XSTK Ứng Dụng Trong Kinh Tế - TLU and maths ď BaitapXSTK-BNN

4.2 Một số loại biến ngẫu nhiên đặc biệtR cung cấp một số hàm tương ứng với những biến ngẫu nhiên đặc biệt để tính hàm phân phối P X ¤ x, hàm mật độ xác suất, hàm phân vị với xác suất p

Bài tập thực hành

XÁC SUẤT THỐNG

KÊ

Bộ môn Toán - ĐẠI HỌC THĂNG LONG

Học kì III, năm học 2008 - 2009

Biến ngẫu nhiên

4.1 Hai loại biến ngẫu nhiên

IV.1 Xác định trường hợp nào sau đây là hàm phân phối xác suất

p(x) 0.2 0.6 0.2

p(x) 0.25 0.35 0.5

p(x) 2/5 1/5 2/5

IV.2 Xét phân phối xác suất như sau

p(x) 0.25 0.45 0.2 0.1

Tìm trung bình và phương sai của X.

IV.3 Tung lần lượt hai con xúc xắc, gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ tổng số chấm

xuất hiện ở hai mặt trên Xác định hàm phân phối xác suất của X.

IV.4 Năm người phụ nữ và 5 người đàn ông được xếp thứ tự dựa vào điểm

trong một cuộc thi Giả sử điểm của hai người bất kỳ là khác nhau và 10! trường

hợp xếp thứ có khả năng xảy ra như nhau Gọi X là thứ hạng cao nhất đạt được bởi một phụ nữ (chẳng hạn X = 2 thì người đứng đầu là nam và người thứ hai

là nữ) Tính xác suất P (X = i) với i = 1, , 10.

Bài 4 Biến ngẫu nhiên

IV.5 Gọi X là chênh lệch giữa số mặt sấp và ngửa khi tung một đồng xu n lần.

Cho biết những giá trị có thể có của X.

IV.6 Trong bài tập trên, nếu đống xu cân đối, và n = 3, xác suất để X nhận

những giá trị có thể có là bao nhiêu?

IV.7 Cho biến ngẫu nhiên X nhận các giá trị 1, 2, 3, 4 với khả năng như nhau.

Tìm kỳ vọng và phương sai của X.

IV.8 Một công ty bảo hiểm bán một bảo hiểm nhân thọ với giá 20000 đô la và

số tiền khách hàng phải đóng hàng năm là 300 đô la Những bảng thống kê bảo hiểm cho thấy, một người mua bảo hiểm có thể chết trong một năm với xác suất

0.001 Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ lợi nhuận của công ty trên mỗi bảo hiểm

bán ra trong một năm

1 Cho biết phân phối xác suất của X

2 Tìm lợi nhuận kỳ vọng trên mỗi bảo hiểm của công ty

3 Nếu không có giả thiết số tiền khách hàng phải đóng hàng năm là 300 đô

la thì số tiền công ty phải thu của khách hàng mỗi năm là bao nhiêu để lợi nhuận kỳ vọng trên mỗi bảo hiểm lớn hơn 0?

IV.9 Giả sử hai người cùng chơi nhiều lần một trò chơi (trong mỗi lần chơi

luôn có người thắng cuộc và người còn lại thua cuộc) Trò chơi sẽ kết thúc nếu

có một người thắng i lần Các lần chơi là độc lập với nhau và xác suất người

A thắng trong mỗi lần chơi là p Tìm trung bình của số lần chơi giữa hai người biết i = 2 Chỉ ra rằng giá trị đó lớn nhất khi p = 0.5.

IV.10 Thời gian sửa chữa một chiếc máy tính cá nhân (đơn vị: giờ) là biến

ngẫu nhiên có hàm mật độ như sau

f (x) =

"

1/2, 0   x   2

0, trường hợp còn lại Chi phí sửa chữa phụ thuộc vào thời gian theo công thức 40 + 30?

x trong đó

x là thời gian sửa chữa chiếc máy Tìm chi phí kỳ vọng để sửa chữa một chiếc

máy tính cá nhân

IV.11 Mười quả bóng được chọn ngẫu nhiên từ một chiếc bình có 17 quả bóng

trắng và 23 quả bóng đen Gọi X là số bóng trắng được lấy ra Tính EX.

4.2 Một số loại biến ngẫu nhiên đặc biệt

R cung cấp một số hàm tương ứng với những biến ngẫu nhiên đặc biệt để

tính hàm phân phối (P (X ¤ x)), hàm mật độ xác suất, hàm phân vị (với xác

suất p cho trước, xác định giá trị nhỏ nhất x sao cho P (X ¤ x) ¡ p) và mô

phỏng phân phối

Để có hàm mật độ, hàm phân phối (tích lũy), hàm phân vị và hàm mô phỏng ta

thêm vào trước tên của các phân phối những chữ cái "d", "p", "q", "r"

tương ứng

Phân phối nhị thức

dbinom(x, size, prob, )

pbinom(q, size, prob, lower.tail = TRUE, )

qbinom(p, size, prob, lower.tail = TRUE, )

rbinom(n, size, prob)

Trong đó

prob xác suất thành công trong mỗi phép thử

lower.tail tham số kiểu logic, nếu TRUE xác suất là P (X ¤ x), ngược lại P (X ¡ x)

Giả sử ta có biến ngẫu nhiên nhị thức X ∼ B(10, 0.2) Tức là, hai tham số của

phân phốisize là 10 và prob bằng 0.2.

Bài 4 Biến ngẫu nhiên

Chẳng hạn ta cần tính P (X = 5)

> dbinom(5, 10, 0.2)

[1] 0.02642412

Hay P (X = 3), P (X = 5), P (X = 7)

> dbinom(c(3, 5, 7), 10, 0.2)

[1] 0.201326592 0.026424115 0.000786432

Vậy ta có P (X = 3) = 0.201326592, P (X = 5) = 0.026424115, P (X = 7) = 0.000786432.

Nếu ta muốn tính xác suất P (1 ¤ X ¤ 8), ta có thể làm như sau

> sum(dbinom(1:8, 10, 0.2))

[1] 0.8926216

Hoặc,

> pbinom(8, 10, 0.2)-pbinom(0,10,0.2)

[1] 0.8926216

Để tính xác suất P (X ¡ 8) ta có thể dùng công thức 1
P (X ¤ 8) hoặc dùng

tham sốlower.tail với giá trị FALSE như sau

> 1-pbinom(8, 10, 0.2)

[1] 4.1984e-06

hoặc

> pbinom(8, 10, 0.2,lower.tail=F)

[1] 4.1984e-06

Hàm phân vị qbinom dùng để tìm một số x nhỏ nhất sao cho P (X ¤ x) ¡ p trong đó p cho trước trong đoạn [0, 1] Đối với những phân phối liên tục trên đây, x sẽ thỏa mãn công thức P (X ¤ x) = p.

> qbinom(0.5,10,0.2)

[1] 2

như vậy P (X ¤ 2) gần với 0.5 nhất so với P (X ¤ 3), P (X ¤ 4),

Đối với X ∼ B(10, 0.2) ta có thể lập bảng phân phối xác suất cho X và

minh họa trên đồ thị như sau

> XacSuat= dbinom(0:10, 10, 0.2)

> round(XacSuat, 3)

[1] 0.107 0.268 0.302 0.201 0.088 0.026 0.006 0.001 0.000 0.000 0.000

> data.frame(X= 0:10, p = round(XacSuat, 3))

X p

0 0.107

1 0.268

2 0.302

3 0.201

4 0.088

5 0.026

6 0.006

7 0.001

8 0.000

9 0.000

10 0.000

0 2 4 6 8 10

Phan phoi XS cua BNN nhi thuc

n=10, p=0.2

X

Phân phối Poisson

Phân phối Poisson có một tham số là λ Các hàm xác suất, xác suất tích lũy,

phân vị, mô phỏng của phân phối Poisson trong R như sau:

dpois(x, lambda, )

ppois(q, lambda, lower.tail = TRUE, )

qpois(p, lambda, lower.tail = TRUE, )

rpois(n, lambda)

Trong đó

lambda giá trị trung bình của biến ngẫu nhiên

lower.tail tham số kiểu logic, nếu TRUE xác suất là P (X ¤ x), ngược lại P (X ¡ x)

Phân phối đều

dunif(x, min=0, max=1, )

punif(q, min=0, max=1, lower.tail = TRUE, )

qunif(p, min=0, max=1, lower.tail = TRUE, )

runif(n, min=0, max=1)

Trong đó

Bài 4 Biến ngẫu nhiên

min, max cận dưới (mặc định là 0), cận trên (mặc định là 1) của phân phối

lower.tail tham số kiểu logic, nếu TRUE xác suất là P (X ¤ x), ngược lại P (X ¡ x)

Phân phối chuẩn

Phân phối chuẩn có hai thma số là trung bình (mean) và độ lệch chuẩn (sd)

dnorm(x, mean = 0, sd = 1, log = FALSE)

pnorm(q, mean = 0, sd = 1, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)

qnorm(p, mean = 0, sd = 1, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)

rnorm(n, mean = 0, sd = 1)

Trong đó

mean giá trị trung bình (mặc định là 0)

sd giá trị độ lệch chuẩn (mặc định là 1)

lower.tail tham số kiểu logic, nếu TRUE xác suất là P (X ¤ x), ngược lại P (X ¡ x)

Phân phối mũ

Phân phối mũ có một tham số là λ (rate) là nghịch đảo của giá trị trung

bình

dexp(x, rate = 1, )

pexp(q, rate = 1, lower.tail = TRUE, )

qexp(p, rate = 1, lower.tail = TRUE, )

rexp(n, rate = 1)

Trong đó

lower.tail tham số kiểu logic, nếu TRUE xác suất là P (X ¤ x), ngược lại P (X ¡ x)

Chi tiết về các hàm nói trên và một một số hàm phân phối không được giới

thiệu trên đây, các bạn có thể dùnghelp() để tìm hiểu

IV.12 Màu mắt của một người được xác định bởi một cặp gen, trong đó gen

quy định màu mắt nâu trội hơn so với gen quy định màu mắt xanh Điều này có

nghĩa là nếu một người có hai gen lặn thì có màu mắt xanh, còn khi có ít nhất một gen trội thì có màu mắt nâu Khi môt cặp vợ chồng có con, cặp gen của người con nhận được một cách ngẫu nhiên một gen trong cặp gen của bố và của

mẹ Nếu một cặp vợ chồng có mắt màu nâu và có đứa con đầu mắt xanh thì xác suất để có đúng hai trong số 4 đứa con của họ có mắt xanh là bao nhiêu (cho biết trong gia đình không có những đứa trẻ sinh đôi)

IV.13 Một vệ tinh nhân tạo gồm 4 bộ phận hoạt động tốt khi ít nhất 2 trong 4

bộ phận trong điều kiện làm việc Nếu các bộ phận này độc lập, và đều trong điều kiện làm việc với xác suất 0.6 thì xác suất đệ vệ tinh hoạt động tốt là bao nhiêu?

IV.14 Một nguồn truyền tín hiệu truyền đi các con số 0 và 1 Tuy nhiên theo

thống kê, một con số nhận về không chính xác với xác suất 0.2 Giả sử ta cần truyền đi một tin nhắn gồm một số nhị phân Để làm giảm sai sót người ta truyền

00000 thay cho 0 và 11111 thay cho 1 Tín hiệu nhận được sẽ được giải mã là 0 nếu ít nhất có 3 số không trong tin nhắn nhận được và là 1 trong những trường hợp còn lại Tính xác suất tin nhắn sau khi giải mã không chính xác Cần có những giả thiết gì?

IV.15 Cho X là biến ngẫu ngiên nhị thức với EX = 3, V X = 2.1 Tính

IV.16 Nếu bạn mua 50 vé xổ số và cơ hội trúng thưởng của mỗi vé số là 1/100.

Tính xác suất để bạn trúng ít nhất một giải, đúng một giải, ít nhất hai giải

IV.17 Số lần một người bị cảm lạnh trong một năm tuân theo phân phối Poisson

với trung bình là λ = 3 Tính xác suất để một người không bị cảm lạnh, và xác

suất để một người bị cảm lạnh không quá 2 lần trong một năm

IV.18 Giả sử một người có mặt tại bến xe buýt lúc 10 giờ sáng, cho biết thời

điểm xe buýt đỗ tại bến tuân theo phân phối đều giữa 10h và 10h30 Tính xác suất người đó phải đợi trên 15 phút Nếu lúc 10h15 xe buýt vẫn chưa tới bến, xác suất để người đó phải đợi thêm 5 phút nữa là bao nhiêu?

IV.19 Cho X là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn với tham số µ = 8, σ2 = 25, tính

1 P (X ¡ 5)

2 P (2   X   6)

3 P (X   15)

Bài 4 Biến ngẫu nhiên

4 P (X ¡ 10)

IV.20 Giả sử lượng mưa hàng năm (mm) của một địa phương tuân theo phân

phối chuẩn với trung bình là 1800, độ lệch chuẩn là 100 Tính xác suất để có 2 năm trong 4 năm có lượng mưa không quá 1600 mm Giả thiết rằng lượng mưa trong các năm khác nhau là độc lập

IV.21 Giả sử tuổi thọ của một chiếc đèn hình màu trong tivi tuân theo phân

phối chuẩn với trung bình 8.2 năm và độ lệch chuẩn 1.4 năm Tính xác suất để một chiếc đèn hình màu có tuổi thọ

1 trên 10 năm

2 ít hơn 4 năm

3 từ 4 đên 10 năm

IV.22 Chỉ số IQ của người tuân theo phân phối chuẩn với trung bình 100 và

độ lệch chuẩn 14.2 Nhóm 10% những người có chỉ số IQ cao nhất có chỉ số IQ nằm trong phạm vi nào?

IV.23 Số lần động đất tại một địa phương có phân phối Poisson với tỷ lệ 5 trận

mỗi năm

1 Xác suất có ít nhất 3 vụ động đất trong nửa năm đầu tiên của năm 2010 là bao nhiêu?

2 Giả sử sự kiện trên xảy ra, xác suất không có động đất ở địa phương trong năm 2011 là bao nhiêu?

3 Mới có một vụ động đất vào tháng 5 năm 2010 Tính xác suất để ít nhất một năm nữa không có vụ động đất nào

IV.24 Giả sử số dặm (nghìn dặm) một chiếc ôtô đi được cho đến khi không sử

dụng được nữa tuân theo phân phối mũ với tham số λ = 1/20 Một người mua

một chiếc ôtô cũ đã đi được 10 nghìn dặm, xác suất để anh ta có thể sử dụng nó

để đi tiếp đựoc 20 nghìn dặm nữa là bao nhiêu?

4.3 Phân phối chọn mẫu