học Trung Học Cơ Sở, NXB Giáo Dục Đậu Thế Cấp (2008) Số Học , NXB Giáo Dục Ngô Thúc Lanh (1986) Đại số số học , NXB Giáo Dục Nguyễn Tiến Tài (2007) Cơ sở số học, NXB Giáo Dục http://violet.vn http://tailieu.vn/ http://www.math.com/ http://www.mathvn.com/ Sinh viên thực hiện: Đinh Thị Min Ly 31 ... mục dạng toán số học bậc THCS Sinh viên thực hiện: Đinh Thị Min Ly Một số dạng tốn số học chương trình THCS Một số dạng tốn số học chương trình Trung học sở TÍNH CHIA HẾT CỦA SỐ NGUYÊN 1.1 Một số. .. số dạng tốn số học chương trình Trung học sở " giải vấn đề đặt - Phân loại số dạng toán số học bậc Trung học sở - Trình bày lời giải tốn phù hợp với học sinh Trung học sở - Đưa số toán dựa toán. .. LỤC MỞ ĐẦU MỘT SỐ DẠNG TOÁN SỐ HỌC TRONG CHƯƠNG TRÌNH TRUNG HỌC CƠ SỞ Tính chia hết số nguyên Tìm chữ số tận 11 Số nguyên tố hợp số