BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI ——————————- NGUYỄN QUANG CHUNG NGHIÊN CỨU RỦI RO TÀI CHÍNH TRONG TÁI BẢO HIỂM Chun ngành: Lí thuyết Xác suất Thống kê Toán học Mã ngành: 62460106 TĨM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Hà Nội - 2018 Cơng trình hồn thành tại: Trường Đại học Bách khoa Hà Nội Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Bùi Khởi Đàm PGS TS Tống Đình Quỳ Phản biện 1: Phản biện 2: Phản biện 3: Luận án bảo vệ trước Hội đồng đánh giá luận án tiến sĩ cấp Trường họp Trường Đại học Bách khoa Hà Nội Vào hồi giờ, ngày tháng năm Có thể tìm hiểu luận án thư viện: Thư viện Tạ Quang Bửi- Trường ĐHBK Hà Nội Thư viện Quốc gia Việt Nam MỞ ĐẦU Tổng quan hướng nghiên cứu lý chọn đề tài Một nghiên cứu lý thuyết rủi ro bảo hiểm luận án Filip Lundberg (1903) Đại học Uppsala (Thụy Điển) Sau đó, Harald Cramér phát triển ý tưởng Filip Lundberg mà ngày gọi mơ hình Cramér- Lundberg hay mơ hình rủi ro cổ điển Trong mơ hình phí thu bảo hiểm xét số phần chi trả bảo hiểm dãy biến ngẫu nhiên độc lập phân phối Một số tác giả S Ross [32], H Yang [46], B K Đàm N H Hoàng [1], B K Dam N T T Hong [17] N T T Hong [21] xét mô hình rủi ro với phí bảo hiểm thu chu kỳ biến ngẫu nhiên Sau số tác giả B Sundt J L Teugels ([38], [39]), H Yang [46], J Cai ([7], [8]), J Cai D C M Dickson [9], X Wei Y Hu [43], B K Dam P D Quang [18], N T T Hong [21] P D Quang ([30], [31]) đề cập tới mơ hình có lãi suất Với hai mơ hình rủi ro này, tác giả ước lượng đưa biểu thức cho xác suất thiệt hại công ty bảo hiểm Tuy nhiên kinh doanh bảo hiểm, cơng ty bảo hiểm gặp thiệt hại yêu cầu bồi thường lớn Một chiến lược để giảm nguy thiệt hại trực tiếp cho cơng ty bảo hiểm hình thức tái bảo hiểm Có thể coi K Borch [5] người nghiên cứu tái bảo hiểm Ở đó, tác giả phương án tái bảo hiểm khác tái bảo hiểm stop of loss làm cực tiểu phương sai cho phần chi trả bảo hiểm công ty bảo hiểm Nghiên cứu mở hướng nghiên cứu xung quanh tái bảo hiểm P Kahn [24], S Vajda [41], J Ohlin [28], H R Waters [42], J Cai K Tan [10], J Cai, K S Tan, C Weng Y Zhang [11], R Kaas, M Goovaerts, J Dhaene M Denuit [23], K S Tan, C Weng Y Zhang [40] Trong mơ hình rủi ro có tái bảo hiểm, yêu cầu bồi thường chi trả công ty bảo hiểm cơng ty tái bảo hiểm, thiệt hại xảy cơng ty bảo hiểm tái bảo hiểm Tuy nhiên, hầu hết công trình nghiên cứu danh mục tài liệu tham khảo luận án này, nghiên cứu xem xét từ quan điểm phía (cơng ty bảo hiểm công ty tái bảo hiểm) Gần đây, tốn có quan tâm tới hai cơng ty bảo hiểm tái bảo hiểm số tác giả nghiên cứu, ví dụ: V K Kaishev D S Dimitrova [25], Z Li [27] S Salcedo-Sanz, L Carro-Calvo, M Claramunt, A Casta˜ ner M Mármol [34] Các nghiên cứu tái bảo hiểm phù hợp có quan tâm tới cơng ty bảo hiểm tái bảo hiểm Mặc dù vậy, nghiên cứu theo hướng cơng trình nghiên cứu Luận án nghiên cứu mơ hình rủi ro rời rạc với phần thu phí bảo hiểm biến ngẫu nhiên Các tốn liên quan tới xác suất thiệt hại cơng ty bảo hiểm công ty tái bảo hiểm xem xét Các ước lượng (chặn trên) cho xác suất thiệt hại công ty bảo hiểm thiết lập Mục đích, đối tượng phạm vi nghiên cứu • Mục đích nghiên cứu luận án: Xây dựng mơ hình rủi ro rời rạc với tác động tái bảo hiểm quota share tái bảo hiểm excess of loss trường hợp không lãi suất có lãi suất Xác định tỷ lệ chia sẻ tối ưu để cực tiểu xác suất thiệt hại liên kết (xác suất xảy thiệt hại công ty bảo hiểm tái bảo hiểm); xây dựng cơng thức tính xác cho xác suất thiệt hại liên kết công ty bảo hiểm tái bảo hiểm, cơng thức tính xác cho xác suất thiệt hại công ty bảo hiểm; ước lượng (chặn trên) cho xác suất thiệt hại mơ hình có tái bảo hiểm • Đối tượng phạm vi nghiên cứu luận án: Các xác suất thiệt hại công ty bảo hiểm công ty tái bảo hiểm mơ hình rủi ro rời rạc có tái bảo hiểm quota share tái bảo hiểm excess of loss Các toán tối ưu, toán cơng thức tính tốn ước lượng cho xác suất thiệt hại Phương pháp nghiên cứu Trong luận án sử dụng kiến thức giải tích xác suất Sử dụng phương pháp martingale để thiết lập chặn cho xác suất thiệt hại công ty bảo hiểm tái bảo hiểm Với phương pháp bất đẳng thức Jensen, bất đẳng thức maximal định lý thời điểm dừng với martingale martingale sử dụng trình chứng minh Phương pháp truy hồi để xây dựng chặn cho xác suất thiệt hại công ty bảo hiểm Ý nghĩa kết luận án • Luận án đưa số kết mới, có ý nghĩa lý thuyết ứng dụng việc nghiên cứu mơ hình rủi ro bảo hiểm • Lần đưa cách xác định tỷ lệ chia sẻ (hệ số α) để cực tiểu xác suất thiệt hại liên kết cho công ty bảo hiểm công ty tái bảo hiểm (cực tiểu đồng thời xác suất thiệt hại công ty bảo hiểm công ty tái bảo hiểm) • Xây dựng cơng thức tính xác cho xác suất thiệt hại liên kết, xác suất thiệt hại cơng ty bảo hiểm • Thiết lập hệ số hiệu chỉnh hàm tỷ lệ chia sẻ mức trì • Đưa ước lượng dạng Cramér- Lundberg cho xác suất thiệt công ty bảo hiểm phương pháp martingale phương pháp truy hồi • Chứng minh tồn tỷ lệ chia sẻ α để hai xác suất thiệt hại công ty bảo hiểm công ty tái bảo hiểm nhỏ ngưỡng bé tùy ý cho trước Cấu trúc kết luận án Ngoài phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, luận án chia làm bốn chương: • Chương trình bày số kiến thức chuẩn bị cho luận án • Chương nghiên cứu tốn tối ưu cho xác suất thiệt hại liên kết công ty bảo hiểm tái bảo hiểm, xây dựng công thức tính xác cho xác suất thiệt hại liên kết • Chương ước lượng cho xác suất thiệt hại mơ hình tái bảo hiểm phương pháp martingale • Chương ước lượng cho xác suất thiệt hại mơ hình tái bảo hiểm phương pháp truy hồi Nội dung luận án dựa bốn báo liệt kê "Danh mục cơng trình cơng bố luận án", [1], [2], [4] đăng nước ngoài, [3] đăng tạp chí nước Luận án báo cáo tại: – Seminar " Đánh giá ảnh hưởng tái bảo hiểm chặn xác suất thiệt hại mơ hình rủi ro rời rạc" Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Hưng Yên, tháng năm 2017 – Seminar "Xác suất thiệt hại mơ hình rủi ro với tái bảo hiểm", Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, tháng 10 năm 2017 Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số trình ngẫu nhiên ứng dụng lý thuyết rủi ro Xét ξ biến ngẫu nhiên xác định không gian xác suất (Ω, F, P) Định nghĩa 1.1.1 ([6]) Cho ξ biến ngẫu nhiên khả tích A σ− trường F Khi đó, kỳ vọng có điều kiện ξ A biến ngẫu nhiên, ký hiệu E(ξ | A) thỏa mãn điều kiện sau: - E(ξ | A) A− đo được; - Với A ∈ A E(ξ | A)dP = A 1.1.1 ξdP A Q trình Markov Cho {ξt }t∈T có tính Markov E tập hữu hạn đếm được, {ξt }t∈T gọi xích Markov Như vậy, phương diện tốn học, trường hợp tính Markov định nghĩa sau: Định nghĩa 1.1.2 Ta nói {ξt }t∈T có tính Markov nếu: P ξtn+1 = j | ξt0 = i0 , , ξtn−1 = in−1 , ξtn = i = P ξtn+1 = j | ξtn = i , với t0 < t1 < < tn < tn+1 < i0 , , in−1 , i, j ∈ E 1.1.2 Martingale với tham số rời rạc Định nghĩa 1.1.3 ([45]) Một dãy {ξn , An , n ∈ N} gọi martingale, (i) ξn đo với An , n ∈ N, (ii) E(|ξn |) < ∞, ∀n ∈ N, (iii) E(ξn | An−1 ) = ξn−1 , n ≥ Tương tự, dãy {ξn , An , n ∈ N} martingale (supermartingale), (i) ξn đo với An , n ∈ N, (ii) E(|ξn |) < ∞, ∀n ∈ N, (iii’) E(ξn | An−1 ) ≤ ξn−1 , n ≥ dãy {ξn , An , n ∈ N} martingale (submartingale), (i) ξn đo với An , n ∈ N, (ii) E(|ξn |) < ∞, ∀n ∈ N, (iii") E(ξn | An−1 ) ≥ ξn−1 , n ≥ 1.2 Một số mơ hình rủi ro cổ điển Chúng ta ký hiệu u0 vốn ban đầu công ty bảo hiểm Các đại lượng Xn , Yn In tương ứng phần chi trả bảo hiểm, phần thu bảo hiểm lãi suất công ty bảo hiểm chu kỳ thứ n - Mơ hình rủi ro khơng lãi suất mà lợi nhuận Un chu kỳ thứ n (n = 1, 2, ) công ty bảo hiểm xác định n n Yi − Un = u0 + i=1 Xi (1.1) i=1 - Mơ hình rủi ro có lãi suất lợi nhuận chu kỳ thứ n (n = 1, 2, ) công ty bảo hiểm Un = Un−1 (1 + In ) + Yn − Xn (1.2) 1.3 Tái bảo hiểm Định nghĩa 1.3.1 ([19]) Tái bảo hiểm quota share loại tái bảo hiểm mà công ty bảo hiểm giữ lại khoản từ việc thu phí bảo hiểm khách hàng chi trả bảo hiểm cho khách hàng với tỷ lệ, ký hiệu α (α ∈ [0, 1]) Phần thu chi bảo hiểm lại thực công ty tái bảo hiểm Ta gọi α tỷ lệ chia sẻ Khi có tái bảo hiểm quota share ta có mơ hình rủi ro - Trường hợp khơng có lãi suất lợi nhuận công ty bảo hiểm tái bảo (1) (1) hiểm chu kỳ n tương ứng Un Vn , xác định: n Un(1) Yi − α = u0 + α i=1 n Xi i=1 n n Vn(1) (1.3) Yi − (1 − α) = v0 + (1 − α) i=1 Xi (1.4) i=1 với n = 1, 2, , - Trường hợp có lãi suất lợi nhuận chu kỳ thứ n công ty bảo hiểm (1) (1) tái bảo hiểm Un Vn (1) Un(1) = Un−1 + In(1) + α(Yn − Xn ) (1.5) (1) Vn(1) = Vn−1 + In(2) + (1 − α)(Yn − Xn ) (1) (1.6) (2) In In lãi suất tương ứng công ty bảo hiểm công ty tái bảo hiểm chu kỳ thứ n Định nghĩa 1.3.2 ([15],[19]) Tái bảo hiểm excess of loss hợp đồng bảo hiểm mà phần thu phí bảo hiểm từ người mua bảo hiểm chia cho công ty bảo hiểm với tỷ lệ α, phần lại chia cho cơng ty tái bảo hiểm Ở chu kỳ tổng số chi trả bảo hiểm vượt q M cơng ty bảo hiểm chi trả M , phần lại chi trả công ty tái bảo hiểm, trái lại công ty bảo hiểm chi trả toàn số tiền yêu cầu bồi thường Khi có tái bảo hiểm excess of loss ta có mơ hình rủi ro mà lợi nhuận công ty bảo hiểm tái bảo hiểm chu kỳ thứ n cho: - Trường hợp khơng có lãi suất n Un(2) Vn(2) Yi − = u0 + α n i=1 i=1 n n = v0 + (1 − α) Yi − i=1 {Xi , M } (1.7) max {Xi − M, 0} (1.8) i=1 - Trường hợp có lãi suất (2) Un(2) = Un−1 + In(1) + αYn − min{Xn , M } (1.9) (2) Vn(2) = Vn−1 + In(2) + (1 − α) Yn − max{Xn − M, 0} (1.10) Kết luận Chương Trong chương này, việc giới thiệu tổng quan lĩnh vực nghiên cứu luận án, kiến thức khái niệm sử dụng sau luận án, tác giả mở rộng số mơ hình rủi ro xét hợp đồng tái bảo hiểm lên trình lợi nhuận công ty bảo hiểm công ty tái bảo hiểm Khi đó, tồn R(2) (α, M )(R(2) (α, M ) > 0) cho E eR (2) (α,M )(max{X1 −M,0}−(1−α)Y1 ) = (3.12) Định lý sau phương pháp để dung hòa đồng thời xác suất thiệt hại công ty bảo hiểm tái bảo hiểm Định lý 3.1.10 Cho trình lợi nhuận (1.7) (1.8) thỏa mãn giả thiết Bổ đề 3.1.8 Bổ đề 3.1.9 Khi đó, với (α, M ) −u0 R φ(1) n (u0 , α, M ) ≤ e (1) (α,M ) (3.13) −v0 R φ(2) n (v0 , α, M ) ≤ e (2) (α,M ) (3.14) n=1,2, , Đặt: = P (Y1 ≤ xN4 − u0 − v0 ) P (X1 = xi ) (3.15) i=1,N4 :xi ≥u0 Định lý 3.1.11 Cho trình lợi nhuận (1.7) (1.8) thỏa mãn giả thiết (2.2) xN4 − u0 − v0 > Khi đó, với ≥ tồn (α, M ) để (1) (3.16) (2) (3.17) φ1 (u0 , α, M ) ≤ φ1 (v0 , α, M ) ≤ 3.2 3.2.1 Mơ hình rủi ro có lãi suất Trường hợp với tái bảo hiểm quota share Bổ đề 3.2.1 Giả sử E(X1 ) < E(Y1 ); P(X1 − Y1 > 0) > 0; essup{X1 } < +∞; essup{Y1 } < +∞ Khi với I (1) = is , I (2) = jt α ∈ (0, 1) 16 (1) (2) tồn Ris (α) Rjt (α) để (1) (1) −1 E eαRis (α)(X1 −Y1 )(1+I1 ) (1) | I0 = is = (3.18) (2) E e(1−α)Rjt (2) (α)(X1 −Y1 )(1+I1 )−1 (2) | I0 = jt = (3.19) Định lý 3.2.2 Xét trình lợi nhuận (1.5) (1.6) với điều kiện Bổ đề 3.2.1 thỏa mãn Khi đó, với α ∈ (0, 1) s = 0, 1, , N1 , t = 0, 1, , N2 , ta có ψn(1) (u0 , α, is ) ≤ e−u0 R (1) (α) (3.20) (α) (3.21) ψn(2) (v0 , α, jt ) ≤ e−v0 R (2) n = 1, 2, , (1) Hệ 3.2.3 Nếu ∈ L2 tồn tỷ lệ chia sẻ α ∈ (0, 1) để ψn (u0 , α, is ) ≤ (2) ψn (v0 , α, js ) ≤ , với s = 0, 1, , N1 t = 0, 1, , N2 Đặc biệt, = e−u0 R1 −v0 R2 α = 3.2.2 u0 R1 u0 R1 +v0 R2 Trường hợp với tái bảo hiểm excess of loss Sau ta thiết lập hệ số hiệu chỉnh hàm α M Bổ đề 3.2.4 Giả sử essup{X1 } < +∞, essup{Y1 } < +∞, αE(Y1 ) > E (min {X1 , M }) P (min {X1 , M } − αY1 > 0) > với (α, M ) Khi đó, tồn Ri∗s (α, M )(Ri∗s (α, M ) > 0) cho (1) −1 ∗ E eRis (α,M )(min{X1 ,M }−αY1 )(1+I1 với s = 0, 1, , N1 17 ) (1) I0 = is = (3.22) Bổ đề 3.2.5 Giả sử essup{X1 } < +∞, essup{Y1 } < +∞, (1 − α)E(Y1 ) > E (max {X1 − M, 0}) P (max {X1 − M, 0} − (1 − α)Y1 > 0) > với (α, M ) Khi đó, tồn Rjt (α, M )(Rjt (α, M ) > 0) cho (2) −1 E eRjt (α,M )(max{X1 −M,0}−(1−α)Y1 )(1+I1 (2) ) I0 = jt = (3.23) với t = 0, 1, , N2 Chặn dạng mũ cho xác suất thiệt hại với tái bảo hiểm excess of loss Định lý 3.2.6 Cho trình lợi nhuận (1.9) (1.10) thỏa mãn giả thiết Bổ đề 3.2.4 Bổ đề 3.2.5 Khi đó, với (α, M ) −u0 R φ(1) n (u0 , α, M, is ) ≤ e (1) (α,M ) (3.24) (α,M ) (3.25) −v0 R φ(2) n (v0 , α, M, jt ) ≤ e (2) với n = 1, 2, , s = 0, 1, , N1 t = 0, 1, , N2 Kết luận Chương Trong chương đạt kết sau: • Đưa điều kiện cho tồn hệ số hiệu chỉnh Các điều kiện hoàn toàn phù hợp với thực tế như: chu kỳ số tiền thu phí bảo hiểm, chi trả bảo hiểm hữu hạn; trung bình thu phí bảo hiểm lớn trung bình chi trả bảo hiểm; có xuất trường hợp mà chu kỳ số tiền thu bảo hiểm bé số tiền chi trả bảo hiểm • Thiết lập hệ số hiệu chỉnh công ty bảo hiểm công ty tái bảo hiểm hàm tỷ lệ chia sẻ mức trì 18 • Đưa chặn cho xác suất thiệt hại hai công ty bảo hiểm Hệ 3.1.3 Hệ 3.2.3 phương pháp gợi ý để xác định α để dung hòa xác suất thiệt hại hai cơng ty bảo hiểm • Với mơ hình rủi ro có tái bảo hiểm excess of loss toán xác định (α, M ) để dung hòa xác suất thiệt hại hai cơng ty bảo hiểm tốn khó Tuy nhiên, Định lý 3.1.11 chúng tơi đề xuất cách xác định (α, M ) để dung hòa xác suất thiệt hại hai công ty với chu kỳ n = số điều kiện hạn chế lên phần thu chi trả bảo hiểm Kết cho ta cách đánh giá xác suất thiệt hại chu kỳ số vốn chu kỳ trước cơng ty bảo hiểm tái bảo hiểm lớn không Nội dung chương dựa vào báo [1], [2], [3], [4] Danh mục cơng trình cơng bố luận án 19 Chương ƯỚC LƯỢNG CHO XÁC SUẤT THIỆT HẠI TRONG MƠ HÌNH TÁI BẢO HIỂM BẰNG PHƯƠNG PHÁP TRUY HỒI 4.1 Trường hợp khơng có lãi suất Sau thiết lập phương trình truy hồi cho xác suất thiệt hại cơng ty bảo hiểm tái bảo hiểm Bổ đề 4.1.1 Với α ∈ (0, 1), ta có: (1) ψn+1 (u0 , α) ∞ (u0 + αy) dF (y) α H = ∞ α (u0 +αy) + (2) ∞ ψn+1 (v0 , α) = ψn(1) (u0 + α(y − x), α)dH(x)dF (y), (v0 + (1 − α)y) dF (y) 1−α H ∞ 1−α (v0 +(1−α)y) + (4.1) ψn(2) (v0 + (1 − α)(y − x), α)dH(x)dF (y) (4.2) n = 1, 2, Đặc biệt, (1) ψ1 (u0 , α) ∞ = H (2) ψ1 (v0 , α) ∞ = H (u0 + αy) dF (y), α (v0 + (1 − α)y) dF (y) 1−α 20 (4.3) (4.4) Chặn cho xác suất thiệt hại công ty bảo hiểm thiết lập sau Định lý 4.1.2 Cho trình lợi nhuận (1.3) (1.4) thỏa mãn điều kiện Bổ đề 3.1.1 Khi đó, với α (α ∈ (0, 1) ψn(1) (u0 , α) ≤ γe−u0 R (1) (α) (4.5) (α) (4.6) ψn(2) (v0 , α) ≤ γe−v0 R γ −1 = inf z≥0 ∞ R0 x dH(x) z e eR0 z H(z) (2) n = 1, 2, Các chặn (4.5) (4.6) bé chặn tương ứng (3.3) (3.4) Hệ 4.1.3 Nếu (1) ∈ L3 tồn α ∈ (0, 1) cho ψn (u0 , α) ≤ (2) = γe−(u0 +v0 )R0 α = ψn (v0 , α) ≤ Đặc biệt, 4.2 u0 u0 +v0 Trường hợp có lãi suất Tương tự Mục 4.1 thiết lập công thức truy hồi chặn cho xác suất thiệt hại công ty bảo hiểm Bổ đề 4.2.1 Với α ∈ (0, 1), s = 0, 1, N1 t = 0, 1, , N2 , ta có: N1 (1) ψn+1 (u0 , α, is ) (1) rsk = k=0 N1 (1) rsk + k=0 H α (u0 (1+ik )+αy) ∞ ∞ (u0 (1 + ik ) + αy) dF (y) α ψn(1) (u0 (1 + ik ) + α(y − x), α, ik )dH(x)dF (y), (4.7) N2 (2) ψn+1 (v0 , α, jt ) (2) rtk = k=0 ∞ H (v0 (1 + jk ) + (1 − α)y) dF (y) 1−α 21 N2 (2) rtk + k=0 1−α (v0 (1+jk )+(1−α)y) ∞ ψn(2) (v0 (1 + jk ) + (1 − α)(y − x), α, jk ) dH(x)dF (y) (4.8) n = 1, 2, Đặc biệt N1 (1) ψ1 (u0 , α, is ) (1) rsk = k=0 N2 (2) ψ1 (v0 , α, jt ) (2) rtk = k=0 ∞ H (u0 (1 + ik ) + αy) dF (y), α H (v0 (1 + jk ) + (1 − α)y) dF (y) (4.10) 1−α ∞ (4.9) Sử dụng phương trình truy hồi có định lý sau: Định lý 4.2.2 Xét trình lợi nhuận (1.5) (1.6) cho giả thiết Bổ đề 3.1.1 thỏa mãn Khi với α ∈ (0, 1), s = 0, 1, , N1 t = 0, 1, , N2 ψn(1) (u0 , α, is ) ≤ γE e−u0 R (1) (1) (α)(1+I1 ) (1) (4.11) (2) (4.12) | I0 = is ψn(2) (v0 , α, jt ) ≤ γE e−v0 R γ −1 = inf z≥0 ∞ R0 x dH(x) z e , eR0 z H(z) (2) (2) (α)(1+I1 ) | I0 = jt (0 < γ ≤ 1) n = 1, 2, Từ chặn (4.11) (4.12) cho ta cách xác định α để dung hòa xác suất thiệt hại hai công ty bảo hiểm Điều thể Hệ 4.2.3 Hệ 4.2.3 Nếu (2) ψn (v0 , α, jt ) ≤ (1) ∈ L4 tồn α ∈ (0, 1) để ψn (u0 , α, is ) ≤ với s = 0, 1, , N1 t = 0, 1, , N2 Đặc biệt, = γe−u0 R0 (1+i∗ )−v0 R0 (1+j∗ ) α = u0 (1+i∗ ) u0 (1+i∗ )+v0 (1+j∗ ) 22 Kết luận Chương Trong chương đạt kết sau: • Thiết lập công thức truy hồi cho xác suất thiệt hại trường hợp không lãi suất có lãi suất • Đưa chặn cho xác suất thiệt hại Các chặn khơng có dạng mũ Tuy nhiên, chặn Định lý 4.1.2 bé chặn dạng mũ Định lý 3.1.2 • Chúng tơi giới thiệu cách xác định tỷ lệ chia sẻ, để cân xác suất thiệt hại hai công ty bảo hiểm Các kết trình bày Hệ 4.1.3 Hệ 4.2.3 Nội dung chương dựa vào báo [2] [3], Danh mục cơng trình cơng bố luận án 23 KẾT LUẬN Luận án nghiên cứu mơ hình rủi ro tái bảo hiểm Kết luận án đạt là: • Xây dựng mơ hình rủi ro có xét tới tái bảo hiểm Các mơ hình mở rộng lên từ mơ hình nghiên cứu trước [46] [9]; • Thiết lập cơng thức tính xác cho xác suất thiệt hại liên kết Xác định tỷ lệ chia sẻ để cực tiểu xác suất thiệt hại liên kết; Giới thiệu phương pháp để hài hòa xác suất thiệt hại cho hai cơng ty bảo hiểm; • Xây dựng điều kiện cho tồn hệ số hiệu chỉnh công ty bảo hiểm, công ty tái bảo hiểm thiết lập hệ số hàm đối số tỷ lệ chia sẻ mức trì; • Đối với xác suất thiệt hại công ty bảo hiểm, luận án giới thiệu phương pháp để đánh giá xác suất này, cụ thể: cơng thức tính xác; ước lượng phương pháp martingale; ước lượng phương pháp quy nạp Cơng thức tính luận án kết tổng qt cơng thức tính [21] [30] Kết ước lượng tổng quát kết [32], [46] [9] Luận án tiếp tục theo số chủ đề sau: • Nghiên cứu xác suất thiệt hại mơ hình rủi ro rời rạc với tái bảo hiểm kết hợp quota share excess of loss; • Nghiên cứu toán với tiêu chuẩn tối ưu xác suất thiệt hại mơ hình rủi ro với thời gian rời rạc thời gian liên tục xét tới tái bảo hiểm 24 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tài liệu tiếng Việt [1] Bùi Khởi Đàm Nguyễn Huy Hoàng (2008), Ước lượng xác suất thiệt hại số mô hình rủi ro, thời gian rời rạc với dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc, Tạp chí Ứng dụng Tốn học, 6(2), 49-64 [2] Nguyễn Xuân Liêm (2016), Giải tích hàm, Nhà xuất Giáo dục [3] Nguyễn Duy Tiến (2005), Các mơ hình xác suất ứng dụng, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, Phần III [4] Nguyễn Duy Tiến Vũ Viết Yên (2004), Lý thuyết Xác suất, Nhà xuất Giáo dục Tài liệu tiếng Anh [5] K Borch (1960), An attempt to determine the optimal amount of stop loss insurance, Transactions of the XVIth International Congress of Actuaries, 1, 597-610 [6] Z Brze´znial and T Zastawniak (2002), Basic Stochastic Processes, 4th ed, Springer- Verlag London Berlin Heidelerg [7] J Cai (2002a), Ruin Probabilities with Dependent Retes of Interest, Journal of Applied Probability, 39(2), 312-323 [8] J Cai (2002b), Discrete Time Risk Model Under Rates of Interest, Probability in the Engineering and Informational Sciences, 16(3), 309-324 25 [9] J Cai and D C M Dickson (2004), Ruin Probabilities With a Markov Chain Interest Model, Insurance: Mathematics and Economics, 35(3), 513-525 [10] J Cai and K S Tan (2007), Optimal Retention for a Stop- Loss Reinsurance under the VaR and CTE Risk Measures, Astin Bulletin, 37(1), 93- 112 [11] J Cai, K S Tan, C Weng and Y Zhang (2008), Optimal Retention for a Stop- Loss Reinsurance under the VaR and CTE Risk Measures, Insurance: Mathematics and Economics, 43(1), 185- 196 [12] M L Centeno (1997), Excess of loss reinsurance and the probability of ruin in finite horizon, ASTIN Bulletin, 27, 59-70 [13] M L Centeno (2002), Measuring the effects of reinsurance by the adjustment coefficient in the Sparre Anderson model, Insurance: Mathematics and Economics, 30(1), 37-49 [14] M L Centeno (2002), Excess of loss reinsurance and Gerber’s inequality in the Sparre Anderson model, Insurance: Mathematics and Economics, 31(3): 415-427 [15] A Charpentier (2010), Reinsurance, Ruin and Solvency Issues: Some Pitfalls École Polytechnique [16] Y S Chow and H Teicher (1988), Probability Theory: Independence, Interchangeability, Martingales, Springer- Verlag, Berlin and New York [17] B K Dam and N T T Hong (2014), Finite time ruin probabilities for risk models with sequences of independent and continuously distributed random variables, Journal of Statistics Applications & Probability Letters, 1(3), 87 – 93 26 [18] B K Dam and P D Quang (2014), Finite- Time Ruin Probability in a Generalized Risk Processes under Interest Force, Mathematica Aeterna, 4(4), 351- 369 [19] D C M Dickson (2006), Insurance Risk and Ruin, Cambridge University Press [20] M Goovaerts and D Vyncke (2004), Reinsurance forms: Encyclopedia of Actuarial Science, Vol III, Wiley [21] N.T.T Hong (2013), On finite- time ruin probabilities for general risk models, East- West joural of Mathematics, 15(1), 86-101 [22] Z Hu and B Jiang (2013), On Joint Ruin Probabilities of a TwoDimensional Risk Model with Constant Interest Rate, Journal of Applied Probability, 50(2), 309-322 [23] R Kaas, M Goovaerts, J Dhaene and M Denuit (2008), Modern Actuarial Risk Theory, Second Edition, Springer-Verlag Berlin Heidelberg [24] P M Kahn (1961), Some remarks on a recent paper by Borch The ASTIN Bulletin, 1(5) 265–272 [25] V K Kaishev and D S Dimitrova (2006), Excess of Loss Reinsurance under Joint Survival Optimality, Insurance: Mathematics and Economics, 39(3), 376- 389 [26] C Lefèvre and S Loisel (2008), On finite- time ruin probabilities for Clasical Risk Models, Scandinavian Actuarial Journal, 2008(1), 41-60 [27] Z Li (2008), Optimal Reinsurance Retentions under Ruin- Related Optimization Criteria, PhD Thesis, University of Waterloo, Waterloo, Ontario, Canada 27 [28] J Ohlin (1969), On a class of measures of dispersion with application to optimal reinsurance, The ASTIN Bulletin, 5(2), 249- 266 [29] P Picard and C Lefèvre (1997), The Probability of Ruin in Finite- Time with Discrete Claim Size Distribution, Scandinavian Actuarial Journal, 1997(1), 58-69 [30] P D Quang (2014), Ruin Probability in a Generalised Risk Process under Rates of Interest with Homogenous Markov Chain, East Asian Journal on Applied Mathematics, 4(3), 283-300 [31] P D Quang (2014), Upper Bounds for Ruin Probability in a Generalised Risk Process under rates of interest with homogenous Markov chain claims and homogenous Markov chain premiums, Applied Mathematical Sciences, 8(29), 1445-1454 [32] S Ross (1996), Stochastic processes, New York: John Wiley & Sons [33] I V Rotar (2006), Actuarial models: the mathematics of insurance, Chapman & Hall/CRC [34] S Salcedo-Sanz, L Carro-Calvo, M Claramunt, A Casta˜ ner and M Mármol (2014), Effectively Tackling Reinsurance Problems by Using Evolutionary and Swarm Intelligence Algorithms, Risks, 2(2), 132-145 [35] K D Schmidt (1995), Lectures on Risk Theory, Technische Universitat Dresden [36] A N Shiryaev (1996), Probability, Second Edition, Springer-Verlag, New York [37] H Sun, C Weng and Y Zhang (2017), Optimal multivariate quotashare reinsurance: A nonparametric mean-CVaR framework, Insurance: Mathematics and Economics, 72, 197-217 28 [38] B Sundt and J L Teugels (1995), Ruin estimates under interest force, Insurance: Mathematics and Economics, 16(1), 7-22 [39] B Sundt and J L Teugels (1997), The adjustment function in ruin estimates under interest force, Insurance: Mathematics and Economics, 19(2), 85-94 [40] K S Tan, C Weng and Y Zhang (2011), Optimality of general reinsurance contracts under CTE risk measure, Insurance: Mathematics and Economics, 49(2), 175–187 [41] S Vajda (1962), Minimum variance reinsurance, The ASTIN Bulletin, 2(2), 257- 260 [42] H R Waters (1979), Excess of Loss Reinsurance Limits, Scandinavian Actuarial Journal, 1979(1), 37-43 [43] X Wei and Y Hu (2008), Rui probabilities for discrete time risk models with stochastic rates of interest, it Statistics & Probability Letters, 78(6), 707-715 [44] C Weng, Y Zhang and K S Tan (2009), Ruin probabilities in a discrete time risk model with dependent risks of heavy tail, Scandinavian Actuarial Journal, 2009(3), 205-218 [45] D Williams (1991), Probability with Martingales, Cambridge University Press [46] H Yang (1999), Non-exponential Bounds for Ruin Probability with Interest Effect Included, Scandinavian Actuarial Journal, 1999(1), 66-79 29 DANH MỤC CÔNG TRÌNH ĐÃ CƠNG BỐ CỦA LUẬN ÁN B K Dam and N Q Chung (2016), The Martingale Method for Probability of Ultimate Ruin Under Quota −(α, β) Reinsurance Model, Journal of Statistics Applications & Probability, 5(3), 411- 419 B K Dam and N Q Chung (2017), On Finite- Time Ruin Probabilities in a Risk Model under Quota Share Reinsurance Contract, Applied Mathematical Sciences, 11(35), 2609-2629 Nguyễn Quang Chung (2017), Xác suất thiệt hại mơ hình rủi ro tổng quát với tái bảo hiểm quota-share, Tạp chí Ứng dụng Toán học, 15(1) N Q Chung (2017), Effect of an Excess of Loss Reinsurance on Upper Bounds of Ruin Probabilities, Journal of Mathematical Finance, 7(4), 958-974 ... [40] Trong mơ hình rủi ro có tái bảo hiểm, yêu cầu bồi thường chi trả công ty bảo hiểm công ty tái bảo hiểm, thiệt hại xảy công ty bảo hiểm tái bảo hiểm Tuy nhiên, hầu hết cơng trình nghiên cứu. .. mơ hình có tái bảo hiểm • Đối tượng phạm vi nghiên cứu luận án: Các xác suất thiệt hại công ty bảo hiểm công ty tái bảo hiểm mô hình rủi ro rời rạc có tái bảo hiểm quota share tái bảo hiểm excess... thiệt hại trực tiếp cho cơng ty bảo hiểm hình thức tái bảo hiểm Có thể coi K Borch [5] người nghiên cứu tái bảo hiểm Ở đó, tác giả phương án tái bảo hiểm khác tái bảo hiểm stop of loss làm cực tiểu