BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGƠ THỊ HẠNH MỘT LỚP TỐN TỬ SCHRƯDINGER VỚI PHỔ HỒN TỒN RỜI RẠC Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Tạ Ngọc Trí HÀ NỘI, 2016 LỜI CẢM ƠN Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc tới TS Tạ Ngọc Trí, người tận tình hướng dẫn bảo cho tơi q trình làm luận văn Thông qua luận văn này, muốn gửi lời cảm ơn đến thầy cô giáo tổ Giải tích, khoa Tốn, trường Đại học Sư phạm Hà Nội gia đình, bạn bè thành viên lớp Tốn Giải Tích Khóa 18 động viên, giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Hà Nội, tháng 11 năm 2016 Tác giả Ngô Thị Hạnh LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn tự làm hướng dẫn TS Tạ Ngọc Trí Tơi cam đoan số liệu kết nghiên cứu luận văn trung thực Các thơng tin trích dẫn, tài liệu tham khảo luận văn rõ nguồn gốc Trong q trình hồn thành luận văn tác giả kế thừa kết nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng 11 năm 2016 Tác giả Ngô Thị Hạnh MỤC LỤC Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 Toán tử liên hợp, toán tử tự liên hợp 1.1.1 Tốn tử tuyến tính 1.1.2 Toán tử liên hợp, toán tử tự liên hợp Phổ toán tử 1.2.1 Phổ toán tử bị chặn 1.2.2 Phổ toán tử không bị chặn 10 1.2.3 Một số kết liên quan đến phổ 12 Toỏn t Schră odinger 2.1 2.2 18 Một số định nghĩa tính chất 19 2.1.1 Phép biến đổi Fourier 19 2.1.2 Toỏn t Schrăodinger t 22 Ph ca toỏn t Schrăodinger 24 2.2.1 Toán tử Schrăodinger dng H0 + V 24 2.2.2 Toỏn t Schrăodinger dng 2.2.3 Toỏn t Schrăodinger dng xk ) − |x| N j=1 j+ N j cho (∀x ∈ X), Ax Y ≤ C x X Hằng số C nhỏ thỏa mãn hệ thức Ax Y ≤ C x x ∈ X gọi chuẩn toán tử A, ký hiệu A hay X, với Ax Y , x ∈ X x X A = sup x=0 Do ta có nhận xét sau Nhận xét 1.1.1 1) (∀x ∈ X), Ax ≤ A x ; 2) (∀ε > 0)(∃xε ∈ X), ( A − ε) xε < Axε Định lý 1.1.1 (Chuẩn toán tử) Cho toán tử A từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y Nếu tốn tử A bị chặn A = sup x Ax = sup X ≤1 x Ax X =1 Định lý 1.1.2 (F.Riesz) Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục khơng gian Hilbert H biểu diễn dạng f (x) = x, a , với x ∈ H, phần tử a ∈ H xác định phiếm hàm f f = a Mệnh đề 1.1.1 Cho A toán tử từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y Khi ta có mệnh đề sau tương đương 1) A bị chặn; 2) A liên tục; 3) A liên tục điểm 1.1.2 Toán tử liên hợp, toán tử tự liên hợp Định nghĩa 1.1.3 Cho X, Y không gian Hilbert K, ký hiệu B(X, Y ) tập hợp tất toán tử bị chặn từ X vào Y , tốn tử A ∈ B(X, Y ) Khi tồn toán tử A∗ ∈ B(X, Y ) cho (∀x ∈ X)(∀y ∈ Y ), Ax, y Y = x, A∗ y X 35 Chương ă MT LP TON T SCHRODINGER VI PH HON TOÀN RỜI RẠC Chương thảo luận tiêu chí tốn tử tự liên hợp L2 (X) để có phổ hồn tồn rời rạc Nội dung chương tham khảo chủ yếu tài liệu [6], [13] 3.1 Đặt vấn đề Chúng ta ký hiệu Ba (r) = {x ∈ Rn ||x − a| ≤ r } Ba = Ba (1) Bổ đề 3.1.1 Một hàm số dương φ ∈ L∞ (X) triệt tiêu yếu với số λ > với tập Ωλ = {x |φ (x) > λ} có tính chất lima→∞ Wa ∩ Ωλ = Do ta có đánh giá sau: λ Wa ∩ Ωλ ≤ φdx ≤ φ Wa L∞ Wa ∩ Ωλ + λ |W| Mệnh đề 3.1.1 Cho V hàm khả tích địa phương Rn cho: 1) Nếu λ > độ đo wλ tập {x ∈ Ba |V (x) < λ} thỏa mãn lima→∞ wλ (a) = , 2) Phần âm V thỏa mãn V− ≤ µ∆ + v số thực dương µ, v với < µ < Khi đó, phổ tốn tử tự liên hợp H liên kết với công thức tổng + V hoàn toàn rời rạc 36 Chú ý 3.1.1 Cho V± = max {±V, 0} với λ > giả sử Ωλ = {x |V+ (x) < λ} Khi wλ (a) độ đo đơn vị tập hợp Ba ∩ Ωλ Từ bổ đề 3.1.1 dẫn tới điều kiện 1) tương đương với lim a→∞ Ba dx = + V+ (x) (3.1) Định lý 3.1.1 Giả sử J idean tốn tử compact khơng gian Hilbert Cho A, B tốn tử tự liên hợp khơng âm Khi e−A e−B ∈ J∞ ⇒ e−(A+B) ∈ J∞ (3.2) Chứng minh Với toán tử bị chặn C, xác định µn C µn (C) = sup ψ1 ψn−1 ϕ =1;ϕ⊥ψ1 , ,ψn−1 Cϕ (3.3) Bởi Nguyên lý min-max (xem chi tiết [9]) lim µn (C) = sup (σess (|C|)) n→∞ (3.4) µn (C) giá trị số C ∈ J∞ Đặc biệt C ∈ J∞ ⇔ lim µn (C) = n→∞ (3.5) Giả sử ∧l (H) tích tenxơ đối xứng (xem chi tiết [9], [10], [14]) Ta có (xem chi tiết [14]), m m Λ (C) = µj (C) (3.6) j=1 Từ µ1 ≥ µ2 ≥ ≥ ta có lim µn (C) = lim (µ1 (C) µn (C))1/n n→∞ n→∞ (3.7) Từ (3.5) đến (3.7) ta có C ∈ J∞ ⇔ lim Λn (C) n→∞ 1/n = (3.8) 37 Như vậy, toán tử tự liên hợp d ∧n (A) ∧n (H) để n Λn e−tA = e−tdΛ (A) (3.9) từ bổ đề Segal’s ta có Λn e−(A+B) ≤ Λn e−A Λn e−B = Λn e−A e−B (3.10) Do 1/n lim Λn e−(A+B) ≤ lim Λn e−A e−B 1/n n→∞ n→∞ (3.11) Kết hợp với (3.8) ta có (3.2) Định lý 3.1.2 Giả sử ΩM (V ) = {x |0 ≤ V (x) < M } (3.12) Nếu (với |.| độ đo Lebesgue) |ΩM (V )| < ∞ với M , H có phổ hồn tồn rời rạc Chứng minh Từ định lý 3.1.1 ta cần C = e∆ e−V toán tử compact Giả sử C = Cm + Dm Cm = CXΩm , Dm = CXΩcm với χS toán tử nhân hàm đặc trưng họ S ⊂ Rν Vì e−V XΩcm ∞ ≤ e−m e∆ = Do Dm ≤ e−m lim C − Cm = Nếu Cm compact ta m→∞ nói e hạt nhân f (x − y) với f hàm Gauussian K Rõ ràng, V tích dương, Cm hạt nhân Cm (x, y) xác định |Cm (x, y)| ≤ f (x − y) XΩm (y) Vì |Cm (x, y)|2 dν xdν y ≤ f L2 (Rν ) XΩm L2 (Rν ) với |Ωm | < ∞ Do Cm tốn tử Hilbert-Schmidt w(a) −→ a −→ ∞ Chứng minh Điểm chủ yếu quan sát từ Hans Herrik Rugh: giả sử ν số tối thiểu hình cầu (đóng) bán kính 1/2 cần để phủ hình cầu có bán kính 1; với số có tập Borel Aa ⊂ Ba ⊂ Ω với |Aa| ≥ ω(a)/ν cho ω(x) ≥ ω(a)/ν x ∈ Aa Thật vậy, giả sử N tập điểm ν cho Ba ⊂ ∪b∈N Bb (1/2) Nếu Db = Ba ∩ Bb (1/2) ω(a) ≤ b |Db ∩ Ω| tồn b(a) cho Aa = Db(a) ∩ Ω thỏa mãn |Aa | ≥ ω(a)/ν Từ Aa có đường kính nhỏ 1, với x ∈ Aa ta có Aa ⊂ Bx ∩ Ω ω(x) ≥ |Aa |, nhận xét chứng minh Bây ta giả sử R = |a| − ký hiệu Ω(R) tập điểm c ∈ Ω cho x ≥ R Khi ta có p+1 p p w dx ≥ Ω(R) w dx ≥ [νw (a)] Aa Dẫn tới khẳng định bổ đề chứng minh 3.2 Mt lp toỏn t Schră odinger vi ph hon ton rời rạc Nhận xét thấy rằng, mệnh đề 3.1.1 khái qt hóa cách tổng qt Ví dụ, thay tốn tử có bậc cao với ma trận giá hệ số giá trị V khơng phải hàm Có kết hệ kiện (tóm tắt) sau Trong thực tế có định nhóm abel compact địa phương X, chọn không gian Hilbert E hữu hạn chiều xác định H = L2 (X) ⊗ E Cho a ∈ X k ∈ X ∗ (nhóm abel compact địa phương đối ngẫu) ký hiệu Ua Vk toán tử đơn vị H cho (Ua f ) (x) = f (x + a) (Vk f ) (x) = k (x) f (x) 39 Định nghĩa 3.2.1 Cho H không gian Hilbert T ∈ B(H) Ta nói T toán tử Hilbert-Schmidt tồn sở trực chuẩn {en }∞ cho ∞ T en < ∞ n=1 Định lý 3.2.1 Cho µ độ đo không gian compact địa phương, với X L2 (X, dµ ) khơng gian tách Giả sử L0 toán tử tự liên hợp L2 (X, dµ ) (cũng tốn tử) nửa nhóm co lại được: với s > 0, e−sL∞ ánh xạ từ L2 vào L∞ (X, dµ ) Giả sử V tốn tử nhân khơng âm cho µ {x |0 ≤ V (x) ≤ M } < ∞ với M Khi L = L0 + V có phổ hồn tồn rời rạc Chứng minh Ta chứng minh tương tự bước chứng minh định lý 3.1.2 Ta chứng minh e−sL0 e−sV compact e−sL0 XΩm toán tử Hilbert-Schmidt Do e−sL0 ánh xạ từ L2 → L∞ (theo kết định lý Dunford-Pettis, xem chi tiết [15]) Với x ∈ X, fx (.) ∈ L2 (X, dµ) với e−sL0 g (x) = fx , g sup fx x L2 = esL0 L2 →L∞ ≡ C < ∞ Vì vậy, e−sL0 hạt nhân K(x, y) với sup fx x L2 = esL0 L2 →L∞ ≡C xác định wxl (Ω) = |Ω ∩ {y |y − x| ≤ l}| (3.14) Ví dụ 3.2.1 Từ (3.13) với x ∈ Ωm , wxl (Ωm ) ≤ Cl |x| + Ta nói tập Ω r - mỏng dạng đa thức (polynomially thin) wxl (Ω)r dν x < ∞ z∈Q với l Từ đẳng thức (3.13) ta có ΩM r - mỏng dạng đa thức với M r > Định lý 3.2.2 Cho V vị không âm với M , tồn r > cho ΩM r- mỏng dạng đa thức Khi H có phổ hồn toàn rời rạc Chứng minh Theo định lý 3.1.2 ta chứng minh với M, e∆ XΩM compact với e tích chập với hàm số L1 f Giả sử QR hàm đặc trưng {x ||x| < R} Giả sử FR tích chập 41 với f QR Khi đó, e∆ − FR e∆ XΩM − FRXΩM ≤ f (1 − QR ) → R −→ ∞ Vì → đủ để chứng minh cho R, M, CR,M = FRXΩM compact ∗ CM,R Điều chứng tỏ với số k, CM,R sử D toán tử với hạt nhân k Hilbert-Schmidt Giả D (x, y) = XΩM (x) Q2R (x − y) XΩM (y) f bị chặn nên ∗ CM,R CM,R (x, y) ≤ cD (x, y) với c số, nên Dk toán tử Hilbert-Schmidt Dk hạt nhân với D (x, y) = D (x, x1 ) D (x1 , x2 ) D (xk−1 , y)dx1 dx2 dxk−1 Đặc biệt, cố định y tích phân khơng |x − x1 | < 2R, , |xk−1 − y| < 2R, suy |x − y| ≤ 2kR Hơn nữa, |xi − y| ≤ 2kR Vậy nên, k−1 k D (x, y) ≤ Q2kR (x − y) XΩM (xj ) dx1 dxk−1 χΩM (y) |xi −y|≤2kR j=1 = Q2kR (x − y) w2kR (ΩM )k−1 XΩM (y) theo cách xác định wxl (3.14) Do Dk (x, y) dν xdν y ≤ C(kR)ν wx2kR (ΩM ) 2k−2 ν d x x∈Ω 2k−2 > r có (3.14) Dk tốn tử Hilbert-Schmidt 42 Dễ thấy P (x) đa thức x1 , , xν không tồn ν ∈ Rν thỏa mãn ν.∇P ≡ (tức là, P khơng hàm biến tuyến tính ν) Khi V (x) = P (x)2 tn theo giả thiết định lý 3.2.3 Định lý 3.2.3 1) Giả sử phổ HV rời rạc Khi hàm số γ : (0, +∞) → (0, 1) d > inf F ∈Nγ(d) (Gd ,Ω) ¯ d \F → +∞ d −→ ∞ V G 2) Ngược lại giả sử hàm d → γ (d) ∈ (0, 1) xác định với d > lân cận limsup d−2 γ (d) = +∞ d↓0 (với γ ∈ (0, 1) số, d > lân cận d = 0) Giả sử tồn d0 cho inf F ∈Nγ(d) (Gd ,Ω) ¯ d \F → +∞ d −→ ∞ V G thỏa mãn cho d ∈ (0, d0 ) Khi phổ HV L2 (Ω) rời rạc Chú ý 3.2.1 Từ bổ đề 3.1.2 ta có lima→∞ wλ (a) = Ωλ wλp dx < ∞ cho số p > Như từ định lý 3.1.2 3.2.3 (chi tiết [13]) ta có kết mệnh đề 3.1.1 Trong trường hợp V ≥ mệnh đề 3.1.1 kết định lý 3.2.4 (chi tiết [8]) Nhiều kết tổng quát khác ta nói sau Lưu ý, nhiên kĩ thuật ta không áp dụng phạm vi xét định lý 3.2.2 Mệnh đề 3.1.1 dễ dàng chứng minh điều kiện 1) thay điều kiện limx→∞ V+ (x) = ∞ Trong thực tế xem xét không gian Hilbert X − modun H không gian Hilbert ánh xạ * -không suy biến φ → φ(Q) từ C0 (X) vào B (H) 43 Ví dụ 3.2.2 Lấy H = L2 (X, µ) với µ độ đo Randon Khi có tiêu chuẩn compact đơn giản sau: Nếu R toán tử tự liên hợp bị chặn H cho 1) Nếu φ ∈ C0 (X) φ(Q)R toán tử compact 2) Nếu ±R ≥ θ(Q) với θ ∈ C0 (X) R toán tử compact Thật vậy, lưu ý toán tử Rφ ≡ Rφ(Q) compact với φ ∈ C0 (X) Giả sử ε > ta chọn θ cho 0θ < θφ⊥ ≤ ε, φ⊥ = − φ Thì ±φRφ⊥ ≤ φ⊥ θφ⊥ ≤ ε dẫn tới φ⊥ Rφ⊥ ≤ ε Vì có R − φR − φ⊥ Rφ ≤ ε φR + φ⊥ φ tốn tử compact Bây ta nói tốn tử liên hợp H H compact địa phương φ (Q) (H + i)−1 compact với θ ∈ C0 (X) Khi ta có, H toán tử tự liên hợp compact địa phương có hàm liên tục Θ : X −→ R cho limx→∞ Θ (x) = +∞ H ≥ Θ (Q) Khi phổ H hoàn toàn rời rạc (các ánh xạ không suy biến cần định nghĩa θ(Q) với θ không bị chặn) Định lý 3.2.4 Giả sử H quan sát L2 (X) nằm C(X) Khi ta có với k ∈ δX cho giới hạn k.H = limx→k x.H tồn tức là: có quan sát k.H nằm C(X) cho lim Ux ϕ (H) Ux∗ = ϕ (k.H) x→k CS (X) với ϕ ∈ C0 (R) Hơn nữa, ta có σess (H) = U¯k σ (k.H) Định lý 3.2.5 Cho H toán tử tự liên hợp H cho với (với mọi) z ∈ C không nằm phổ H toán tử R = (H − z)−1 44 thỏa mãn: lim Vk RVk∗ = 0, lim (Ua − 1)R = a→0 k→0 (3.15) Khi H có phổ hồn toàn rời rạc w − lim Ua RUa∗ = a→∞ Chứng minh Nếu phổ H hồn tồn rời rạc R compact w − lima→∞ Ua RUa∗ = Mệnh đề đảo lại kết định lý 3.2.5 Các thuật ngữ sử dụng khoảng vô cực H đồng tới ∞ phổ H Một số ký hiệu: hàm giá trị Borel B(X) X φ(Q) tốn tử phép nhân với φ H ψ hàm tương tự X ∗ Ψ (P ) = F −1 MΨ F, F phép biến đổi Fourier Mψ toán tử phép nhân với ψ L2 (X ∗ ) ⊗ E Chú ý Vk Ψ (P ) Vk∗ = Ψ (P + k) Nếu φ ∈ L∞ (X) φ ≥ dễ dàng kiểm tra w − lim Ua φ(Q)Ua∗ = 0, a→∞ s − lim φ (Q) Ua = 0, a→∞ và lân cận compact W ban đầu cho φdx = lim a→∞ a+W Khi ta nói φ triệt tiêu yếu (ở vô cực) Xem chi tiết phần [5] cho tính chất khác lớp hàm số Dưới W lân cận compact ban đầu, Wa = a + W , ký hiệu |V | độ đo Haar tập hợp M Mệnh đề 3.2.1 Giả sử H toán tử tự liên hợp nghịch đảo thỏa mãn (3.15) cho ±H −1 ≤ φ(Q) vài hàm triệt tiêu yếu φ Khi H có phổ hồn tồn rời rạc 45 Thật vậy, lấy R ∈ H −1 với f ∈ H ta có | f |Ua RUa∗ | ≤ | f |Ua φ(Q)Ua∗ | Chúng ta xét vài hệ mệnh đề Xin tham khảo [7] cho lớp tổng quát toán tử xác định điều kiện (3.15) xét số trường hợp đặc biệt Ta nói H toán tử bị chặn thỏa mãn (3.15) θ : R → R hàm liên tục cho θ(λ) → +∞ λ → ∞, θ(H) thỏa mãn (3.15) Nếu R ∈ B(H) thỏa mãn phần (3.15) ta nói R tốn tử quy (hay Q - quy) Tính quy giải đáp tốn tử vi phân Rn dễ dàng kiểm tra Vk P Vk∗ = P + k chứng minh mệnh đề 3.1.1, phần thứ hai (3.15) tương đương với tồn phần tử R = ψ(P )S với ψ ∈ C0 (X ∗ ) S ∈ B(H) Nếu X = Rn đủ để miền H chứa số không gian Sobolev H với số thực m > Bây mở rộng mệnh đề 3.1.1 thực chất chứng minh theo cách tương tự Ta giả sử X = Rm xét không gian Sobolev kết tương tự với X bất kì: đủ để thay hàm k m xác định Hm trọng lượng tùy ý (xem chi tiết [7]) hình cầu Ba đóng a + W W lân cận compact ban đầu Mệnh đề 3.2.2 Giả sử H0 ban đầu toán tử tự liên hợp bị chặn không gian H với miền công thức giống Hm với số thực m > thỏa mãn lim Vk H0 Vk∗ = H0 a→∞ chuẩn B(Hm , H−m ) Giả sử V hàm khả tích địa phương dương cho lim |{x ∈ Ba |V (x) < λ}| = a→∞ với λ > Khi tốn tử tự liên hợp H có cơng thức tổng H0 + V có phổ hồn tồn rời rạc 46 Giả sử h : X → B(E) hàm giá trị toán tử đối xứng liên tục với c |p|2m ≤ h(p) ≤ c|p|2m (là toán tử E) với số c , c” > p lớn tùy ý Giả sử ω : Hm → H−m toán tử đối xứng cho W ≥ −µh(P ) − υ với µ < Vk WVk∗ → W chuẩn B(Hm , H−m ) k → ∞ Khi cơng thức tổng h(P ) + W bị chặn đóng Hm tốn tử tự liên hợp H0 thỏa mãn điều kiện mệnh đề 3.2.2 Giả sử m > số nguyên L= a,β P α aαβ (Q)P β : Hm → H−m α, β ≥ m đa số chiều dài aαβ hàm X → B(E) cho aαβ (Q) ánh xạ liên tục Hm−|β| → H|α|−m Nếu f |Lf ≥ µ f Hm −ν f H với µ, ν > L cơng thức điều kiện bị chặn đóng Hm tốn tử tự liên hợp H0 nghiệm mệnh đề 3.2.2 47 KẾT LUN Lun Mt lp toỏn t Schrăodinger vi ph hồn tồn rời rạc” trình bày kết phổ hồn tồn rời rạc lớp tốn tử thơng qua ba chương: Chương 1: Tác giả trình bày số kiến thức chuẩn bị phổ toán tử, số dạng phổ, số bổ đề, định lý làm sở cho việc tiếp cận kiến thức chương sau Chương 2: Tác giả trình bày định nghĩa, tính cht c bn ca toỏn t Schrăodinger Trong phn ny luận văn trình bày số kết có liờn quan ti ph ca toỏn t Schrăodinger i vi số trường hợp Chương 3: Tác giả trình bày số kết lớp tốn tử có phổ hồn tồn rời rạc Do thời gian có hạn nên luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô độc giả để luận văn hoàn thiện Tác giả xin chân thành cảm ơn ! 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tài liệu tiếng Việt [1] Nguyễn Phụ Hy(2005), Giải tích hàm, NXB Khoa học kỹ thuật [2] Hồng Tụy(2005), Hàm thực giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Tài liệu tiếng Anh [3] W Arveson (2001), A Short Course on Spectral Theory, Springer [4] E B Davies and B Simon (1984), "Ultracontractivity and the heat kernel for Schră odinger operators and Dirichlet Laplacians", J Funct Anal 59, 335–395 [5] V Georgescu, S Golenia (2008), "Decay preserving operators and stability of the essential spectrum", J Op Th 59, 115–155; A more detailed version is at http://arxiv.org/abs/math/0411489 [6] V Georgescu (2014), “Hamiltonians with purely discrete spectrum, hal-00335549v2” at https://hal.archives-ouvertes.fr/hal00335549/document [7] M Reed, B Simon (1975), Methods of Modern Mathematical Physics II: Fourier Analysis, Self-Adjointness, Academic Press, New York 49 [8] V Maz’ya, M Shubin (2005), "Discreteness of spectrum and positivity criteria for Schră odinger operators", Ann Math 162, 919–942 [9] M Reed and B Simon (1972), Methods of Modern Mathematical Physics, I: Functional Analysis, Academic Press, New York [10] M Reed and B Simon (1987), Methods of Modern Mathematical Physics, IV Analysis of Operators, Academic Press, New York [11] B Simon (1987), "A canonical decomposition for quadratic forms with applications to monotone convergence theorems", J Funct Anal 28, 377–385 [12] B Simon (1977), "Lower semicontinuity of positive quadratic forms", Proc Roy Soc Edinburgh 29, 267273 [13] B Simon, "Schrăodinger operators with purely discrete spectrum", see preprint 08-191 at http://www.ma.utexas.edu/mp arc/ or at http://arxiv.org/abs/0810.3275v1 [14] B Simon (2005), Trace Ideals and Their Applications, second edition, Mathematical Surveys and Monographs, 120, American Mathematical Society, Providence, RI [15] F Tr’eves (1967), Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels, Academic Press, New York-London [16] F.-Y Wang, J.-L Wu (2008), "Compactness of Schrăodinger semigroups with unbounded below potentials", Bull Sci Math, Vol 132, Issue 8, 679-689 ... 1.2 Toán tử liên hợp, toán tử tự liên hợp 1.1.1 Toán tử tuyến tính 1.1.2 Toán tử liên hợp, toán tử tự liên hợp Phổ toán tử 1.2.1 Phổ toán. .. ứng 1.2 1.2.1 Phổ toán tử Phổ toán tử bị chặn Định nghĩa 1.2.1 Cho X không gian Banach trường số C, B(X) tập toán tử bị chặn X, toán tử A ∈ B(X) Phổ toán tử A ký hiệu σ(A) tập tất số phức λ cho... biệt với phổ hoàn toàn rời rạc Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Toán t Schrăodinger, ph ca toỏn t Schrăodinger, c bit l iu kin ca V(x) ph ca toỏn t Schrăodinger hoàn toàn rời rạc