ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN THỊ HỒNG VÂN THUẬT TOÁN ĐIỂM GẦN KỀ VỚI DÃY SAI SỐ KHƠNG GIỚI NỘI TÌM KHƠNG ĐIỂM CỦA TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU CỰC ĐẠI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN THỊ HỒNG VÂN THUẬT TỐN ĐIỂM GẦN KỀ VỚI DÃY SAI SỐ KHƠNG GIỚI NỘI TÌM KHƠNG ĐIỂM CỦA TỐN TỬ ĐƠN ĐIỆU CỰC ĐẠI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN GS TS NGUYỄN BƯỜNG THÁI NGUYÊN - 2017 i Mục lục Bảng ký hiệu ii Lời nói đầu 1 3 Một số toán liên quan 1.1 Không gian Hilbert 1.2 1.3 Bài tốn cực tiểu phiếm hàm lồi khơng gian Hilbert 10 Tốn tử đơn điệu khơng gian Hilbert 13 1.4 Phương pháp điểm gần kề 18 Thuật toán điểm gần kề với dãy sai số khơng giới nội tìm khơng điểm toán tử đơn điệu cực đại 20 2.1 Thuật toán điểm gần kề 20 2.2 2.3 Thuật toán điểm gần kề 25 So sánh hai thuật toán 27 Ứng dụng 30 3.1 Bài toán tối ưu 30 3.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân 32 Kết luận 34 Tài liệu tham khảo 35 ii Bảng ký hiệu Trong toàn luận văn, ta dùng ký hiệu với ý nghĩa xác định bảng đây: R tập số thực Rn H không gian véc tơ n chiều tương ứng không gian Hilbert thực A dom A gra A domf epif zer(A) Jr,T NC ∅ x, y I toán tử đơn điệu không gian Hilbert miền xác định toán tử A đồ thị toán tử A miền hữu hiệu hàm f tập đồ thị hàm f tập tất không điểm A, A−1 (0) tốn tử giải tốn tử T hình nón chuẩn tắc ứng với tập lồi C tập rỗng tích vô hướng hai véc tơ x y ánh xạ đơn vị Lời nói đầu Bài tốn xác định khơng điểm tốn tử đơn điệu cực đại khơng gian Hilbert có nhiều ý nghĩa quan trọng nhiều lĩnh vực khác như: kinh tế, tối ưu hóa tốn liên quan đến vật lý Một phương pháp bật để giải tốn tìm khơng điểm tốn tử đơn điệu cực đại phương pháp điểm gần kề đề xuất nghiên cứu Martinet cho cực tiểu phiếm hàm lồi Rn sau mở rộng Rockafellar Mới Boikanyo Morosanu nghiên cứu hội tụ thuật toán điểm gần kề với sai số cho toán tử đơn điệu cực đại A Họ giả thiết tập khơng điểm tốn tử A khác rỗng dãy sai số (en ) giới nội Trong đề tài luận văn xét dãy tạo xn+1 = Jγn (λn u + (1 − λn )(xn + en )), ∀n đưa điều kiện cần đủ cho tập không điểm A khác rỗng Chúng dãy (xn ) hội tụ mạnh đến phép chiếu u lên A−1 (0) không cần giả thiết tính giới nội (en ) Luận văn trình bày thành chương với nội dung sau: I: Trong chương trình bày số kiến thức khái niệm khơng gian Hilbert, số ví dụ minh họa, tốn cực tiểu phiếm hàm lồi khơng gian Hilbert thuật toán điểm gần kề cổ điển II: Trình bày hai thuật tốn điểm gần kề so sánh tối ưu hai thuật toán III: Trình bày ứng dụng thuật tốn điểm gần kề toán tối ưu toán bất đẳng thức biến phân Luận văn hoàn thành Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn tận tình GS TS Nguyễn Bường, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, người dành nhiều thời gian tâm huyết để hướng dẫn tận tình, giúp đỡ tác giả trình học tập, nghiên cứu viết luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn Lãnh đạo Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Tốn - Tin tồn thể thầy ngồi trường giảng dạy giúp tơi trau dồi thêm nhiều kiến thức phục vụ cho việc học tập nghiên cứu thân Đồng thời tác giả xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp cao học Tốn K9C (khóa 2015-2017) động viên giúp đỡ tác giả nhiều trình học tập Cuối tác giả xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè ln động viên, giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho tơi q trình học tập, nghiên cứu làm luận văn Xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, 29 tháng năm 2017 Tác giả Nguyễn Thị Hồng Vân Chương Một số toán liên quan Chương nhắc lại số kiến thức định nghĩa khơng gian Hilbert, giải tích lồi phương pháp điểm gần kề Kiến thức chương tham khảo tài liệu [1], [2] 1.1 Không gian Hilbert Định nghĩa 1.1.1 Một tập X gọi không gian tuyến tính R với cặp (x, y) ∈ X × X , phần tử X , ta gọi tổng x y , ký hiệu x + y ; với α ∈ R x ∈ X , phần tử X gọi tích α x, ký hiệu αx thỏa mãn điều kiện sau: i x + y = y + x với x, y ∈ X (tính chất giao hốn) ii (x + y) + z = x + (y + z), với x, y, z ∈ X (tính chất kết hợp) iii tồn phần tử không X , ký hiệu 0, cho: x + = + x với x ∈ X iv với x ∈ X , tồn phần tử đối x, ký hiệu −x, cho x + (−x) = với x ∈ X v · x = x · = x, với x ∈ X (1 phần tử đơn vị) vi α(βx) = (αβ)x, với α, β ∈ R, với x ∈ X vii (α + β)x = αx + βx, với α, β ∈ R, với x ∈ X viii α(x + y) = αx + αy , với α ∈ R, với x, y ∈ X Định nghĩa 1.1.2 Cho H khơng gian tuyến tính trường số thực R Tích vơ hướng khơng gian H ánh xạ từ tích Descartes H × H vào R, ký hiệu , , thỏa mãn điều kiện sau: i x, y = y, x với x, y ∈ H ii x + y, z = x, z + y, z với x, y, z ∈ H iii αx, y = α x, y với x, y ∈ H α ∈ R iv x, x > x = x, x = x = Nhận xét 1.1.3 Từ Định nghĩa 1.1.2 ta suy i x, αy = α y, x với x, y ∈ H α ∈ R ii x, y + z = x, y + x, z với x, y, z ∈ H Định nghĩa 1.1.4 Khơng gian tuyến tính H với tích vơ hướng gọi khơng gian tiền Hilbert Định lý 1.1.5 (bất đẳng thức Schwarz) Trong không gian tiền Hilbert H, với x, y ∈ H ta ln có bất đẳng thức sau: | x, y |2 ≤ x, x y, y (1.1) Chứng minh.Với số thực α với x, y ∈ H ta có: ≤ x − αy, x − αy = x, x − 2α x, y + α2 y, y Từ suy ∆ = | x, y |2 − x, x y, y ≤ với x, y ∈ H Hay | x, y |2 ≤ x, x y, y với x, y ∈ H Dấu đẳng thức bất đẳng thức (1.1) xảy x y phụ thuộc tuyến tính Định lý 1.1.6 Khơng gian tiền Hilbert H khơng gian tuyến tính định chuẩn với chuẩn xác định x = x, x với x ∈ H (1.2) Chuẩn gọi chuẩn cảm sinh từ tích vơ hướng Hàm số x = x, x với x ∈ H chuẩn H Chứng minh.Thật vậy, từ điều kiện (iv) Định nghĩa 1.1.2 ta có x > x = x = x = với x ∈ H Từ điều kiện (i) (iii) Định nghĩa 1.1.2 ta suy αx = |α| x với α ∈ R x ∈ H Từ bất đẳng thức Schwarz cách định nghĩa chuẩn ta có: | x, y | ≤ x y với x, y ∈ H (1.3) Từ với x, y ∈ H ta có: x + y, x + y = x, x + x, y + y, y ≤ x +2 x y + y = x + y Suy x + y ≤ x + y với x, y ∈ H Định nghĩa 1.1.7 Nếu H không gian tiền Hilbert thực đầy đủ chuẩn cảm sinh từ tích vơ hướng xác định (1.2) H gọi khơng gian Hilbert thực Ví dụ 1.1.8 Khơng gian ∞ |xn |2 < +∞ l = x = {xn }n ∈ R : n=1 không gian Hilbert với tích vơ hướng ∞ x, y = xn yn , n=1 x = {xn }n∈N , y = {yn }n∈N ∈ l2 chuẩn ∞ x = ∞ |2 |xn = x, x = |xn | n=1 n=1 Ví dụ 1.1.9 Khơng gian L2 [a, b] khơng gian Hilbert với tích vơ hướng: b (x, y) = x(t)y(t)dt, ∀x, y ∈ L2 [a, b] a chuẩn b |x(t)|2 dt x = a Ví dụ 1.1.10 Gọi C[a, b] tập tất hàm giá trị thực liên tục khoảng đóng hữu hạn [a, b] ⊂ R Trong C[a, b] xét tích vơ hướng b x(t)y(t).dt, x(t), y(t) ∈ C[a, b] x, y = a Không gian C[a, b] với chuẩn b |x(t)| dt x = a không gian tiền Hilbert, không gian Hilbert Định lý 1.1.11 Giả sử {xn }n∈N , {yn }n∈N hai dãy hội tụ mạnh đến x0 , y0 không gian tiền Hilbert thực H Khi đó, lim xn , yn = x0 , y0 n→∞ Chứng minh Giả sử lim xn = x0 , lim yn = y0 không gian Hilbert H Ta chứng minh n→∞ n→∞ lim xn , yn = x0 , y0 n→∞ R 22 + λ0 (1 − λ1 ) (1 − λn ) + (1 − λn ) u−p +(1 − λn )(1 − λn−1 ) en en−1 (2.3) + + (1 − λn )(1 − λn−1 (1 − λ0 + (1 − λn )(1 − λn−1 (1 − λ0 ) e0 x0 − p Vì λn → (1 − λn )en giới nội, nên tồn < α < M > cho với n ∈ N , ta có − λn (2.3), ta có: xn+1 − p α (1 − λn ) + α + α2 + + αn en M Vì từ u−p + M + M α + M α2 + + M αn (2.4) n +α x0 − p M u−p + + 1−α 1−α x0 − p Bất đẳng thức (xn ) giới nội lim inf ( xn+1 n→∞ +(1 − λn ) xn ) < ∞ +(1 − λn ) xn ) < ∞ Khi tồn dãy (n(k)) N cho xn(k)+1 +(1 − λn(k) ) xn(k) giới nội Vì tồn dãy (m(l)) (n(k)) xm(l)+1 p l → ∞ với p ∈ H Tương tự ((1 − λm(l) )xm(l) ) dãy giới nội Bây cho x ∈ D(A) y ∈ A(x), Ngược lại, giả thiết lim inf n→∞ ( xn+1 λn u + (1 − λn )(xn + en ) − xn+1 ∈ A(xn+1 ), γn nên ta thu được: y− λm(l) u + (1 − λm(l) )(xm(l) + em(l) ) − xm(l)+1 , x−xm(l)+1 γm(l) (2.5) 23 (1−λm(l) )xm(l) xm(l)+1 giới nội nên λn → 1, γn → ∞ ((1−λn )en ) giới nội, dẫn đến: λm(l) u + (1 − λm(l) )(xm(l) + em(l) ) − xm(l)+1 → 0, γm(l) l → ∞ Bây giờ, cho l → ∞ biểu thức (2.5), ta thu được: y, x − p Do đó, tính cực đại A, ta suy p ∈ D(A) ∈ A(p) Định lý chứng minh hoàn thành Nhận xét 2.1.3 Từ chứng minh Định lý 2.1.2 A−1 (0) = ∅ (xn ) giới nội Hệ 2.1.4 Cho A : D(A) ⊆ H ⇒ H toán tử đơn điệu cực đại Với x0 , u ∈ H cố định, cho dãy (xn ) xác định (2.1), λn ∈ (0, 1) γn ∈ (0, +∞) với n Giả sử tồn hai dãy (λn ) ⊂ (0, 1) (γn ) ⊂ (0, +∞) với λn → γn → +∞ n → +∞, cho dãy ((1 − λn )en ) giới nội Khi A−1 (0) = ∅ lim inf x→∞ xn < ∞ dãy (xn+1 − xn ) giới nội Chứng minh Chứng minh Hệ 2.1.4 sinh từ Định lý 2.1.2, trường hợp này, ta có điều kiện lim inf ( xn+1 n→∞ +(1 − λn ) xn+1 − xn ) < ∞ Định lý sau mở rộng kết trước Boikanyo Morosanu ý rằng, kết Boikanyo Morosanu thu với giả thiết tập không điểm A khác rỗng dãy sai số (en ) giới nội Định lý 2.1.5 Giả sử A : D(A) ⊆ H ⇒ H toán tử đơn điệu cực đại Với x0 , u ∈ H, cho dãy (xn ) xác định (2.1), λn ∈ (0, 1) γn ∈ (0, +∞) với n Nếu λn → 1, γn → +∞ 24 ((1 − λn )en ) → n → +∞ (xn ) hội tụ mạnh đến PF u, phép chiếu metric u lên F := A−1 (0), lim inf ( xn+1 n→∞ +(1 − λn ) xn < ∞ Chứng minh Chúng ta biết từ Định lý 2.1.2 Nhận xét 2.1.3 cho thấy A−1 (0) = ∅ dãy (xn ) giới nội Hơn nữa, từ (2.1), ta có: xn+1 − PF u xn+1 − Jγn u Jγn u − PF u + = Jγn (γn u + (1 − λn )(xn + en )) − Jγn u + Jγn u − PF u ≤ (1 − λn ) xn − u + en ≤ (1 − λn ) xn − u + Jγn u − PF u Jγn u − PF u + +(1 − λn ) (2.6) en Khi bất đẳng thức thứ hai suy từ toán tử giải không giãn Kết suy cách sử dụng Bổ đề 2.1.1 cho n → +∞ bất đẳng thức Nhận xét 2.1.6 Cho dãy (en ) H (không thiết phải giới nội), tồn dãy (λn ) (0, 1) λn → ((1 − λn )en → n → +∞ Ta xét ví dụ: λn := − (n + 1)( en +1) , Vì với tốn tử đơn điệu cực đại A : D(A) ⊆ H ⇒ H không gian Hilbert thực H với A−1 (0) = ∅, suy tương tự dãy hội tụ mạnh mẽ phép chiếu metric u lên A−1 (0), γn ∈ (0, +∞) với n γn → +∞ n → +∞ với n xn+1 = Jγn 1− (n + 1)( en +1) u+ (n + 1)( en +1) (xn + en ) 25 Từ ví dụ sau rằng, A−1 (0) = ∅, dãy (xn ) khơng giới nội Ví dụ 2.1.1 Cho H = R A : H → H định nghĩa Ax = −e−x Rõ ràng, A đơn điệu cực đại A−1 (0) = ∅ Cho x0 , u ∈ H cho dãy (xn ) sinh (2.1) Suy λn u + (1 − λn )(xn + en ) = xn+1 − γn e−xn+1 (2.7) Nếu cho hai dãy (λn ) (γn ) với λn → γn → ∞ (1 − λn )en → 0, dãy (xn ) giới nội, từ (2.7), suy được: lim supn→∞ γn e−xn+1 ≤| u | +supn | xn |< +∞ Để tạo γn → ∞, ta cần phải có limn→∞ e−xn+1 = xn+1 → ∞, điều mâu thuẫn Vì (xn ) khơng giới nội 2.2 Thuật tốn điểm gần kề Trong mục giới thiệu thuật toán cho thấy dãy (yn ) hội tụ mạnh mẽ lên PF u Đầu tiên đưa điều kiện cần đủ cho tập không điểm A khác rỗng Định lý 2.2.1 Cho A : D(A) ⊆ H ⇒ H đơn điệu cực đại Với điểm cố định y0 , u ∈ H, cho dãy (yn ) xác định yn+1 = Jγn (λn u + (1 − λn )(y0 + en )), (2.8) với n 0, λn ∈ (0, 1) γn ∈ (0, +∞) với n Khi A−1 (0) = ∅ tồn hai dãy (λn ) ⊂ (0, 1) (γn ) ⊂ (0, +∞) với λn → γn → +∞ n → +∞, cho dãy ((1 − λn )en ) giới nội lim inf n→∞ yn < ∞ Chứng minh Giả sử A−1 (0) = ∅ cho p ∈ A−1 (0) Từ (2.8) thực tế toán tử giải khơng giãn, với m ta có: ym+1 − p = Jγm (λm u + (1 − λm )(y0 + em )) − Jγm (p) ≤ λm u + (1 − λm )(y0 + em ) − p ≤ λm u−p + (1 − λm ) +(1 − λm ) y0 − p em (2.9) 26 Bất đẳng thức cho thấy dãy (yn ) giới nội lim inf yn < ∞ n→∞ Ngược lại, giả thiết lim inf x→∞ yn < ∞ Khi tồn dãy (n(k)) N (yn (k)) giới nội Vì tồn dãy (m(l)) (n(k)) ym(l) p l → ∞, cho số p ∈ H Bây cho số x ∈ D(A) y ∈ A(x), λn u + (1 − λn )(y0 + en ) − yn+1 ∈ A(yn+1 ), γn ta y− λm(l)−1 u + (1 − λm(l−1) )(y0 + em(l)−1 ) − ym(l) , x−ym(l) γm(l)−1 (2.10) Khi λn → 1, γn → +∞ ((1 − λn )en ) giới nội , suy λm(l)−1 u + (1 − λm(l−1) )(y0 + em(l)−1 ) − ym(l) → 0, γm(l)−1 l → ∞ Lúc l → ∞ (2.10), ta được: y, x − p Vì từ giá trị lớn A, ta có kết luận p ∈ D(A) ∈ A(p) Nhận xét 2.2.2 Từ chứng minh Định lý 2.2.1 cho thấy A−1 (0) = ∅, (yn ) giới nội Định lý 2.2.3 Cho A : D(A) ⊆ H ⇒ H toán tử đơn điệu cực đại, với y0 , u ∈ H cho dãy (yn ) xác định (2.8), λn ∈ (0, 1) γn ∈ (0, +∞) với n Nếu λn → 1, γn → +∞ ((1 − λn )en ) → n → +∞ (yn ) hội tụ mạnh đến PF u, hình chiếu của u F : A−1 (0), limn→∞ yn < ∞ 27 Chứng minh Chứng minh thực chứng minh Định lý 2.1.5 chúng tơi bỏ qua chứng minh điều 2.3 So sánh hai thuật toán Dựa vào định lý so sánh hai thuật toán (2.1) (2.8) Định lý 2.3.1 Cho (xn ) (yn ) sinh tương ứng (2.1) (2.8), > λn ≥ α > 0, cho số α > tất n ≥ 0, (xn ) giới nội (yn ) giới nội Chứng minh Giả thiết (xn ) giới nội Với n ≥ 0, yn+1 − xn+1 ≤ (1 − λn ) y0 − xn (2.11) dẫn đến (yn ) giới nội Ngược lại, giả thiết (yn ) giới nội Khi tồn β ∈ (0, 1) M > y0 − yn ≤ M − λn < β với nọi n ≥ Vì vậy, với m ≥ 0, ta có: ym+1 − xm+1 ≤ (1 − λm ) y0 − xm ≤ (1 − λm ) y0 − ym +(1 − λm ) ≤ (1 − λm )M + (1 − λm ) y m − xm ym − xm Sử dụng bất đẳng thức trên, phương pháp quy nạp toán học, với n ≥ 0, ta yn+1 − xn+1 ≤ (1 − λn )M + (1 − λn ) yn − xn ≤ (1 − λn )M + (1 − λn )(1 − λn−1 )M + (1 − λn )(1 − λn−1 ) yn−1 − xn−1 = (1 − λn ) + (1 − λn−1 ) M + (1 − λn )(1 − λn−1 ) yn−1 − xn−1 ≤ ≤ (1 − λn ) + (1 − λn−1 ) 28 + (1 − λn−1 )(1 − λn−2 ) + + (1 − λn−1 )(1 − λn−2 ) (1 − λ0 ) M + (1 − λn )(1 − λn−1 ) (1 − λ0 ) y0 − x0 ≤ (1 − λn )(1 + β + β + )M (2.12) + β n+1 y − x0 ≤ (1 − λn ) + β n+1 1−β y0 − x Từ bất đẳng thức cho thấy (xn ) giới nội Định lý 2.3.2 Cho (xn ) (yn ) xác định (2.1) (2.8), tương ứng Nếu λn → 1, n → +∞ (xn ) hội tụ mạnh đến PF u (yn ) hội tụ mạnh đến PF u Chứng minh Nếu (xn ) hội tụ mạnh đến PF u, từ (2.11) ta thấy (yn ) hội tụ mạnh đến PF u Ngược lại, (yn ) hội tụ mạnh đến PF u, lúc n → +∞ (2.12), ta có kết luận (xn ) hội tụ mạnh đến PF u Từ ví dụ sau cho thấy tốc độ hội tụ hai thuật tốn khơng thể so sánh tùy thuộc vào tốn đem xét, ta thuận tiện Ví dụ 2.3.1 Cho A : R −→ R định nghĩa Ax = x − Rõ ràng A−1 (0) = {1} Cho λn = − ,γn = n en = n Bằng cách lấy n x0 = y0 = u = 0, ta có: − n1 − xnn2 | xn+1 − |= 1+n − n1 | yn+1 − |= 1+n Vì | xn+1 − | | yn+1 − | Mặt khác, cách lấy x0 = y0 = 29 u = 0, ta có: − n1 − xnn2 | xn+1 − |= 1+n − n1 − n22 | yn+1 − |= 1+n Từ xn → n → +∞, tồn số No ∈ N với n N0 , xnn2 < n22 Ta có | yn+1 − | | xn+1 − | với n N0 Kết luận: Trong chương chúng tơi trình bày hai thuật toán điểm gần kề so sánh hội tụ hai thuật toán 30 Chương Ứng dụng Trong chương chúng tơi trình bày ứng dụng thuật toán điểm gần kề cho toán tối ưu toán bất đẳng thức biến phân 3.1 Bài toán tối ưu Cho H không gian Hilbert thực f : H −→ (−∞, +∞) hàm lồi phương nửa liên tục Chúng ta biết [4] A = ∂f toán tử đơn điệu cực đại H tập không điểm A trùng với tập điểm cực tiểu f Khi Định lý 2.1.5 2.2.3 cho ta lược đồ xấp xỉ tìm điểm cực tiểu f Định lý 3.1.1 Cho H không gian Hilbert thực f : H −→ (−∞, +∞) hàm lồi phương nửa liên tục Với x0 , u ∈ H, cho dãy (xn ) xác định (2.1) với A = ∂f , (0, 1) γn ∈ (0, +∞) với n ≥ Nếu λn → ((1 − λn )en ) → n → +∞, (xn ) hội tụ mạnh mẽ chiếu u F := ∂f −1 (0) = argminf , λn ∈ γn → +∞ đến PF u, hình (xn ) giới nội Chứng minh Khi A = ∂f toán tử đơn điệu cực đại, điều chướng minh từ Định lý 2.1.5 Định lý 3.1.2 Cho H không gian Hilbert thực f : H −→ (−∞, +∞) hàm lồi phương nửa liên tục Cho y0 , u ∈ H, ε > dãy (yn ) xác định (2.8) với A = ∂f , λn ∈ (0, 1) 31 γn ∈ (0, +∞) với n ≥ Cho dãy w tạo bởi: w0 = y wn = λn u + (1 − λn )(w0 + en ) − γn zn , zn thỏa mãn zn ∈ ∂f (yn + 1) ∩ B u − PF u, ε , 4γn với n ≥ Nếu F := ∂f −1 (0) = argminf = ∅, λn → γn → +∞ γn → +∞ ((1−λn )en ) → n → +∞, tồn số N0 ∈ N cho wn − PF u ≤ ε, với n N0 Chứng minh Theo định nghĩa yn , ta có: λn u + (1 − λn )(y0 + en ) ∈ yn+1 + γn ∂f (yn+1 ) Vì thế, tồn ξn ∈ ∂f (yn+1 ) vậy: λn u + (1 − λn )(y0 − +en ) = yn+1 + γn ξn Cho n −→ ∞ đẳng thức trên, thu được: lim γn ξn = u − PF u (3.1) n→∞ Vì thế, tồn số N1 ∈ N cho với n N1 , ta có: γn ξn ∈ γn ∂f (yn+1 ) ∩ B u − PF u, ε Mặt khác, từ giả thiết ta có: γn zn ∈ γn ∂f (yn+1 ) ∩ B u − PF u, ε 32 Từ tồn số N0 ≥ N1 cho với n ≥ N0 yn+1 − PF u < ε ε γn zn − γn ξn < Với n ≥ N0 , ta có: ωn − PF u ≤ ωn − yn+1 = γn zn − γn ξn ε ε < + = ε 2 3.2 yn+1 − PF u + + yn+1 − PF u Bài toán bất đẳng thức biến phân Cho D tập lồi đóng khác rỗng không gian Hilbert thực H cho A0 : D −→ H ánh xạ liên tục đơn điệu đơn trị Kí hiệu ND (z) hình nón chuẩn tắc D z : ND (z) := w ∈ H : w, z − u ≥ 0, ∀u ∈ D (3.2) cho A : H ⇒ H định nghĩa A(z) := A0 (z) + ND (z) ∅ z ∈ D, z∈ / D (3.3) Tính đơn điệu cực đại ánh xạ đa trị A xác định Rockafellar [4] Mối quan hệ ∈ A(z) suy −A0 (z) ∈ ND (z), hay gọi bất đẳng thức biến phân: Tìm z ∈ D z − u, A0 (z) ≤ với u ∈ D Ta định nghĩa V I(A0 , D) sau: V I(A0 , D) := {z ∈ D : z − u, A0 (z) 0, ∀u ∈ D} 33 Nếu D hình nón, điều kiện viết dạng z ∈ D, −A0 (z) ∈ Do z, A0 (z) = Bài tốn tìm điểm z ví dụ quan trọng tốn bù quy hoạch tuyến tính Khi Định lý 2.1.5 2.2.3 đưa lược đồ xấp xỉ tìm nghiệm bất đẳng thức biến phân với ánh xạ A0 đơn trị đơn điệu hắt liên tục A0 : D −→ H Định lý 3.2.1 Cho H không gian thực, D lồi đóng khác rỗng H, A0 : D −→ H ánh xạ đơn trị đơn điệu ND (z) nón pháp tuyến D z Với x0 , u ∈ H, cho dãy (xn ) xác định (2.1), với A xác định (3.3), λn ∈ (0, 1) γn ∈ (0, +∞) với n Nếu λn → 1, γn → +∞, ((1 − λn )en ) → n → +∞, V I(A0 , D) = ∅ (xn ) giới nội trường hợp này, (xn ) hội tụ mạnh đến thành phần V I(A0 , D), hình chiếu u A−1 (0) Chứng minh Vì biết A toán tử đơn điệu cực đại V I(A0 , D) = A−1 (0), phần kết luận rút từ Định lý 2.1.4 Nhận xét 3.2.2 Tương tự, (yn ) sinh (2.8) với A định nghĩa (3.3), V I(A0 , D) = ∅ (yn ) giới nội trường hợp này, (yn ) hội tụ mạnh mẽ đến PF u, hình chiếu u F := A−1 (0), phần tử V I(A0 , D) 34 Kết luận Đề tài chúng tơi nghiên cứu hai thuật tốn điểm gần kề với dãy sai số khơng giới nội cho tốn tử đơn điệu cực đại A không gian Hilbert thực H Trong trường hợp đưa điều kiện cần đủ để tập không điểm A khác rỗng chứng minh hội tụ mạnh mẽ thuật toán điểm gần kề với tập không điểm A trường hợp này, không giả thiết tính giới nội dãy sai số cụ thể: (1) Giới thiệu khái niệm số tính chất khơng gian Hilbert thực tốn tử đơn điệu cực đại (2) Trình bày phương pháp điểm gần kề (3) Ứng dụng vào toán tối ưu toán bất đẳng thức biến phân 35 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Đỗ Văn Lưu, Phan Huy Khải (2000), Giải tích lồi, NXB Khoa học Kỹ thuật Hà Nội [2] Hoàng Tụy (2003), Hàm thực Giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Tiếng Anh [3] Rouhani B D , Moradi S (2017), "Strong convergence of two proximal point algorithms with possible unbounded error sequences", J Otim Theory Applications 172(1), 222-235 [4] Bnouhachem A , Noor M A (2006), "Inexact proximal point method for general variational inequalities", Journal of Mathematics Analysis and Applications 324, 1195-1212 [5] Rokafellar R T (1976), "Monotone Operators and the Proximal Point Algorithm", SIAM Journal on Control and Optimization 14, 877-898 [6] Eckstein J (1988), "The Lions-Mercier splitting algorithm and the alternating direction method are instances of the proximal point algorithm", Report LIDS-P-1769, Laboratory for Information and Decision Sciences [7] Brézis H (1973), "Opérateurs Maximaux Monotones et Semi-Groupes de Contractions dans les Espaces de Hilbert", Amsterdam: North Holland 36 [8] He B S (1999), "Inexact implicit methods for monotone general variational inequalities", Math Programming 86 113-123 [9] Gol’shtein E G , Tret’yakov N V (1979), "Modified Lagrangians in convex programming and their generalizations", Math Programming Stud 10 86-97 ... gần kề với dãy sai số khơng giới nội tìm khơng điểm toán tử đơn điệu cực đại Chương nội dung luận văn trình bày thuật tốn điểm gần kề với dãy sai số khơng giới nội tìm khơng điểm tốn tử đơn điệu. ..ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN THỊ HỒNG VÂN THUẬT TOÁN ĐIỂM GẦN KỀ VỚI DÃY SAI SỐ KHƠNG GIỚI NỘI TÌM KHƠNG ĐIỂM CỦA TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU CỰC ĐẠI LUẬN... tụ thuật toán điểm gần kề với sai số cho toán tử đơn điệu cực đại A Họ giả thiết tập không điểm toán tử A khác rỗng dãy sai số (en ) giới nội Trong đề tài luận văn xét dãy tạo xn+1 = Jγn (λn